專題11雙曲線（重難點(diǎn)突破）

專題11雙曲線考情分析考點(diǎn)梳理考點(diǎn)一雙曲線的定義平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離之差的絕對值等于非零常數(shù)(小于eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(F1F2)))的點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線．這兩個(gè)定點(diǎn)叫做雙曲線的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間的距離叫做雙曲線的焦距．集合P＝{Meq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(MF1))))－\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(MF2))))＝2a}，eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(F1F2))＝2c，其中a，c為常數(shù)，且a>0，c>0.(1)當(dāng)a＜c時(shí)，點(diǎn)P的軌跡是雙曲線；(2)當(dāng)a＝c時(shí)，點(diǎn)P的軌跡是兩條射線；(3)當(dāng)a＞c時(shí)，點(diǎn)P不存在．

考點(diǎn)二雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a＞0，b＞0)圖形性質(zhì)范圍x≥a或x≤－a，y∈Ry≤－a或y≥a，x∈R對稱性對稱軸：坐標(biāo)軸，對稱中心：原點(diǎn)頂點(diǎn)A1(－a,0)，A2(a,0)A1(0，－a)，A2(0，a)漸近線y＝±eq\f(b,a)xy＝±eq\f(a,b)x離心率e＝eq\f(c,a)，e∈(1，＋∞)a，b，c的關(guān)系c2＝a2＋b2實(shí)虛軸線段A1A2叫做雙曲線的實(shí)軸，它的長eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(A1A2))＝2a；線段B1B2叫做雙曲線的虛軸，它的長eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(B1B2))＝2b；a叫做雙曲線的實(shí)半軸長，b叫做雙曲線的虛半軸長重難點(diǎn)題型突破重難點(diǎn)題型突破一雙曲線的定義及其應(yīng)用例1．（1）、（2020·全國高二單元測試）如圖所示，已知定圓F1：x2＋y2＋10x＋24＝0，定圓F2：x2＋y2－10x＋9＝0，動圓M與定圓F1，F(xiàn)2都外切，求動圓圓心M的軌跡方程.【答案】.【分析】由題意可得|MF2|－|MF1|＝3＜10＝|F1F2|，利用雙曲線的定義即可求解.【詳解】圓F1：(x＋5)2＋y2＝1，圓心F1(－5,0)，半徑r1＝1.圓F2：(x－5)2＋y2＝42，圓心F2(5,0)，半徑r2＝4.設(shè)動圓M的半徑為R，則有|MF1|＝R＋1，|MF2|＝R＋4，∴|MF2|－|MF1|＝3＜10＝|F1F2|.∴點(diǎn)M的軌跡是以F1，F(xiàn)2為焦點(diǎn)的雙曲線的左支，且a＝，c＝5，于是b2＝c2－a2＝.故動圓圓心M的軌跡方程為.（2）、（2021·江西省萬載中學(xué)高二階段練習(xí)（理））若方程表示的圖形是雙曲線，則m的取值范圍是（

）A．m＞5 B．m＜－4 C．m＜－4或m＞5 D．－4＜m＜5【答案】D【解析】【分析】由方程表示雙曲線有，即可求參數(shù)范圍.【詳解】由題設(shè)，，可得.故選：D【變式訓(xùn)練11】、（2022·浙江紹興·模擬預(yù)測）已知圓的圓心為，過點(diǎn)的直線交圓于兩點(diǎn)，過點(diǎn)作的平行線，交直線于點(diǎn)，則點(diǎn)的軌跡是（

）A．圓 B．橢圓 C．雙曲線 D．拋物線【答案】C【解析】【分析】先利用線線平行、等腰三角形得到兩角相等及線段相等，再利用雙曲線的定義進(jìn)行證明.【詳解】將化為，即該圓的圓心為，半徑為，因?yàn)?，所以，又，所以，則，即，所以，所以點(diǎn)的軌跡是雙曲線.故選：C.【變式訓(xùn)練12】、（2022·湖北·房縣第一中學(xué)模擬預(yù)測）在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓：，點(diǎn)，是圓上任意一點(diǎn)，線段的垂直平分線與直線相交于點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)的軌跡為曲線，則曲線的方程為________.【答案】.【解析】【分析】根據(jù)圓的性質(zhì)，結(jié)合線段垂直平分線的性質(zhì)、雙曲線的定義進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)樵诰€段的垂直平分線上，所以，所以，由雙曲線的定義知點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)，為實(shí)軸長的雙曲線，則，，得，所以曲線的方程為，故答案為：重難點(diǎn)題型突破二雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程例2．