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第24講新信息背景下的數(shù)列問(wèn)題方法總結(jié):解決此類(lèi)問(wèn)題的一些技巧:(1)此類(lèi)問(wèn)題在設(shè)立問(wèn)題中通常具有“環(huán)環(huán)相扣,層層遞進(jìn)”的特點(diǎn),第(1)問(wèn)讓你熟悉所創(chuàng)設(shè)的定義與背景,第(2),(3)問(wèn)便進(jìn)行進(jìn)一步的應(yīng)用,那么在解題的過(guò)程中要注意解決前面一問(wèn)中的過(guò)程與結(jié)論,因?yàn)檫@本身就是對(duì)“新信息”的詮釋與應(yīng)用。(2)盡管此類(lèi)題目與傳統(tǒng)的數(shù)列“求通項(xiàng),求和”的風(fēng)格不同,但其根基也是我們所學(xué)的一些基礎(chǔ)知識(shí)與方法。(3)在分類(lèi)討論時(shí)要遵循“先易后難”的原則,以相對(duì)簡(jiǎn)單的情況入手,可能在解決的過(guò)程中會(huì)發(fā)現(xiàn)復(fù)雜情況與該情況的聯(lián)系,或者發(fā)現(xiàn)一些通用的做法與思路,使得復(fù)雜情況也有章可循。典型例題:例1.(2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí))對(duì)于數(shù)列,規(guī)定數(shù)列△為數(shù)列的一階差分?jǐn)?shù)列,其中△;一般地,規(guī)定△為的階差分?jǐn)?shù)列,其中△△△,且,.(1)已知數(shù)列的通項(xiàng)公式.試證明△是等差數(shù)列;(2)若數(shù)列的首項(xiàng),且滿(mǎn)足△△,,求數(shù)列及的通項(xiàng)公式;(3)在(2)的條件下,判斷是否存在最小值,若存在求出其最小值,若不存在說(shuō)明理由.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2),(3)存在,28【解析】【分析】(1)根據(jù)定義可得,然后可證明;(2)由條件可得,然后可得,然后利用累加法可求出,然后可得答案;(3)令,然后利用函數(shù)的單調(diào)性可得答案.(1)證明:依題意,△,,△△,△,△是首項(xiàng)為1,公差為5的等差數(shù)列.(2)△△,,△△△,△,,,,當(dāng)時(shí),,,當(dāng)時(shí),也滿(mǎn)足上式,.(3),,令,則,則當(dāng)時(shí),函數(shù)單調(diào)遞減,當(dāng)時(shí),函數(shù)單調(diào)遞增,而,,即時(shí),存在最小值,其最小值為.例2.(2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí))已知數(shù)列的首項(xiàng),前項(xiàng)和為.設(shè)與是常數(shù),若對(duì)一切正整數(shù),均有成立,則稱(chēng)此數(shù)列為“”數(shù)列.(1)若等差數(shù)列是“”數(shù)列,求的值;(2)若數(shù)列是“”數(shù)列,且,求數(shù)列的通項(xiàng)公式.【答案】(1);(2).【解析】【分析】(1)根據(jù)定義得,化簡(jiǎn)得,進(jìn)而得出對(duì)一切正整數(shù)均成立,從而可求出的值;(2)由題可知,根據(jù)定義得,根據(jù)平方差公式化簡(jiǎn)得,求得,最后根據(jù),即可求出數(shù)列的通項(xiàng)公式.(1)解:因?yàn)榈炔顢?shù)列是“”數(shù)列,則,即,也即,此式對(duì)一切正整數(shù)均成立,若,則恒成立,故,而,這與是等差數(shù)列矛盾,所以.(此時(shí),任意首項(xiàng)為1的等差數(shù)列都是“1~1”數(shù)列)(2)解:因?yàn)閿?shù)列是“”數(shù)列,則,所以,而,,,,,,,,.例3.(2022·北京海淀·高三期末)已知行列的數(shù)表中,對(duì)任意的,,都有.若當(dāng)時(shí),總有,則稱(chēng)數(shù)表A為典型表,此時(shí)記.(1)若數(shù)表,,請(qǐng)直接寫(xiě)出B,C是否是典型表;(2)當(dāng)時(shí),是否存在典型表A使得,若存在,請(qǐng)寫(xiě)出一個(gè)A;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由;(3)求的最小值.【答案】(1)B不是典型表,C是典型表;(2)不存在;(3)為偶數(shù)時(shí),為奇數(shù)時(shí).【解析】【分析】(1)由題設(shè)典型表的定義,結(jié)合給定的數(shù)表判斷即可.(2)根據(jù)題設(shè)分析知:數(shù)值分配時(shí)有即可,結(jié)合典型表的定義及數(shù)表的對(duì)稱(chēng)性確定最小時(shí)在數(shù)表上的分布情況,即可判斷是否存在.(3)結(jié)合(2)的分析,討論為偶數(shù)、奇數(shù)情況下的最小值.(1)對(duì)于數(shù)表B有,而不成立,故數(shù)表B不是典型表;對(duì)于數(shù)表C,當(dāng)時(shí)總有成立,故數(shù)表C是典型表.(2)由題設(shè)知:當(dāng)要存在典型表A使得,則需.∵要使最小,即典型表A中的“1”最少,又時(shí)總有,∴讓盡量多的橫列和,故將表分成4個(gè)數(shù)表,對(duì)角的兩個(gè)數(shù)表數(shù)值相同,但上下、左右對(duì)稱(chēng)的數(shù)表數(shù)值不同,此時(shí)可保證最小.∴如典型表,有.∴不存在典型表A使得.(3)要使最小,需讓盡量多的橫列和或典型表中“1”盡量少,當(dāng)為偶數(shù)時(shí),由(2)知:;當(dāng)為奇數(shù)時(shí),在偶數(shù)的數(shù)表中間加一行一列,并在新增行列中添加個(gè)“1”,即可滿(mǎn)足典型數(shù)列,此時(shí);【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛:第二問(wèn),通過(guò),結(jié)合數(shù)表的對(duì)稱(chēng)性確定最小時(shí)的數(shù)值分布情況,即可判斷存在性,第三問(wèn),由第二問(wèn)情況歸納為偶數(shù)時(shí),進(jìn)而推廣到為奇數(shù)時(shí).例4.(2022·北京房山·高三期末)若數(shù)列滿(mǎn)足,則稱(chēng)為數(shù)列.記.(1)寫(xiě)出一個(gè)滿(mǎn)足,且的數(shù)列;(2)若,證明數(shù)列是遞減數(shù)列的充要條件是;(3)對(duì)任意給定的整數(shù),是否存在首項(xiàng)為的數(shù)列,使得?