2024-2025學年高中數(shù)學第一章導數(shù)及其應用1.3.1函數(shù)的單調性與導數(shù)學案含解析新人教A版選修2-2

PAGE1.3導數(shù)在探討函數(shù)中的應用1.3.1內容標準學科素養(yǎng)1.結合實例，直觀探究并駕馭函數(shù)的單調性與導數(shù)的關系；2.能利用導數(shù)探討函數(shù)的單調性，并能利用單調性證明一些簡潔的不等式；3.能利用導數(shù)求函數(shù)的單調區(qū)間(其中多項式函數(shù)一般不超過三次).加強直觀探究提升邏輯推理強化數(shù)學運算授課提示：對應學生用書第11頁[基礎相識]學問點函數(shù)的單調性與導數(shù)eq\a\vs4\al(預習教材P22－26，思索并完成以下問題)1．已知函數(shù)y1＝eq\f(1,x)，y2＝2x，y3＝x2的圖象如圖所示．結合圖象寫出以上三個函數(shù)的單調區(qū)間．提示：函數(shù)y1＝eq\f(1,x)的單調遞減區(qū)間為(－∞，0)和(0，＋∞)，函數(shù)y2＝2x的單調遞增區(qū)間為(－∞，＋∞)，函數(shù)y3＝x2的單調遞增區(qū)間為(0，＋∞)，單調遞減區(qū)間為(－∞，0)．2．推斷以上三個函數(shù)的導數(shù)在其單調區(qū)間上的正、負．提示：y1′＝－eq\f(1,x2)在(－∞，0)及(0，＋∞)上均為負值；y2′＝2xln2在(－∞，＋∞)上為正值；y3′＝2x在(－∞，0)上為負值，在(0，＋∞)上為正值．學問梳理(1)函數(shù)的單調性與其導數(shù)正負的關系定義在區(qū)間(a，b)內的函數(shù)y＝f(x)：f′(x)的正負f(x)的單調性f′(x)＞0單調遞增f′(x)＜0單調遞減提示：假如函數(shù)f(x)在區(qū)間(a，b)上恒有f′(x)＝0，那么函數(shù)y＝f(x)在這個區(qū)間內是常數(shù)函數(shù)．(2)函數(shù)圖象的改變趨勢與導數(shù)值大小的關系一般地，設函數(shù)y＝f(x)，在區(qū)間(a，b)上：導數(shù)的肯定值函數(shù)值的改變函數(shù)的圖象越大快比較“陡峭”(向上或向下)越小慢比較“平緩”(向上或向下)提示：導數(shù)的肯定值越大，越陡峭．思索：1.若函數(shù)f(x)在定義域上都有f′(x)＜0，則函數(shù)f(x)在定義域上肯定單調遞減嗎？提示：不肯定，如函數(shù)y＝eq\f(1,x)的導函數(shù)y′＝－eq\f(1,x2)＜0恒成立，但是函數(shù)y＝eq\f(1,x)的圖象不是恒下降的．2．已知函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上單調遞增，則f′(x)＞0恒成立嗎？提示：不肯定，如函數(shù)y＝x3在[－1,3]上單調遞增，但是y′＝3x2在x＝0處的值為0.3．函數(shù)在區(qū)間(a，b)上的導數(shù)與單調性的關系是怎樣的？提示：(1)若在某區(qū)間上有有限個點使f′(x)＝0，其余的點恒有f′(x)＞0，則f(x)仍為增函數(shù)(減函數(shù)的情形完全類似)．(2)f(x)為增函數(shù)的充要條件是對隨意的x∈(a，b)，都有f′(x)≥0，且在(a，b)內的任一非空子區(qū)間上f′(x)不恒為0.4．利用導數(shù)解決單調性問題需留意哪些問題？提示：(1)定義域優(yōu)先的原則：解決問題的過程只能在定義域內，通過探討導數(shù)的符號來推斷函數(shù)的單調區(qū)間．(2)留意“臨界點”和“間斷點”：在對函數(shù)劃分單調區(qū)間時，除了必需確定使導數(shù)等于零的點外，還要留意在定義域內的間斷點．[自我檢測]1．設y＝x－lnx，則此函數(shù)在區(qū)間(0,1)內為()A．單調遞增 B．有增有減C．單調遞減 D．不確定解析：y′＝1－eq\f(1,x)，當x∈(0,1)時，y′＜0，則函數(shù)y＝x－lnx在區(qū)間(0,1)內單調遞減．故選C.答案：C2．