2024-2025學(xué)年北京171中高二（上）期中數(shù)學(xué)試卷（含答案）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學(xué)年北京171中高二（上）期中數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.直線x+y?3=0的傾斜角為A.45° B.60° C.120° D.135°2.已知圓C的方程為x2+y2A.(1,0)與5 B.(1,0)與5 C.(?1,0)與5 D.(?1,0)與3.圓C1：x2+yA.相交 B.相離 C.內(nèi)切 D.外切4.圓x2+(y+2)2=4與直線3x+4y+2=0相交于A，B兩點(diǎn)，則線段A.4x+3y+6=0 B.3x+4y+8=0 C.4x?3y?6=0 D.4x?3y+6=05.“a=?1”是“直線l1：ax+4y?3=0與直線l2：x+(a?3)y+2=0”平行的(

)A.充分不必要條件 B.必要不充分條件

C.充要條件 D.既不充分也不必要條件6.為了弘揚(yáng)體育精神，學(xué)校組織秋季運(yùn)動(dòng)會(huì)，在一項(xiàng)比賽中，學(xué)生甲進(jìn)行了8組投籃，得分分別為10，8，a，8，7，9，6，8，如果學(xué)生甲的平均得分為8分，那么這組數(shù)據(jù)的75百分位數(shù)為(

)A.8 B.9 C.8.5 D.9.57.已知P為橢圓C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)A.35 B.45 C.548.如圖，在平行六面體ABCD?A1B1C1D1中，AA1A.12

B.8

C.6

D.49.設(shè)動(dòng)直線l與⊙C：(x+1)2+y2=5交于A，B兩點(diǎn).若弦長|AB|A.x+2y=a B.ax+y=2a C.ax+y=2 D.x+ay=a10.曲線C：x3+y3=1.給出下列結(jié)論：

①曲線C關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；

②曲線C上任意一點(diǎn)到原點(diǎn)的距離不小于1；

③曲線C只經(jīng)過2個(gè)整點(diǎn)(即橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn))．A.①② B.② C.②③ D.③二、填空題：本題共5小題，每小題5分，共25分。11.直線l1：2x?y+1=0與直線l2：2x?y?1=0之間的距離為______．12.已知空間a=(2,3,1)，b=(?4,2,x)，且a⊥b，則13.在正方體ABCD?A′B′C′D′中，E是C′D′的中點(diǎn)，則異面直線DE與AC所成角的余弦值為______．14.由直線y=x+1上的一點(diǎn)向圓(x?3)2+y15.如圖，正方體ABCD?A1B1C1D1的棱長為2，點(diǎn)O為底面ABCD的中心，點(diǎn)P在側(cè)面BB三、解答題：本題共6小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。16.(本小題12分)

某市統(tǒng)計(jì)局就某地居民的月收入調(diào)查了10000人，他們的月收入均在[1000,4000)內(nèi).現(xiàn)根據(jù)所得數(shù)據(jù)畫出了該樣本的頻率分布直方圖如下.(每個(gè)分組包括左端點(diǎn)，不包括右端點(diǎn)，如第一組表示月收入在[1000,1500)內(nèi))

(1)求某居民月收入在[3000,4000)內(nèi)的頻率；

(2)根據(jù)該頻率分布直方圖估計(jì)居民的月收入的中位數(shù)；

(3)為了分析居民的月收入與年齡、職業(yè)等方面的關(guān)系，需再從這10000人中利用分層抽樣的方法抽取100人作進(jìn)一步分析，則應(yīng)從月收入在[3000,3500)內(nèi)的居民中抽取多少人？17.(本小題12分)

如圖，在棱長為2的正方體ABCD?A1B1C1D1中，E為線段BB1的中點(diǎn)．

(1)求證：BC1//平面AED1；18.(本小題12分)

已知圓C的圓心在直線2x?y=0上，且與x軸相切于點(diǎn)(1,0)．

(Ⅰ)求圓C的方程；

(Ⅱ)若圓C直線l：x?y+m=0交于A，B兩點(diǎn)，_____，求m的值．

從下列三個(gè)條件中任選一個(gè)補(bǔ)充在上面問題中并作答：

條件①：圓C被直線l分成兩段圓弧，其弧長比為2：1；

條件②：|AB|=22；

條件③：∠ACB=90°19.(本小題12分)

已知F1、F2分別是橢圓C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)，F(xiàn)2(2,0)，點(diǎn)P在橢圓C上且滿足|PF1|+|PF2|=26．

(Ⅰ)求橢圓C的方程；

20.(本小題12分)

如圖，四棱錐P?ABCD中，AD⊥平面ABP，BC//AD，∠PAB=90°，PA=AB=2，AD=3，BC=m，E是PB的中點(diǎn)．

(1)證明：AE⊥平面PBC；

(2)若二面角C?AE?D的余弦值是33，求m的值；

(3)若m=2，在線段AD上是否存在一點(diǎn)F，使得PF⊥CE，若存在，確定F21.(本小題12分)

