2020-2021學(xué)年高中數(shù)學(xué)-第二章-數(shù)列-2.2.2-等差數(shù)列的性質(zhì)同步作業(yè)新人教A版必修5

2020-2021學(xué)年高中數(shù)學(xué)第二章數(shù)列2.2.2等差數(shù)列的性質(zhì)同步作業(yè)新人教A版必修52020-2021學(xué)年高中數(shù)學(xué)第二章數(shù)列2.2.2等差數(shù)列的性質(zhì)同步作業(yè)新人教A版必修52021學(xué)年高中數(shù)學(xué)第二章數(shù)列2.2.2等差數(shù)列的性質(zhì)同步作業(yè)新人教A版必修52020-2021學(xué)年高中數(shù)學(xué)第二章數(shù)列2.2.2等差數(shù)列的性質(zhì)同步作業(yè)新人教A版必修5年級：姓名：等差數(shù)列的性質(zhì)(30分鐘60分)一、選擇題(每小題5分,共30分)1.在等差數(shù)列{an}中,若a2=4,a4=2,則a6= ()A.-1 B.0 C.1 【解析】選B.由等差數(shù)列的性質(zhì)得a6=2a4-a2=2×2-4=0.2.等差數(shù)列{an}中a2=5,a6=33,則a3+a5= ()A.35 B.38 C.45 【解析】選B.由等差數(shù)列的性質(zhì)知a3+a5=a2+a6=38.3.在等差數(shù)列{an}中,a2000=log27,a2022=log2QUOTE,則a2011= ()A.0 B.7 C.1 【解析】選A.因為數(shù)列{an}是等差數(shù)列,所以由等差數(shù)列的性質(zhì)可知2a2011=a2000+a2022=log27+log2QUOTE=log21=0,故a2011=0.4.等差數(shù)列{an}中,已知a3=10,a8=-20,則公差d= ()A.3 B.-6 C.4 【解析】選B.由等差數(shù)列的性質(zhì),得a8-a3=(8-3)d=5d,所以d=QUOTE=-6.5.已知等差數(shù)列{an}中,a2+a5+a8=9,那么關(guān)于x的方程x2+(a4+a6)x+10=0 ()A.無實根 B.有兩個相等實根C.有兩個不等實根 D.不能確定有無實根【解析】選A.因為a4+a6=a2+a8=2a5,a2+a5+a8=3a5=9,所以a5=3,則方程為x2+6x+10=0,因為Δ=62-4×10=-4<0,所以方程無實根.6.設(shè)數(shù)列{an},{bn}都是等差數(shù)列.若a1+b1=7,a3+b3=21,則a5+b5= ()A.15 B.25 C.35 【解析】選C.方法一:設(shè){an},{bn}的公差分別為d1,d2,因為a3+b3=(a1+2d1)+(b1+2d2)=(a1+b1)+2(d1+d2)=7+2(d1+d2)=21,所以d1+d2=7,a5+b5=(a3+b3)+2(d1+d2)=21+2×7=35.方法二:因為數(shù)列{an},{bn}都是等差數(shù)列,所以{an+bn}也構(gòu)成等差數(shù)列,所以2(a3+b3)=(a1+b1)+(a5+b5),所以2×21=7+a5+b5,所以a5+b5=35.二、填空題(每小題5分,共10分)7.在等差數(shù)列{an}中,a7+a9=16,a4=1,則a12=________.

【解析】因為數(shù)列{an}為等差數(shù)列,所以a7+a9=a4+a12,a12=16-1=15.答案:158.(2019·大慶高一檢測)在等差數(shù)列QUOTE中,若a2+a8=10.則QUOTE-2a5=__________.