已知e為自然對數(shù)的底數(shù)，函數(shù)y＝xex的單調遞增區(qū)間是()A．[－1，＋∞) B．(－∞，－1]C．[1，＋∞) D．(－∞，1]解析：f(x)＝xex?f′(x)＝ex(x＋1)，令f′(x)＞0?x＞－1，所以函數(shù)f(x)的單調遞增區(qū)間是[－1，＋∞)．故選A.答案：A3．若f(x)＝－eq\f(1,2)x2＋blnx在(1，＋∞)上是減函數(shù)，則b的取值范圍是________．解析：由題，則f′(x)＝eq\f(－x2＋b,x)≤0在x∈(1，＋∞)上恒成立，即b≤x2在x∈(1，＋∞)上恒成立．因為x2＞1，所以b≤1.答案：(－∞，1]授課提示：對應學生用書第11頁探究一導數(shù)與函數(shù)圖象的關系[例1](1)函數(shù)y＝f(x)的導函數(shù)y＝f′(x)的圖象如圖所示，則函數(shù)y＝f(x)的圖象可能是()(2)已知y＝x·f′(x)的圖象如圖所示，則f(x)的圖象可能是()(3)函數(shù)y＝f(x)在定義域eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，3))內可導，其圖象如圖，記y＝f(x)的導函數(shù)為y＝f′(x)，則不等式f′(x)＜0的解集為________．[解析](1)由當f′(x)＜0時，函數(shù)f(x)單調遞減，當f′(x)＞0時，函數(shù)f(x)單調遞增，則由導函數(shù)y＝f′(x)的圖象可知：f(x)先單調遞減，再單調遞增，然后單調遞減，最終單調遞增，解除A，C，且f′(0)＞0，所以在x＝0旁邊函數(shù)應單調遞增，解除B.(2)當x＞0時，y＝x·f′(x)在[0，b]上恒大于等于零?f′(x)≥0在[0，b]上恒成立，故f(x)在[0，b]上遞增，當x≤0時，f′(x)≤0在(－∞，0]上恒成立，故f(x)在(－∞，0]上遞減，只有D滿意．(3)函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，1))和區(qū)間(2,3)上單調遞減，所以在區(qū)間eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，1))和區(qū)間(2,3)上，y＝f′(x)＜0，所以f′(x)＜0的解集為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，1))∪(2,3)．[答案](1)D(2)D(3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，1))∪(2,3)延長探究1.若本例(3)中的條件不變，試求不等式f′(x)＞0的解集．解析：依據(jù)題目中的圖象，函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，－\f(1,3)))和區(qū)間(1,2)上為增函數(shù)，所以在區(qū)間eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，－\f(1,3)))和區(qū)間(1,2)上，y＝f′(x)＞0，所以f′(x)＞0的解集為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，－\f(1,3)))∪(1,2)．2．若本例(3)中的條件不變，試求不等式xf′(x)＞0的解集．解析：由例(3)及延長探究1以及已知條件可知，當x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，0))時，函數(shù)為減函數(shù)，則f′(x)＜0；當x∈(1,2)時，函數(shù)為增函數(shù)，則f′(x)＞0.綜上可知：xf′(x)＞0的解集為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，0))∪(1,2)．