2023年吉林省白山市成考專升本高等數(shù)學(xué)二自考模擬考試(含答案帶解析)

2023年吉林省白山市成考專升本高等數(shù)學(xué)

二自考模擬考試（含答案帶解析）

學(xué)校:班級:姓名:考號:

一、單選題（30題）

sin2zclr=

A.cos2z+CB.—cos2x+C

C.--cos2.r+CD.——cos2.r+C

乙

設(shè)八幻=則廣a)=

A.g(/)一晨2x)B.x2g(x2)-2xg(2x)

C.(x2-2x)-g(x)D.2xg，)-2g(2x)

3.

設(shè)=］,則r=l是/（z）在［—2,2］上的

A.極小值點(diǎn)，但不是最小值點(diǎn)

B.極小值點(diǎn)，也是最小值點(diǎn)

C.極大值點(diǎn)，但不是最大值點(diǎn)

D.極大值點(diǎn)，也是最大值點(diǎn)

已知八4+1)=依川，則八幻=

A.xexB.(x-DexC.(x+l)exD.(x+De4*1

5月?"59等于()

A.xye”

B.x2ex>

Cey

D.(l+XY)exy

2x+lx<0

設(shè)/(外=<2x=0,則/(x)在x=0處是

X24-1x>0

k()o

A.連續(xù)的B.可導(dǎo)的C.左極限彳右極限D(zhuǎn).左極限二右極限

7.

根據(jù)八幻的導(dǎo)函數(shù)尸（處的圖像，判定下列結(jié)論正確的是

A.在（7,-1）內(nèi)，f（x）是單調(diào)增加的

B.在（一,0）內(nèi)，/（x）是單調(diào)增加的

C./（-I）為極大值

D./（-I）為極小值

8.

6.

函數(shù)/（X）的導(dǎo)函數(shù)f\X）的圖像如圖所示，則在（-8,+8）內(nèi)

“X）的單調(diào)遞增區(qū)間是

A.（7,0）B.（7,1）

C.（0,-H?）D.（1,+oo）

9.設(shè)函數(shù)z=x2i3y2-4xi6y-l,則駐點(diǎn)坐標(biāo)為（）。

A.(2,-1)B.(2,l)C.(-2,-l)D.(-2.1)

「[2+xln(l+』)]dx=

<—I

10.A,4B.2C.0D.-2

11ftv=ii*irtJ=1()

A.無定義B.不連續(xù)C.連續(xù)但是不可導(dǎo)D.可導(dǎo)

12.設(shè)f(x)的一個原函數(shù)為xsinx,則f(x)的導(dǎo)函數(shù)是()。

A.2sinxxcosxB.2cosxxsinxC.-2sinx+xcosxD.-2cosx+xsinx

廣義枳分I；春出=

13.()o

K

A.?

n

B5

n

C.2

DJ

14.函數(shù)y=l/2(ex+e-x)在區(qū)間(-1,1)內(nèi)[]

A.單調(diào)減少B.單調(diào)增加C.不增不減D.有增有減

設(shè)/(必=電"，則|J/(x)dx]'=

15?x()o

cosx

X

A.

sinx

B.x

—+C

C.x

膽+C

D.x

2x+lx<0,

設(shè)f(x)八，貝ij/(lim/(x))=

X2-3x>0—

A.0B.-1C.—3D.-5

16.

下列我中的數(shù)列為某隨機(jī)交*的分布列的是

17.

若./(/)<Lr=F(.r)+C,則,sin_r/(coar)d,r等于()

A.F(sinr),G

B.F(siru)—C

C.FCCOSJ*)-C

18I).-F(COJ<Z)+('

設(shè)/(x)=F；+l”<0,則用im/(x)］二

19.1-3Q。一()e

A.OB.-lC.-3D.-5

20.設(shè)隨機(jī)變量6取善負(fù)為值?且?小，則《的數(shù)學(xué)期望E(S)

A.A.-1B.0C.1D.2

21.曲線y=x3的拐點(diǎn)坐標(biāo)是().

