專(zhuān)題03832圓柱圓錐圓臺(tái)球的表面積和體積（空間幾何體的體積點(diǎn)到平面的距離）

專(zhuān)題03：8.3.2圓柱、圓錐、圓臺(tái)、球的表面積和體積（空間幾何體的體積，點(diǎn)到平面的距離）重點(diǎn)題型解題思路培養(yǎng)題型一：空間幾何體的體積核心技巧：求體積常見(jiàn)方法1、直接法（公式法）直接根據(jù)相關(guān)的體積公式計(jì)算(特別注意找?guī)缀误w的體高)；2、轉(zhuǎn)移法：利用祖暅原理或等積變化，把所求的幾何體轉(zhuǎn)化為與它等底、等高的幾何體的體積（通過(guò)換頂點(diǎn)，使得底面積，體高都比較容易找到）；3、分割法求和法：把所求幾何體分割成基本幾何體的體積（不規(guī)則幾何體，通過(guò)分割成若干個(gè)簡(jiǎn)單幾何體求體積）；4、補(bǔ)形法：通過(guò)補(bǔ)形化歸為基本幾何體的體積（通過(guò)補(bǔ)形后，有利于求底面積和體高）；例題1．（2020·內(nèi)蒙古·包頭市第四中學(xué)高三期中（文））如圖，在四棱錐中，底面為正方形，平面，，?分別是?的中點(diǎn).(1)求三棱錐的體積.解題思路由于由于平面，故取中點(diǎn)，連接，則聯(lián)想：直接法，通過(guò)分析是三棱錐的體高由于底面為正方形，所以為正方形面積的，根據(jù)體積公式求解【答案】(1)解：過(guò)作底面，則且，由于底面為正方形，，正方形的面積為，，三棱錐的體積.例題2．（2022·四川南充·二模（文））如圖所示，四邊形為菱形，，平面平面，點(diǎn)是棱的中點(diǎn).(1)求證：；(2)若，求三棱錐的體積.第（2）解題思路（第（1）問(wèn)略）由第一問(wèn)知由第一問(wèn)知，目標(biāo)：求三棱錐的體積由于，點(diǎn)到平面的距離不容易找，聯(lián)想：換頂點(diǎn)，選擇做頂點(diǎn)，這樣到平面的距離就是，進(jìn)而，從而求體積【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)(1)如圖所示，設(shè)點(diǎn)是棱的中點(diǎn)，連接，由及點(diǎn)是棱的中點(diǎn)，可得，又因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面，故平面，又因?yàn)槠矫?，所以，又因?yàn)樗倪呅螢榱庑?，所以，而是的中位線(xiàn)，所以，可得，又由，且平面平面，所以平面，又因?yàn)槠矫妫?(2)，由于菱形，故，故，故三角形為正三角形，且三角形為正三角形，故，由于平面，例題3．（2022·河南·溫縣第一高級(jí)中學(xué)高三階段練習(xí)（文））如圖所示，在多面體中，矩形所在平面與直角梯形所在平面垂直，，，為的中點(diǎn)，且，．(1)求證：平面BCFE；(2)求多面體的體積．第（2）解題思路（第（1）問(wèn)略）目標(biāo)：目標(biāo)：求多面體的體積，顯然要分割聯(lián)想：將多面體分割：連接,多面體分割為：四棱錐和三棱錐分別求四棱錐和三棱錐體積，再相加【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)(1)如圖，取CF的中點(diǎn)H，連接EH，HG．∵H是CF的中點(diǎn)，G是CD的中點(diǎn)，∴，．又，．∴，．∴四邊形AGHE是平行四邊形．∴．又∵平面BCFE，平面BCFE．∴平面BCFE．(2)∵平面平面AEFD，，平面平面，∴平面AEFD,同理可得平面EFCB,∴例題4．（2022·陜西安康·二模（文））如圖，四棱錐的底面為等腰梯形，，且，平面平面.(1)證明：.(2)若，為的中點(diǎn)，求三棱錐的體積.第（2）解題思路（第（1）問(wèn)略）目標(biāo)：求目標(biāo)：求三棱錐的體積，而到底面的距離不容易找到聯(lián)想：換頂點(diǎn)，通過(guò)觀(guān)察已知條件，，平面平面，可考慮選當(dāng)頂點(diǎn)，選當(dāng)?shù)酌嬗捎诿娣e無(wú)法直接求解，而點(diǎn)為中點(diǎn)，故可轉(zhuǎn)化為聯(lián)想：補(bǔ)形，從而求解，體高為，底面積選擇【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2).(1)∵平面平面，且平面平面，∴平面，∵平面，∴.(2)連接，則由題可知，，在中，由余弦定理可得，∴.在中，由余弦定理得，則，則.∵平面，∴，∴.題型二：點(diǎn)到平面的距離核心技巧：1、直接法：直接找到點(diǎn)到平面的距離（一般求點(diǎn)到平面距離都比較難直接尋找到這個(gè)距離）2、等體積法（常用方法）:在同一幾何體中，通過(guò)更換幾何體頂點(diǎn)和底面進(jìn)行體積計(jì)算的方法.例題1．