方法技巧函數(shù)與導數(shù)圖象間的關系推斷函數(shù)與導數(shù)圖象間的對應關系時，首先要弄清所給圖象是原函數(shù)的圖象還是導函數(shù)的圖象，其次再留意以下兩個方面：(1)函數(shù)的單調性與其導函數(shù)的正負的關系：在某個區(qū)間(a，b)內，若f′(x)＞0，則y＝f(x)在(a，b)上單調遞增；假如f′(x)＜0，則y＝f(x)在這個區(qū)間上單調遞減；若恒有f′(x)＝0，則y＝f(x)是常數(shù)函數(shù)，不具有單調性．(2)導數(shù)與函數(shù)圖象的關系函數(shù)值增加得越來越快函數(shù)值增加得越來越慢f′(x)＞0且越來越大f′(x)＞0且越來越小函數(shù)值削減得越來越快函數(shù)值削減得越來越慢f′(x)＜0且越來越小肯定值越來越大f′(x)＜0且越來越大肯定值越來越小跟蹤探究1.設函數(shù)f(x)在定義域內可導，y＝f(x)的圖象如圖所示，則導函數(shù)y＝f′(x)的圖象可能為()解析：由函數(shù)的圖象知：當x＜0時，函數(shù)單調遞增，導函數(shù)應始終為正；當x＞0時，函數(shù)先增后減再增，導函數(shù)應先正后負再正，比照選項，只有D正確．答案：D探究二利用導數(shù)求函數(shù)的單調區(qū)間[例2]求下列函數(shù)的單調區(qū)間．(1)f(x)＝x3－3x；(2)f(x)＝lnx－x；(3)f(x)＝eq\f(ex,x－2).[解析](1)函數(shù)的定義域為R，f(x)＝x3－3x，所以f′(x)＝3x2－3，解f′(x)＞0，即3x2－3＞0，得x＞1或x＜－1，解f′(x)＜0，即3x2－3＜0，得－1＜x＜1，所以函數(shù)的單調遞增區(qū)間為(－∞，－1)和(1，＋∞)，單調遞減區(qū)間為(－1,1)．(2)函數(shù)的定義域為(0，＋∞)，f(x)＝lnx－x，所以f′(x)＝eq\f(1,x)－1，解f′(x)＞0，即eq\f(1,x)－1＞0，得0＜x＜1，解f′(x)＜0，即eq\f(1,x)－1＜0，得x＞1，所以函數(shù)的單調遞增區(qū)間為(0,1)，單調遞減區(qū)間為(1，＋∞)．(3)函數(shù)的定義域為(－∞，2)∪(2，＋∞)，f(x)＝eq\f(ex,x－2)，所以f′(x)＝eq\f(exx－2－ex,x－22)＝eq\f(exx－3,x－22)，解f′(x)＞0，得x＞3，解f′(x)＜0，得x＜2或2＜x＜3.所以函數(shù)的單調遞增區(qū)間為(3，＋∞)，單調遞減區(qū)間為(－∞，2)和(2,3)．方法技巧(1)求函數(shù)單調區(qū)間的步驟(2)留意事項①求函數(shù)的單調區(qū)間，必需在函數(shù)的定義域內進行．②含有參數(shù)的函數(shù)求單調區(qū)間時應留意分類探討．③函數(shù)的單調區(qū)間之間只能用“和”或“，”隔開，不能用符號“∪”連接．跟蹤探究2.已知函數(shù)f(x)＝ax3－3x2＋1－eq\f(3,a)，探討函數(shù)f(x)的單調性．解析：由題設知a≠0.f′(x)＝3ax2－6x＝3axeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(2,a)))，令f′(x)＝0，得x1＝0，x2＝eq\f(2,a).當a＞0時，若x∈(－∞，0)，則f′(x)＞0.所以f(x)在區(qū)間(－∞，0)上為增函數(shù)．若x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(2,a)))，則f′(x)＜0，所以f(x)在區(qū)間eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(2,a)))上為減函數(shù)．若x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,a)，＋∞))，則f′(x)＞0，所以f(x)在區(qū)間eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,a)，＋∞))上是增函數(shù)．