【解析】因為數(shù)列QUOTE為等差數(shù)列,a2+a8=a4+a6=2a5=10,所以QUOTE-2a5=102-10=90.答案:90三、解答題(每小題10分,共20分)9.在等差數(shù)列{an}中,a3+a12=60,a6+a7+a8=75,求an.【解析】由a6+a7+a8=3a7=75得a7=25,因為QUOTE得QUOTE故an=a1+(n-1)d=-35+10(n-1)=10n-45.10.在等差數(shù)列{an}中,若a1+a2+…+a5=30,a6+a7+…+a10=80,求a11+a12+…+a15.【解析】方法一:由等差數(shù)列的性質(zhì)得a1+a11=2a6,a2+a12=2a7,…,a5+a15=2a10.所以(a1+a2+…+a5)+(a11+a12+…+a15)=2(a6+a7+…+a10).所以a11+a12+…+a15=2(a6+a7+…+a10)-(a1+a2+…+a5)=2×80-30=130.方法二:因為數(shù)列{an}是等差數(shù)列,所以a1+a2+…+a5,a6+a7+…+a10,a11+a12+…+a15也成等差數(shù)列,即30,80,a11+a12+…+a15成等差數(shù)列,所以30+(a11+a12+…+a15)=2×80,a11+a12+…+a15=130.(45分鐘75分)一、選擇題(每小題5分,共25分)1.數(shù)列{an}滿足3+an=QUOTE且a2+a4+a6=9,則log6(a5+a7+a9)的值是 ()A.-2 B.-QUOTE C.2 D.QUOTE【解析】選C.因為QUOTE-an=3,所以{an}為等差數(shù)列,且d=3.a2+a4+a6=9=3a4,所以a4=3,a5+a7+a9=3a7=3(a4+3d)=3(3+3×3)=36,所以log6(a5+a7+a9)=log636=2.2.(2017·全國卷Ⅱ改編)已知等差數(shù)列{an}滿足a4+a5=24,a1+a2+a3+a4+a5+a6=48,則{an}的公差為 ()A.1 B.2 C.4 【解析】選C.因為a1+a2+a3+a4+a5+a6=48,所以3(a3+a4)=48,即a3+a4=16①,又因為a4+a5=24②,②-①得a5-a3=8,故d=QUOTE=4.3.《九章算術(shù)》“竹九節(jié)”問題:現(xiàn)有一根9節(jié)的竹子,自上而下各節(jié)的容積成等差數(shù)列,上面4節(jié)的容積共3升,下面3節(jié)的容積共4升,則第 ()A.1升 B.QUOTE升 C.QUOTE升 D.QUOTE升【解析】選B.設(shè)所構(gòu)成的等差數(shù)列{an}的首項為a1,公差為d,則有QUOTE即QUOTE解得QUOTE所以a5=a1+4d=QUOTE,即第5節(jié)的容積為QUOTE升.4.已知數(shù)列{an}為等差數(shù)列且a1+a7+a13=4π,則tan(a2+a12)的值為 ()A.QUOTE B.±QUOTE C.-QUOTE D.-QUOTE【解析】選D.由等差數(shù)列性質(zhì)知a1+a13=2a7,即3a7=4π,所以a7=QUOTE,所以a2+a12=2a7=QUOTE,即tan(a2+a12)=-QUOTE.【補償訓(xùn)練】在等差數(shù)列{an}中,a2=3,a3+a4=9,則a1a6的值為A.14B.18C.21D.27【解析】選A.因為a2=3,a3+a4=9,所以a2+a3+a4=12,即3a3=12,故a3=4,a4=5,所以an=n+1,所以a1a65.《九章算術(shù)》是我國古代的數(shù)學(xué)名著,書中有如下問題:“今有五人分五錢,令上二人所得與下三人等.問各得幾何?”其意思為“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5錢,甲、乙兩人所得與丙、丁、戊三人所得相同,且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差數(shù)列.問五人各得多少錢?”(“錢”是古代的一種計量單位).這個問題中,甲所得為 ()A.QUOTE錢 B.QUOTE錢 C.QUOTE錢 D.QUOTE錢【解析】選B.依據(jù)題意,設(shè)甲、乙、丙、丁、戊五人所得錢分別為a-2d,a-d,a,a+d,a+2d,則由題意可知a-2d+a-d=a+a+d+a+2d,即a=-6d.又因為a-2d+a-d+a+a+d+a+2d=5a=5,解得a=1.則a-2d=a-2×QUOTE=QUOTEa=QUOTE,故選B.二、填空題(每小題5分,共20分)6.已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列,若a4+a7+a10=17,a4+a5+a6+…+a12+a13+a14=77,且ak=13,則k=________.

【解析】因為a4+a7+a10=3a7=17,所以a7=QUOTE.因為a4+…+a14=11a9=77,所以a9=7,d=QUOTE,所以ak-a9=(k-9)d.即13-7=(k-9)×QUOTE,解得k=18.答案:187.已知在等差數(shù)列{an}中,a3,a15是方程x2-6x-1=0的兩根,則a7+a8+a9+a10+a11=________.

