湖南省“湘東十校”2025屆高三10月聯(lián)考數(shù)學試題（含答案）

第=page11頁，共=sectionpages11頁湖南省“湘東十?！?025屆高三10月聯(lián)考數(shù)學試題一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.已知集合A=x|(x?1)2>0，A.[?1,1] B.(?1,1) C.?1,0,1 D.?1,02.已知復數(shù)z=2i1+i(i為虛數(shù)單位)A.0 B.2i C.?2i D.23.已知三角形ABC為單位圓O的內(nèi)接正三角形，則OB·A.?32 B.32 C.14.已知角α的終邊上一點M(?1,2)，則cos(A.1 B.?1 C.2 D.5.若(1?ax)(2+x)4(a∈R)的展開式中x3的系數(shù)為?40，則A.1 B.2 C.?4 D.?66.已知函數(shù)y=f(x+1)的圖象關于(?1,0)對稱，g(x)為偶函數(shù)，且f(x)+g(x)=x2+xx2A.[?2,0] B.(?∞,?2]∪[0,+∞)

C.(?∞,0] D.[0,+∞)7.函數(shù)y=f(x)的圖象由函數(shù)y=2cos?2x?1的圖象向右平移π4個單位長度得到，則y=f(x)的圖象與直線y=?x的交點個數(shù)有A.1個 B.2個 C.3個 D.4個8.已知在平面直角坐標系xOy中，M(?4,0)，N(?1,0)，點P滿足|PM|=2|PN|.設點P的軌跡為曲線W，直線l：x+y?k=0(k>0)，若直線l與曲線W交于不同的兩點A，B，O是坐標原點，且有OB?OA≤3A.(3,6) B.[二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.已知數(shù)列an的前n項和為Sn=A.an=n?7 B.1a2a3+1a3a4+10.已知?1為函數(shù)f(x)=x3?3x+a的一個零點，則A.f(x)的圖象關于(0,?2)對稱

B.f(x)<0的解集為(?∞,2)

C.x∈(0,1)時，f(x2)<f(x)

D.x∈[m,n]時，f(x)∈[?4,0]，則11.已知△ABC中，AB⊥BC,AB=BC=2，E，F(xiàn)分別在線段BA，CA上，且BE=λBA，CF=λCA(λ∈(0,1)).現(xiàn)將△AEF沿EF折起，使二面角A?EF?C的大小為α(α∈(0,π)).以下命題正確的是A.若λ=12，α=π3，則點F到平面ABC的距離為32

B.存在λ使得四棱錐ABCFE有外接球

C.若λ=13，則棱錐FAEB體積的最大值為16三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知F為橢圓C：x24+y2=1的一個焦點，點M在C上，O為坐標原點，若13.曲線y=1?xln(2x)的一條切線為y=?2x+b，則b=__________．14.小王和爸爸玩卡片游戲，小王拿有2張標有A和1張標有B的卡片，爸爸有3張標有B的卡片，現(xiàn)兩人各隨機取一張交換，重復n次這樣的操作，記小王和爸爸每人各有一張A卡片的概率記為an，則a2=

，an四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)設△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c.已知2acos?C+c=2b．(1)求A；(2)若cos?B=17，BC邊的中線是AD，求16.(本小題15分)如圖，直四棱柱ABCD?A1B1C1D1的體積為12，(1)求證：D1C?//平面(2)求A到平面A1(3)若AA1=AB，平面A1BC⊥平面ABB17.(本小題15分)在平面直角坐標系中，已知動點E(x,y)滿足：(x+2(1)求動點E的軌跡方程Γ；(2)過F1(?2,0)作直線l1交曲線Γ的y軸左側(cè)部分于A，B兩點，過F2(2,0)作直線l2交曲線Γ的y軸右側(cè)部分于C，D兩點，且AB?//?CD，依次連接A，B，C，D18.(本小題17分)已知定義域為R的兩個函數(shù)f(x)與g(x)滿足f(x)+g(x)=e?x，(1)若有且僅有兩個整數(shù)使關于x的不等式ln[g(a2(2)求函數(shù)?(x)=f(x)?g(2x)的極值；(3)若x∈R，判斷f(x)+2xg(x)的符號，并說明理由．19.(本小題17分)已知maxa1,a2,a3,…,ak表示數(shù)列a1，a2，a3，…，ak中最大的項，按照以下方法：b(1)已知數(shù)列an僅有5項，各項互不相等，an∈1,2,3,4,5，且a4=5，請寫出(2)若an滿足a1=?12，a100=1992(ⅰ)求b2025(ⅱ)求bn的前n項和Sn．

