2024-2025學(xué)年江西省高二上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測(cè)試題（含解析）

2024-2025學(xué)年江西省高二上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測(cè)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.下列直線中，傾斜角最小的是（）A. B.C. D.2.已知圓經(jīng)過點(diǎn)，則圓在點(diǎn)P處的切線方程為（）A. B.C. D.3.若方程表示橢圓，則m的取值范圍為（）A. B.C. D.4.若點(diǎn)在圓C：的外部，則m的取值可能為（）A.5 B.1 C. D.5.已知，，過點(diǎn)的直線l與線段（含端點(diǎn)）有交點(diǎn)，則直線l的斜率的取值范圍為（）A. B.C. D.6.點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A. B.C. D.7.已知圓：和：，若動(dòng)圓P與這兩圓一個(gè)內(nèi)切一個(gè)外切，記該動(dòng)圓圓心的軌跡為M，則M的方程為（）A. B.C. D.8.已知P是圓C：上一動(dòng)點(diǎn)，若直線l：上存在兩點(diǎn)A，B，使得能成立，則線段的長(zhǎng)度的最小值是（）A. B. C. D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知，，，且四邊形是平行四邊形，則（）A.直線的方程為B.是直線的一個(gè)方向向量C.D.四邊形面積為310.若直線與曲線恰有一個(gè)交點(diǎn)，則k值可能為（）A.0 B. C.2 D.11.已知，，P是圓O：上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）A.過點(diǎn)B且被圓O截得最短弦長(zhǎng)的直線方程為B.直線與圓O總有兩個(gè)交點(diǎn)C.過點(diǎn)A作兩條互相垂直的直線，交圓O于點(diǎn)E，G和F，H，則四邊形的面積的最小值為97D.的最大值為三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.把答案填在答題卡中的橫線上.12.已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，是橢圓M：（）的右焦點(diǎn)，過點(diǎn)F且與M的長(zhǎng)軸垂直的直線交M于C，D兩點(diǎn).若為直角三角形，則M的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為___________.13.已知，直線l：，過點(diǎn)A作l的垂線，垂足為B，則點(diǎn)B到x軸的距離的最小值為______.14.在某城市中，F(xiàn)地位于E地正南方向，相距2km；Q地位于E地的正東方向，相距1km.現(xiàn)有一條沿湖小徑（曲線），其上任意一點(diǎn)到E和F的距離之和為4km.現(xiàn)計(jì)劃在該小徑上選擇一個(gè)合適的點(diǎn)P建造一個(gè)觀景臺(tái)，經(jīng)測(cè)算從P到F，Q兩地修建觀景步道的費(fèi)用都是5萬(wàn)元/km，則修建兩條觀景步道的總費(fèi)用最低是___________萬(wàn)元.四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過程或演算步驟.15.已知直線l.（1）若l在兩坐標(biāo)軸上截距相反，求a的值；（2）若直線m：，且，求l與m間的距離.16.已知，分別是橢圓C：（）的左、右焦點(diǎn)，P為C上一點(diǎn).（1）若，點(diǎn)P的坐標(biāo)為，求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若，的面積為4，求b的值.17.已知圓M與y軸相切，其圓心在x軸的負(fù)半軸上，且圓M被直線截得的弦長(zhǎng)為.（1）求圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若過點(diǎn)的直線l與圓M相切，求直線l的方程.18.已知A，B分別是橢圓C：（）的上、下頂點(diǎn)，M是橢圓C上一動(dòng)點(diǎn).（1）若直線，的斜率之積為，且橢圓C的短軸長(zhǎng)為，求橢圓C的方程；（2）若P是圓上一動(dòng)點(diǎn)，且，求橢圓C的離心率的取值范圍，19.定義：M是圓C上一動(dòng)點(diǎn)，N是圓C外一點(diǎn)，記的最大值為m，的最小值為n，若，則稱N為圓C的“黃金點(diǎn)”；若G同時(shí)是圓E和圓F的“黃金點(diǎn)”，則稱G為圓“”的“鉆石點(diǎn)”.已知圓A：，P為圓A的“黃金點(diǎn)”（1）求點(diǎn)P所在曲線的方程.（2）已知圓B：，P，Q均為圓“”的“鉆石點(diǎn)”.（?。┣笾本€方程.