如果存在,寫(xiě)出一個(gè)滿(mǎn)足條件的數(shù)列;如果不存在,說(shuō)明理由.【答案】(1)(或)(2)證明見(jiàn)解析(3)不存在,理由見(jiàn)解析【解析】【分析】(1)根據(jù)與和可考慮寫(xiě)出交替的數(shù)列.(2)先證必要性,根據(jù)數(shù)列是遞減數(shù)列,可得,進(jìn)而求得.再證明充分性,因?yàn)椋?,再累加可得證明即可.(3)設(shè),則,再累加求得,再分析的奇偶,根據(jù)整除的性質(zhì),先假設(shè)存在再證明矛盾即可.(1)(或)(2)必要性:因?yàn)閿?shù)列是遞減數(shù)列,所以,所以是首項(xiàng)為,公差為的等差數(shù)列,所以;充分性:由于,,…,,所以,即,因?yàn)?,所以,所以?shù)列是遞減數(shù)列.綜上,結(jié)論得證.(3)令,則.因?yàn)?,,…?,所以因?yàn)?,所以為偶?shù),所以為偶數(shù).所以要使,必須使為偶數(shù),即整除,亦即或.當(dāng)時(shí),數(shù)列的項(xiàng)滿(mǎn)足,,時(shí),有,;當(dāng)時(shí),數(shù)列的項(xiàng)滿(mǎn)足,,,時(shí),有,.當(dāng),時(shí),不能被整除,所以對(duì)任意給定的整數(shù),不存在數(shù)列使得,.【點(diǎn)睛】在解數(shù)列新定義的問(wèn)題,需要根據(jù)題意去絕對(duì)值分析,并根據(jù)整除的性質(zhì)推理證明.例5.(2022·北京東城·高三期末)對(duì)于給定的正整數(shù)和實(shí)數(shù),若數(shù)列滿(mǎn)足如下兩個(gè)性質(zhì):①;②對(duì),,則稱(chēng)數(shù)列具有性質(zhì).(1)若數(shù)列具有性質(zhì),求數(shù)列的前項(xiàng)和;(2)對(duì)于給定的正奇數(shù),若數(shù)列同時(shí)具有性質(zhì)和,求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(3)若數(shù)列具有性質(zhì),求證:存在自然數(shù),對(duì)任意的正整數(shù),不等式均成立.【答案】(1)5(2)(3)證明見(jiàn)解析【解析】【分析】(1)根據(jù)題意得到當(dāng)為奇數(shù)時(shí),,當(dāng)為偶數(shù)時(shí),,從而;(2)根據(jù)題干條件得到,故為常數(shù)列,結(jié)合求出;(3)對(duì)要證明的不等式變形,構(gòu)造,研究其性質(zhì),證明出結(jié)論.(1)由題意得:,,則當(dāng)為奇數(shù)時(shí),,當(dāng)為偶數(shù)時(shí),,所以數(shù)列的前項(xiàng)和;(2)由題意得:,,對(duì)于給定的正奇數(shù),,對(duì),,則令,,得:,,綜上:為常數(shù)列,由可得:(3)要證,只需證,即證,令數(shù)列,由于具有性質(zhì),即,對(duì),,則,對(duì),,所以具有性質(zhì),令,設(shè)的最小值為,對(duì),令,,由于具有性質(zhì),則有,所以,所以,所以成立【點(diǎn)睛】本題數(shù)列不等式證明題目,要根據(jù)題干中條件對(duì)數(shù)列進(jìn)行變形,用到了構(gòu)造新數(shù)列,數(shù)論的基礎(chǔ)知識(shí),對(duì)學(xué)生的邏輯思維能力要求較高.例6.(2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí))設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為.若對(duì)任意正整數(shù),總存在正整數(shù),使得,則稱(chēng)是“數(shù)列”.(1)若數(shù)列的前n項(xiàng)和,證明:是“數(shù)列”;(2)設(shè)是等差數(shù)列,其首項(xiàng),公差.若是“數(shù)列”,求的值;【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【解析】【分析】(1)由,再根據(jù)數(shù)列是“數(shù)列”的概念即可證明結(jié)果.(2)依題意,,根據(jù)是“數(shù)列”,可知?jiǎng)t,可得,由此能求出的值,再進(jìn)行檢驗(yàn),即可求出結(jié)果.(1)解:因?yàn)?,?dāng)時(shí),,顯然滿(mǎn)足題意,當(dāng)時(shí),,(且)若,,所以,滿(mǎn)足題意,綜上,則為“H數(shù)列”;(2)解:由題意,,所以,所以又,若是“H數(shù)列”,則由得所以,因,則對(duì)任意的n為整數(shù),,則或,驗(yàn)證:時(shí),,因恒為偶數(shù),所以m恒為整數(shù),成立.時(shí),,不恒為整數(shù),不成立.綜上所述,.例7.(2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí))若實(shí)數(shù)數(shù)列滿(mǎn)足,則稱(chēng)數(shù)列為“P數(shù)列”.(1)若數(shù)列是P數(shù)列,且,,求,的值;(2)求證:若數(shù)列是P數(shù)列,則的項(xiàng)不可能全是正數(shù),也不可能全是負(fù)數(shù);(3)若數(shù)列是P數(shù)列,且中不含值為零的項(xiàng),記的前2025項(xiàng)中值為負(fù)數(shù)的項(xiàng)的個(gè)數(shù)為m,求m的所有可能取值.【答案】(1)(2)見(jiàn)解析(3)【解析】【分析】(1)推導(dǎo)出,,由此能求出,的值;(2)假設(shè)數(shù)列的項(xiàng)都是正數(shù),則,,與假設(shè)矛盾;假設(shè)數(shù)列的項(xiàng)都是負(fù)數(shù),則,與假設(shè)矛盾,由此能證明的項(xiàng)不可能全是正數(shù),也不可能全是負(fù)數(shù);(3)存在最小的正整數(shù)滿(mǎn)足,,數(shù)列是周期為9的數(shù)列,由此能求出結(jié)果.(1)解:因?yàn)槭菙?shù)列,且,所以,所以,所以,解得,所以;(2)證明:假設(shè)數(shù)列的項(xiàng)都是正數(shù),即,,,所以,,與假設(shè)矛盾,故數(shù)列的項(xiàng)不可能全是正數(shù),假設(shè)數(shù)列的項(xiàng)都是負(fù)數(shù),則,而,與假設(shè)矛盾,故數(shù)列的項(xiàng)不可能全是負(fù)數(shù),所以的項(xiàng)不可能全是正數(shù),也不可能全是負(fù)數(shù);(3)解:由(2)可知數(shù)列中項(xiàng)既有負(fù)數(shù)也有正數(shù),且最多連續(xù)兩項(xiàng)都是負(fù)數(shù),最多連續(xù)三項(xiàng)都是正數(shù).