（2022·青海·海南藏族自治州高級中學(xué)高二期末（文））求適合下列條件的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：(1)焦點(diǎn)坐標(biāo)為，且經(jīng)過點(diǎn)；(2)焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，經(jīng)過點(diǎn).【答案】(1)；(2).【解析】【分析】（1）利用雙曲線定義求出雙曲線的實(shí)軸長即可計(jì)算作答.（2）設(shè)出雙曲線的方程，利用待定系數(shù)法求解作答.(1)因雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，且經(jīng)過點(diǎn)，令雙曲線實(shí)半軸長為a，則有，解得，雙曲線半焦距，虛半軸長b有，所以所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.(2)依題意，設(shè)雙曲線的方程為：，于是得，解得：，所以所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.【變式訓(xùn)練21】、（2020·黑龍江·大興安嶺實(shí)驗(yàn)中學(xué)高二期中）求滿足下列條件的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：(1)焦點(diǎn)分別為，，且經(jīng)過點(diǎn)；(2)經(jīng)過點(diǎn)，；【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）設(shè)雙曲線的方程為，代入點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合，即得解；（2）設(shè)雙曲線的方程為，代入點(diǎn)坐標(biāo)，待定系數(shù)即得解(1)由題易知焦點(diǎn)在y軸上，設(shè)雙曲線的方程則解得：所以所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為(2)設(shè)雙曲線的方程為：代入點(diǎn)坐標(biāo)得到：解得：故雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：例3．（1）、（2022·江西上饒·高二期末（理））與雙曲線有相同的漸近線，且過點(diǎn)的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為___________.【答案】【解析】【分析】利用與雙曲線有相同的漸近線及點(diǎn)在雙曲線上即可求解.【詳解】由題意可知，設(shè)，因?yàn)樗箅p曲線過點(diǎn)，所以，解得.所以所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：.故答案為：.（2）、（2022·北京市十一學(xué)校高二期末）已知雙曲線的虛軸長為，離心率為，則其方程是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意，得到，結(jié)合，求得的值，即可求解.【詳解】由題意，雙曲線的虛軸長為，離心率為，可得，即，因?yàn)?，解得?所以曲線的方程為.故選：C.【變式訓(xùn)練31】、（2022·廣西梧州·高二期末（理））設(shè)雙曲線C：（，）的左焦點(diǎn)為F，直線過點(diǎn)F且與雙曲線C在第二象限的交點(diǎn)為P，，其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則雙曲線C的方程為（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】【分析】將左焦點(diǎn)坐標(biāo)代入中可求出，設(shè)右焦點(diǎn)為N，連接，，，則三角形為直角三角形，可得，，然后利用雙曲線的定義列方程可求出，從而可求出雙曲線的方程【詳解】設(shè)左焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為，由點(diǎn)F過直線，所以，解得，設(shè)右焦點(diǎn)為N，連接，，.由，故三角形為直角三角形，即,又因?yàn)橹本€斜率為，設(shè)直線傾斜角為，則.又，則，，由雙曲線定義，則，所以，所以所以雙曲線C的方程為.故選：D.【變式訓(xùn)練32】、（2022·全國·高二課時(shí)練習(xí)）已知焦點(diǎn)?，雙曲線上的一點(diǎn)P到?的距離差的絕對值等于6，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為___________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)雙曲線的定義，結(jié)合焦點(diǎn)坐標(biāo)，即可求得，從而解得其標(biāo)準(zhǔn)方程.【詳解】因?yàn)殡p曲線的焦點(diǎn)為?，故可設(shè)其方程為，且，根據(jù)雙曲線的定義，由題可得：，即，故，則所求所曲線方程為：.故答案為：.重難點(diǎn)題型突破三雙曲線的幾何性質(zhì)及其應(yīng)用例4．（1）、（廣東省揭陽市20212022學(xué)年高二下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）設(shè)雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上，兩條漸近線方程為，則該雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】根據(jù)漸近線方程可得，然后由離心率公式可得.