浙江省金蘭教育合作組織2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題 含解析

浙江省金蘭教育合作組織2024學(xué)年第一學(xué)期期中考試高一年級(jí)數(shù)學(xué)學(xué)科試題考生須知：1.本卷共4頁(yè)滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.2.答題前，在答題卷指定區(qū)域填寫(xiě)班級(jí)、姓名、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)及準(zhǔn)考證號(hào)并填涂相應(yīng)數(shù)字.3.所有答案必須寫(xiě)在答題紙上，寫(xiě)在試卷上無(wú)效.4.考試結(jié)束后，只需上交答題紙.選擇題部分一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知全集，集合，，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)交集和補(bǔ)集的概念計(jì)算即可.【詳解】∵集合，，∴，又全集，∴故選：D.2.下列說(shuō)法正確的是（）A.， B.“且”是“”的充要條件C.， D.“”是“”的必要不充分條件【答案】D【解析】【分析】根據(jù)絕對(duì)值的性質(zhì)可判斷A；根據(jù)充分條件與必要條件的概念可判斷B，D；解方程可判斷C.【詳解】對(duì)于A，，，當(dāng)x=?1時(shí)，取等號(hào)，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，當(dāng)且時(shí)，可得，充分性成立；當(dāng)時(shí)，不一定有“且”，如，則“且”是“”的充分不必要條件，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由得，因?yàn)?，所以，則不存在，使成立，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，或，則當(dāng)時(shí)不一定有，充分性不成立；當(dāng)時(shí)，一定有，必要性成立，則“”是“”的必要不充分條件，故D正確.故選：D.3.已知集合，則的值為（）A.0 B.1C. D.1或【答案】B【解析】【分析】利用集合相等和集合中元素的互異性，以已知的為突破口，分類(lèi)討論求出的值.【詳解】集合，兩個(gè)集合中元素完全相同，由，則有，得，有，所以，由集合中元素的互異性，有，得，則有.故選：B.4.設(shè)函數(shù)，則（）A.奇函數(shù)，且在上單調(diào)遞增 B.是奇函數(shù)，且在上單調(diào)遞減C.是偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞增 D.是偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞減【答案】A【解析】【分析】由奇偶性的定義和指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得結(jié)論．【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?，，可得為奇函?shù)，函數(shù)和在上都單調(diào)遞增，可得單調(diào)遞增，故選：A．5.下列函數(shù)中最小值為4的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可判斷A；當(dāng)時(shí)，即可判斷B；利用基本不等式可判斷C；根據(jù)對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)可判斷D.【詳解】對(duì)于A，為二次函數(shù)，其對(duì)稱(chēng)軸為，則時(shí)，取最小值3，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，則的最小值為4，故C正確；對(duì)于D，令，則，根據(jù)對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)可知，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，則時(shí)，取最小值，故D錯(cuò)誤.故選：C6.函數(shù)的圖象大致為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】利用函數(shù)的奇偶性及特值法可判定選項(xiàng).【詳解】令，則，則為奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，可排除C、D；當(dāng)時(shí),，可排除A，從而B(niǎo)正確.故選：B.7.下列命題為真命題的是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則【答案】C【解析】【分析】對(duì)于ABD：舉反例分析判斷；對(duì)于C：根據(jù)不等式的性質(zhì)分析判斷.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A：若，則，故A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B：若滿足，則，故B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C：若，則，即，故C正確；對(duì)于選項(xiàng)D：若滿足，則，故D錯(cuò)誤；故選：C.8.若定義在上的偶函數(shù)在上單調(diào)遞減，且，則滿足的的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)奇偶性和單調(diào)性得出取值情況，進(jìn)而解不等式即可.【詳解】因?yàn)槎x在上的偶函數(shù)在上單調(diào)遞減，且，所以在上單調(diào)遞增，且，所以，當(dāng)或時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.不等式可變形為，或，所以，或，解得或，即的取值范圍是.故選：A.二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.少選得部分分，錯(cuò)選得0分.9.已知冪函數(shù)，則以下結(jié)論正確的是（）A.的定義域?yàn)?B.是減函數(shù)C.的值域?yàn)?D.是偶函數(shù)【答案】AC【解析】【分析】由冪函數(shù)的性質(zhì)，判斷的定義域值域單調(diào)性和奇偶性.【詳解】?jī)绾瘮?shù)，函數(shù)定義域?yàn)椋珹選項(xiàng)正確；由冪函數(shù)的性質(zhì)可知，在上單調(diào)遞增，值域?yàn)?，B選項(xiàng)錯(cuò)誤，C選項(xiàng)正確；函數(shù)定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，不是偶函數(shù)，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：AC.10.已知集合，，則下列選項(xiàng)中正確的是（）A.集合有32個(gè)子集 B.C.中所含元素的個(gè)數(shù)為10個(gè) D.【答案】ABC【解析】【分析】A選項(xiàng)由公式計(jì)算集合的子集個(gè)數(shù)；由定義列舉集合B中的元素，判斷選項(xiàng)BCD.