A.(-l,-1)B.(0,0)C.(l,1)D.(2.8)

22.

當(dāng)z-0時，$小(31+/2)與x比較是

A.較高階的無窮小量

B.較低階的無窮小量

C.等價無窮小盤

D.同階的無窮小垃

23.設(shè)f(x)的一個原函數(shù)為Inx,則?(x)等于().

1

A.A.7

1

B.V

1

C~

1

D.?

,4已知/(x)=lnarccotx,則尸(1)=

2

A.A.%

2

B.n

n

C.2

n

D.5

已知f(x)的一個原函數(shù)為x2/,則J/(2x)dx=

A.4x2e2x+CB.Ix^CC.j^e\CD.—e2x+C

25.4

26.

過曲線y=x+hu上/點(diǎn)的切線平行直線y=2x+3,則切點(diǎn)M）的坐標(biāo)是

()o

A.。，1)

B.?e)

「(he+1)

D(efc+2)

設(shè)A與B為互不相容事件，則下列等式正確的是()

A./,(AB)=1

B.P(AB)^O

C.P(AB)^P(A)P(B)

27.D.P(八3)工P(AHP(B)

28.當(dāng)x—2時，下列函數(shù)中不是無窮小量的是（）。

A?爐-8

B.sin（x2-4]

CL

D?M（3T）

29.微分方鞭/-24I的通解為.

sin3xx.0

設(shè)函數(shù)/(#)=*'*'在*=0處連續(xù).則Q=().

30.%x=0A.-lB.lC.2D.3

二、填空題(30題)

當(dāng)*-0時，函數(shù)/(x)與sin2x是等價無窮小=?則|加空"=

31>■l<ftinZT-------------

32.

已知/(公…,)=犬+'2_小則瞥R+，_2=.

dxay

j'sinrc皿di-

33.

dx=

34.

35」.，（八3x）dx

36.+x嚴(yán)

37.

設(shè)lim(l+2產(chǎn)=e'3,則人=,

n

38.設(shè)y=3$叫貝Ijy

下列曲數(shù)中為奇函數(shù)的虺

A.ynco、。li.y*J'+sitir

C.y-Intx1+i')

39.

40.

設(shè)z=InOy+ln(即)],則=-------'

42.

設(shè)z=(sirtz尸，(0V7V7t),則dz=

43川(可)=------

44.

2-x-

呵(亍產(chǎn)=-------------

45.

設(shè)z=arcsin(xy),則---=______________

axdy

46.

已知P(A)=().7P(B|A)=0.5,則P(AB)=

設(shè)函數(shù)y=/(-/),且/(“)可導(dǎo)，則dv=

47.

48.

設(shè)J；/Q)dz=y?則J：￡f(4x)dx=

設(shè)2=1811(町,則生=.

49.dx----------

50.

lim(l+等)+=________.

r-O4

設(shè)函數(shù)z=/+e',則七|“.紇=_______.

51?Ax

52.函數(shù)y=%-ln(i+*)的駐點(diǎn)為a_____.

53.已知

Ind-^Zr)

Jijj.sin2T

54.

55.

設(shè)函數(shù)八3)=＞，則毅|小

56.

若z=ln(1+e?),則微卷=

57.設(shè)y=in(x+cosx),貝！Jy'

5%！喊一由"

60.

jxf(//(Rd%=

三、計算題(30題)

xarcsinr.

求不定積分_d.r.

一工】

61.

〃求極限limJ

62.，?°

63.求微分方程2"-3),一”.1的通解.

64.若曲線由方程i+點(diǎn)=4_21>確定?求此曲線在jr=1處的切線方程.

求dz

65.J】十sm/

66.求函數(shù)z=x2+y2+2y的極值.

設(shè)函數(shù)z-y1/y),求當(dāng)?，安.

業(yè)力，其中。是由II線y=z,2y=1及z=1圉成的區(qū)域.

