《12.11 勾股定理》學(xué)習(xí)任務(wù)單

《12.11勾股定理》學(xué)習(xí)任務(wù)單班級(jí)：＿_(dá)____姓名：＿_(dá)____組號(hào)：＿_(dá)____一、學(xué)習(xí)內(nèi)容北京版八年級(jí)上冊(cè)第十二章三角形中的12.11勾股定理相關(guān)內(nèi)容，包括課本中的例題、定理證明部分以及課后相關(guān)練習(xí)題。二、我的目標(biāo)（一）知識(shí)與技能目標(biāo)1、能準(zhǔn)確說出勾股定理的內(nèi)容，就像能清楚說出自己最喜歡的游戲規(guī)則一樣準(zhǔn)確。2、會(huì)用勾股定理解決簡單的直角三角形邊長計(jì)算問題，就像能輕松算出自己零花錢的收支一樣熟練。3、能夠根據(jù)直角三角形的兩條邊的長度，準(zhǔn)確求出第三條邊的長度，就像在熟悉的小路上找到回家的方向一樣準(zhǔn)確。（二）過程與方法目標(biāo)1、通過觀察、分析直角三角形三邊關(guān)系的活動(dòng)，像小偵探一樣發(fā)現(xiàn)勾股定理，提高觀察和分析問題的能力。2、在證明勾股定理的過程中，像小數(shù)學(xué)家一樣嘗試不同的證明方法，培養(yǎng)邏輯思維和推理能力。（三）情感態(tài)度與價(jià)值觀目標(biāo)1、感受數(shù)學(xué)文化的魅力，就像被一部精彩的電影吸引一樣，對(duì)數(shù)學(xué)歷史和數(shù)學(xué)家的智慧產(chǎn)生敬仰之情。2、在探索勾股定理的過程中，培養(yǎng)不怕困難、勇于探索的精神，就像勇敢的探險(xiǎn)家在未知的領(lǐng)域探索一樣。三、重難點(diǎn)（一）重點(diǎn)1、深刻理解勾股定理的內(nèi)容，像牢記好朋友的電話號(hào)碼一樣牢記它。2、熟練運(yùn)用勾股定理進(jìn)行直角三角形邊長的計(jì)算，就像熟練使用手機(jī)一樣自然。（二）難點(diǎn)1、勾股定理的證明過程，這就像解開一個(gè)神秘的魔術(shù)一樣需要智慧和耐心。2、靈活運(yùn)用勾股定理解決實(shí)際問題中的復(fù)雜情況，就像在復(fù)雜的迷宮中找到出口一樣有挑戰(zhàn)性。四、我的研究（一）勾股定理的發(fā)現(xiàn)之旅1、觀察下面這些直角三角形（老師會(huì)在黑板上畫出幾個(gè)不同邊長的直角三角形或者給大家發(fā)放印有直角三角形的小卡片）：測(cè)量每個(gè)直角三角形的三條邊的長度（可以使用尺子哦）。計(jì)算兩條直角邊的平方和以及斜邊的平方?？纯茨隳馨l(fā)現(xiàn)什么有趣的規(guī)律呢？就像尋找寶藏的線索一樣仔細(xì)。記錄下你的發(fā)現(xiàn)：直角三角形1：直角邊a＝＿_(dá)____，直角邊b＝＿_(dá)____，斜邊c＝＿_(dá)____，計(jì)算得出＄a^｛2}＄＋＄b^｛2}＄＝＿_(dá)____，＄c^｛2}＄＝＿_(dá)____。直角三角形2：直角邊a＝＿_(dá)____，直角邊b＝＿_(dá)____，斜邊c＝＿_(dá)____，計(jì)算得出＄a^｛2}＄＋＄b^｛2}＄＝＿_(dá)____，＄c^｛2}＄＝＿_(dá)____。等等。根據(jù)你的發(fā)現(xiàn)，試著用自己的話描述一下這個(gè)規(guī)律。2、其實(shí)呀，早在古代，就有很多聰明的人發(fā)現(xiàn)了這個(gè)規(guī)律呢。老師給大家講個(gè)小故事：古代有個(gè)叫畢達(dá)哥拉斯的大數(shù)學(xué)家，有一次他去朋友家做客，看到朋友家的地板是用正方形的大理石磚鋪成的。