在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．對(duì)任意的點(diǎn)P(x,y)，定義|OP|=|x|+|y|.任取點(diǎn)A(x1,y1)，B(x2,y2)，記A′(x1,y2)，B′(x2,y1)，若此時(shí)|OA|2+|OB|2≥|OA′|2+|OB′|2成立，則稱點(diǎn)A，B相關(guān)．

(Ⅰ)分別判斷下面各組中兩點(diǎn)是否相關(guān)，并說明理由；

①A(?2,1)，B(3,2)；②C(4,?3)，D(2,4)．

(Ⅱ)給定n∈參考答案1.D

2.B

3.D

4.C

5.A

6.C

7.B

8.B

9.D

10.C

11.212.213.1014.715.516.解：(1)由頻率分布直方圖可知，居民月收入在[3000,4000)內(nèi)的頻率為(0.0002+0.0003)×500=0.25．

(2)由頻率分布直方圖可知，0.0001×500=0.05，0.0004×500=0.20，0.0005×500=0.25，

從而有0.0001×500+0.0004×500+0.0005×500=0.5，

所以可以估計(jì)居民的月收入的中位數(shù)為2500元．

居民月收入在[3000,4000)內(nèi)的頻率為

(3)由頻率分布直方圖可知，居民月收入在[3000,3500)內(nèi)的頻率為0.0003×500=0.15，

所以這10000人月收入在[3000,3500)內(nèi)的人數(shù)為0.15×10000=1500，再從這10000人中利用分層抽樣的方法抽取100人，

則應(yīng)從月收入在[3000,3500)內(nèi)居民中抽取100解：(1)證明：在棱長為2的正方體ABCD?A1B1C1D1中，E為線段BB1的中點(diǎn)，

∴AB//C1D1，且AB=C1D1，

∴四邊形ABC1D1是平行四邊形，∴BC1//AD1，

∵BC1?平面AED1，AD1?平面AED1，

∴BC1//平面AED1；

(2)以A為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，

則A1(0,0,2)，A(0,0,0)，D1(2,0,2)，E(0,2,1)，

則AA1=(0,0,2)，AD1=(2,0,2)，AE=(0,2,1)，

設(shè)平面AED1的一個(gè)法向量為n=(x,y,z)18.解：(Ⅰ)設(shè)圓心坐標(biāo)為C(a,b)，半徑為r．

由圓C的圓心在直線2x?y=0上，知：2a=b．

又∵圓C與x軸相切于點(diǎn)(1,0)，

∴a=1，b=2，則r=|b?0|=2．

∴圓C圓心坐標(biāo)為(1,2)，則圓C的方程為(x?1)2+(y?2)2=4；

(Ⅱ)如果選擇條件①：∠ACB=120°，而|CA|=|CB|=2，

∴圓心C到直線l的距離d=1，

以d=|1?2+m|1+1=1，

解得m=2+1或m=?2+1．

如果選擇條件②；|AB|=22，而|CA|=|CB|=2，

∴圓心C到直線l的距離d=2，

則d=|1?2+m|1+1=2，

解得m=?1或3．

如果選擇條件19.解：(Ⅰ)由c=2，2a=26，

又a2=b2+c2，

解得a2=6，b2=2，

所以橢圓C方程為x26+y22=1，

(2)設(shè)直線l的方程為y=x+m，

由x26+y22=1y=x+m得：4x2+6mx+3m2?6=0，

Δ=?12m2+96>0，得m2<8，

解得?22<m<22，

設(shè)A(x1,y20.解：(1)證明：因?yàn)锳D⊥平面PAB，BC//AD，

所以BC⊥平面PAB，

又因?yàn)锳E?平面PAB，

所以AE⊥BC，

在△PAB中，PA=AB，E是PB的中點(diǎn)，

所以AE⊥PB，

又因?yàn)锽C∩PB=B，

所以AE⊥平面PBC．

(2)因?yàn)?/p>

AD⊥平面PAB，

所以AD⊥AB，AD⊥PA，

又因?yàn)?/p>

PA⊥AB，

所以分別以AP，AB，AD所在直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)?xyz，

則A(0,0,0)，B(0,2,0)，C(0,2,m)，E(1,1,0)，P(2,0,0)，D(0,0,3)，

AC=(0,2,m)，AE=(1,1,0)，

設(shè)平面AEC的法向量為n=(x,y,z)，

則n?AC=0n?AE=0，即

2y+mz=0,x+y=0.，

令x=1，則y=?1，z=2m，

所以n=(1,?1,2m)，

因?yàn)锳D⊥平面PAB，

所以AD⊥PB，

又PB⊥AE，AD∩AE=A，

所以PB⊥平面AED，

又因?yàn)镻B=(?2,?2,?0)，

所以取平面AED的法向量為m=(?1,1,0)，

所以|cos<n,m>|=|n?m||n|?|m|=33，即|?1?1|2?2+4m2=33，

解得m21.解：若點(diǎn)A(x1,y1)，B(x2,y2)相關(guān)，不妨設(shè)x1，y1，x2，y2≥0，

則(x1+y1)2+(x2+y2)2≥(x1+y2)2+(x2+y1)2，

∴(x1?x2)(y1?y2)≥0，