設(shè)￡=>/(-)+方(2),其中/(“).口(10分別為可微函數(shù),求空，空.

yxoxcfy

71.設(shè)函數(shù)N=/(bsiny,3z2y)?且/(u,v)為可微函數(shù)?求dz.

72求微分方程*+j=J的通俗.

73設(shè)函數(shù)/(力=J(1-X)34-*(/(工)&1?，求/(工)?

74.求fit分方程y*?z41清足y(0>-2./(0)=0./(0)=1的特X

[—

求極限!

75.

76.求嫩分方程2y'-3y=e-的通解.

求極限lirn

77.G—2

78計算定枳分Ji2&r?

79.已知函數(shù)'=arcsinzjE柴,求》匚.

80.求函數(shù)f(x,y)=4(x-y)-x2?y2的極值.

設(shè)函數(shù)/（幻=（[-a）/?（1）,其中小1）在點(diǎn)x。處連續(xù),求，儲）.

計算不定積分|工^27TTdx.

82.

求極限lim一~.

83.4-01

計算定枳分

84.

求不定枳分JxSinxA.

85.

設(shè)下述積分在全平面上與路徑無關(guān):

(?|->l^(x)cLr+儼彳)一yjydy

86.其中函數(shù)6上）具有連續(xù)導(dǎo)數(shù),并且61）-1.求函數(shù)6?）.

1

Q-求函數(shù)z=/y+/X的全部二階偏導(dǎo)數(shù)?

O/?

88.求函數(shù)八"=（：一】＞，的單調(diào)區(qū)間與微值點(diǎn)?

89.計咪八日

90.求二元函數(shù)f（x,y）=x2+y2+xy在條件x+2y=4下的極值.

四、綜合題（10題）

91.討論函數(shù)/《.「）=3」一/的單調(diào)性.

?/（x）在上連續(xù)?存在m?M兩個常數(shù)?且脩足＜“＜兒證明：恒”

92.m（x;-x1）/（J.）/（X.）＜M（x,-X,）.

93.

設(shè)函數(shù)FCr）=/三廣）（彳＞0）,其中/（外住區(qū)間1,+8）上連續(xù)（工）在

《％+—）內(nèi)存在且大于零?求證/a）在（“.+8）內(nèi)單調(diào)遞增.

94.求函數(shù)/"）=八,注定義域內(nèi)的最大值和最小值.

95.

設(shè)函數(shù)人工）在閉區(qū)間［0,1］上連續(xù).在開區(qū)間（0,1）內(nèi)可導(dǎo)且/（0）=/（!）=0.

/（f）=1?證明:存在sw《0」）使X（e）-i.

M證明：當(dāng)0V”V件時…r<（一號+1?

96.h

97.證明方程41=2,在［0.1］上有且只有一個實根.

98.

設(shè)函數(shù)y=or'-&q?+力在［一］.2］上的最大值為3.最小值為-29?又a>0.求.也

99.*明,等時?”>空苧?

巳知曲線"aGQ>0）與曲線，TnG在點(diǎn)（―）處有公切線，試求，

（1）常數(shù)。和切點(diǎn)（右.“）!

100.（2）兩曲線與/軸璃成的平面圖形的面枳s.

五、解答題（10題）

101.

計算lim

L01-yiT?

計算網(wǎng)士1

2

102.X-5X+6

103.在拋物線y=l?x2與x軸所圍成的平面區(qū)域內(nèi)作一內(nèi)接矩形

ABCD,其一邊AB在x軸上(如圖所示).設(shè)AB=2x,矩形面積為

S(x).

①寫出S(x)的表達(dá)式;

②求S(x)的最大值.

計算J萼

104.

105.

(本題滿分10分)巳知函數(shù)"G在點(diǎn)！處取得極大值5,其導(dǎo)函數(shù))?=

/'(%)的圖像系過點(diǎn)(1,0)和(2,0)(如圖1-1所示).

(1)求極值點(diǎn)4的值；

(2)求明b,e的值.

106.

