湘教版七年級數(shù)學上冊專項素養(yǎng)鞏固訓練卷(十)四種數(shù)學思想在線段和角度計算中的應用課件

專項素養(yǎng)鞏固訓練卷(十)四種數(shù)學思想在線段和角度計算中的應用(練方法)類型一分類討論思想1.(★★☆)如圖,已知數(shù)軸上三點A,O,B表示的數(shù)分別為6,0,-4,動點P從點A出發(fā),

以每秒6個單位的速度沿數(shù)軸向左勻速運動.

(1)當點P到點A的距離與點P到點B的距離相等時,點P在數(shù)軸上表示的數(shù)是

.(2)另一動點R從點B出發(fā),以每秒4個單位的速度沿數(shù)軸向左勻速運動,若點P、R

同時出發(fā),則點P運動多長時間追上點R?(3)若M為AP的中點,N為PB的中點,點P在運動過程中,線段MN的長度是否發(fā)生變

化?若發(fā)生變化,請你說明理由;若不變,請你畫出圖形,并求出線段MN的長度.

第1題圖解析

(1)因為點A,B表示的數(shù)分別為6,-4,所以AB=10,因為PA=PB,點P在數(shù)軸上,所以PA=PB=5,所以點P表示的數(shù)是6-5=1.(2)設點P運動x秒后追上點R,則6x-4x=10,解得x=5,所以點P運動5秒后追上點R.(3)線段MN的長度不發(fā)生變化.易知分兩種情況:點P在A、B之間運動時,如圖,

MN=MP+NP=

AP+

BP=

(AP+BP)=

AB=5;點P運動到點B左側時,如圖,

MN=MP-NP=

AP-

BP=

(AP-BP)=

AB=5.綜上所述,線段MN的長度不發(fā)生變化,其長度為5.歸納總結對于動點問題,一般用點運動的速度乘運動時間等于運動的路程

來表示線段的長度.2.(2024河南鄭州期末,25,★★☆)已知:如圖①,點A、O、B在直線MN上,現(xiàn)將射

線OA繞點O沿順時針方向以每秒2°的速度旋轉,同時射線OB繞點O沿逆時針方

向以每秒4°的速度旋轉,如圖②,設旋轉時間為t秒(0≤t≤90).(1)用含t的代數(shù)式表示∠MOA和∠NOB的度數(shù).(2)在運動過程中,當∠AOB第二次達到60°時,求t的值.(3)在旋轉過程中是否存在這樣的t,使得射線OB是由射線OM、射線OA、射線

ON中的兩條組成的角(指大于0°而不超過180°的角)的平分線?如果存在,請直接

寫出t的值;如果不存在,請說明理由.

①②

第2題圖解析

(1)∠MOA=2t°,當0≤t≤45時,∠NOB=4t°,當45<t≤90時,∠NOB=360°-4t°=(360-4t)°.(2)如圖:

根據(jù)題意知∠AOM=2t°,∠BON=4t°,當∠AOB第二次達到60°時,∠AOM+∠BON-∠MON=60°,即2t+4t-180=60,解得t=40,故當t=40時,∠AOB第二次達到60°.(3)存在.射線OB是由射線OM、射線OA、射線ON中的兩條組成的角的平分線,

分以下三種情況:①OB平分∠AOM時,有

∠AOM=∠BOM,所以t=180-4t,解得t=36;②OB平分∠MON時,有∠BOM=

∠MON,所以∠BOM=90°,所以4t=90或4t-180=90,解得t=22.5或t=67.5;③OB平分∠AON時,有∠BON=

∠AON,所以4t=

(180-2t),解得t=18.綜上,當t的值為18、22.5、36或67.5時,射線OB是由射線OM、射線OA、射線ON

中的兩條組成的角的平分線.類型二方程思想3.(2024吉林四平鐵西期末,19,★☆☆)已知一個角的余角比它的補角的

還少5°,求這個角的度數(shù).解析設這個角的度數(shù)是x°,則90-x=

(180-x)-5,解得x=27.故這個角的度數(shù)是27°.4.(★★☆)如圖,C,D,E將線段AB分成2∶4∶4∶6四部分,M,P,Q,N分別是AC,CD,

DE,EB的中點,且MN=24,求線段PQ的長度.