當a＜0時，若x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(2,a)))，則f′(x)＜0.所以f(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(2,a)))上是減函數(shù)．若x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,a)，0))，則f′(x)＞0.所以f(x)在區(qū)間eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,a)，0))上為增函數(shù)．若x∈(0，＋∞)，則f′(x)＜0.所以f(x)在區(qū)間(0，＋∞)上為減函數(shù)．探究三已知函數(shù)單調性求參數(shù)的取值范圍[例3]已知函數(shù)f(x)＝x2＋eq\f(a,x)(x≠0，常數(shù)a∈R)，若函數(shù)f(x)在x∈[2，＋∞)上是單調遞增的，求a的取值范圍．[解析]f′(x)＝2x－eq\f(a,x2)＝eq\f(2x3－a,x2).要使f(x)在[2，＋∞)上是單調遞增的，則f′(x)≥0在x∈[2，＋∞)時恒成立，即eq\f(2x3－a,x2)≥0在x∈[2，＋∞)時恒成立．因為x2＞0，所以2x3－a≥0，所以a≤2x3在x∈[2，＋∞)上恒成立．所以a≤(2x3)min.因為x∈[2，＋∞)，y＝2x3是單調遞增的，所以(2x3)min＝16，所以a≤16.當a＝16時，f′(x)＝eq\f(2x3－16,x2)≥0(x∈[2，＋∞))有且只有f′(2)＝0，所以a的取值范圍是(－∞，16]．延長探究若將本例中的“x∈[2，＋∞)”改為“x∈(－∞，2]”，且f(x)在(－∞，2]上是單調遞減的，則a的取值范圍是什么？解析：由例3可知，要使f(x)在(－∞，2]上單調遞減，只需f′(x)≤0在x∈(－∞，2]上恒成立．即eq\f(2x3－a,x2)≤0在(－∞，2]上恒成立．因為x2＞0，所以2x3－a≤0，即a≥2x3.因為x∈(－∞，2]時，y＝2x3是單調遞增的．所以(2x3)max＝2×23＝16.所以a≥16.當a＝16時，f′(x)＝eq\f(2x3－8,x2)≥0(x∈(－∞，2])有且只有f′(2)＝0.因此，實數(shù)a的取值范圍是[16，＋∞)．方法技巧(1)由函數(shù)y＝f(x)，x∈[a，b]的單調性求參數(shù)的取值范圍的步驟①求導數(shù)y＝f′(x)．②轉化為f′(x)≥0或f′(x)≤0對x∈[a，b]恒成立問題．③由不等式恒成立求參數(shù)范圍．④驗證等號是否成立．(2)恒成立問題的重要思路①m≥f(x)恒成立?m≥f(x)max.②m≤f(x)恒成立?m≤f(x)min.跟蹤探究3.若函數(shù)f(x)＝2x2＋lnx－ax在定義域上單調遞增，求實數(shù)a的取值范圍．解析：函數(shù)f(x)＝2x2＋lnx－ax在定義域上單調遞增，由f′(x)＝4x＋eq\f(1,x)－a≥0在(0，＋∞)上恒成立，即a≤4x＋eq\f(1,x)(x＞0)恒成立．令g(x)＝4x＋eq\f(1,x)，則a≤g(x)min.g(x)＝4x＋eq\f(1,x)＝4eq\b\lc\(\rc\(\a\vs4\al\co1(,,,,))x＋eq\f(\f(1,4),x)eq\b\lc\\rc\)(\a\vs4\al\co1(,,,,))≥4×1＝4，當且僅當x＝eq\f(1,2)時取等號，故a≤4.當a＝4時，f′(x)＝4x＋eq\f(1,x)－4＝eq\f(4x2－4x＋1,x)＝eq\f(2x－12,x)≥0恒成立，滿意題意，所以a≤4，故a的取值范圍是(－∞，4].授課提示：對應學生用書第13頁[課后小結](1)導數(shù)的符號反映了函數(shù)在某個區(qū)間上的單調性，導數(shù)肯定值的大小反映了函數(shù)在某個區(qū)間或某點旁邊改變的快慢程度．(2)利用導數(shù)求函數(shù)f(x)的單調區(qū)間的一般步驟：①確定函數(shù)f(x)的定義域；②求導數(shù)