因此存在最小的正整數(shù)滿(mǎn)足,.設(shè),,則ak+2=b+a,ak+3=a,ak+4=-b,ak+5=b-a.a(chǎn)k+6故有ak=ak+9,即數(shù)列是周期為由上可知,ak+1,,ak+8這9項(xiàng)中,,ak+4為負(fù)數(shù),ak+5,a因?yàn)?025=9×225,所以當(dāng)k=1時(shí),m=225×3=675;當(dāng)2?k?5時(shí),,,,ak-1這k-1項(xiàng)中至多有一項(xiàng)為負(fù)數(shù),而且負(fù)數(shù)項(xiàng)只能是ak-1,記,ak+1,,a2025這2016-k項(xiàng)中負(fù)數(shù)項(xiàng)的個(gè)數(shù)為,當(dāng),3,4時(shí),若ak-1<0,則b=ak+1此時(shí)t=674,m=674+1=675;若ak-1>0,則b=a此時(shí)t=675,m=675,當(dāng)k=5時(shí),ak-1必須為負(fù)數(shù),t=674,m=675綜上可知的取值集合為.【點(diǎn)睛】本題考查了利用數(shù)列的遞推公式求數(shù)列中的項(xiàng),考查數(shù)列中的項(xiàng)不可能全是正數(shù),也不可能全是負(fù)數(shù)的證明,考查實(shí)數(shù)的集合的求法,難度較大,解題時(shí)要認(rèn)真審題,注意數(shù)列性質(zhì)的合理運(yùn)用.過(guò)關(guān)練習(xí):一、單選題1.(2022·山西運(yùn)城·高三期末(理))在正整數(shù)數(shù)列中,由1開(kāi)始依次按如下規(guī)則取該數(shù)列的項(xiàng):第一次取1;第二次取2個(gè)連續(xù)的偶數(shù)2,4;第三次取3個(gè)連續(xù)奇數(shù)5,7,9;第四次取4個(gè)連續(xù)的偶數(shù)10,12,14,16;第五次取5個(gè)連續(xù)的奇數(shù)17,19,21,23,25;按此規(guī)律取下去,得到一個(gè)數(shù)列1,2,4,5,7,9,10,12,14,16,17,19…,則這個(gè)數(shù)列中第2022個(gè)數(shù)是(
)A.3974 B.3976 C.3978 D.3980【答案】D【解析】【分析】由題意可得,找出取數(shù)的規(guī)律為:奇數(shù)次取奇數(shù)個(gè)奇數(shù),偶數(shù)次取偶數(shù)個(gè)偶數(shù),前次總共取的數(shù)各數(shù)量可以通過(guò)等差數(shù)列求和得到,且第次的最后一個(gè)數(shù)為,據(jù)此即可求解.【詳解】由題意可得,奇數(shù)次取奇數(shù)個(gè)奇數(shù),偶數(shù)次取偶數(shù)個(gè)偶數(shù),前次共取了個(gè)數(shù),且第次的最后一個(gè)數(shù)為,當(dāng)時(shí),,故到第63次取時(shí)取了63個(gè)奇數(shù),且前63次共取了2016個(gè)數(shù),即第2016個(gè)數(shù)為,∴時(shí),依次為3970,3972,3974,3976,3978,3980,...,∴第2022個(gè)數(shù)為3980.故選:D.2.(2022·河南駐馬店·高三期末(文))對(duì)于正整數(shù),設(shè)最接近的正整數(shù)為(如,),記,從全體正整數(shù)中除去所有,余下的正整數(shù)按從小到大的順序排列得到數(shù)列,則數(shù)列的前5項(xiàng)和為(
)A.55 B.65 C.70 D.75【答案】A【解析】【分析】依題意對(duì)于給定的,存在唯一確定的,使得.再對(duì)與分類(lèi)討論,即可得到,從得到求出數(shù)列的前5項(xiàng)和;【詳解】解:對(duì)于給定的,存在唯一確定的,使得.①當(dāng)時(shí),即,記,,此時(shí),即,;②當(dāng)時(shí),即,記,,此時(shí),即,.所以,恰好跳過(guò),即,故數(shù)列的前5項(xiàng)和為.故選:A3.(2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí))南宋數(shù)學(xué)家楊輝在《詳解九章算法》和《算法通變本末》中,提出了一些新的垛積公式,所討論的高階等差數(shù)到與一般的等差數(shù)列不同,前后兩項(xiàng)之差并不相等,但是逐項(xiàng)差數(shù)之差或者高次差成等差數(shù)列.如數(shù)列1,3,6,10,前后兩項(xiàng)之差組成新數(shù)列2,3,4,新數(shù)列2,3,4為等差數(shù)列、這樣的數(shù)列稱(chēng)為二階等差數(shù)列.現(xiàn)有二階等差數(shù)列,其前7項(xiàng)分別為2,3,5,8,12,17,23則該數(shù)列的第100項(xiàng)為(
)A.4862 B.4962 C.4852 D.4952【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意可得數(shù)列2,3,5,8,12,17,23,,滿(mǎn)足:,,從而利用累加法即可求出,進(jìn)一步即可得到的值.【詳解】2,3,5,8,12,17,23,后項(xiàng)減前項(xiàng)可得1,2,3,4,5,6,所以,所以.所以.故選:D4.(2022·浙江·高三專(zhuān)題練習(xí))意大利著名數(shù)學(xué)家斐波那契在研究兔子的繁殖問(wèn)題時(shí),發(fā)現(xiàn)有這樣的一列數(shù):1,1,2,3,5,8,…,該數(shù)列的特點(diǎn)是前兩個(gè)數(shù)均為1,從第三個(gè)數(shù)起,每一個(gè)數(shù)都等于它前面兩個(gè)數(shù)的和.人們把這樣的一列數(shù)所組成的數(shù)列稱(chēng)為“斐波那契數(shù)列”,數(shù)列的前項(xiàng)和為,則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是(
)A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】利用“斐波那契數(shù)列”的定義及數(shù)列的性質(zhì)對(duì)選項(xiàng)A、B、C、D逐一分析即可得答案.【詳解】解:對(duì)A:,故選項(xiàng)A正確;對(duì)B:由“斐波那契數(shù)列”的定義有,因?yàn)?,所以,故選項(xiàng)B正確;對(duì)C:由“斐波那契數(shù)列”的定義有,因?yàn)?,所以,故選項(xiàng)C正確;對(duì)D:,故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選:D.5.(2022·浙江杭州·高三期末)若數(shù)列滿(mǎn)足,則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是(
