2024-2025學(xué)年黑龍江省牡丹江市高二上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)檢測(cè)試題（含解析）

2024-2025學(xué)年黑龍江省牡丹江市高二上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)檢測(cè)試題一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1.在軸與軸上截距分別為的直線的傾斜角為（）A. B. C. D.2.若直線是圓的一條對(duì)稱軸，則圓心坐標(biāo)為（

）A. B. C. D.3.直線與圓交于兩點(diǎn)，則的面積為（）A. B.2 C. D.4.直線：，直線：，則直線是的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件5.已知兩點(diǎn)，，過(guò)點(diǎn)的直線與線段AB（含端點(diǎn)）有交點(diǎn)，則直線的斜率的取值范圍為（）A. B. C. D.6.已知空間中三點(diǎn)，平面的一個(gè)法向量為，則以為鄰邊的平行四邊形的面積為（）A. B. C.3 D.7.已知正四面體ABCD的棱長(zhǎng)為2，E是BC的中點(diǎn)，F(xiàn)在AC上，且，則（）A B. C. D.8.在下圖所示直四棱柱中，底面為菱形，，，動(dòng)點(diǎn)P在體對(duì)角線上，則頂點(diǎn)B到平面距離的最大值為（）A. B. C. D.二、多選題（本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分）9.已知直線l：，則下列結(jié)論正確的是（）A.直線l的一個(gè)法向量為B.若直線m：，則C.點(diǎn)到直線l的距離是2D.過(guò)與直線l平行直線方程是10.如圖，正方體的邊長(zhǎng)為為的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)在正方形內(nèi)（包含邊界）運(yùn)動(dòng)，且.下列結(jié)論正確的是（）A.動(dòng)點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為；B.異面直線與所成角的正切值為2；C.的最大值為2；D.三棱錐的外接球表面積為.11.已知直線過(guò)定點(diǎn)，且與圓相交于兩點(diǎn)，則（）A.點(diǎn)的坐標(biāo)為 B.的最小值是C.的最大值是0 D.三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分）12.已知向量，則點(diǎn)A到直線的距離為_(kāi)__________．13.世紀(jì),笛卡爾在《幾何學(xué)》中,通過(guò)建立坐標(biāo)系,將代數(shù)對(duì)象與幾何對(duì)象建立關(guān)系,從而實(shí)現(xiàn)了代數(shù)問(wèn)題與幾何問(wèn)題的轉(zhuǎn)化,創(chuàng)立了新分支——解析幾何,我們知道,方程在一維空間中,表示一個(gè)點(diǎn);在二維空間中,它表示一條直線;在三維空間中,它表示一個(gè)平面,過(guò)點(diǎn),法向量為的平面的方程是_________.14.設(shè)，過(guò)定點(diǎn)A的動(dòng)直線和過(guò)定點(diǎn)B的動(dòng)直線交于點(diǎn)，則的取值范圍是___________.四、解答題（本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）15.已知以點(diǎn)A?1,2為圓心的圓與直線相切，過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線與圓A相交于（1）求圓的方程；（2）當(dāng)時(shí)，求直線方程．16.如圖，邊長(zhǎng)為2的等邊所在的平面垂直于矩形所在的平面，，為的中點(diǎn)．（1）求證：；（2）若為直線上一點(diǎn)，且，求直線與平面所成角的正弦值．17.已知的頂點(diǎn)邊上的中線所在直線的方程為的平分線所在直線的方程為.（1）求直線的方程和點(diǎn)C的坐標(biāo)；（2）求的面積．18.如圖1，在平行四邊形中，，將沿折起，使點(diǎn)D到達(dá)點(diǎn)P位置，且，連接得三棱錐，如圖2．（1）證明：平面平面；（2）在線段上是否存在點(diǎn)M，使平面與平面的夾角的余弦值為，若存在，求出的值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．19已知圓和點(diǎn).（1）過(guò)點(diǎn)向圓引切線，求切線的方程；（2）求以點(diǎn)為圓心，且被直線截得的弦長(zhǎng)為8的圓的方程；（3）設(shè)為（2）中圓上任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)向圓引切線，切點(diǎn)為，試探究：平面內(nèi)是否存在一定點(diǎn)，使得為定值？若存在，請(qǐng)求出定點(diǎn)坐標(biāo)，并指出相應(yīng)的定值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.2024-2025學(xué)年黑龍江省牡丹江市高二上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)檢測(cè)試題一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1.在軸與軸上截距分別為的直線的傾斜角為（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】由截距式確定直線方程即可求解.【詳解】由題意可得直線方程，化簡(jiǎn)可得：，所以，即傾斜角為.故選:B2.若直線是圓的一條對(duì)稱軸，則圓心坐標(biāo)為（