【詳解】由題知，所以.故選：D（2）、（2022·河南平頂山·高二期末（文））已知點(diǎn)是雙曲線右支上一點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，為虛軸的上端點(diǎn)，若為等腰直角三角形，點(diǎn)為直角頂點(diǎn)，則該雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】根據(jù)已知作出圖形，利用勾股定理及銳角三角函數(shù)求出點(diǎn)的坐標(biāo)，結(jié)合點(diǎn)在雙曲線上及雙曲線的離心率公式即可求解.【詳解】由題意可知，，如圖所示因?yàn)闉榈妊苯侨切?，點(diǎn)為直角頂點(diǎn)，所以,即，解得，在中，所以.因?yàn)辄c(diǎn)是雙曲線右支上一點(diǎn)，所以，解得，所以該雙曲線的離心率為.故選：A.（3）、（2022·廣東茂名·高二期中）（多選題）在平面直角坐標(biāo)系xoy中，已知雙曲線，則（

）A．實(shí)軸長為B．漸近線方程為C．離心率為2D．過雙曲線的右焦點(diǎn)且傾斜角為30°的直線交雙曲線于A，B兩點(diǎn)，則【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)雙曲線方程求出，然后逐個(gè)分析判斷即可【詳解】由，得，則，對于A，雙曲線的實(shí)軸長為，所以A錯(cuò)誤，對于B，由，得，所以漸近線方程為，所以B正確，對于C，雙曲線的離心率為，所以C錯(cuò)誤，對于D，雙曲線的右焦點(diǎn)為，則直線的方程為，設(shè)，將代入得，，所以，所以，所以D正確，故選：BD【變式訓(xùn)練41】、（2022·四川省資陽市雁江區(qū)伍隍中學(xué)高二階段練習(xí)（理））若雙曲線的焦距為，則_________【答案】2【解析】【分析】根據(jù)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程可知，再結(jié)合焦距為，即可求解.【詳解】因?yàn)殡p曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，所以，又焦距，所以，因?yàn)?，所以，故答案為?【變式訓(xùn)練42】、（2022·湖北·高二期末）（多選題）已知雙曲線的焦距為4，兩條漸近線的夾角為，則下列說法正確是（

）A．M的離心率為 B．M的標(biāo)準(zhǔn)方程為C．M的漸近線方程為 D．直線經(jīng)過M的一個(gè)焦點(diǎn)【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)題意，過一三象限的漸近線的斜率為或兩種情況，根據(jù)可求得雙曲線方程，再逐個(gè)辨析即可【詳解】根據(jù)題意雙曲線的焦距為4，兩條漸近線的夾角為，有，①，雙曲線的兩條漸近線的夾角為，則過一三象限的漸近線的斜率為或，即或，②聯(lián)立①②可得：，，或，，；因?yàn)?，所以，，，故雙曲線的方程為對A，則離心率為，故A正確.對B，雙曲線的方程為，故B錯(cuò)誤；對C，漸近線方程為，故C正確；對D，直線經(jīng)過M的一個(gè)焦點(diǎn)，所以D正確.故選：ACD【變式訓(xùn)練43】、（2022·福建廈門·高二期末）雙曲線的左焦點(diǎn)為，，過點(diǎn)A作C的漸近線的垂線，垂足為M．若，則C的離心率為______．【答案】2【解析】【分析】設(shè)，則，再根據(jù)與漸近線垂直可得的坐標(biāo)，進(jìn)而根據(jù)，利用正切值列式計(jì)算即可【詳解】由題意，設(shè)，因?yàn)椋瑒t.又與漸近線垂直，且，故，所以，故，即，又，所以，即，故，，即，故離心率故答案為：2重難點(diǎn)題型突破四直線與雙曲線的綜合應(yīng)用例5．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為、，雙曲線的右頂點(diǎn)在圓上，且．(1)求雙曲線的方程；(2)動直線與雙曲線恰有1個(gè)公共點(diǎn)，且與雙曲線的兩條漸近線分別交于點(diǎn)、，設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)．求證：的面積為定值．【答案】(1)(2)證明見解析【解析】【分析】（1）設(shè),通過,求解,通過在圓上,求解,得到雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.（2）當(dāng)動直線的斜率不存在時(shí),求解三角形的面積;當(dāng)動直線的斜率存在時(shí),且斜率,不妨設(shè)直線,聯(lián)立直線與雙曲線方程,求出,然后求解的坐標(biāo),求解,結(jié)合原點(diǎn)到直線的距離,求解的面積是為定值即可.(1)不妨設(shè),因?yàn)?從而故由,又因?yàn)?所以,又因?yàn)樵趫A上,所以所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：(2)設(shè)直線與軸交于點(diǎn)，雙曲線的漸近線方程為由于動直線與雙曲線恰有1個(gè)公共點(diǎn),且與雙曲線的兩條漸近線分別交于點(diǎn),當(dāng)動直線的斜率不存在時(shí),,，,當(dāng)動直線的斜率存在時(shí),且斜率,不妨設(shè)直線,故由依題意，且,化簡得,故由,同理可求,,所以又因?yàn)樵c(diǎn)到直線的距離,所以,又由所以,故的面積是為定值,定值為例6．