)A.存在數(shù)列使得對(duì)任意正整數(shù)p,q都滿(mǎn)足B.存在數(shù)列使得對(duì)任意正整數(shù)p,q都滿(mǎn)足C.存在數(shù)列使得對(duì)任意正整數(shù)p,q都滿(mǎn)足D.存在數(shù)列使得對(duì)任意正整數(shù)p,q部滿(mǎn)足【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意,找到合適的數(shù)列滿(mǎn)足遞推關(guān)系,或舉反例否定.對(duì)選項(xiàng),找到,且滿(mǎn)足題意;對(duì)選項(xiàng),找到,且滿(mǎn)足題意;對(duì)選項(xiàng),找到與題設(shè)矛盾;對(duì)選項(xiàng),找到滿(mǎn)足題意;【詳解】對(duì)選項(xiàng),令,且,則有:,故選項(xiàng)正確;對(duì)選項(xiàng),由,得:令,則當(dāng)時(shí),數(shù)列滿(mǎn)足題設(shè),所以B正確;對(duì)選項(xiàng),由,令,得,,,,令,得,,,則,,從而,與矛盾,所以錯(cuò)誤;對(duì)選項(xiàng),存在數(shù)列,比如,則有:,故選項(xiàng)正確;故選:【點(diǎn)睛】需要熟悉常見(jiàn)函數(shù)的運(yùn)算規(guī)則,比如對(duì)數(shù)運(yùn)算、指數(shù)運(yùn)算等,注意類(lèi)比常見(jiàn)函數(shù)的運(yùn)算性質(zhì),尋找恰當(dāng)?shù)臄?shù)列;否定命題,賦值舉反例,發(fā)現(xiàn)矛盾.6.(2022·浙江·高三學(xué)業(yè)考試)通過(guò)以下操作得到一系列數(shù)列:第1次,在2,3之間插入2與3的積6,得到數(shù)列2,6,3;第2次,在2,6,3每?jī)蓚€(gè)相鄰數(shù)之間插入它們的積,得到數(shù)列2,12,6,18,3;類(lèi)似地,第3次操作后,得到數(shù)列:2,24,12,72,6,108,18,54,3.按上述這樣操作11次后,得到的數(shù)列記為,則的值是(
)A.6 B.12 C.18 D.108【答案】A【解析】【分析】設(shè)數(shù)列經(jīng)過(guò)第次拓展后的項(xiàng)數(shù)為,因?yàn)閿?shù)列每一次拓展是在原數(shù)列的相鄰兩項(xiàng)中增加一項(xiàng),則經(jīng)過(guò)第次拓展后增加的項(xiàng)數(shù)為,從而可得,從而可求出,從而可知經(jīng)過(guò)11次拓展后在與6之間增加的數(shù)為,由此可得出經(jīng)過(guò)11次拓展后6所在的位置,即可得出答案.【詳解】解:設(shè)數(shù)列經(jīng)過(guò)第次拓展后的項(xiàng)數(shù)為,因?yàn)閿?shù)列每一次拓展是在原數(shù)列的相鄰兩項(xiàng)中增加一項(xiàng),則經(jīng)過(guò)第次拓展后增加的項(xiàng)數(shù)為,所以,即,即,所以數(shù)列是以為首項(xiàng),2為公比的等比數(shù)列,是以,所以,則經(jīng)過(guò)11次拓展后在與6之間增加的數(shù)為,所以經(jīng)過(guò)11次拓展后6所在的位置為第,所以.故選:A.7.(2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)(理))對(duì)于數(shù)列{an},若存在正整數(shù)k(k≥2),使得,,則稱(chēng)是數(shù)列{an}的“谷值”,k是數(shù)列{an}的“谷值點(diǎn)”.在數(shù)列{an}中,若an=,則數(shù)列{an}的“谷值點(diǎn)”為(
)A.2 B.7 C.2,7 D.2,3,7【答案】C【解析】【分析】由數(shù)列通項(xiàng)公式寫(xiě)出前n項(xiàng),結(jié)合數(shù)列“谷值點(diǎn)”的定義判斷{an}的“谷值點(diǎn)”.【詳解】由an=,則,,,當(dāng)n≥7,n∈N*時(shí)恒有>0,∴an==,此時(shí)數(shù)列{an}遞增,綜上,a2<a1,a2<a3,a7<a6,a7<a8,∴數(shù)列{an}的“谷值點(diǎn)”為2,7.故選:C.8.(2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí))已知數(shù)列的前項(xiàng)和為,且,,若,則稱(chēng)項(xiàng)為“和諧項(xiàng)",則數(shù)列的所有“和諧項(xiàng)”的平方和為(
)A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù),得到,兩式相減得到,從而得到數(shù)列的通項(xiàng)公式,根據(jù)“和諧項(xiàng)"的定義可得,再利用等比數(shù)列的前項(xiàng)和可得答案.【詳解】①,②,①②得,即,,,故,,所以數(shù)列的所有“和諧項(xiàng)”的平方和為.故選:D.二、多選題9.(2022·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè))觀(guān)察下面一組等式:記表示第i個(gè)等式中等號(hào)右邊第j個(gè)數(shù),如,,則(
)A. B.C. D.【答案】AD【解析】【分析】根據(jù)所給數(shù)據(jù),歸納總結(jié)可得第n行,規(guī)律為,逐一分析各個(gè)選項(xiàng),結(jié)合裂項(xiàng)相消求和法,即可得答案.【詳解】根據(jù)所給數(shù)據(jù),歸納總結(jié)可得第n行,等號(hào)右邊每一個(gè)式子,第一項(xiàng)為,最后一項(xiàng)均為,故B錯(cuò)誤;所以對(duì)于A:當(dāng)時(shí),等號(hào)右邊第一個(gè)數(shù)為1981,最后一個(gè)數(shù)為2069,所以2021在第45行內(nèi),故A正確;對(duì)于C:第n行,右邊第二項(xiàng)為,所以,所以,故C錯(cuò)誤;對(duì)于D:因?yàn)?,且,所以或或或,又,,,,所以,故D正確.故選:AD【點(diǎn)睛】解題的關(guān)鍵是根據(jù)所給圖示,歸納總結(jié)出第n行的規(guī)律,并結(jié)合不等式的性質(zhì),裂項(xiàng)相消求和法進(jìn)行計(jì)算,考查分析理解,計(jì)算求值的能力,屬中檔題.10.(2022·山東青島·高三期末)在數(shù)列中,若,(為常數(shù)),則稱(chēng)為“等方差數(shù)列”,p稱(chēng)為“公方差”,下列對(duì)“等方差數(shù)列”的判斷正確的是(
