2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第一章常用邏輯用語(yǔ)1命題課時(shí)跟蹤訓(xùn)練含解析北師大版選修2-1

PAGE第一章常用邏輯用語(yǔ)[A組基礎(chǔ)鞏固]1．下列語(yǔ)句是命題的是()A．x－1＝0 B．2＋3＝8C．你會(huì)說(shuō)英語(yǔ)嗎？ D．這是一棵大樹(shù)解析：A中x不確定，無(wú)法推斷x－1＝0的真假．B中2＋3＝8是命題，且是假命題．C不是陳述句，故不是命題．D大樹(shù)的標(biāo)準(zhǔn)不確定，無(wú)法推斷其真假．答案：B2．命題“若一個(gè)數(shù)是負(fù)數(shù)，則它的平方是正數(shù)”的逆命題是()A．“若一個(gè)數(shù)是負(fù)數(shù)，則它的平方不是正數(shù)”B．“若一個(gè)數(shù)的平方是正數(shù)，則它是負(fù)數(shù)”C．“若一個(gè)數(shù)不是負(fù)數(shù)，則它的平方不是正數(shù)”D．“若一個(gè)數(shù)的平方不是正數(shù)，則它不是負(fù)數(shù)”解析：原命題的逆命題是若一個(gè)數(shù)的平方是正數(shù)，則它是負(fù)數(shù)．答案：B3．下列命題是真命題的為()A．若eq\f(1,x)＝eq\f(1,y)，則x＝y(tǒng) B．若x2＝1，則x＝1C．若x＝y(tǒng)，則eq\r(x)＝eq\r(y) D．若x<y，則x2<y2解析：若x2＝1，則x＝±1，解除B；若x＝y(tǒng)，eq\r(x)與eq\r(y)不肯定存在，解除C；若x<y，且x＝－3，y＝－2，則x2>y2，解除D.答案：A4．下列命題為真命題的是()A．命題“若x>1，則x2>1”B．命題“若x＝1，則x2＋x－2＝0”C．命題“若x2>0，則x>－1”D．命題“若x>y，則x>|y|”的逆命題解析：命題“若x>1，則x2>1”的逆命題是“若x2>1，則x>1”，為假命題；命題“若x＝1，則x2＋x－2＝0”的否命題是“若x≠1，則x2＋x－2≠0”，為假命題；命題“若x2>0，則x>－1”的逆否命題是“若x≤－1，則x2≤0”，為假命題；命題“若x>y，則x>|y|”的逆命題是“若x>|y|，則x>y”，為真命題，選D.答案：D5．已知命題“若ab≤0，則a≤0或b≤0”A．真命題，否命題：“若ab>0，則a>0或b>0B．真命題，否命題：“若ab>0，則a>0且b>0C．假命題，否命題：“若ab>0，則a>0且b>0D．假命題，否命題：“若ab>0，則a>0或b>0解析：逆否命題“若a>0且b>0，則ab>0”，明顯為真命題，又原命題與逆否命題等價(jià)，故原命題為真命題．否命題為“若ab>0，則a>0且b>0”，故選 B.答案：B6．命題“若c>0，則函數(shù)f(x)＝x2＋x－c有兩個(gè)零點(diǎn)”的逆否命題是________．解析：原命題的條件c>0的否定為c≤0，結(jié)論函數(shù)f(x)＝x2＋x－c有兩個(gè)零點(diǎn)的否定為“函數(shù)f(x)＝x2＋x－c沒(méi)有兩個(gè)零點(diǎn)”，因此逆否命題為：若函數(shù)f(x)＝x2＋x－c沒(méi)有兩個(gè)零點(diǎn)，則c≤0.答案：若函數(shù)f(x)＝x2＋x－c沒(méi)有兩個(gè)零點(diǎn)，則c≤07．給定下列命題：①“若k>0，則方程x2＋2x－k＝0有實(shí)數(shù)根”；②“若a>b，則a＋c>b＋c”的否命題；③“矩形的對(duì)角線相等”的逆命題；④“若xy＝0，則x、y中至少有一個(gè)為0”解析：①∵k>0，∴Δ＝4＋4k>0，是真命題．②否命題為“若a≤b，則a＋c≤b＋c”，是真命題．③逆命題為“對(duì)角線相等的四邊形是矩形”，是假命題．④否命題為“若xy≠0，則x、y都不為零”，是真命題．答案：①②④8．下列命題是真命題的是__________(填序號(hào))．①空集是任何一個(gè)集合的真子集；②函數(shù)y＝2x(x∈N)的圖像是一條直線；③若f(x)>M(M為常數(shù))，則函數(shù)y＝f(x)的最小值為M；④若函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閇0,2]，則函數(shù)g(x)＝eq\f(f2x,x－1)的定義域?yàn)閇0,1)．解析：空集是任何一個(gè)非空集合的真子集，故①是假命題；函數(shù)y＝2x(x∈N)的圖像是一群孤立的點(diǎn)，故②是假命題；若f(x)>M(M為常數(shù))，則函數(shù)y＝f(x)的最小值肯定不為M，故③是假命題；若函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閇0,2]，則函數(shù)g(x)＝eq\f(f2x,x－1)中的x應(yīng)滿意eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0≤2x≤2,x－1≠0))，解得0≤x<1，則g(x)的定義域?yàn)閇0,1)，故④是真命題．答案：④9．推斷下列命題的真假，并寫(xiě)出它們的逆命題、否命題、逆否命題，同時(shí)推斷這些命題的真假．