（ⅱ）若圓H是以線段為直徑的圓，直線l：與圓H交于I，J兩點(diǎn)，對(duì)于任意的實(shí)數(shù)k，在y軸上是否存在一點(diǎn)W，使得y軸平分？若存在，求出點(diǎn)W的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.2024-2025學(xué)年江西省高二上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測(cè)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.下列直線中，傾斜角最小的是（）A. B.C. D.【正確答案】D【分析】根據(jù)直線斜率與直線傾斜角之間的關(guān)系求解.【詳解】由傾斜角的范圍，可知斜率為正時(shí)傾斜角小于斜率為負(fù)時(shí)的傾斜角，故排除AC，B中直線斜率為，D中直線斜率為，由正切函數(shù)的單調(diào)性及知，的傾斜角最小.故選：D2.已知圓經(jīng)過點(diǎn)，則圓在點(diǎn)P處的切線方程為（）A. B.C. D.【正確答案】A【分析】首先求的值,然后求圓心坐標(biāo)，接著求圓心與點(diǎn)連線的斜率，最后求圓在點(diǎn)處的切線方程.【詳解】因?yàn)閳A經(jīng)過點(diǎn)，將點(diǎn)代入圓的方程可得.即，所以，則圓的方程為.對(duì)于圓，其圓心坐標(biāo)為，所以此圓的圓心.根據(jù)斜率公式，這里，，則.因?yàn)閳A的切線與圓心和切點(diǎn)連線垂直，若兩條垂直直線的斜率分別為和，則.已知，所以切線的斜率.又因?yàn)榍芯€過點(diǎn)，根據(jù)點(diǎn)斜式方程（這里），可得切線方程為.整理得.故選：A.3.若方程表示橢圓，則m的取值范圍為（）A. B.C. D.【正確答案】D【分析】根據(jù)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的形式求解即可.【詳解】因?yàn)榉匠瘫硎緳E圓，所以，解得，選D.4.若點(diǎn)在圓C：的外部，則m的取值可能為（）A.5 B.1 C. D.【正確答案】C【分析】根據(jù)點(diǎn)在圓外及方程表示圓求出的范圍得解.【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)在圓C：的外部，所以，解得，又方程表示圓，則，即，所以，結(jié)合選項(xiàng)可知，m取值可以為.故選：C5.已知，，過點(diǎn)的直線l與線段（含端點(diǎn)）有交點(diǎn)，則直線l的斜率的取值范圍為（）A. B.C. D.【正確答案】B【分析】求出直線，的斜率后，結(jié)合圖象得到斜率的取值范圍.【詳解】，，由圖象可知：直線l的斜率的取值范圍為.故選：B.6.點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A. B.C. D.【正確答案】A【分析】根據(jù)兩對(duì)稱點(diǎn)的中點(diǎn)在直線上，對(duì)稱點(diǎn)連線與直線垂直列出方程組得解.【詳解】設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，解得，故選：A7.已知圓：和：，若動(dòng)圓P與這兩圓一個(gè)內(nèi)切一個(gè)外切，記該動(dòng)圓圓心的軌跡為M，則M的方程為（）A. B.C. D.【正確答案】C【分析】根據(jù)圓的位置關(guān)系及橢圓的定義可判斷P點(diǎn)軌跡為橢圓，即可得出軌跡方程.【詳解】圓：和：的圓心、半徑分別為，由可知圓內(nèi)含于圓內(nèi)，設(shè)動(dòng)圓半徑為,由題意，，,兩式相加可得,故P點(diǎn)的軌跡為以為焦點(diǎn)的橢圓，其中，所以，所以橢圓方程為.故選：C8.已知P是圓C：上一動(dòng)點(diǎn)，若直線l：上存在兩點(diǎn)A，B，使得能成立，則線段的長(zhǎng)度的最小值是（）A. B. C. D.【正確答案】A【分析】根據(jù)幾何的思路得到當(dāng)以為直徑的圓與圓外切，且圓心連線與垂直時(shí)，線段長(zhǎng)度最小，然后求即可.【詳解】由圓得圓心,半徑.因?yàn)橹本€上存在兩點(diǎn)，使得恒成立，則以為直徑的圓與圓有交點(diǎn)，當(dāng)長(zhǎng)度最小時(shí)，兩圓外切，且兩圓圓心所在直線與垂直，如圖，因?yàn)閳A心到直線距離，所以故選：A二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知，，，且四邊形是平行四邊形，則（）A.直線的方程為B.是直線的一個(gè)方向向量C.D.四邊形的面積為3【正確答案】ABD【分析】由四邊形是平行四邊形，得到，結(jié)合向量的坐標(biāo)公式可得到的坐標(biāo)，從而計(jì)算直線的斜率，寫出直線的點(diǎn)斜式方程，從而判斷A；由方向向量和斜率的關(guān)系可判斷B；由兩點(diǎn)間的距離公式可判斷C；利用點(diǎn)到直線的距離公式得到邊上的高，由平行四邊形的面積公式可判斷D.