【解析】由題意知a3+a15=6,即2a9=6,所以a9=3,根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)知a7+a11=a8+a10=2a9,所以a7+a8+a9+a10+a11=5a9=15.答案:15【延伸探究】本題條件不變,則a1+a2+…+a17=________.

【解析】a1+a2+…+a17=17a9=17×3=51.答案:518.在等差數(shù)列{an}中,a5+a6=4,則log2(QUOTE·QUOTE·…·QUOTE)=________.

【解析】在等差數(shù)列{an}中,a5+a6=4,所以a1+a10=a2+a9=a3+a8=a4+a7=a5+a6=4,所以a1+a2+…+a10=(a1+a10)+(a2+a9)+(a3+a8)+(a4+a7)+(a5+a6)=5(a5+a6)=20,則log2(QUOTE·QUOTE·…·QUOTE)=log2QUOTE=a1+a2+…+a10=20.答案:209.已知(x2-2x+m)(x2-2x+n)=0的4個根組成首項為QUOTE的等差數(shù)列,則|m-n|=________.

【解析】因為y=x2-2x+m與y=x2-2x+n有相同的對稱軸,設(shè)四個根分別為x1,x2,x3,x4,不妨設(shè)x1,x4為x2-2x+m=0的兩根,x2,x3為x2-2x+n=0的兩根,則不妨令x1=QUOTE,所以x4=QUOTE,x2=QUOTE,x3=QUOTE,所以m=QUOTE,n=QUOTE,所以|m-n|=QUOTE.答案:QUOTE三、解答題(每小題10分,共30分)10.某產(chǎn)品按質(zhì)量分10個檔次,生產(chǎn)最低檔次的產(chǎn)品的利潤是8元/件,每提高一個檔次,利潤每件增加2元,同時每提高一個檔次,產(chǎn)量減少3件,在相同的時間內(nèi),最低檔次的產(chǎn)品可生產(chǎn)60件.試問:在相同的時間內(nèi),應(yīng)選擇生產(chǎn)第幾檔次的產(chǎn)品可獲得最大利潤?(設(shè)最低檔次為第一檔次)【解析】設(shè)在相同的時間內(nèi),從低到高每檔產(chǎn)品的產(chǎn)量分別為a1,a2,…,a10,利潤分別為b1,b2,…,b10,則{an},{bn}均為等差數(shù)列,且a1=60,d1=-3,b1=8,d2=2,所以an=60-3(n-1)=-3n+63,bn=8+2(n-1)=2n+6,所以利潤f(n)=anbn=(-3n+63)(2n+6)=-6n2+108n+378=-6(n-9)2+864.所以當(dāng)n=9時,f(n)max=f(9)=864.所以在相同的時間內(nèi)生產(chǎn)第9檔次的產(chǎn)品可以獲得最大利潤.11.四個數(shù)成遞增等差數(shù)列,中間兩數(shù)的和為2,首末兩項的積為-8,求這四個數(shù).【解析】設(shè)這四個數(shù)為a-3d,a-d,a+d,a+3d(公差為2d),依題意,2a=2,且(a-3d)(a+3d)=-8,即a=1,a2-9d2=-8,所以d2=1,所以d=1或d=-1.又四個數(shù)成遞增等差數(shù)列,所以d>0,所以d=1,故所求的四個數(shù)為-2,0,2,4.【補償訓(xùn)練】已知單調(diào)遞增等差數(shù)列{an}的前三項之和為21,前三項之積為231,求數(shù)列{an}的通項公式.【解析】方法一:考慮從a1和d出發(fā)來確定an.由題意可得QUOTE則QUOTE解得a1=3,d=4或a1=11,d=-4.注意到數(shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列,因此舍去a1=11,d=-4.從而等差數(shù)列{an}的通項公式為an=4n-1.方法二:由于數(shù)列為等差數(shù)列,因此可設(shè)等差數(shù)列前三項為a-d,a,a+d,于是可得QUOTE即QUOTE即a=7,d2=16,由于數(shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列,因此d=4,從而an=4n-1.12.已知等差數(shù)列{an}中,公差d>0,a2·a3=45,a1+a4=14.(1)求數(shù)列{an}的通項公式.(2)令bn=QUOTE(n