（2021·天津外國(guó)語(yǔ)大學(xué)附屬濱海外國(guó)語(yǔ)學(xué)校高二階段練習(xí)）如圖，已知四棱錐中，底面是棱長(zhǎng)為4的菱形，平面，，是中點(diǎn)，若為的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）求點(diǎn)到平面的距離.第（2）解題思路1（第（1）問(wèn)略）目標(biāo)：目標(biāo)：求點(diǎn)到平面的距離.聯(lián)想：直接法，取中點(diǎn),連接，取中點(diǎn)，連接由,,結(jié)合，從而證明就是點(diǎn)到平面的距離.第（2）解題思路2（第（1）問(wèn)略）目標(biāo)：目標(biāo)：求點(diǎn)到平面的距離.聯(lián)想：等體積法設(shè)E點(diǎn)到平面PAB的距離為h，；，利用體積相等求距離【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）.（1）取的中點(diǎn)，連接，

因?yàn)镠為的中點(diǎn)，且M為PA的中點(diǎn)，所以且，又且，所以且，所以四邊形為平行四邊形，

所以，又因?yàn)槠矫嫫矫?，所以平?

（2）設(shè)E點(diǎn)到平面PAB的距離為h，由等體積法可得，因?yàn)槠矫鍭BCD，所以為三棱錐PABE的高，因?yàn)榱庑蜛BCD，且，所以AB=AC，又E為BC中點(diǎn)，所以，所以，所以，解得故E點(diǎn)到平面PAB的距離為.實(shí)戰(zhàn)演練1．（內(nèi)蒙古赤峰市2022屆高三第三次統(tǒng)一模擬考試文科數(shù)學(xué)試題）如圖，三棱錐中，側(cè)面與側(cè)面均為邊長(zhǎng)為6的正三角形，且為的中點(diǎn)，為線(xiàn)段的一個(gè)靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn).(1)證明：平面；(2)求四棱錐的體積.【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2).(1)由題設(shè)，連結(jié)，則△為等腰直角三角形，又△△，即△為等腰直角三角形，且為的中點(diǎn)，所以，，，則.，又.平面.(2)由（1）知：是底面上的高，又，為的中點(diǎn)，所以，則，又，，故.2．（2022·全國(guó)·江西科技學(xué)院附屬中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（文））已知四棱錐如圖所示，，平面平面ABCD，點(diǎn)是線(xiàn)段SC的中點(diǎn)，直線(xiàn)平面SAD，，．(1)求證：；(2)若，，求四棱雉的體積．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)8(1)如圖所示：取SD的中點(diǎn)，連接GM，GA，因?yàn)闉榫€(xiàn)段SC的中點(diǎn)，故，且；又，故，而，故，且，故四邊形ABMG為平行四邊形，故，因?yàn)橹本€(xiàn)平面SAD，平面SAD，故，故．(2)因?yàn)?，所以．又，，故平面SAD，而平面SAD，故．又平面平面ABCD，平面平面，平面SCD，所以平面ABCD，故SD為四棱錐的高．又∵，∴，故．3．（2022·四川眉山·二模（文））如圖所示，已知是邊長(zhǎng)為6的等邊三角形，點(diǎn)M、N分別在，上，，O是線(xiàn)段的中點(diǎn)，將沿直線(xiàn)進(jìn)行翻折，A翻折到點(diǎn)P，使得平面平面，如圖所示.(1)求證：；(2)若，求點(diǎn)M到平面的距離.【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)(1)證明：因?yàn)槭沁呴L(zhǎng)為6的等邊三角形，且，在中，可得，又因?yàn)辄c(diǎn)是線(xiàn)段的中點(diǎn)，所以，因?yàn)槠矫嫫矫?，且平面，平面平面，所以平面，又因?yàn)槠矫妫?(2)解：由是邊長(zhǎng)為6的等邊三角形，可得的高為，因?yàn)?，可得，,則的面積為，又由平面，且，所以三棱錐的體積為，在直角中，，可得，所以的面積為，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，因?yàn)?，可得，解得，又由，且平面，平面，所以平面，則點(diǎn)到平面的距離與點(diǎn)到平面的距離相等，所以點(diǎn)到平面的距離為.4．（2022·四川·高二期末）在正方體中，，分別為棱，的中點(diǎn).(1)求證：平面；(2)若正方體棱長(zhǎng)為1，求三棱錐的體積.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)(1)證明：連結(jié).在正方體中,對(duì)角線(xiàn)又∵E?F分別為棱AD、AB的中點(diǎn)∴，∴又平面，平面，∴平面.