【詳解】設(shè)，由四邊形是平行四邊形，可得，即，解得：，所以，，直線的方程為，即，故A正確；，所以是直線的一個(gè)方向向量，故B正確；，故C錯(cuò)誤；到直線的距離，所以四邊形的面積為，故D正確.故選：ABD.10.若直線與曲線恰有一個(gè)交點(diǎn)，則k的值可能為（）A.0 B. C.2 D.【正確答案】BD【分析】根據(jù)直線過定點(diǎn)及曲線為半圓，作出圖象，求出切線、割線對(duì)應(yīng)斜率，數(shù)形結(jié)合即可得解.【詳解】直線恒過定點(diǎn)，由可得，如圖，由解得或（舍去），即,由，可得由圖可知，或時(shí)，直線與半圓恰有1個(gè)交點(diǎn).故選：BD11.已知，，P是圓O：上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）A.過點(diǎn)B且被圓O截得最短弦長(zhǎng)的直線方程為B.直線與圓O總有兩個(gè)交點(diǎn)C.過點(diǎn)A作兩條互相垂直的直線，交圓O于點(diǎn)E，G和F，H，則四邊形的面積的最小值為97D.的最大值為【正確答案】ABD【分析】根據(jù)圓的幾何性質(zhì)判斷A，根據(jù)直線系過定點(diǎn)且在圓內(nèi)判斷B，根據(jù)圓的幾何性質(zhì)求弦長(zhǎng)，再由均值不等式及四邊形面積判斷C，根據(jù)正弦定理轉(zhuǎn)化為求三角形外接圓半徑的最小值，再由圓的性質(zhì)知內(nèi)切時(shí)外接圓半徑最小即可得解.【詳解】如圖，因?yàn)?，圓O：，所以在圓內(nèi)，當(dāng)弦與垂直時(shí)，所截得的弦長(zhǎng)最短，此時(shí)最短弦所在的直線方程為，A正確；由直線可得，故直線恒過點(diǎn)，由知點(diǎn)在圓內(nèi)，所以直線與圓O總有兩個(gè)交點(diǎn)，B正確；記點(diǎn)O到直線的距離分別為，則，又，，所以，即,則四邊形的面積，即四邊形的面積的最大值，C錯(cuò)誤；當(dāng)點(diǎn)P在軸上時(shí)，，當(dāng)點(diǎn)P不在軸上時(shí)，設(shè)外接圓的圓心為，半徑為，由正弦定理得，則，當(dāng)外接圓的半徑最小，即外接圓與圓O內(nèi)切時(shí)，最大，由題意在的中垂線上，可設(shè)其坐標(biāo)為，則，因?yàn)閳AM與圓O內(nèi)切，所以圓心距等于半徑之差，則，化簡(jiǎn)后可得，即的最小值為，此時(shí)最大，最大值為，D正確.故選：ABD關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解題的關(guān)鍵在于靈活運(yùn)用圓的相關(guān)性質(zhì)，特別是弦心距、半弦長(zhǎng)、半徑之間的關(guān)系，問題注意轉(zhuǎn)化為外接圓半徑最值問題，再由兩圓的位置關(guān)系即可求出最小值，本題屬于難題.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.把答案填在答題卡中的橫線上.12.已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，是橢圓M：（）的右焦點(diǎn)，過點(diǎn)F且與M的長(zhǎng)軸垂直的直線交M于C，D兩點(diǎn).若為直角三角形，則M的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為___________.【正確答案】##【分析】由通徑的求法得出，再由為直角三角形得出，建立方程求出即可得解.【詳解】因?yàn)楫?dāng)時(shí)，代入橢圓方程可得，所以，不妨設(shè)在第一象限，則，因?yàn)闉橹苯侨切危蓹E圓的對(duì)稱性知，，所以，故，即，可得，解得或（舍去），所以橢圓M的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為.故13.已知，直線l：，過點(diǎn)A作l的垂線，垂足為B，則點(diǎn)B到x軸的距離的最小值為______.【正確答案】##【分析】由直線系方程求出定點(diǎn)，再由題意得出B點(diǎn)軌跡為圓，利用圓的幾何性質(zhì)可得圓上點(diǎn)到軸距離的最小值.【詳解】由可得，由解得，即直線過定點(diǎn)，連接，則中點(diǎn)，因?yàn)椋訠在以為圓心，半徑為的圓上，如圖，圓的方程為，則圓心到軸的距離，所以點(diǎn)B到x軸的距離的最小值為.故14.在某城市中，F(xiàn)地位于E地的正南方向，相距2km；Q地位于E地的正東方向，相距1km.現(xiàn)有一條沿湖小徑（曲線），其上任意一點(diǎn)到E和F的距離之和為4km.現(xiàn)計(jì)劃在該小徑上選擇一個(gè)合適的點(diǎn)P建造一個(gè)觀景臺(tái)，經(jīng)測(cè)算從P到F，Q兩地修建觀景步道的費(fèi)用都是5萬(wàn)元/km，則修建兩條觀景步道的總費(fèi)用最低是___________萬(wàn)元.【正確答案】15【分析】由題意求出點(diǎn)的軌跡方程，再根據(jù)橢圓的定義化簡(jiǎn)費(fèi)用關(guān)系式，數(shù)形結(jié)合可知在處有最小值.