求極限對簫

107.

z

_I_L也「esinx-sinx

TT>hm―：---------

LO1-COSX

108.(本題滿分8分)計算，啊(歷-"彳).

設(shè)隨機(jī)變量4的分布列為-^―一￡~±_-

P0.20.3a0.1

(1)求常數(shù)a

(2)求第J的分布函數(shù)尸(x).

求函數(shù)y=x+-l的單調(diào)區(qū)間、極值及凹凸區(qū)間.

110.x-1

六、單選題(0題)

UI設(shè)函數(shù)i=tan(xy),則左=().

A.cos(xy)

B.cos匕y)

X

C.

/

D.cos2(xy)

參考答案

l.D

1i

sin2xdx=—sin2xd2jr=w(-cos2x)+C.

乙2J乙

I解析］八幻=［二gQ)d”'=g(x2)?(x2)，-g(2x)(2x)'

=2xg(，)-2g(2x)

2.D

3.B

［解析］用換元法求出f(x)后再求導(dǎo)

用x-1換式中的X得/(x)=(x-l)e\

所以

4.A

5.D

6.D

lim/(x)=lim(2x+1)=1.limf(x)=lim(x2+1)=1.故選D.

K-HTx-*0*x-#0*

7.D解析

x軸上方的/口)>0,無軸下方的/a)<o,即當(dāng)*-1時，/q)<o：當(dāng)

Q-1時fU)>o,根據(jù)極值的第一充分條件，可知/(-I)為極小值，所以選D.

QD［解析］因為x在(7,1)上，八x)＞0,/㈤單調(diào)增加，故選B.

0.15

9.A

令更=0與"=(),可得x=2,y=-1.故選A.

aray

I解析］因為xln(l+x2)是奇函數(shù)

A所以「［2+xln(l+x2)］dx=2「2dx=4

10.AXJ。

ll.C

12.B

本題主要考查原函數(shù)的概念。

因為f(x)=(xsinx)'=sinx+xcosx,

貝！Jf'(x)=cosx+cosx-xsinx=2cosx-xsinx,選B。

13.B

f"-J-dx;「------rdcx=(arctancx)---=2,

Jol+mJoI—＞lo244

14.D因為y=+(ex+e-x),所以y,=l/2(ex-e-x),令y*=0得x=0;當(dāng)x＞。時,

曠＞0;當(dāng)乂＜0時，yYO,故在(-1,1)內(nèi)，函數(shù)有增有減.

15.B

［解析I因為lim/(x)=lim(x2-3)=-2

XTIJCTI

所以［flim/(x)］=/(-2)=(2x+1)|…2=-3

16.C-I

17.C

18.D

W.C

因為lim/(x)=lim(x:-3)=-2?

iii

所以/［lim/(x)］=/(-2)=(2x+l)L2=-3.

20.C

令

21.B因為＜=6x==0,得*=0,則,=o,且在x=0兩側(cè)/舁號.故點(diǎn)（0.0）為拐直

22.D

23.A

本題考查的知識點(diǎn)是原函數(shù)的概念，因此有/（*）=（】n#）'=j所以選A.

24.B

因為八x)=—5—(-二］)，所以八1)==(一4)=二

arccotx1+x四2兀

4

［解析］根據(jù)原函數(shù)的定義可得J/（x）dx=x2e^C

所以，(2幻dx=；J/(2x)d(2x)=1(2x)2e2x+C=2x2e2x+C

25.B

26.A

本題將四個選項代入等式，只有選項A的坐標(biāo)使等式成立.

事實上y'=J+，=2得人=1,所以），二|

27.B

28.C

【解析】根據(jù)無窮小量的定義:若1加/（*）=0,則當(dāng)》與時/（4）為無窮小量.因此可根據(jù)

140

定義計算其極限值,知選C.

42

29J=d+G”？+C2x+C3y=x+C|x+C2x+C3

根據(jù)函數(shù)在點(diǎn)X=O處連續(xù)的定義：lim/(%)=/(0)，則有

lim/(4)=lim迎工=3=/(0)=a.