）A. B. C. D.【正確答案】A【分析】首先得到圓心坐標(biāo)，即可得到圓心在直線上，從而求出參數(shù)的值.【詳解】圓的圓心為，因?yàn)橹本€是圓的一條對(duì)稱軸，所以圓心在直線上，所以，解得，故圓心坐標(biāo)為.故選：A.3.直線與圓交于兩點(diǎn)，則的面積為（）A. B.2 C. D.【正確答案】B【分析】依題意，作出圖形，求出圓心坐標(biāo)和半徑，過(guò)圓心作于，分別計(jì)算和，即可求得的面積.【詳解】如圖，由圓配方得，，知圓心為,半徑為，過(guò)點(diǎn)作于，由到直線的距離為,則,故的面積為.故選：B.4.直線：，直線：，則直線是的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【正確答案】B【分析】假設(shè)成立，去推導(dǎo)是否成立，假設(shè)去推導(dǎo)是否成立即可得.【詳解】若，由，可得，若，即，則需，即，即可得時(shí)，，故不是的充分條件；若，則，，此時(shí)，故，綜上，直線是的必要不充分條件.故選：B5.已知兩點(diǎn)，，過(guò)點(diǎn)的直線與線段AB（含端點(diǎn)）有交點(diǎn)，則直線的斜率的取值范圍為（）A. B. C. D.【正確答案】A【分析】求出直線、的斜率后可求直線的斜率的范圍.【詳解】，而，故直線取值范圍為，故選：A.6.已知空間中三點(diǎn)，平面的一個(gè)法向量為，則以為鄰邊的平行四邊形的面積為（）A. B. C.3 D.【正確答案】D【分析】運(yùn)用法向量求出坐標(biāo)，再求出平行四邊形邊長(zhǎng)和夾角余弦值，進(jìn)而求出正弦值，再用面積公式即可.【詳解】平面的一個(gè)法向量為，則，解得，故.，則，則.則平行四邊形面積為.故選：D.7.已知正四面體ABCD的棱長(zhǎng)為2，E是BC的中點(diǎn)，F(xiàn)在AC上，且，則（）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】取，，為基底，表示出，，再利用向量數(shù)量積的運(yùn)算求解.【詳解】如圖：取，，為基底，則，，所以.又，.所以.故選：C8.在下圖所示直四棱柱中，底面為菱形，，，動(dòng)點(diǎn)P在體對(duì)角線上，則頂點(diǎn)B到平面距離的最大值為（）A. B. C. D.【正確答案】A【分析】連接交于點(diǎn)O，由題意得，接著建立空間直角坐標(biāo)系求出向量和平面的法向量即可根據(jù)向量法的點(diǎn)到平面距離公式求解.【詳解】連接交于點(diǎn)O，由題意，得，，，如圖，以O(shè)為原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，所以，設(shè)，所以，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，所以，取，則，設(shè)頂點(diǎn)B到平面距離為d，則，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)即時(shí)點(diǎn)B到平面距離最大為.故選：A.二、多選題（本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分）9.已知直線l：，則下列結(jié)論正確的是（）A.直線l的一個(gè)法向量為B.若直線m：，則C.點(diǎn)到直線l的距離是2D.過(guò)與直線l平行的直線方程是【正確答案】CD【分析】對(duì)于A：根據(jù)直線方向向量與斜率之間的關(guān)系分析判斷；對(duì)于B：根據(jù)直線垂直分析判斷；對(duì)于C：根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式運(yùn)算求解；對(duì)于D：根據(jù)直線平行分析求解.【詳解】對(duì)于A，因?yàn)橹本€l：的斜率，但，可知不為直線l的一個(gè)法向量，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，因?yàn)橹本€m：的斜率，且，所以直線l與直線m不垂直，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，點(diǎn)到直線l的距離，故C正確；對(duì)于D，過(guò)與直線l平行的直線方程是，即，故D正確．故選：CD.10.如圖，正方體的邊長(zhǎng)為為的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)在正方形內(nèi)（包含邊界）運(yùn)動(dòng)，且.下列結(jié)論正確的是（）A.動(dòng)點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為；B.