參考答案1.D

2.B

3.A

4.A

5.B

6.A

7.C

8.C

9.BCD

10.AD

11.ACD

12.1213.1+e214.162715.解：(1)由2acosC+c=2b及正弦定理，知2sinAcosC+sinC=2sinB，

即2sinAcosC+sinC=2sin(A+C)=2sinAcosC+2cosAsinC，

由sinC≠0，∴cosA=12，A∈(0,π)，∴A=60°．

(2)由cosB=1716.解：(1)因為DC/?/AB，DC?平面ABB1A1，AB?平面ABB1A1，所以DC/?/平面ABB1A1，

又因為D1D//AA1，D1D?平面ABB1A1，AA1?平面ABB1A1，

所以D1D//平面ABB1A1，

且DC∩D1D=D，DC，D1D?平面D1DCC1，可得平面D1DCC1//平面ABB1A1，

由D1C?平面D1DCC1，所以D1C?//平面ABB1A1．

(2)連接AC，設直四棱柱ABCD?A1B1C1D1的高為?，

因為S梯形ABCD=3S△ABC，則VA1?ACB=13S△ABC·?=19S梯形ABCD·?=19×12=43，

設A到平面A1BC的距離為d，

且VA?A1BC=VA1?ACB，則43=13×22d，解得d=2，

所以點A到平面A1BC的距離為2．

(3)連接AB1，

因為AA1=AB，可知A1ABB1是正方形，則AB1⊥A1B，

又因為平面A1BC⊥平面ABB1A1，平面A1BC∩平面ABB1A1=A1B，AB1?17.解：(1)由(x+2)2+y2?(x?2)2+y2=±2，得||EF1|?|EF2||=2<4，

所以動點E的軌跡是以(?2,0)，(2,0)為焦點，2a=2為長軸長的雙曲線，

而且a=1，c=2，b=3，

所以所求軌跡方程為x2?y23=1．

(2)由題意可知AB/?/CD且AB=CD，

∴四邊形ABCD為平行四邊形，

直線AB，CD的斜率必不為0，所以可設直線l2為x=my+2，C(x1,y1)，D(x2,y2)，

聯(lián)立x2?y23=1,x=my+2,化簡得(3m2?1)y2+12my+9=0，

所以y1+18.解：(1)由f(x)+g(x)=e?x，f(x)?g(x)=?ex，解得f(x)=e?x?ex2，g(x)=e?x+ex2，

因為ln[g(a2x2)?f(a2x2)]=lnea2x2=a2x2，所以原不等式可化為(x+1)2≥a2x2，

即(1?a2)x2+2x+1≥0，為滿足題意，必有1?a2<0，即a<?1或a>1，?①

令φ(x)=(1?a2)x2+2x+1，

所以φ0=1>0，φ?1=?a2，結(jié)合?①可得φ?1<0

所以φ(x)的一個零點在區(qū)間(?1,0)上，另一個零點在區(qū)間[1,2)上，

從而φ(1)≥0,φ(2)<0,即(1?a2)+2+1≥0,(1?a2)×22+4+1<0,?②

由?①?②可得?2≤a<?32或32<a≤2.

(2)由題意有?(x)=f(x)?g(2x)=e?x?ex2?e2x19.解：(1)因為數(shù)列{an}僅有5項，各項均為互不相等的正整數(shù)，且1≤an≤5，a4=5，

所以b1=b2=b3=b4=a4=5，b5≠5，

若b5=a5=1，此時“max數(shù)列”{bn}為5，5，5，5，1;

若b5=a5=2，此時“max數(shù)列”{bn}為5，5，5，5，2;

若b5=a5=3，此時“max數(shù)列”{bn}為5，5，5，5，3;

若b5=a5=4，此時“max數(shù)列”{bn}為5，5，5，5，4，

所以根據(jù)“max數(shù)列”的定義可知{bn}有4個，分別為5，5，5，5，1或5，5，5，