（2022·黑龍江·哈爾濱三中模擬預(yù)測（文））已知橢圓的離心率為，雙曲線的離心率為，且.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過橢圓的右焦點(diǎn)且斜率為1的直線交橢圓于兩點(diǎn)（點(diǎn)在軸上方），線段的垂直平分線交直線于點(diǎn)，求以為直徑的圓的方程.【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）由題知，進(jìn)而結(jié)合題意，根據(jù)橢圓的離心率公式得，進(jìn)而得答案；（2）根據(jù)題意得直線方程為，進(jìn)而與橢圓聯(lián)立方程得，進(jìn)而得，再求解圓的方程即可.(1)解：雙曲線的離心率，，其中，所以橢圓方程為：(2)解：由題知，故直線方程為，聯(lián)立直線與橢圓方程得，，其中點(diǎn)為所以，垂直平分線為：以為直徑的圓的圓心為：，半徑為，以為直徑的圓的方程為：例7．（2022·安徽·合肥一六八中學(xué)模擬預(yù)測（理））已知圓M：上動點(diǎn)Q，若，線段QN的中垂線與直線QM交點(diǎn)為P．(1)求交點(diǎn)P的軌跡C方程；(2)若A，B分別軌C與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)，D為直線上一動點(diǎn)，DA，DB與曲線C的另一個(gè)交點(diǎn)分別是E、F、證明：直線EF過一定點(diǎn)．【答案】(1)(2)證明見解析【解析】【分析】（1）數(shù)形結(jié)合，由雙曲線定義可得；（2）設(shè)直線方程分別解得E、F的坐標(biāo)，然后可得直線EF方程，化簡可證.(1)由題知，所以由雙曲線定義可知點(diǎn)P的軌跡為雙曲線，其中，得曲線C的方程(2)設(shè)點(diǎn)由，設(shè)直線DA與曲線另一個(gè)交點(diǎn)為E，直線DB與曲線另一個(gè)交點(diǎn)為F（其中，，若等于，此時(shí)其中一條直線與其中一條漸近線平行，與曲線C只有一個(gè)交點(diǎn)．）由直線DA：代入曲線C：得得由即直線DB：代入曲線C：中將，得由即∴∴EF：即故直線恒過一定點(diǎn)例8．（2022·上海·模擬預(yù)測）設(shè)A、B是雙曲線上的兩點(diǎn)，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)．(1)求直線的方程；(2)若線段的垂直平分線與雙曲線相交于C、D兩點(diǎn)，則A、B、C、D四點(diǎn)是否共圓？判斷并說明理由．【答案】(1)(2)A、B、C、D四點(diǎn)共圓，理由見解析.【解析】【分析】（1）點(diǎn)差法求解中點(diǎn)弦的斜率及方程；（2）求出AB兩點(diǎn)坐標(biāo)，求出AB的垂直平分線，聯(lián)立后求出CD點(diǎn)的坐標(biāo)，得到CD的中點(diǎn)M的坐標(biāo)，計(jì)算得到，從而得到四點(diǎn)共圓.(1)設(shè)，顯然，由題意得：，兩式相減得：，即，因?yàn)辄c(diǎn)是線段的中點(diǎn)，所以，所以，即直線的斜率為1，所以直線的方程為，整理得：(2)聯(lián)立與，得到：，解得：，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，不妨設(shè)，直線AB的垂直平分線為，與聯(lián)立得：，解得：，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，不妨設(shè)，則CD的中點(diǎn)為，又，，，所以，故A、B、C、D四點(diǎn)共圓，圓心為，半徑為.例9．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知圓：，圓：，圓與圓、圓外切，(1)求圓心的軌跡方程(2)若過點(diǎn)且斜率的直線與交與兩點(diǎn)，線段的垂直平分線交軸與點(diǎn)，證明的值是定值.【答案】(1)(2)證明見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)圓C與圓A、圓B外切，得到<4，再利用雙曲線的定義求解；（2）設(shè)直線為，聯(lián)立，利用弦長公式求得，再根據(jù)線段MN的垂直平分線，得到點(diǎn)P的坐標(biāo)求解.(1)解：因?yàn)閳AC與圓A、圓B外切，設(shè)C點(diǎn)坐標(biāo)，圓C半徑為，則，，所以<4，所以點(diǎn)C的軌跡是雙曲線的一支，又，，，所以其軌跡方程為；(2)設(shè)直線為，聯(lián)立，消去y得：，所以，設(shè)MN中點(diǎn)坐標(biāo)為G，則，所以，，直線GP的方程為:，，所以，所以=1.課堂訓(xùn)練1．（2022·廣西·欽州一中高二期中（文））已知平面內(nèi)兩定點(diǎn)，，下列條件中滿足動點(diǎn)的軌跡為雙曲線的是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】【分析】由雙曲線的定義即可求解.【詳解】解：由題意，因?yàn)?，所以由雙曲線的定義知，當(dāng)時(shí)，動點(diǎn)的軌跡為雙曲線，故選：C.2．（2022·上海徐匯·高二期末）已知雙曲線經(jīng)過點(diǎn)，其漸近線方程為，則該雙曲線的方程為___________