5U.Di…。x

31.1

32.2x+12x+l解析

2?2

因為f(x-ytxy)=J+-x)=(x-y)+.x>>

所以小，加公+y則咚&+駕+l

dxdy

33.1/4

arcsinx-Vl-x2+C

［解析］dr

=arcsinx,,=d(l-x2)

2)

34=arcsinx-Vl-x2+C

35.0

因為X3+3X是奇函數(shù)。

36.2arctan2-(n/2)

37.

3

2

0)k

因為lim(l+-)^=lim(l+-)2=e2*=e'3

抑T8幾〃一＞8fl

有2%=—3,所以左=一±

2

38.3sinxln3*cosx

39.D

40.2

41.應(yīng)填L

j0”

用洛必達(dá)法則求極限.請考生注意：含有指數(shù)函數(shù)的。型不定式極

限，建議考生用洛必達(dá)法則求解，不容易出錯！

e〕e"-2格必達(dá)法射../-e"格必達(dá)法剜..c'+e'.

Iim--------；-?■■—-—*—=1.

■yx2x?，＞2

42.cosxcosy(sinx)cosy-ldx-siny(sinx)cosy-l*lnsinxdy

由.=cosy?(sinz嚴(yán)?COSJ,a=(sinjr)^?Insinr?(-sinv)>所以dz=

"dy

cosjxosy(sim)Mdj一siny(sinz)叫nsiiudy.

43.

回V'3-土

44.e」

2222

町G?口遮(1-尹=[iim(l--pr1㈣”襯=e-i

■二y

以y[l-x2y2

____L_________ia-_ayi

45.小…巾血"打解析：力號,一力口—『一/1一93

46.0.35

P(AB)=P(A}P(8|4)=0.7x0.5=0.35

-2Vz(-x2)dx

[解析]因為<=八--)(—2)‘=-2子(-，)

所以dy=-2xf\x2)dx

47.

48.

利用變上限積分的定義,當(dāng)上限取某一定值時，其值就唯一確定.

因為f/(0dr=y所以當(dāng)x取力或2時有Jj⑴dr=TJ*/(Odr=y

[2?2i2

設(shè)&=t?貝ijx=/，dx=2rdf

x1______4

12

于是J：?/(石)dx=2j；f(6)d(4)=2j；/(i)d/=2?==16

49.

答應(yīng)填產(chǎn)斗、

coe(xy-?)

提示z對=求偏導(dǎo)時應(yīng)視/為常數(shù)，并用一元函數(shù)求導(dǎo)公式計算.

50.

51.6

52,應(yīng)填0.本題考查的知識點(diǎn)是駐點(diǎn)的概念及求

根據(jù)定義，使/'(力八。的“稱為函數(shù)/(“)的駐點(diǎn)，因此有＞'="71=0,得X=0.

法.故填0.

53.

【答案】應(yīng)填4(z-l)e」

求出y',化簡后再求)，”更簡捷.

八eU=(”2x)e-:

y,r=-2e*2,-2(l-2x)e-,,=4(x-l)e:,.

54.1

55?-e

______e___________.

56.一5+，)2-(工十土尸

57.

【答案】應(yīng)填七期3

“CMM

用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)公式計算.

y，=[ln(x+cosx)]*=----------(1-sinx)

?+cosx

58.

-N(Z十))

JJ

59/”

60.

費(fèi)〃)+C

喏空業(yè)=-larcsirvrd^7

，i-3J

v/1—x2arcsiru-+J，】-7

y1-x2arcsinx+jctr

61.x-y/\-jr:arcsinx+C.

[-z=~cLr=-Iarcsiitrd。一《r’

JJ

yl—x2aresiru-+-

y1-x2arcsinx+卜/

x-V1-x:arcsinx+C.

曲分方程對應(yīng)的齊次方程為

y-2y-3y=0,

其特征方程為尸一2，一3二0?特征根為乙=3,rt=一】?故對應(yīng)的齊次方程的通解為

y=Cc”+ae、（G.a為任意常數(shù)）.