)A.是等方差數(shù)列B.若數(shù)列既是等方差數(shù)列,又是等差數(shù)列,該數(shù)列必為常數(shù)列C.正項(xiàng)等方差數(shù)列的首項(xiàng),且是等比數(shù)列,則D.若等方差數(shù)列的首項(xiàng)為2,公方差為2,若將,…這種順序排列的10個(gè)數(shù)作為某種密碼,則可以表示512種不同密碼【答案】ABD【解析】【分析】選項(xiàng)A.由題意可判斷;選項(xiàng)B.由題意有,分和兩種情況可判斷;選項(xiàng)C.當(dāng)時(shí)可判斷;選項(xiàng)D.由題意,,從而可判斷.【詳解】選項(xiàng)A.若,則,則,所以是等方差數(shù)列,故正確.選項(xiàng)B.由數(shù)列是等差數(shù)列,則由數(shù)列既是等方差數(shù)列,則,則即當(dāng)時(shí),數(shù)列為常數(shù)列當(dāng)時(shí),,結(jié)合,可得,所以數(shù)列為常數(shù)列故數(shù)列為常數(shù)列,所以選項(xiàng)B正確.選項(xiàng)C.由題意,則,由等比數(shù)列,則,即,解得或當(dāng)時(shí),,滿(mǎn)足題意,故選項(xiàng)C不正確.選項(xiàng)D.數(shù)列是首項(xiàng)為2,公方差為2的等方差數(shù)列,則由題意,所以中的每一項(xiàng),可能取正或負(fù),有2種取法.所以,…有種不同的排法結(jié)果;所以選項(xiàng)D正確故選:ABD11.(2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí))(多選題)對(duì)于數(shù)列,若存在正整數(shù),使得,,則稱(chēng)是數(shù)列的“谷值”,是數(shù)列的“谷值點(diǎn)”.在數(shù)列中,若,則數(shù)列的“谷值點(diǎn)”為(
)A.2 B.7 C.3 D.8【答案】AB【解析】【分析】結(jié)合“谷值”和“谷值點(diǎn)”定義,可依次求出前8項(xiàng),當(dāng)時(shí),結(jié)合對(duì)勾函數(shù)性質(zhì)可判斷,進(jìn)而判斷出“谷值點(diǎn)”.【詳解】因?yàn)?,所以,,,,,,,,?dāng),,,∴,此時(shí)數(shù)列單調(diào)遞增,,,,,所以數(shù)列的“谷值點(diǎn)”為2,7.故選:AB12.(2022·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè))記數(shù)列的前項(xiàng)和為,數(shù)列為,….其構(gòu)造方法是:首先給出,接著復(fù)制該項(xiàng)后,再添加其后繼數(shù),于是,得;然后再?gòu)?fù)制前面所有的項(xiàng),再添加的后繼數(shù)于是,得;接下來(lái)再?gòu)?fù)制前面所有的項(xiàng),再添加的后繼數(shù)于是,得前項(xiàng)為.如此繼續(xù)下去,則使不等式成立的的值不可能為(
)A. B. C. D.【答案】AB【解析】【分析】根據(jù)題意可得,然后采用錯(cuò)位相減法求得,進(jìn)而求得答案.【詳解】由的構(gòu)造方法﹐易知,,…,一般地﹐有,即數(shù)首次出現(xiàn)于第項(xiàng)﹐由的構(gòu)造方法知,數(shù)列的前各項(xiàng)中,恰有個(gè)個(gè)個(gè),…,個(gè),…,個(gè).所以,,①故,②根據(jù)式①②得,因?yàn)樗缘淖钚〉闹禐?故選:AB.13.(2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí))對(duì)于首項(xiàng)為負(fù)數(shù)的無(wú)窮等比數(shù)列,若對(duì)任意的n,,,則稱(chēng)為“M數(shù)列”;若對(duì)任意的,存在,使得,則稱(chēng)為“L數(shù)列”.若數(shù)列的公比為q,則(
)A.當(dāng)q<0時(shí),是“M數(shù)列”B.當(dāng)q<0時(shí),不是“L數(shù)列”C.當(dāng)q>0時(shí),為“L數(shù)列”,則一定為“M數(shù)列”D.當(dāng)q>0時(shí),為“M數(shù)列”,則一定為“L數(shù)列”【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)“M數(shù)列”和“L數(shù)列”的定義逐一對(duì)各選項(xiàng)分析判斷即可.【詳解】選項(xiàng)A,當(dāng)時(shí),取,則,不成立,這與對(duì)任意的n,,,相矛盾,故不是“M數(shù)列”,故A不正確;選項(xiàng)B,假設(shè)為“L數(shù)列”,則對(duì)任意的,存在,使得,由,得,所以,即,所以,但此時(shí),與對(duì)任意的,存在,使得相矛盾,所以假設(shè)不成立,所以當(dāng)q<0時(shí),不是“L數(shù)列”,故B正確;選項(xiàng)C,當(dāng)時(shí),為“L數(shù)列”,則對(duì)任意的,存在,使得,即,又,所以,所以,所以,而對(duì)任意的n,,,因?yàn)?,所以,,所以,即?duì)任意的n,,,所以為“M數(shù)列”,故C正確;選項(xiàng)D,當(dāng)q>0時(shí),為“M數(shù)列”,取,則不存在,使得成立,故不為“L數(shù)列”,故D不正確.故選:BC14.(2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí))設(shè)數(shù)列滿(mǎn)足,其中為實(shí)數(shù),數(shù)列的前n項(xiàng)和是,下列說(shuō)法不正確的是(