他發(fā)現(xiàn)以一塊磚的對(duì)角線為邊畫一個(gè)正方形，這個(gè)正方形的面積恰好等于兩塊磚的面積之和。這就和我們剛剛發(fā)現(xiàn)的直角三角形三邊關(guān)系很相似呢。你們說，畢達(dá)哥拉斯是不是很善于觀察呀？那大家覺得自己和大數(shù)學(xué)家有沒有一點(diǎn)相似之處呢？（二）勾股定理的證明1、我們一起來看看歷史上一些經(jīng)典的勾股定理證明方法。趙爽弦圖證明法：老師會(huì)給大家展示趙爽弦圖（可以是圖片或者自己畫在黑板上）。觀察這個(gè)圖，你能看出大正方形的面積是怎么表示的嗎？方法一：大正方形的邊長是斜邊c，所以大正方形的面積可以表示為＄c^｛2}＄。方法二：這個(gè)大正方形是由四個(gè)全等的直角三角形（直角邊分別為a和b）和一個(gè)小正方形組成的。那么大正方形的面積還可以表示為4×（1/2)×a×b+（ba)2（這里要一步一步計(jì)算哦，先算出四個(gè)三角形的面積，再算出小正方形的面積，然后加起來）。既然這兩種表示方法都表示大正方形的面積，那么我們可以得到一個(gè)等式：＄c^｛2}＄＝4×（1/2)×a×b+（ba)2。大家一起動(dòng)手化簡這個(gè)等式，看看能不能得到勾股定理＄a^｛2}＋b^｛2}＝c^｛2}＄呢？這就像玩拼圖游戲，把各個(gè)部分組合起來得到完整的圖案一樣有趣。歐幾里得證明法（選做，對(duì)于學(xué)有余力的同學(xué)）：老師簡單介紹歐幾里得證明的思路（利用三角形全等和面積關(guān)系等知識(shí)）。同學(xué)們可以自己在課后查閱資料，更深入地了解這種證明方法，然后在小組里分享自己的收獲。2、現(xiàn)在輪到大家當(dāng)小數(shù)學(xué)家啦。試著用自己的方法來證明勾股定理?？梢援媹D輔助哦，比如你可以設(shè)計(jì)自己的“創(chuàng)意弦圖”或者其他幾何圖形組合。把你的證明思路寫下來：首先，我構(gòu)造了一個(gè)（什么樣的圖形）＿_(dá)____。然后，我分別計(jì)算這個(gè)圖形的面積的不同表示方法。第一種表示方法：＿_(dá)____。第二種表示方法：＿_(dá)____。最后，根據(jù)面積相等得到等式，經(jīng)過化簡得到勾股定理。（三）勾股定理的應(yīng)用1、在直角三角形中，如果已知兩條邊的長度，求第三條邊。例1：已知一個(gè)直角三角形的兩條直角邊分別為3和4，求斜邊的長度。首先，根據(jù)勾股定理＄a^｛2}＋b^｛2}＝c^｛2}＄，這里a＝3，b＝4。那么斜邊c的長度就是＄＼sqrt{a^｛2}＋b^｛2}｝＝＼sqrt{3^｛2}＋4^｛2}｝＝＼sqrt{9＋16}＝＼sqrt{25}＝5$。例2：已知直角三角形的一條直角邊為5，斜邊為13，求另一條直角邊。設(shè)另一條直角邊為x，根據(jù)勾股定理＄x^｛2}＋5^｛2}＝13^｛2}＄。即＄x^｛2}＝13^｛2}－5^｛2}＝16925＝144$，所以x＝＄＼sqrt{144}＝12$。現(xiàn)在大家自己來做幾道練習(xí)題吧：直角三角形的兩條直角邊分別為6和8，求斜邊的長度。直角三角形的斜邊為25，一條直角邊為7，求另一條直角邊的長度。2、勾股定理在實(shí)際生活中的應(yīng)用。老師給大家講個(gè)真實(shí)的事情。有一次，工人叔叔要在墻上安裝一個(gè)空調(diào)室外機(jī)，他們需要知道從地面到安裝位置的距離，以及空調(diào)支架的長度。這個(gè)墻面和地面就形成了一個(gè)直角三角形。