廣東省佛山市順德區(qū)德勝學(xué)校2022-2023學(xué)年高二上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題

廣東順德德勝學(xué)校20222023學(xué)年第一學(xué)期高二年級(jí)數(shù)學(xué)試卷一?單選題（本大題共8小題，共40.0分.在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng)）1.在空間直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，，則，兩點(diǎn)間的距離是（）A.5 B.6 C.7 D.8【答案】C【解析】【分析】根據(jù)空間兩點(diǎn)之間的距離公式:,將，兩點(diǎn)代入,即可求得,兩點(diǎn)間的距離.【詳解】，==故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查的是兩點(diǎn)之間的距離,掌握兩點(diǎn)之間的距離公式是解本題的關(guān)鍵.2.過點(diǎn)，且與直線平行的直線方程（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】由題意，可設(shè)直線方程為，代入點(diǎn)，可得解【詳解】由題意，設(shè)直線方程為代入點(diǎn)可得故直線方程為：故選：A【點(diǎn)睛】本題考查了與已知直線平行的直線方程求解，考查了學(xué)生概念理解，數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題3.已知，，則在上的投影向量為（）A.1 B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意得，進(jìn)而根據(jù)投影向量的概念求解即可.【詳解】解：因?yàn)?，，所以，所以，所以在上的投影向量為故選：C4.已知甲，乙，丙三人去參加某公司面試，他們被該公司錄取的概率分別是，且三人的錄取結(jié)果相互之間沒有影響，則他們?nèi)酥兄辽儆幸蝗吮讳浫〉母怕蕿椋ǎ〢. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)相互獨(dú)立事件的概率乘法公式可先求三人都沒有被錄取的概率，再由對(duì)立事件的概率求至少一個(gè)被錄取的概率.【詳解】因?yàn)榧祝?，丙三人被該公司錄取的概率分別是，且三人錄取結(jié)果相互之間沒有影響，所以他們?nèi)硕紱]有被錄取的概率為，故他們?nèi)酥兄辽儆幸蝗吮讳浫〉母怕蕿?故選:D5.以為頂點(diǎn)的三角形是（）A.銳角三角形 B.以為直角頂點(diǎn)的直角三角形C.以為直角頂點(diǎn)的直角三角形 D.鈍角三角形【答案】C【解析】【分析】根據(jù)向量的模的關(guān)系即可確定三角形的形狀.詳解】，，，，滿足,且，所以是以為直角頂點(diǎn)的直角三角形.故選：C6.從裝有大小和形狀完全相同的個(gè)紅球和個(gè)白球的口袋內(nèi)任取兩個(gè)球，下列各對(duì)事件中，互斥而不對(duì)立的是（）A.“至少一個(gè)白球”和“都是紅球”B.“至少一個(gè)白球”和“至少一個(gè)紅球”C.“恰有一個(gè)白球”和“恰有一個(gè)紅球”D.“恰有一個(gè)白球”和“都是紅球”【答案】D【解析】【分析】根據(jù)互斥事件與對(duì)立事件的概念依次判斷各個(gè)選項(xiàng)即可得到結(jié)果.【詳解】A選項(xiàng)中“至少一個(gè)白球”和“都是紅球”二者是互斥事件，同時(shí)二者必發(fā)生其一，是對(duì)立事件，A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)中“至少一個(gè)白球”和“至少一個(gè)紅球”有可能都表示一個(gè)白球，一個(gè)紅球，不是互斥事件，B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)中“恰有一個(gè)白球”和“恰有一個(gè)紅球”有可能都表示一個(gè)白球，一個(gè)紅球，不是互斥事件，C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)中“恰有一個(gè)白球”和“都是紅球”不可能同時(shí)發(fā)生，是互斥事件，又由于兩個(gè)事件之外還有“都是白球”事件，故不是對(duì)立事件，D正確.故選：D.7.數(shù)學(xué)家歐拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直線上，且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半.