第4題圖解析設AC=2x,則CD=DE=4x,BE=6x,因為M,N分別是AC,BE的中點,所以MC=

AC=x,EN=

EB=3x,因為MN=24,所以x+4x+4x+3x=24,解得x=2,所以CD=DE=4x=8,因為P,Q分別是CD,DE的中點,所以DP=

CD=4,DQ=

DE=4,所以PQ=DP+DQ=4+4=8.類型三整體思想5.(★★☆)如圖,O是直線AB上的一點,C是直線AB外的一點,OD是∠AOC的平分

線,OE是∠COB的平分線.

(1)已知∠1=23°,求∠2的度數(shù).(2)無論點C的位置如何改變,圖中是否存在一個角,它的大小始終不變(∠AOB除

外)?如果存在,求出這個角的度數(shù);如果不存在,請說明理由.

第5題圖解析

(1)因為OD是∠AOC的平分線,OE是∠COB的平分線,所以∠2=∠DOC,∠1=∠COE.因為∠AOC+∠COB=180°,所以∠2+∠COD+∠1+∠COE=2(∠1+∠2)=180°,所以∠1+∠2=90°.因為∠1=23°,所以∠2=67°.(2)存在,∠DOE的度數(shù)始終不變,為90°.因為OD是∠AOC的平分線,OE是∠COB的平分線,所以∠2=∠COD,∠1=∠COE.因為∠AOC+∠COB=180°,所以∠2+∠COD+∠1+∠COE=2(∠COD+∠COE)=180°,所以∠COD+∠COE=90°,即∠DOE=90°.類型四數(shù)形結合思想6.(2024湖北襄陽谷城期末,23,★★☆)如圖,已知點B在線段AC上,點D在線段AB

上.(1)如圖①,若AB=6cm,BC=4cm,D為線段AC的中點,求線段DB的長度.(2)如圖②,若BD=

AB=

CD,E為線段AB的中點,EC=12cm,求線段AC的長度.

第6題圖解析

(1)因為AC=AB+BC,AB=6cm,BC=4cm,所以AC=6+4=10(cm).因為D為線段AC的中點,所以DC=

AC=

×10=5(cm),所以DB=DC-BC=5-4=1(cm).(2)設BD=xcm,因為BD=

AB=

CD,所以AB=4BD=4xcm,CD=3BD=3xcm,因為CD=BD+BC,所以BC=CD-BD=3x-x=2x(cm),因為AC=AB+BC,所以AC=4x+2x=6x(cm),因為E為線段AB的中點,所以BE=

AB=

×4x=2x(cm),因為EC=BE+BC,所以EC=2x+2x=4x(cm),又因為EC=12cm,所以4x=12,解得x=3,所以AC=6x=6×3=18(cm).7.(★★☆)(1)如圖所示,線段AB=4,點O是線段AB上一點,C,D分別是線段OA,OB的中點,小

明很輕松地求得CD=2,小明是怎樣求出來的?(2)小明突發(fā)奇想:若點O運動到線段AB的延長線上,其他條件不變,原有的結論

“CD=2”是否仍然成立?請幫助小明畫出圖形并說明理由.

第7題圖解析

(1)因為C,D分別是線段OA,OB的中點,所以OC=

OA,OD=

OB,所以CD=OC+OD=

(OA+OB)=

AB=2.(2)當點O在線段AB的延長線上時,原有的結論“CD=2”仍然成立.理由如下:如圖所示,

因為C,D分別是線段OA,OB的中點,所以OC=

OA,OD=

OB,所以CD=OC-OD=

(OA-OB)=

AB=

×4=2.8.(2024廣東汕頭澄海期末,23,★★☆)如圖①,已知點O為直線AB上一點,∠COD

=90°,OE平分∠BOD.

(1)若∠COE=25°,則∠BOC的度數(shù)為

.(2)請判斷∠AOD與∠COE的數(shù)量關系,并說明理由.(3)在(2)的基礎上,如圖②,在∠AOD的內部作射線OF,使OF平分∠AOD,若∠BOC=3∠DOF,求∠DOE的度數(shù).

第8題圖解析

(1)因為∠COD=90°,∠COE=25°,所以∠DOE=90°-25°=65°,因為OE平分∠BOD,所以∠DOE=∠BOE=65°,所以∠BOC=∠BOE-∠COE=65°-25°=40°.故答案為40°.(2)∠AOD=2∠COE.理由如下:設∠COE=x,因為∠COD=90°,所以∠DOE=90°-x,因為OE平分∠BOD,所以∠BOD=2∠DOE=2(90°-x)=180°-2x,所以∠AOD=180°-∠BOD=180°-(180°-2x)=2x,所以∠AOD=2∠COE.(3)由(2)