【詳解】集合中有5個(gè)元素，則集合有個(gè)子集，A選項(xiàng)正確；由，則，中所含元素的個(gè)數(shù)為10個(gè)，C選項(xiàng)正確；，，B選項(xiàng)正確，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：ABC.11.下列說(shuō)法正確的是（）A.函數(shù)在定義域內(nèi)是減函數(shù)B.若，則函數(shù)的最大值為C.若不等式對(duì)一切實(shí)數(shù)恒成立，則D.若，，，則的最小值為2【答案】BCD【解析】【分析】對(duì)于A取反例否定；對(duì)于B、D運(yùn)用基本不等式逐一判斷即可；對(duì)于C分兩種情況與判斷否恒成立即可【詳解】對(duì)于A：取顯然，所以A不正確；對(duì)于B：∵，∴，，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以所以，所以B正確；對(duì)于C：當(dāng)時(shí)，恒成立；當(dāng)時(shí)，則，∴.所以，故C正確；對(duì)于D：因?yàn)?，，所以由，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故D正確.故選：BCD.非選擇題部分三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知的定義域?yàn)?，則的定義域是__________.【答案】【解析】【分析】利用抽象函數(shù)定義域的解法求解即可.【詳解】因?yàn)榈亩x域?yàn)?，?duì)于函數(shù)，需使，解得，即的定義域是，故答案為：13.計(jì)算__________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪和指數(shù)運(yùn)算可得.【詳解】故答案為：14.設(shè)，則的最大值為_(kāi)_________.【答案】【解析】【分析】利用已知條件化簡(jiǎn)，再根據(jù)換元法轉(zhuǎn)化后根據(jù)基本不等式解答即可.【詳解】，，令又，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立,,上單調(diào)遞減，時(shí)，的最大值為.故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查了換元法和基本不等式的知識(shí)點(diǎn)，通過(guò)“對(duì)勾函數(shù)”求解最值.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步器.15.已知集合，.（1）若，求，；（2）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1），或（2）【解析】【分析】（1）直接利用集合的運(yùn)算求解即可；（2）由，得，分兩種情況討論求的取值范圍.【小問(wèn)1詳解】若，則，又，∴；∵或x>1，∴或.【小問(wèn)2詳解】若，則．當(dāng)時(shí)，有，解得，符合題意；當(dāng)，由得，解得綜上，的取值范圍為.16.已知（1）當(dāng)時(shí)，求不等式的解集；（2）若在上為增函數(shù)，求的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）代入，零點(diǎn)分段去絕對(duì)值，解不等式；（2）零點(diǎn)分段去絕對(duì)值，把表示成分段函數(shù)，利用在上為增函數(shù)，求的取值范圍.【小問(wèn)1詳解】當(dāng)時(shí)，，等價(jià)于或，解得.不等式的解集為.【小問(wèn)2詳解】，在上為增函數(shù)，且的圖象是連續(xù)曲線，函數(shù)在上單調(diào)遞增，符合題意；函數(shù)在上單調(diào)遞增，則有，解得.所以的取值范圍為.17.某工廠生產(chǎn)某種玩具車(chē)的固定成本為15000元，每生產(chǎn)一輛車(chē)需增加投入80元.已知總收入（單位：元）關(guān)于月產(chǎn)量（單位：輛）滿足函數(shù)：（1）將利潤(rùn)（單位：元）表示為月產(chǎn)量（單位：輛）的函數(shù)；（2）當(dāng)月產(chǎn)量為何值時(shí)，公司所獲利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)為多少元？（總收入=總成本+利潤(rùn)）【答案】（1）（2）當(dāng)月產(chǎn)量為300輛時(shí)，利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為元.【解析】【分析】（1）利用題中給出的總收入關(guān)于月產(chǎn)量的關(guān)系式，由利潤(rùn)=總收入-總成本即可得到答案；（2）分段函數(shù)，分別利用二次函數(shù)的性質(zhì)以及函數(shù)的單調(diào)性求出定義區(qū)間內(nèi)的最值，比較即可得到答案．【小問(wèn)1詳解】由題可知總成本為，∴利潤(rùn).【小問(wèn)2詳解】當(dāng)，，∴當(dāng)時(shí)，有最大值；當(dāng)時(shí)，是減函數(shù)，∴.∴當(dāng)時(shí)，有最大值，即當(dāng)月產(chǎn)量為300輛時(shí)，利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為元.18.（1）已知，，且，求的最小值；（2）設(shè)，，若，求的最小值；（3）求函數(shù)的最大值.【答案】（1）4；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）由題可將化簡(jiǎn)為，再利用基本不等式求解即可；（2）利用換元思想，原式可化為，再利用基本不等式即可；（3）由定義域可得，可先求在區(qū)間上的最大值，令，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解，【詳解】（1）因?yàn)椋?，且?/p>

所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以的最小值為4．（2）設(shè)，，若，則，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以時(shí)，的最小值為；（3）函數(shù)有意義，則有，解得，即函數(shù)的定義域?yàn)?，有，求函?shù)的最大值，可先求在區(qū)間上的最大值，令，則，故，再令，則，結(jié)合二次函數(shù)的圖象，當(dāng)時(shí)，得有最大值，則時(shí)有最大值，從而時(shí)的最大值為.19.已知定義在上的奇函數(shù)，且.（1）求函數(shù)的解析式；（2）判斷在上的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論；（3）設(shè)，若，對(duì)，有成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）（2）單調(diào)遞增，證明見(jiàn)解析（3）【解析】【分析】（1）利用函數(shù)為奇函數(shù)且，求出的值得函數(shù)的解析式；（2）定義法判斷并證明在上的單調(diào)性；（3）依題意有，分類(lèi)討論函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)的最小值即可.【小問(wèn)1詳解】定義在R上的奇函數(shù)，有，