這條直線被后人稱為三角形的歐拉線，已知△的頂點(diǎn)，，且，則△的歐拉線的方程為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由題設(shè)條件求出垂直平分線的方程，且△的外心、重心、垂心都在垂直平分線上，結(jié)合歐拉線的定義，即垂直平分線即為歐拉線.【詳解】由題設(shè)，可得，且中點(diǎn)為，∴垂直平分線的斜率，故垂直平分線方程為，∵，則△的外心、重心、垂心都在垂直平分線上，∴△的歐拉線的方程為.故選：D8.在正四面體中，點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)（不含端點(diǎn)）.設(shè)與平面所成角為，與平面所成角為，與平面所成角為，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】設(shè)，，，，，，然后算出，，即可.【詳解】不妨設(shè)，，，，，所以，所以所以設(shè)平面的法向量為則有，即，即所以可取所以，同理可得，因?yàn)椋裕?，故選：D二?多選題（本大題共4小題，共20.0分.在每小題有多項(xiàng)符合題目要求）9.已知直線的一個(gè)方向向量為，且經(jīng)過點(diǎn)，則下列結(jié)論中正確的是（）A.的傾斜角等于 B.在軸上的截距等于C.與直線垂直 D.與直線平行【答案】CD【解析】【分析】根據(jù)題意求出直線的方程，然后逐個(gè)分析判斷即可.【詳解】因?yàn)橹本€的一個(gè)方向向量為，所以直線的斜率為，因?yàn)橹本€經(jīng)過點(diǎn)，所以直線的方程為，即對(duì)于A，設(shè)直線的傾斜角為，則，因?yàn)?，所以，所以A錯(cuò)誤，對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，，得，所以直線在軸上的截距等于，所以B錯(cuò)誤，對(duì)于C，因?yàn)橹本€的斜率為，且，所以直線與直線垂直，所以C正確，對(duì)于D，因?yàn)橹本€的斜率為，且在軸上的截距為，而直線的斜率為，且在軸上的截距為，所以直線與直線平行，所以D正確，故選：CD10.下列利用方向向量、法向量判斷線、面位置關(guān)系的結(jié)論中，正確的是（）A.兩條不重合直線l1，l2的方向向量分別是，則B.直線l的方向向量，平面的法向量是，則C.兩個(gè)不同的平面的法向量分別是，則D.直線的方向向量，平面的法向量是，則【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)條件結(jié)合空間向量的平行和垂直，對(duì)各選項(xiàng)逐項(xiàng)判斷即可．【詳解】對(duì)于A，兩條不重合直線l1，l2的方向向量分別是，且，所以，選項(xiàng)A正確∶對(duì)于B，直線l的方向向量，平面的法向量是且，所以或，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對(duì)于C，兩個(gè)不同的平面的法向量分別是，且，所以，選項(xiàng)C正確；對(duì)于D，直線l的方向向量，平面a的法向量是且，所以，選項(xiàng)D錯(cuò)誤．故選∶AC11.某學(xué)校為調(diào)查學(xué)生迷戀電子游戲情況，設(shè)計(jì)如下調(diào)查方案，每個(gè)被調(diào)查者先投擲一枚骰子，若出現(xiàn)向上的點(diǎn)數(shù)為3的倍數(shù)，則如實(shí)回答問題“投擲點(diǎn)數(shù)是不是奇數(shù)?”，反之，如實(shí)回答問題“你是不是迷戀電子游戲?”．已知被調(diào)查的150名學(xué)生中，共有30人回答“是”，則下列結(jié)論正確的是（）A.這150名學(xué)生中，約有50人回答問題“投擲點(diǎn)數(shù)是不是奇數(shù)?”B這150名學(xué)生中，必有5人迷戀電子游戲C.該校約有5%的學(xué)生迷戀電子游戲D.該校約有2%的學(xué)生迷戀電子游戲【答案】AC【解析】【分析】先由題意計(jì)算出回答問題一人數(shù)50人，再計(jì)算出回答問題一“是”的人數(shù)25人，故可得到回答問題二“是”的人數(shù)5人,最后逐一分析四個(gè)選項(xiàng)即可.【詳解】由題意可知擲出點(diǎn)數(shù)為3的倍數(shù)的情況為3,6，故擲出點(diǎn)數(shù)為3的倍數(shù)的概率為，故理論上回答問題一的人數(shù)為人.擲出點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)的概率為，理論上回答問題一的50人中有25人回答“是”，故回答問題二的學(xué)生中回答“是”的人數(shù)為3025=5人.對(duì)于A,抽樣調(diào)查的這150名學(xué)生中，約有50人回答問題一，故A正確.對(duì)于B,抽樣調(diào)查的這150名學(xué)生中，約有5人迷戀電子游戲，“必有”過于絕對(duì)，故B錯(cuò).