【詳解】以所在直線為軸，的垂直平分線為軸，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系.設(shè)Р為沿湖小徑上的任意一點(diǎn)，則，根據(jù)橢圓的定義可知，點(diǎn)P的軌跡為橢圓.所以，則點(diǎn)P的軌跡方程為，由題意，修建兩條觀景步道的總費(fèi)用為，由圖形可知，當(dāng)三點(diǎn)共線且在之間時(shí)，即運(yùn)動(dòng)到處時(shí)，總費(fèi)用最低，最低為.故15關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵在于建立平面直角坐標(biāo)系，利用橢圓定義得到動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，再由數(shù)形結(jié)合，得出三點(diǎn)共線時(shí)，動(dòng)點(diǎn)的位置，屬于較難題目.四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過程或演算步驟.15.已知直線l.（1）若l在兩坐標(biāo)軸上的截距相反，求a的值；（2）若直線m：，且，求l與m間的距離.【正確答案】（1）（2）【分析】（1）求出截距，利用截距和為0得解；（2）根據(jù)平行得出直線方程，再由平行線間距離公式求解.【小問1詳解】令，則，令，則，所以，解得【小問2詳解】因?yàn)?，所以，解得，則的方程為，即，則l與m間的距離.16.已知，分別是橢圓C：（）的左、右焦點(diǎn)，P為C上一點(diǎn).（1）若，點(diǎn)P的坐標(biāo)為，求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若，的面積為4，求b的值.【正確答案】（1）（2）【分析】（1）已知可求出，點(diǎn)坐標(biāo)可代入橢圓方程求出，進(jìn)而求出；（2）得到橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程根據(jù)，利用三角形面積公式和橢圓定義以及勾股定理來(lái)求解的值.【小問1詳解】已知，因?yàn)?，所?點(diǎn)在橢圓上，將其代入橢圓方程，可得，即，解得.又因?yàn)椋?，，所?所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.【小問2詳解】因?yàn)?，所以的面積，則.根據(jù)橢圓定義，.由勾股定理可得.又，即.在橢圓中有，將變形為，即，解得.17.已知圓M與y軸相切，其圓心在x軸的負(fù)半軸上，且圓M被直線截得的弦長(zhǎng)為.（1）求圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若過點(diǎn)的直線l與圓M相切，求直線l的方程.【正確答案】（1）（2）或【分析】（1）根據(jù)弦長(zhǎng)及圓的幾何性質(zhì)求出圓心半徑得解；（2）分類討論直線的斜率是否存在，根據(jù)點(diǎn)到直線距離等于半徑得解.【小問1詳解】因?yàn)閳A心在軸的負(fù)半軸上，所以設(shè)圓：又圓與軸相切，所以，即.圓心到直線的距離為,所以，解得，則.故圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.【小問2詳解】由（1）知，圓心為，因?yàn)?，所以點(diǎn)在圓外，過圓外一點(diǎn)作圓的切線，其切線有2條.①當(dāng)?shù)男甭蚀嬖跁r(shí)，設(shè)的方程為，即，則圓心M到的距離，解得，此時(shí)的方程為.②當(dāng)?shù)男甭什淮嬖跁r(shí)，直線的方程為，圓心到直線的距離為2，所以直線與圓M相切.綜上，的方程為或.18.已知A，B分別是橢圓C：（）的上、下頂點(diǎn)，M是橢圓C上一動(dòng)點(diǎn).（1）若直線，的斜率之積為，且橢圓C的短軸長(zhǎng)為，求橢圓C的方程；（2）若P是圓上一動(dòng)點(diǎn)，且，求橢圓C的離心率的取值范圍，【正確答案】（1）（2）【分析】（1）求出直線，的斜率之積，利用短軸長(zhǎng)，求出即可得出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）求出，利用可得，分類討論求，建立不等式求解即可.【小問1詳解】易知，設(shè)點(diǎn)，則，即，直線的斜率之積，又橢圓C的短軸長(zhǎng)為，即，所以，故橢圓C的方程為【小問2詳解】圓可化為，則圓心為，半徑為，由是圓上一動(dòng)點(diǎn)，且，可得，如圖，設(shè)，則，所以，當(dāng)，即時(shí)，，即，符合題意，由，可得，即；當(dāng)即時(shí)，，即，化簡(jiǎn)得，所以，這與矛盾，不符合題意.綜上，橢圓C的離心率的范圍為19.定義：M是圓C上一動(dòng)點(diǎn)，N是圓C外一點(diǎn)，記的最大值為m，的最小值為n，若，則稱N為圓C的“黃金點(diǎn)”；若G同時(shí)是圓E和圓F的“黃金點(diǎn)”，則稱G