他們測(cè)量出從墻腳到空調(diào)室外機(jī)安裝點(diǎn)在地面上的投影點(diǎn)的距離是3米，從投影點(diǎn)到空調(diào)室外機(jī)的垂直距離是4米。那大家能算出從墻腳到空調(diào)室外機(jī)的距離嗎？根據(jù)勾股定理，這個(gè)距離就是斜邊的長度，＄＼sqrt{3^｛2}＋4^｛2}｝＝＼sqrt{9+16}＝＼sqrt{25}＝5$米?，F(xiàn)在輪到你們啦。小明想知道他家的電視屏幕對(duì)角線的長度。他測(cè)量出屏幕的長是80厘米，寬是60厘米，你們能幫他算出來嗎？有一個(gè)長方形的池塘，長是12米，寬是5米，池塘的一個(gè)角上有一棵柳樹，要從池塘的對(duì)角拉一根繩子到柳樹，這根繩子需要多長呢？五、組內(nèi)過關(guān)（一）基礎(chǔ)過關(guān)題1、在直角三角形ABC中，∠C＝90°，a＝9，b＝12，求c的值。2、直角三角形的斜邊c＝17，一條直角邊a＝8，求另一條直角邊b的值。（二）提高過關(guān)題1、一個(gè)等腰直角三角形的斜邊長為10，求它的直角邊的長度。（提示：等腰直角三角形的兩條直角邊相等哦）2、有一個(gè)直角三角形，它的一條直角邊比另一條直角邊長3，斜邊是15，求兩條直角邊的長度。（三）互動(dòng)環(huán)節(jié)1、小組內(nèi)成員互相交換自己做的題目，像交換小禮物一樣。2、互相檢查答案，如果發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤，要像小老師一樣耐心地給對(duì)方講解。3、討論一下在做這些題目的過程中遇到的困難和有趣的發(fā)現(xiàn)。六、當(dāng)堂檢測(cè)（一）選擇題1、在直角三角形中，兩條直角邊分別為a和b，斜邊為c，如果a＝5，b＝12，那么c的值是（）A.13B.14C.15D.162、一個(gè)直角三角形的斜邊為20，一條直角邊為16，另一條直角邊是（）A.10B.12C.14D.16（二）填空題1、在直角三角形中，若a＝3，c＝5，則b＝＿_(dá)____。2、等腰直角三角形的直角邊為7，則斜邊為______。（三）解答題1、已知直角三角形的兩條邊分別為6和8，求第三邊的長度。（要考慮兩種情況哦，因?yàn)椴恢肋@兩條邊是直角邊還是一條直角邊一條斜邊）2、有一個(gè)直角三角形的面積為30，一條直角邊為5，求斜邊的長度。七、自我評(píng)估方法與標(biāo)準(zhǔn)（一）自我評(píng)估方法1、對(duì)于知識(shí)與技能目標(biāo)：回顧自己是否能準(zhǔn)確說出勾股定理內(nèi)容，如果能毫不猶豫地說出來，那就說明掌握得不錯(cuò)。檢查自己做的練習(xí)題，計(jì)算正確率。如果正確率在80%以上，說明在運(yùn)用勾股定理計(jì)算邊長方面掌握得較好。2、對(duì)于過程與方法目標(biāo)：回顧自己在發(fā)現(xiàn)勾股定理規(guī)律時(shí)的思路是否清晰，如果能清楚地說出自己是如何觀察、分析數(shù)據(jù)得到規(guī)律的，說明觀察和分析能力得到了鍛煉。在證明勾股定理的過程中，看看自己是否能理解至少一種證明方法，如果能自己獨(dú)立完成一種證明方法或者能清楚地講述一種證明方法，說明邏輯思維能力有提高。3、對(duì)于情感態(tài)度與價(jià)值觀目標(biāo)：想想自己在學(xué)習(xí)勾股定理的過程中，是否對(duì)數(shù)學(xué)歷史和數(shù)學(xué)家的故事感興趣，如果有興趣并且能講出一兩個(gè)故事，說明對(duì)數(shù)學(xué)文化有了一定的感受。