對(duì)于C,抽樣調(diào)查的150名學(xué)生中，50名學(xué)生回答問題一，故有100名學(xué)生回答問題二，有5名學(xué)生回答“是”，故該校迷戀電子游戲的學(xué)生約為，故C正確.對(duì)于D,由C可知該校迷戀電子游戲的學(xué)生約為，故D錯(cuò).故選：AC.12.在長方體中，，，動(dòng)點(diǎn)在體對(duì)角線上（含端點(diǎn)），則下列結(jié)論正確的有（）A.當(dāng)為中點(diǎn)時(shí)，為銳角B.存在點(diǎn)，使得平面C.的最小值D.頂點(diǎn)到平面的最大距離為【答案】ABD【解析】【分析】如圖，以點(diǎn)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，當(dāng)為中點(diǎn)時(shí)，根據(jù)判斷得符號(hào)即可判斷A；當(dāng)平面，則，則有，求出，即可判斷B；當(dāng)時(shí)，取得最小值，結(jié)合B即可判斷C；利用向量法求出點(diǎn)到平面的距離，分析即可判斷D.【詳解】解：如圖，以點(diǎn)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，則，故，則，，對(duì)于A，當(dāng)為中點(diǎn)時(shí)，則，，則，，所以，所以為銳角，故A正確；當(dāng)平面，因?yàn)槠矫妫?，則，解得，故存在點(diǎn)，使得平面，故B正確；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，取得最小值，由B得，此時(shí)，則，，所以，即的最小值為，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，設(shè)平面的法向量，則有，可取，則點(diǎn)到平面的距離為，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)到平面的距離為0，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)，所以點(diǎn)到平面的最大距離為，故D正確.故選：ABD.三?填空題（本大題共4小題，共20.0分）13.天氣預(yù)報(bào)說，在今后的三天中每一天下雨的概率均為，用隨機(jī)模擬的方法進(jìn)行試驗(yàn)，由???表示下雨，由?????表示不下雨，利用計(jì)算器中的隨機(jī)函數(shù)產(chǎn)生之間隨機(jī)整數(shù)的組如下：通過以上隨機(jī)模擬的數(shù)據(jù)可知三天中恰有兩天下雨的概率近似為___________.【答案】0.25##【解析】【分析】找出對(duì)應(yīng)的數(shù)據(jù)，再根據(jù)古典概型即可得解.【詳解】解：由數(shù)據(jù)可知，表示恰有兩天下雨的數(shù)據(jù)為共5組，所以三天中恰有兩天下雨的概率近似為.故答案為：.14.已知向量，，，則______________.【答案】2【解析】【分析】由向量的模求得，然后由數(shù)量積的坐標(biāo)表示計(jì)算．【詳解】由已知，，所以．故答案為：215.已知直線，若直線，則直線的傾斜角大小為_____________．【答案】##【解析】【分析】根據(jù)直線方程可求出；根據(jù)求出，進(jìn)而可求出直線的傾斜角.【詳解】直線方程直線的傾斜角大小為故答案為：16.如圖，長方體中，、與底面所成的角分別為和，，點(diǎn)為線段上一點(diǎn)，則最小值為_______.【答案】【解析】【分析】因?yàn)槠矫?，所以，，根?jù)，求出，，，又可化為，所以只需求出的最小值即可，即求直角三角形的斜邊上的高即可得解.【詳解】如圖：因?yàn)槠矫?，所以，，設(shè)，則，，，，因?yàn)?，所以，所以，即，解得，所以，，，所以，?dāng)時(shí)，取最小值，最小值為，所以的最小值為，即的最小值為.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了長方體的結(jié)構(gòu)特征，考查了直線與平面所成的角，考查了空間向量的數(shù)量積，屬于中檔題.四?解答題（本大題共6小題，共70.0分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17.某校夏令營有名男同學(xué)和名女同學(xué)，現(xiàn)從這名同學(xué)中隨機(jī)選出人參加知識(shí)競賽.（1）寫出試驗(yàn)的樣本空間；（2）設(shè)為事件“選出的人恰有名男生和名女生”，求事件發(fā)生的概率.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）列出所有可能的結(jié)果即可得樣本空間；（2）由古典概型即可求得概率.