異面直線與所成角的正切值為2；C.的最大值為2；D.三棱錐的外接球表面積為.【正確答案】ACD【分析】取的中點(diǎn)，分析可知平面.對(duì)于A：分析可知?jiǎng)狱c(diǎn)的軌跡是以點(diǎn)為圓心，半徑為1的半圓，即可得結(jié)果；對(duì)于B：分析可知異面直線與所成角即為，即可得結(jié)果；對(duì)于C：根據(jù)數(shù)量積的幾何意義分析判斷；對(duì)于D：分析可知，進(jìn)而求球的半徑和表面積.【詳解】取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn)，則∥，且，又因?yàn)槠矫?，則平面，由平面，可得.對(duì)于選項(xiàng)A：在中，，可知?jiǎng)狱c(diǎn)的軌跡是以點(diǎn)為圓心，半徑為1的半圓，所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為，故A正確對(duì)于選項(xiàng)B：因?yàn)椤?，∥，則∥，可知異面直線與所成角即為，其正切值為，故B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C：因?yàn)榫€段在平面內(nèi)的投影為，結(jié)合選項(xiàng)A可知：在方向上的投影數(shù)量的最大值為1，所以的最大值為，故C正確；對(duì)于選項(xiàng)D：設(shè)三棱錐的外接球的球心為，半徑為，因?yàn)槠矫妫覟榈耐饨訄A圓心，可知，則，解得，所以三棱錐的外接球表面積為，故D正確；故選：ACD.11.已知直線過(guò)定點(diǎn)，且與圓相交于兩點(diǎn)，則（）A.點(diǎn)的坐標(biāo)為 B.的最小值是C.的最大值是0 D.【正確答案】ACD【分析】將直線的方程化簡(jiǎn)為點(diǎn)斜式，判斷出A項(xiàng)的正誤；根據(jù)時(shí)被圓截得弦長(zhǎng)最短，算出的最小值，從而判斷出B項(xiàng)的正誤；利用平面向量數(shù)量積的定義與運(yùn)算性質(zhì)，結(jié)合圓的性質(zhì)求出的最大值與的大小，從而判斷出CD兩項(xiàng)的正誤．【詳解】根據(jù)題意，圓的圓心為，半徑．對(duì)于A，直線，可化為，所以直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，斜率為，因此直線過(guò)定點(diǎn)，A項(xiàng)正確；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，直線到圓心的距離達(dá)到最大值，此時(shí)，可知的最小值是，故B項(xiàng)不正確；對(duì)于C，，由于的最小值是，此時(shí)取最大值，故最大值為0，故C項(xiàng)正確；對(duì)于D，設(shè)的中點(diǎn)為，連接，則，可得，故D項(xiàng)正確．故選：ACD．三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分）12.已知向量，則點(diǎn)A到直線的距離為_(kāi)__________．【正確答案】1【分析】根據(jù)點(diǎn)到直線距離公式求出答案.【詳解】在方向上投影向量的模為，所以點(diǎn)A到直線的距離．故113.世紀(jì),笛卡爾在《幾何學(xué)》中,通過(guò)建立坐標(biāo)系,將代數(shù)對(duì)象與幾何對(duì)象建立關(guān)系,從而實(shí)現(xiàn)了代數(shù)問(wèn)題與幾何問(wèn)題的轉(zhuǎn)化,創(chuàng)立了新分支——解析幾何,我們知道,方程在一維空間中,表示一個(gè)點(diǎn);在二維空間中,它表示一條直線;在三維空間中,它表示一個(gè)平面,過(guò)點(diǎn),法向量為的平面的方程是_________.【正確答案】【分析】在空間直角坐標(biāo)系中,若法向量為,且平面過(guò)點(diǎn),那么平面方程為計(jì)算可得.【詳解】過(guò)點(diǎn),法向量為的平面的方程為,即.故答案為:.14.設(shè)，過(guò)定點(diǎn)A的動(dòng)直線和過(guò)定點(diǎn)B的動(dòng)直線交于點(diǎn)，則的取值范圍是___________.【正確答案】【分析】可得直線分別過(guò)定點(diǎn)和且垂直，可得設(shè)，則，,,則，利用正弦函數(shù)的性質(zhì)求值域即可．【詳解】由題意可知，動(dòng)直線，經(jīng)過(guò)定點(diǎn)，動(dòng)直線即，經(jīng)過(guò)定點(diǎn)，時(shí)，動(dòng)直線和動(dòng)直線的斜率之積為，時(shí)，也垂直，所以兩直線始終垂直，又P是兩條直線的交點(diǎn)，，．設(shè)，則，，由且，可得，，，，，，故答案為.關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：因?yàn)?，設(shè)，則，，則，即可求得的取值范圍.四、解答題（本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）15.已知以點(diǎn)A?1,2為圓心的圓與直線相切，過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線與圓A相交于（1）求圓的方程；（2）當(dāng)時(shí)，求直線的方程．