)A.當(dāng)時(shí),一定是遞減數(shù)列B.當(dāng)時(shí),不存在使是周期數(shù)列C.當(dāng)時(shí),D.當(dāng)時(shí),【答案】ACD【解析】【分析】當(dāng)時(shí),設(shè)單調(diào)遞增,由可得依次遞推可得可判斷A;求出,,因?yàn)?,若存在?shí)數(shù)使得則可判斷B,利用數(shù)學(xué)歸納法證明可判斷C和D;【詳解】對(duì)于A:當(dāng)時(shí),設(shè)單調(diào)遞增,因?yàn)椋?,,,依次?lèi)推可得,所以當(dāng)時(shí),一定是遞減數(shù)列,故選項(xiàng)A正確;對(duì)于B:當(dāng)時(shí),,,,由可得,設(shè),因?yàn)?,,由零點(diǎn)存在性定理可知存在常數(shù)使,則可得,,存在使是周期數(shù)列,故選項(xiàng)B不正確;對(duì)于C:當(dāng),,,假設(shè)當(dāng)時(shí),,則當(dāng)時(shí),,所以當(dāng)時(shí),成立,故選項(xiàng)C正確;對(duì)于D:①首先證明,時(shí),,:設(shè),,對(duì)用數(shù)學(xué)歸納法證明,,當(dāng)時(shí),,.假設(shè),,則,且,,.由數(shù)學(xué)歸納法知,對(duì)所有成立.∴當(dāng)c=時(shí),,,②再證明:≥1-:,當(dāng)c=時(shí),由得,∵,,∴,∴≤,∴≤≤≤…≤=,∴≥1-,③最后證明:,當(dāng)時(shí),結(jié)論成立,當(dāng)時(shí),∵,,,又∵,∴.故D正確.故選:ACD.【點(diǎn)睛】本題考查對(duì)數(shù)列和函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用,考查數(shù)學(xué)歸納法的使用,解題的過(guò)程中還需對(duì)式子進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆趴s,屬于難題.15.(2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí))Look—and—say數(shù)列是數(shù)學(xué)中的一種數(shù)列,它的名字就是它的推導(dǎo)方式:給定第一項(xiàng)之后,后一項(xiàng)是前一項(xiàng)的發(fā)音,例如第一項(xiàng)為3,第二項(xiàng)是讀前一個(gè)數(shù)“1個(gè)3”,記作13,第三項(xiàng)是讀前一個(gè)數(shù)“1個(gè)1,1個(gè)3”,記作1113,按此方法,第四項(xiàng)為3113,第五項(xiàng)為132113,….若Look—and—say數(shù)列第一項(xiàng)為11,依次取每一項(xiàng)的最右端兩個(gè)數(shù)組成新數(shù)列,則下列說(shuō)法正確的是(
)A.?dāng)?shù)列的第四項(xiàng)為111221B.?dāng)?shù)列中每項(xiàng)個(gè)位上的數(shù)字不都是1C.?dāng)?shù)列是等差數(shù)列D.?dāng)?shù)列前10項(xiàng)的和為160【答案】AD【解析】【分析】A.列舉前四項(xiàng)可得答案;B.根據(jù)數(shù)列中最后讀的數(shù)字是1可得答案;C.列舉前四項(xiàng)可得答案;D.列舉可得數(shù)列中數(shù)的規(guī)律,進(jìn)而可求和.【詳解】,,,,A正確;數(shù)列中最后讀的數(shù)字總是1,故數(shù)列中每項(xiàng)個(gè)位上的數(shù)字都是1,B錯(cuò)誤;數(shù)列:11,21,11,21,…,不是等差數(shù)列,C錯(cuò)誤;通過(guò)列舉發(fā)現(xiàn)數(shù)列的第一,三,五,七,九項(xiàng)都為11,第二,四,六,八,十項(xiàng)為21,故前10項(xiàng)的和為,D正確.故選:AD.三、雙空題16.(2022·福建泉州·模擬預(yù)測(cè))已知數(shù)列的通項(xiàng)公式是,記為在區(qū)間內(nèi)項(xiàng)的個(gè)數(shù),則___________,不等式成立的的最小值為_(kāi)__________.【答案】
12【解析】【分析】①根據(jù),得,代入即可得解;②根據(jù),得,對(duì)分奇偶討論即可得解.【詳解】令,得,當(dāng)為奇數(shù)時(shí),,當(dāng)為偶數(shù)時(shí),,所以.當(dāng)為奇數(shù)時(shí),,即,因?yàn)?,所以,即,因?yàn)闉槠鏀?shù),所以的最小值為13;當(dāng)為偶數(shù)時(shí),,因?yàn)?,所以,,所以的最小值?2.綜上所述,的最小值為12.故答案為:;12四、填空題17.(2022·廣東·模擬預(yù)測(cè))已知表示不小于x的最小整數(shù),表示不大于x的最大整數(shù),如,,數(shù)列滿(mǎn)足,且對(duì),有,若為遞增數(shù)列,則整數(shù)b的最小值為_(kāi)_____.【答案】0【解析】【分析】根據(jù)題意得,,有,進(jìn)而得,故,再根據(jù)分和討論求解得,進(jìn)而得答案.【詳解】解:∵數(shù)列滿(mǎn)足,且對(duì),有,∴,∵可得,∴,有,∴當(dāng)時(shí),,即,,∴,∴,∵為遞增數(shù)列,則,當(dāng)時(shí),,解得,當(dāng)時(shí),,即,解得:,∴,又,則,∴整數(shù)b的最小值為0.故答案為:18.(2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí))已知,函數(shù)在有極值,設(shè),其中為不大于的最大整數(shù),記數(shù)列的前項(xiàng)和為,則___________.【答案】615【解析】【分析】根據(jù)給定條件探求出,再借助的意義分析的前100項(xiàng)的各個(gè)值,再求和作答.【詳解】函數(shù),求導(dǎo)得:,因,函數(shù)在有極值,則存在,有,解得,于是得,即,而,因此,數(shù)列的前100項(xiàng)中有1個(gè)0,3個(gè)1,5個(gè)2,7個(gè)3,9個(gè)4,11個(gè)5,13個(gè)6,15個(gè)7,17個(gè)8,19個(gè)9,而,所以.故答案為:615【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛:涉及數(shù)列新定義問(wèn)題,關(guān)鍵是正確理解給出的定義,由給定的數(shù)列結(jié)合新定義探求數(shù)列的相關(guān)性質(zhì),并進(jìn)行合理的計(jì)算、分析、推理等方法綜合解決.19.(2022·江蘇海門(mén)·高三期末)數(shù)列:1,1,2,3,5,8,…,稱(chēng)為斐波那契數(shù)列,該數(shù)列是由意大利數(shù)學(xué)家菜昂納多·斐波那契(LeonardoFibonacci)從觀(guān)察兔子繁殖而引入,故又稱(chēng)為“兔子數(shù)列”.?dāng)?shù)學(xué)上,該數(shù)列可表述為,.對(duì)此數(shù)列有很多研究成果,如:該數(shù)列項(xiàng)的個(gè)位數(shù)是以60為周期變化的,通項(xiàng)公式等.借助數(shù)學(xué)家對(duì)人類(lèi)的此項(xiàng)貢獻(xiàn),我們不難得到,從而易得+++…+值的個(gè)位數(shù)為_(kāi)_________.【答案】4【解析】【分析】先根據(jù)將式子化簡(jiǎn),進(jìn)而根據(jù)該數(shù)列項(xiàng)的個(gè)位數(shù)是以60為周期變化求得答案.【詳解】因?yàn)?,所?