回憶自己在遇到證明或者解題困難時(shí)的態(tài)度，如果沒有輕易放棄，而是努力嘗試不同方法，說明具備了勇于探索的精神。（二）評(píng)估標(biāo)準(zhǔn)1、優(yōu)秀（85分及以上）能準(zhǔn)確、熟練地說出勾股定理內(nèi)容和應(yīng)用條件，練習(xí)題正確率在90%以上。能獨(dú)立完成至少兩種勾股定理的證明方法（包括理解經(jīng)典證明方法和自己創(chuàng)造一種簡單證明方法）。對(duì)數(shù)學(xué)文化表現(xiàn)出濃厚興趣，能主動(dòng)分享數(shù)學(xué)故事，在遇到困難時(shí)積極探索，有自己的思考和解決辦法。2、良好（7084分）能準(zhǔn)確說出勾股定理內(nèi)容，練習(xí)題正確率在80%89%。能理解一種勾股定理的證明方法，并能在提示下嘗試自己的證明。對(duì)數(shù)學(xué)文化有一定了解，在遇到困難時(shí)能嘗試解決，但可能需要一些幫助。3、合格（6069分）基本能說出勾股定理內(nèi)容，但可能會(huì)有小錯(cuò)誤，練習(xí)題正確率在60%79%。能在詳細(xì)講解下理解勾股定理的證明思路，但自己難以獨(dú)立完成。對(duì)數(shù)學(xué)文化有一點(diǎn)了解，遇到困難時(shí)容易退縮，需要較多的鼓勵(lì)。4、不合格（60分以下）不能準(zhǔn)確說出勾股定理內(nèi)容，練習(xí)題正確率低于60%。完全不理解勾股定理的證明方法。對(duì)數(shù)學(xué)文化毫無興趣，遇到困難直接放棄。八、答案（一）組內(nèi)過關(guān)答案1、基礎(chǔ)過關(guān)題在直角三角形ABC中，根據(jù)勾股定理＄c=＼sqrt{a^｛2}＋b^｛2}｝＝＼sqrt{9^｛2}＋12^｛2}｝＝＼sqrt{81＋144}＝＼sqrt{225}＝15$。由勾股定理＄b=＼sqrt{c^｛2}a^｛2}｝＝＼sqrt{17^｛2}－8^｛2}｝＝＼sqrt{28964}＝＼sqrt{225}＝15$。2、提高過關(guān)題設(shè)等腰直角三角形的直角邊為x，根據(jù)勾股定理＄x^｛2}＋x^｛2}＝10^｛2}＄，即＄2x^｛2}＝100$，＄x^｛2}＝50$，所以＄x＝5\sqrt{2}＄。設(shè)較短的直角邊為x，則另一條直角邊為x＋3，根據(jù)勾股定理＄x^｛2}＋（x＋3)＾｛2}＝15^｛2}＄，展開得＄x^｛2}＋x^｛2}＋6x+9＝225$，合并同類項(xiàng)＄2x^｛2}＋6x216＝0$，化簡為＄x^｛2}＋3x108＝0$，因式分解得＄（x＋12)（x9)＝0$，解得x＝9（因?yàn)檫呴L不能為負(fù)，舍去x=－12），所以兩條直角邊分別為9和12。（二）當(dāng)堂檢測(cè)答案1、選擇題1、A。根據(jù)勾股定理＄c=＼sqrt{a^｛2}＋b^｛2}｝＝＼sqrt{5^｛2}＋12^｛2}｝＝＼sqrt{25＋144}＝＼sqrt{169}＝13$。2、B。由勾股定理＄b=＼sqrt{c^｛2}a^｛2}｝＝＼sqrt{20^｛2}－16^｛2}｝＝＼sqrt{400256}＝＼sqrt{144}＝12$。2、填空題1、根據(jù)勾股定理＄b=＼sqrt{c^｛2}a^｛2}｝＝＼sqrt{5^｛2}－3^｛2}｝＝＼sqrt{259}＝＼sqrt{16}＝4$。2、等腰直角三角形中，斜邊＄c=＼sqrt{2}a$，所以斜邊為＄7\sqrt{2}＄。3、解答題1、當(dāng)6和8都是直角邊時(shí)，斜邊＄c=＼sqrt{6^｛2}＋8^｛2}｝＝＼sqrt{3