(2).5．（2022·全國(guó)·貴陽(yáng)一中二模（文））如圖，已知直三棱柱中，側(cè)面為正方形，，，，分別為，，的中點(diǎn)，，為線(xiàn)段上一動(dòng)點(diǎn).(1)證明：；(2)求幾何體的體積.【答案】(1)見(jiàn)解析；(2)(1)連接，由直三棱柱，為正方形，，可得為正方形，又，分別為，的中點(diǎn)，，又，，面，又面，.(2)設(shè)交點(diǎn)為，連接，為正方形，，又，，面，又面，，可得，，.6．（2022·全國(guó)·高一單元測(cè)試）如圖所示，在以、、、、、為頂點(diǎn)的五面體中，平面平面，，，四邊形為平行四邊形，且.(1)求證：；(2)若，，，求此五面體的體積.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)(1)證明：過(guò)作交于，連接，由平面平面，平面平面，得平面，又平面，∴，∵，，，∴≌，∴，由已知得為等腰直角三角形，∴，又，，平面，∴平面，又平面，∴；(2)解：取中點(diǎn)，連接、，由（1）可知，，又，∴四邊形為平行四邊形，棱柱為斜棱柱且為此斜棱柱的直截面，在四棱錐中，由（1）知，，平面，∴.7．（2022·全國(guó)·高一單元測(cè)試）如圖所示，正方體的棱長(zhǎng)為，過(guò)頂點(diǎn)、、截下一個(gè)三棱錐.(1)求剩余部分的體積；(2)求三棱錐的高.【答案】(1)(2)(1)因?yàn)樗允Ｓ嗖糠值捏w積，(2)由（1）知，設(shè)三棱錐的高為，由正方體的性質(zhì)可知為等邊三角形，且邊長(zhǎng)為，則，所以，解得.所以三棱錐的高為8．（2022·河南·三模（文））多面體ABCDE中，與均為邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，為腰長(zhǎng)為的等腰三角形，平面CDE⊥平面BCD，平面ABC⊥平面BCD，F(xiàn)為BC的中點(diǎn).(1)求證：平面ECD；(2)求多面體ABCDE的體積.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)(1)證明：因?yàn)闉榈妊切?，F(xiàn)為BC的中點(diǎn)，所以AF⊥BC，又平面ABC⊥平面BCD，平面平面，平面ABC.所以AF⊥平面BCD，取CD的中點(diǎn)G，連接EG，因?yàn)槭堑冗吶切?，所以EG⊥CD，因?yàn)槠矫鍯DE⊥平面BCD，交線(xiàn)為CD，且EG平面CDE，所以EG⊥平面BCD，所以，又平面ECD，平面ECD，所以平面ECD.(2)設(shè)多面體ABCDE的體積為V，則，連接DF，因?yàn)榕c均為邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，為腰長(zhǎng)為的等腰三角形，所以，，所以，因?yàn)?，又平面ABC，平面ABC，所以平面ABC，所以故.9．（2022·河南開(kāi)封·二模（文））如圖，四邊形ABCD是圓柱OQ的軸截面，圓柱OQ的側(cè)面積為，點(diǎn)P在圓柱OQ的底面圓周上，且是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，點(diǎn)G是DP的中點(diǎn)．(1)求證：AG⊥平面PBD；(2)求點(diǎn)A到平面OPG的距離．【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2).(1)因點(diǎn)P在圓柱OQ的底面圓周上，則，而四邊形ABCD是圓柱OQ的軸截面，則有平面，平面，即有，又，平面，于是得平面，而平面，因此，，因是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，，，因圓柱OQ的側(cè)面積為，即，則，又點(diǎn)G是DP的中點(diǎn)，則有，而，平面，所以平面.(2)由已知得，線(xiàn)段DP的中點(diǎn)G到平面距離為，于是得，由平面知，即是直角三角形，，而，則等腰底邊上的高為，，設(shè)點(diǎn)A到平面OPG的距離為，由得：，解得，所以點(diǎn)A到平面OPG的距離是.10．（2021·四川·寧南中學(xué)高二階段練習(xí)（文））如圖，三棱錐中，AD⊥底面BCD，底面BCD是等邊三角形，AD＝BD＝1，M為BC中點(diǎn).(1)證明：平面ABC⊥平面ADM；(2)求點(diǎn)M到平面ABD的距離.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)(1)證明：∵AD⊥底面BCD，∴AD⊥BC,又∵底面BCD為等邊三角形，M為BC中點(diǎn)，∴DM⊥BC,且，平面ADM,∴BC⊥平面ADM,又平面ABC，∴平面ABC⊥平面ADM；(2)設(shè)點(diǎn)M到平面ABD的距離為d，,由