又該數(shù)列項(xiàng)的個(gè)位數(shù)是以60為周期變化,所以的個(gè)位數(shù)字相同,的個(gè)位數(shù)字相同,易知,則,所以的個(gè)位數(shù)字為4.故答案為:4.20.(2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí))在數(shù)列中,,若(為常數(shù)),則稱(chēng)為“等差比數(shù)列”,下列是對(duì)“等差比數(shù)列”的判斷:①不可能為0;②等差數(shù)列一定是“等差比數(shù)列”;③等比數(shù)列一定是“等差比數(shù)列”;④“等差比數(shù)列”中可以有無(wú)數(shù)項(xiàng)為0.其中所有正確的序號(hào)是________.【答案】①④【解析】【分析】根據(jù)得到k不為0,①正確,考慮常數(shù)列得到②③錯(cuò)誤,數(shù)列0,1,0,1,…是等差比數(shù)列,得到④正確,得到答案.【詳解】由等差比數(shù)列的定義可知,,故,故k不為0,所以①正確;當(dāng)?shù)炔顢?shù)列的公差為0,即等差數(shù)列為常數(shù)列時(shí),等差數(shù)列不是等差比數(shù)列,所以②錯(cuò)誤;當(dāng)是等比數(shù)列,且公比q=1時(shí),不是等差比數(shù)列,所以③錯(cuò)誤;數(shù)列0,1,0,1,…是等差比數(shù)列,該數(shù)列中有無(wú)數(shù)多個(gè)0,所以④正確.故答案為:①④.21.(2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí))對(duì)任一實(shí)數(shù)序列A=(a1,a2,a3,…),定義新序列ΔA=(a2-a1,a3-a2,a4-a3,…),它的第n項(xiàng)為an+1-an.假定序列Δ(ΔA)的所有項(xiàng)都是1,且a12=a22=0,則a2=________.【答案】100【解析】【分析】結(jié)合新定義,令bn=an+1-an,由題可知{bn}為公差為1的等差數(shù)列,求得,列式得a1=a1,a2-a1=b1,…,an-an-1=bn-1,疊加得an=a1+b1+…+bn-1,結(jié)合等差數(shù)列前項(xiàng)和公式化簡(jiǎn)可得an=(n-1)a2-(n-2)a1+,令n=12,n=22解方程可求.【詳解】令bn=an+1-an,依題意知數(shù)列{bn}為等差數(shù)列,且公差為1,所以bn=b1+(n-1)×1,a1=a1,a2-a1=b1,a3-a2=b2,…an-an-1=bn-1,累加得an=a1+b1+…+bn-1=a1+(n-1)b1+,=(n-1)a2-(n-2)a1+,分別令n=12,n=22,得解得a1=,a2=100.故答案為:100五、解答題22.(2022·福建三明·高三期末)定義為數(shù)列的“勻稱(chēng)值”,若數(shù)列的“勻稱(chēng)值”為.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)設(shè),的前項(xiàng)和為,求.【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)由已知可得出,由可求得的值,由,可得出,兩式作差可得出的表達(dá)式,然后就是否滿(mǎn)足在時(shí)的表達(dá)式進(jìn)行檢驗(yàn),綜合可得出數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)求得數(shù)列的通項(xiàng)公式,利用分組求和法結(jié)合裂項(xiàng)相消法可求得的值.(1)解:因?yàn)?,所?當(dāng)時(shí),.當(dāng)時(shí),由得.上述兩個(gè)等式作差得,即,又因?yàn)闈M(mǎn)足,所以.(2)解:因?yàn)?,所?所以,所以.所以,即.23.(2022·北京通州·高三期末)已知數(shù)列滿(mǎn)足以下條件:①,且;②共有100項(xiàng),且各項(xiàng)互不相等.定義數(shù)列為數(shù)列的一個(gè)“10階連續(xù)子列”.(1)若的通項(xiàng)公式為,寫(xiě)出的一個(gè)“10階連續(xù)子列”,并求其各項(xiàng)和;(2)求證:對(duì)于每個(gè),都至少有一個(gè)10階連續(xù)子列的各項(xiàng)和不小于505;(3)若對(duì)于每個(gè),都至少有一個(gè)10階連續(xù)子列的各項(xiàng)和不小于正整數(shù),求的最大值.【答案】(1),其和為55(答案不唯一)(2)證明過(guò)程見(jiàn)解析(3)505【解析】【分析】(1)列舉出一個(gè)即可;(2)根據(jù)數(shù)列的總和為5050進(jìn)行證明;(3)反證法進(jìn)行證明,結(jié)合第二問(wèn)結(jié)論進(jìn)行求解.(1),各項(xiàng)和為(答案不唯一);(2)令,取,則,即,所以對(duì)于每個(gè),都至少有一個(gè)10階連續(xù)子列的各項(xiàng)和不小于505;(3)假設(shè),即對(duì)于任意的,存在,使得,考察數(shù)列:,其中各項(xiàng)滿(mǎn)足,,,于是有:,,當(dāng)為奇數(shù)時(shí),,當(dāng)為偶數(shù)時(shí),,即存在,,使得,這與假設(shè)矛盾,所以,結(jié)合第二問(wèn)結(jié)論可知:的最大值為505.【點(diǎn)睛】針對(duì)于定義新數(shù)列的題目,要結(jié)合題干中信息,選擇合適的方法進(jìn)行求解,常用到列舉法,反證法等方法.24.(2022·山東青島·高三期末)給定數(shù)列,若滿(mǎn)足,對(duì)于任意的,都有,則稱(chēng)為“指數(shù)型數(shù)列”.(1)已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為,證明:為“指數(shù)型數(shù)列”;(2)若數(shù)列滿(mǎn)足:;(I)判斷是否為“指數(shù)型數(shù)列”,若是給出證明,若不是說(shuō)明理由;(Ⅱ)若,求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)(I)是,證明見(jiàn)解析;(Ⅱ).【解析】【分析】(1)由新定義直接驗(yàn)證即可證明(2)(I)由題意可得,先求出的通項(xiàng)公式,再由新定義直接驗(yàn)證即可.(Ⅱ)由題意可得,由分組求和即可得出答案.(1)