【正確答案】（1）（2）或【分析】(1)由題意知點(diǎn)到直線距離公式可確定圓A半徑，帶入到圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可求得圓的方程；(2)過(guò)A做，由垂徑定理可知圓心到直線，設(shè)出直線，可分為斜率存在和斜率不存在兩種情況，解之可得直線方程【小問(wèn)1詳解】易知A?1,2到直線的距離為圓A半徑r，所以，則圓A方程【小問(wèn)2詳解】過(guò)A做,由垂徑定理可知，且，在中由勾股定理易知當(dāng)動(dòng)直線斜率不存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，經(jīng)檢驗(yàn)圓心到直線的距離為，且根據(jù)勾股定理可知，顯然合題意，當(dāng)動(dòng)直線斜率存在時(shí)，過(guò)點(diǎn)，設(shè)方程為：，由A?1,2到距離為知得，代入解之可得，所以或?yàn)樗蠓匠蹋?6.如圖，邊長(zhǎng)為2的等邊所在的平面垂直于矩形所在的平面，，為的中點(diǎn)．（1）求證：；（2）若為直線上一點(diǎn)，且，求直線與平面所成角的正弦值．【正確答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【分析】（1）利用面面垂直的性質(zhì)證明線面垂直進(jìn)而得到線線垂直;（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量，利用向量夾角余弦公式求出直線與平面所成角的正弦值.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，，平面，所以平面，又因?yàn)槠矫嫠浴拘?wèn)2詳解】如圖，以點(diǎn)為原點(diǎn)，分別以直線為軸，軸，依題意，可得，，，，，所以，，，，又，為的中點(diǎn).，所以，設(shè)n=x,y,z為平面因?yàn)?，，則，即，取，可得，所以為平面的一個(gè)法向量，設(shè)直線與平面所成角為，則，所以直線與平面所成角的正弦值為17.已知的頂點(diǎn)邊上的中線所在直線的方程為的平分線所在直線的方程為.（1）求直線的方程和點(diǎn)C的坐標(biāo)；（2）求的面積．【正確答案】（1），，（2）.【分析】（1）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)是，由的中點(diǎn)在直線上，求得點(diǎn)的坐標(biāo)，再求出點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)即可求得直線的方程，聯(lián)立方程組求出點(diǎn)坐標(biāo).（2）利用兩點(diǎn)間距離公式及點(diǎn)到直線距離公式求出三角形面積.【小問(wèn)1詳解】由點(diǎn)在上，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)是，則的中點(diǎn)在直線上，于是，解得，即點(diǎn)，設(shè)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，則有，解得，即，顯然點(diǎn)在直線上，直線的斜率為，因此直線的方程為，即，由，解得，則點(diǎn)，所以直線的方程為，點(diǎn)C的坐標(biāo)為.【小問(wèn)2詳解】由（1）得，點(diǎn)到直線的距離，所以的面積.18.如圖1，在平行四邊形中，，將沿折起，使點(diǎn)D到達(dá)點(diǎn)P位置，且，連接得三棱錐，如圖2．（1）證明：平面平面；（2）在線段上是否存在點(diǎn)M，使平面與平面的夾角的余弦值為，若存在，求出的值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【正確答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）存在；【分析】（1）推導(dǎo)出，證明出平面，可得出，利用面面垂直的判定定理可證得結(jié)論成立；（2）以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、的方向分別為、、軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，其中，利用空間向量法可得出關(guān)于的等式，結(jié)合求出的值，即可得出結(jié)論.【小問(wèn)1詳解】證明：翻折前，因?yàn)樗倪呅螢槠叫兴倪呅?，，則，因?yàn)?，則，，由余弦定理可得，所以，，則，同理可證，翻折后，則有，，因?yàn)?，，、平面，所以，平面，因?yàn)槠矫?，則，因?yàn)?，、平面，所以，平面，所以平面平?【小問(wèn)2詳解】因?yàn)槠矫?，，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、的方向分別為、、軸的正方向建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則A0,0,0、P0,0,1、、，設(shè)，其中，則，，設(shè)平面的法向量為，則，取，則，，所以，，平面的一個(gè)法向量為，，，則，令，可得，則，整理可得，因此，線段上存在點(diǎn)，使平面AMB與平面MBC的夾角的余弦值為，且.19.