由于自由項f3=（3i+】）c~?4=0不是特征根?故可設(shè)特解為

y9=A+Hr?

將歹代入原方程?得

一2I—3A-3Hr=3i+l,

有-38=3.-2B-3An1?

故A=J.8=—1.從而歹=；一”?

Ow

所以原方程的通第為

y=Ge"+C：e-+J-x（C,,C,為任意常數(shù)）.

該分方程對應(yīng)的齊次方程為

y-2y―3y.0.

其特征方程為一一2，一3-0?特征根為勺=3,rt=一】?故對應(yīng)的齊次方程的通解為

y=cc“+ae~?（G.a為任意常數(shù)）.

由于自由項/J）=（3”+l）c。1a=0不是特征根?故可設(shè)特M為

y?=A+Hr?

將/代人原方程?得

-2H—3A—3Hr=3x+1.

有-38=3.-2B-3A=1?

故A=［.5=—1.從而歹=；一”?

WW

所以原方程的通解為

y=Ce"+C:c，+J-J（C,.C,為任意常數(shù)》.

64.

o<

兩邊對r求導(dǎo)?得I+2e>-y=-2e'?（y+工y'）.于是』="2^M^2xe

注意到當(dāng)i:1時?有1+j=l-2e、?可求得y=0?即曲線1=1處的切線斜率為：

k一一!,切線方程為~一一4（/一1）?即1+4y-1=0.

44

兩邊對r求導(dǎo)?得?+2廣?丁n-2L?（y+n'）?于是，工一段忘

注意到當(dāng)J=1時,存1+（/'-l-2c、?可求得y=0?即曲線工=1處的切線斜率為，

￡----切線方程為-....---—1）?即1+ly—1=。?

44

被積函數(shù)分子分母同乘（1―4皿》.科

f一：回dr=I普3r-M血

JI—sinxJcos*J

nr-f一［（Kec^x-1）dx

Jcos工J

------Iscc2r（Lr4-|dr一

65.couJJ=l/cosx-tanx+x+C

被積函數(shù)分子分母同乘《1-3皿）,得

I*“L=：2）業(yè)=f嗎￡&_X也

JI-mn^xJcos'iJ

工一f—［（sec^x-l）dx

Jcos工J

=」-一Isecrdx*IAr一，…

c。"J=1/cosx-tanx+x+C

66.

:

更

=

—2Xo.

^dx令

1更2y得駐點(diǎn)

=o

dv

222

因為4=笠=2,B=^=0,C^~=2,

dx(o.-i)dxdyI《???”a>(o.-t)

所以爐YC=-4<0,且4=2>0,從而可知￡(0.-l)=-l為極小他

手―Zxyf(,xl—y*,jry)+JC2yf/?2x±x2yff?y

ox1

=2x>/(x:—y)+x,y(2x/|Z+y/J).

*+，WJ?(—2y)+*、//?*

外

67.=>/(>一3'?“〉+/、("/-2y/7).

~q2xyf(,xl-y2.xy)+yf?'?2JT+/"/?y

cJx

=2x>/(x*—y'./y)+x2y(2x//+”/).

手=JTZfix'-y3iy)+x'Wi'?(-2y)?x

oy

=上—/r)4-Jr2y(xf/-2M'>.

1.

區(qū)域D可表示為‘l/=

,4丁V二

drdv小，

Jo亍出，業(yè)

(1—cos2x)cLr

68.

0&x&1?

1/?

{?。▂&*?

則jj苧drdy=￡明苧力=J：苧.心疝

■fT*s"*dx

=+j（1-cos2i）cLr

=:（|一%出）|：

B="同>喈）+*'（）（-:）

=/（y）+*（f）-f-?（f）?

6=，（f）+”《）?（-?+〃仁）?！

一/停）-，/'俘）+/（分

69.

喜="?。?（力*仔）?（V）

=，?。?喈）->/（分

5=/（手）+"俘）?（與+邛，（"i

=/俘）-，/仔）+，（力?