為“指數(shù)型數(shù)列”(2)(I)將兩邊同除得:,是以為首項(xiàng),公比為的等比數(shù)列是“指數(shù)型數(shù)列”(Ⅱ)因?yàn)椋瑒t25.(2022·重慶·一模)學(xué)習(xí)資料:有一正項(xiàng)數(shù)列,若作商,則當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),.這是一種數(shù)列放縮的方法.現(xiàn)有一等差數(shù)列的前項(xiàng)和為的前項(xiàng)和為.(1)求;(2)求證:.【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析【解析】【分析】(1)設(shè)公差,根據(jù)可得首項(xiàng)和公差,利用等差數(shù)列前n項(xiàng)公式可得答案;(2)求出,計(jì)算出,根據(jù)單調(diào)性再計(jì)算出當(dāng)時(shí),可得,利用等比數(shù)列求和公式可得答案.(1)設(shè)公差,,解得,,.(2)(隨遞減),當(dāng)時(shí),,即(,僅時(shí)相等),(從開(kāi)始放縮),.26.(2022·江蘇蘇州·高三期末)若數(shù)列滿(mǎn)足(,是不等于的常數(shù))對(duì)任意恒成立,則稱(chēng)是周期為,周期公差為的“類(lèi)周期等差數(shù)列”.已知在數(shù)列中,,.(1)求證:是周期為的“類(lèi)周期等差數(shù)列”,并求的值;(2)若數(shù)列滿(mǎn)足,求的前項(xiàng)和.【答案】(1)證明見(jiàn)解析;;(2)【解析】【分析】(1)由,,相減得,即可得到答案;(2)對(duì)當(dāng)分為偶數(shù)和奇數(shù)進(jìn)行討論,進(jìn)行并求和,即可得到答案;(1)由,,相減得,所以周期為,周期公差為的“類(lèi)周期等差數(shù)列”,由,,得,所以.(2)由,,得,當(dāng)為偶數(shù)時(shí),;當(dāng)為奇數(shù)時(shí),.綜上所述,27.(2022·北京豐臺(tái)·高三期末)若有窮數(shù)列且滿(mǎn)足,則稱(chēng)為M數(shù)列.(1)判斷下列數(shù)列是否為M數(shù)列,并說(shuō)明理由;①1,2,4,3.②4,2,8,1.(2)已知M數(shù)列中各項(xiàng)互不相同.令,求證:數(shù)列是等差數(shù)列的充分必要條件是數(shù)列是常數(shù)列;(3)已知M數(shù)列是且個(gè)連續(xù)正整數(shù)的一個(gè)排列.若,求的所有取值.【答案】(1)①數(shù)列不是M數(shù)列;②數(shù)列是M數(shù)列;理由見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析(3)的所有取值為4或5【解析】【分析】(1)直接根據(jù)條件檢驗(yàn)即可;(2)先判斷必要性,若數(shù)列是等差數(shù)列,設(shè)公差為,可得數(shù)列是常數(shù)列.再判斷充分性,若數(shù)列是常數(shù)列,可得,進(jìn)而可得是等差數(shù)列;(3)先判斷不符合題意,,符合題意,進(jìn)而證明不符合題意,令,可得有三種可能:①;②;③.當(dāng),根據(jù)(2)的結(jié)論排除這3種可能性,則可得答案.(1)①因?yàn)?,所以該?shù)列不是M數(shù)列;②因?yàn)?,所以該?shù)列是M數(shù)列.(2)必要性:若數(shù)列是等差數(shù)列,設(shè)公差為,則.所以數(shù)列是常數(shù)列.充分性:若數(shù)列是常數(shù)列,則,即.所以或.因?yàn)閿?shù)列的各項(xiàng)互不相同,所以.所以數(shù)列是等差數(shù)列.(3)當(dāng)時(shí),因?yàn)?,所以,不符合題意;當(dāng)時(shí),數(shù)列為.此時(shí),符合題意;當(dāng)時(shí),數(shù)列為.此時(shí),符合題意;下證當(dāng)時(shí),不存在滿(mǎn)足題意.令,則,且,所以有以下三種可能:①;②;③.當(dāng)時(shí),因?yàn)?,由?)知:是公差為1(或?1)的等差數(shù)列.當(dāng)公差為1時(shí),由得或,所以或,與已知矛盾.當(dāng)公差為?1時(shí),同理得出與已知矛盾.所以當(dāng)時(shí),不存在滿(mǎn)足題意.其它情況同理可得.綜上可知,的所有取值為4或5.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛:1、對(duì)于數(shù)列種的新定義問(wèn)題,一定要理解新數(shù)列的性質(zhì)后才能解題,充分利用新數(shù)列的定義去解答問(wèn)題.2、對(duì)于第三問(wèn),可能的取值必然不多,那么可以通過(guò)嘗試取值,然后找到規(guī)律和方法來(lái)解決問(wèn)題.28.(2022·北京·高三期末)已知數(shù)列,其中,且.若數(shù)列滿(mǎn)足,,當(dāng)時(shí),或,則稱(chēng)為數(shù)列A的“緊數(shù)列”.例如,數(shù)列A:2,4,6,8的所有“緊數(shù)列”為2,3,5,8;2,3,7,8;2,5,5,8;2,5,7,8.(1)直接寫(xiě)出數(shù)列A:1,3,6,7,8的所有“緊數(shù)列”;(2)已知數(shù)列A滿(mǎn)足:,,若數(shù)列A的所有“緊數(shù)列”均為遞增數(shù)列,求證:所有符合條件的數(shù)列A的個(gè)數(shù)為;(3)已知數(shù)列A滿(mǎn)足:,,對(duì)于數(shù)列A的一個(gè)“緊數(shù)列”,定義集合,如果對(duì)任意,都有,那么稱(chēng)為數(shù)列A的“強(qiáng)緊數(shù)列”.若數(shù)列A存在“強(qiáng)緊數(shù)列”,求的最小值.(用關(guān)于N的代數(shù)式表示)【答案】(1);;;(2)證明見(jiàn)解析(3)【解析】【分析】(1)利用“緊數(shù)列”的定義求解;(2)由均為遞增數(shù)列,得到,進(jìn)而轉(zhuǎn)化為證明:①,②,③,④即可;(3)記,且根據(jù)“強(qiáng)緊數(shù)列”的定義求解.(1)解:;;;.(2)依題意,對(duì)任意,有或,或,因?yàn)榫鶠檫f增數(shù)列,所以有,即同時(shí)滿(mǎn)足:①,②,③,④.因?yàn)闉檫f增數(shù)列,因此①和②恒成立.又因?yàn)闉檎麛?shù)數(shù)列,對(duì)于③,也恒成立.對(duì)于④,一方面,由,得,即.另一方面,,所以,即從第項(xiàng)到第項(xiàng)是連續(xù)的正整數(shù),所以,,因此,故共有種不同取值,即所有符合條件的數(shù)列共有個(gè).(3)記,依題意,對(duì)任意,有或,注意到,即對(duì)任意,有,若,則,即;若,則,即,即對(duì)任意,或者,或者.所以,所以不能成立.記,,則,且.注意到:若存在且,即,則.否則,若,則,不合題意.因此集合有以
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