【小問1詳解】所有可能的結(jié)果為：，，，，，，，，，，共10種情況.故樣本空間為：.【小問2詳解】事件M包含的結(jié)果有：，共6個(gè)結(jié)果，故事件M發(fā)生的概率為.18.已知三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，，.（1）求線段的中線所在直線方程；（2）求邊上的高所在的直線方程.【答案】（1）（2）.【解析】【分析】（1）先求出BC中點(diǎn)的坐標(biāo)，再求BC的中線所在直線的方程；（2）先求出AB的斜率，再求出邊上的高所在的直線方程.【詳解】（1）由題得BC的中點(diǎn)D的坐標(biāo)為（2，1）,所以,所以線段的中線AD所在直線方程為即.（2）由題得,所以AB邊上的高所在直線方程為，即.【點(diǎn)睛】本題主要考查直線方程的求法，意在考查學(xué)生對(duì)該知識(shí)的理解掌握水平，屬于基礎(chǔ)題.19.如圖在平行六面體中，，，，，??分別為，，的中點(diǎn).（1）求證：（2）求和所成角的余弦值；【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）只需證明即可；（2）利用向量數(shù)量積和模求向量間的夾角即可.【小問1詳解】取為一組基底，設(shè)，依題：∴.，∴，故.【小問2詳解】，.∴...∴所以直線與所成角的余弦值為.20.某快餐配送平臺(tái)針對(duì)外賣員送餐準(zhǔn)點(diǎn)情況制定了如下的考核方案：每一單自接單后在規(guī)定時(shí)間內(nèi)送達(dá)?延遲5分鐘內(nèi)送達(dá)?延遲5至10分鐘送達(dá)?其他延遲情況，分別評(píng)定為四個(gè)等級(jí)，各等級(jí)依次獎(jiǎng)勵(lì)3元?獎(jiǎng)勵(lì)0元?罰款3元?罰款6元.假定評(píng)定為等級(jí)的概率分別是.（1）若某外賣員接了一個(gè)訂單，求其不被罰款的概率；（2）若某外賣員接了兩個(gè)訂單，且兩個(gè)訂單互不影響，求這兩單獲得的獎(jiǎng)勵(lì)之和為3元的概率.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用互斥事件的概率公式，即可求解；（2）由條件可知兩單共獲得的獎(jiǎng)勵(lì)為3元即事件，同樣利用互斥事件和的概率，即可求解.【小問1詳解】設(shè)事件分別表示“被評(píng)為等級(jí)”，由題意，事件兩兩互斥，所以，又“不被罰款”，所以.因此“不被罰款”的概率為；【小問2詳解】設(shè)事件表示“第單被評(píng)為等級(jí)”，，則“兩單共獲得的獎(jiǎng)勵(lì)為3元”即事件，且事件彼此互斥，又，所以.21.如圖，四邊形是邊長為菱形，，四邊形為矩形，，且平面平面.（1）求二面角的大??；（2）求點(diǎn)到平面的距離.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）（2）建立空間直角坐標(biāo)系，由空間向量求解，【小問1詳解】由題意，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系：因?yàn)椋?，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，即，令，則，所以，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，即，令，則，所以，所以，二面角為鈍角，故二面角的大小為.【小問2詳解】因?yàn)椋?，因?yàn)槠矫娴囊粋€(gè)法向量為，所以點(diǎn)C到平面的距離，22.如圖所示，等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AD＝AB＝BC＝2，CD＝4，E為CD中點(diǎn)，AE與BD交于點(diǎn)O，將△ADE沿AE折起，使點(diǎn)D到達(dá)點(diǎn)P的位置（P?平面ABCE）．（1）證明：平面POB⊥平面ABCE；（2）若PB，試判斷線段PB上是否存在一點(diǎn)Q（不含端點(diǎn)），使得直線PC與平面AEQ所成角的正弦值為，若存在，求出的值；若不存在，說明理由．【答案】（1）證明見解析（2）存在；【解析】【分析】（1）根據(jù)面面垂直判定定理將問題轉(zhuǎn)化為證明AE⊥平面POB，然后結(jié)合已知可證；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法結(jié)合線面角列方程可解.【小問1詳解】連接BE，在等腰梯形ABCD中，AD＝AB＝BC＝2，CD＝4，E為CD中點(diǎn)，∴四邊形ABED為菱形，∴BD⊥AE，∴OB⊥AE，OD⊥AE，即OB⊥AE，OP⊥AE，且OB∩OP＝O，OB?平面POB，OP?平面POB，∴AE⊥平面POB，又AE?平面ABCE，