_

???4擊-__t.rcta-yTTT?一1Q.?,2?,x■-

9j1+工+y2，工2十丁

=>/J+

22

70.J6+y?（14-x4-y）

{工'+y?（14-x24->2）

71.

令e'iny=u,3x2y=則有z=

利用微分的不變性得.

z/

dz=/-(tt.v)da+/V(u?v)dv

z#，t

=/.d(esin>)+f9dl3xy)

=’.'esinycLr+e'cosydy)+fJ(6j：ydx4-3x2dy)

=(e'siny/.'+SxyfJ)dr+(e'cosy/V+3z*八')dy.

令v'siny=”,3]2丁=v,則有z=/(u,v).

利用微分的不變性得.

dz=f/(UfV)du+/p*(u?v)dv

2

=，?'d(e'siny)+ft,d(3xy')

2

=//(e'sinycLr+bcosydy)+fv\6j：ydx4-3xdy)

=(e^sinj/./+6xyf/)dz+(ezcosyf/+3x2fJ)dy.

由盟意?知P(J)=y.Q(r>=F?

?,?該微分方程的通解.v=:+「

72.

由盟意?知PG)

??.e拄'=e升山二c<a

???該微分方程的通解N

等式兩邊從0到1積分得

[/(x)d,r=JJ-(1-y(j->dx.

即「八"dr=21/(1-4L

故八工)7(1一?2+￡?

73.

等式兩邊從。到1積分得

[/(x)dj-=Jx(1+/(j-)dx.

即[/(j-)dx=21,(1_.),d_r

上一二寸―東

故/⑺=X(1-J-)J+^.

74.

該題屬于了…=/(4型的微分方程?可通過連續(xù)積分求得通解?

對/=/+1兩邊積分?得y*=J，+i+G.將初始條件/(0)-1代人?得3=

1?即

y—yx1+1+1?

兩邊再積分?得+4尸+/+G?將/(0)=0代人?得Ci-0.EP

OC

?11119J

y=R+/+i?

兩邊再積分?得y-+：/+a?將w°)=2代入?得g=2.

故所求特解為

該超屬于9“=/(上)型的微分方程?可通過連續(xù)枳分求得通解.

對y?=z+i兩邊積分?得y"=)，+i+c?將初始條件y”⑹=1代入?得q=

1?即

兩邊再枳分,得＞'=-j-x1+*z+*+G.將y'(0)=0代人?陽C,R。,即

?1??1?a

y=r+彳”+上?

兩邊再積分?得y=%+?將蟲。)=2代人?得C,-2

故所求特解為

V=呆,+*+，+2.

4404

令一/=人則當(dāng)1-8時?有，，3?所以

與原方程對應(yīng)的齊次線性方程為

S-2y-3>=0.

特征方程為^-2r-3

故

y=Ge'+Ge”

為齊次線性方程的通解.

而e’中的人—1為單一特征根，故可設(shè)

的一個特解.于是有

3)'=A「一ArL.3)*=一Ae-，一+Arer.

Are'-2Ae'-2(A「-Are')-3Arer

于是由4A=1,知

>*—2y_3y二『

的一個特解.因此原方程的通解為

y-Cb+C*，-fe-（C,C為任意常數(shù)）.

4

與原方程對應(yīng)的齊次線性方程為

y1—2y-3y=0?

特征方程為--2r-3=0?

故

r1=-1.rt=3?

于是

y=Ger+Ge”

為齊次線性方程的通解.

而e'中的4―1為單一特征根?故可設(shè)

y?=j-Ae*

為

y"_2y_3y=e*

的一個特解.于是有

(>,)*=Ae-*-Are'*.(>*)*=-Ae-z-Ae-z+Are

知

Are'—2Ae'J-2(-Are,)-3Are~*=c-#.

即

-\AeJ=cS

于是由-4A=】，知A——

所以

的一個特解.因此原方程的通解為

y-Cb+C*，-fe-（C,C為任意常數(shù)）.

4

原式=/jjn.rdr

2ln2—jdj=2ln2----j-x'

=21n2-1

78.

原式=yjln.rd.r-

=*?川：7卜.興

=2ln2—[jdx=2ln2----

2Ji4?

=21n2-4-

4

79.

該題若求出導(dǎo)函數(shù)后再將工=0代人計算比較麻煩,下面利用導(dǎo)數(shù)定義計算.

/<0)=lim浮4rlim士=lim'聆叵=1.

，一°/一。-oJ*J-o\1—smx

該題若求出導(dǎo)函數(shù)后再將x=0代人計算比較麻煩,下面利用導(dǎo)數(shù)定義計算.

r<0)=lim4rHm±=lim'層匹二1.

，-ox—u—oix-ov14-sinx

far令

S=4-2x=0,2

必,解得「二：即駐點(diǎn)W(2.-2).在點(diǎn)M處有

豹-4-2y±0,"2,

.4=-2,8=0,C=-2.?2-4C=-4<0.4=-2<0.

所以f(2,-2)=8為極大值.

?(才)在/=a處連續(xù)?于是linw(")=K(a).

r??

利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)定義?知

lim1)二1SQ=Jim(.?二，).二°=limg(x)=g(a)存在.

—x-aJ??JC-a-

81.故/(/)在1=。處可存Fl/(。)二”(a).

?(I)在z=a處連續(xù).于是lin)g(/)=M(a).

r??

利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)定義,知

[im〃才)---="'S'r)---------------------------=limg(x)=g(a)存在，

L?x-at?)(i—a

故/(x)在i=以處可導(dǎo)且/'(a)=*(〃).

令力jr+1—“?即/=-i-Cu1-1).dr=?于是

|xYJZX4-lir=J-(u*—1)u?-u:du

―刃/-u')du=/:-+C

82.性/⑶+1，Y<21+l，+C.

令力工+1="?即/=—(u*—1).dj-=-1-u'dw.于是

|x-2]十】dr=J-1-(u，-DM?^u'du

■斗“―知T4+c

的/(2"+1。一《⑵?+1H+C

?-竽叱±

=e,?</,—1-7

limz

=e*-°4=e0=1.

84.

令e-='sinr,則z=-Insin/.dr——?且當(dāng)*=0時，=1;當(dāng)/=In2

sin/i

時/L卷?于是

o

f/I—e〃d*=f*co^(~cos/)d/=-1--^dz

J?J十sin/Jfsin/

=-f*--+[*sinrdz

JfsmzJf

--「ln(esc/-cot,)]：一§

=-ln(2-\/3)一亨.

4

令e—=sinr?則/=-Insin/.<lrrr-d/.且當(dāng)*=0時，=?當(dāng)1=In2

sinztf

時〃一夫于是

0

[—e"d"=fco*/(—)dr=—「安」出

JoJfsinrjfsin/

=-f0-+1sinzdr

Jfsin/Jf

=—fInfesc/-cot/)]^一暮

=-ln(2-G)一

z

|Jxsinj-d.r=Jxzd(-COST)

:

=-Jr*COST+Jcosjd.r

e

=-jrCOSJ-+J2xcosxdx

:

=-jrcosu,+2jjrdsinx

:

=-Jrcosx+2zsinz-zjsinxdj-

2

85.=-JvCOST+2xsinj-+2cos/+C.

|Jxzsinj*d.r=[z2d(-COST)

=-x2cosx+Jcosj-cLr:

=-x2cojkr+J2xcosxdx

.

=-J-2COM*4-2jdsinj

?

=-JT:cosx+2xsinx-2siorcLr

=-x2cosx+2;rsinx+2cosz+C.

P=?Q=/外-

由枳分與路徑無關(guān),得

以一北.

dxdy

即

（/（X）—“"-3抨(*)或/(幻一3中(1)

得

3（彳）-小田工>3+3

=b"[卜ed<Lr+C]