(1)若a>b，則ac2>bc2；(2)若在二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c中，b2－4ac<0，則該二次函數(shù)圖像與x解析：(1)該命題為假．當(dāng)c＝0時(shí)，ac2＝bc2.逆命題：若ac2>bc2，則a>b，為真．否命題：若a≤b，則ac2≤bc2，為真．逆否命題：若ac2≤bc2，則a≤b，為假．(2)該命題為假．當(dāng)b2－4ac<0時(shí)，二次方程ax2＋bx＋c＝0沒(méi)有實(shí)數(shù)根，因此二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖像與x逆命題：若二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖像與x軸有公共點(diǎn)，則b2－4ac<0，為假．否命題：若在二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c中，b2－4ac≥0，則該二次函數(shù)的圖像與x軸沒(méi)有公共點(diǎn)，為假．逆否命題：若二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖像與x軸沒(méi)有公共點(diǎn)，則b2－4ac≥0，為假．10．函數(shù)feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x))的定義域?yàn)锳，若x1，x2∈A且feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x1))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2))時(shí)總有x1＝x2，則稱feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x))為單函數(shù)．例如，函數(shù)feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x))＝2x＋1eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x∈R))是單函數(shù)．下列命題：①函數(shù)feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x))＝x2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x∈R))是單函數(shù)；②若feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x))為單函數(shù)，x1，x2∈A且x1≠x2，則feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x1))≠feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2))；③若f：A→B為單函數(shù)，則對(duì)于隨意b∈B，它至多有一個(gè)原象；④函數(shù)feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x))在某區(qū)間上具有單調(diào)性，則feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x))肯定是單函數(shù)．試推斷各命題的真假．解析：當(dāng)feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x))＝x2時(shí)，不妨設(shè)feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x1))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2))＝4，有x1＝2，x2＝－2，此時(shí)x1≠x2，故①不正確；由feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x1))＝f(x2)時(shí)總有x1＝x2可知，當(dāng)x1≠x2時(shí)，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x1))≠f(x2)，故②正確；若b∈B，b有兩個(gè)原象時(shí)，不妨設(shè)為a1，a2，可知a1≠a2，但feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a1))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a2))，與題中條件沖突，故③正確；函數(shù)feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x))在某區(qū)間上具有單調(diào)性時(shí)在整個(gè)定義域上不肯定單調(diào)，因而feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x))不肯定是單函數(shù)，故④不正確．綜上可得命題②③為真命題，①④為假命題．[B組實(shí)力提升]1．給出下列四個(gè)命題：①在△ABC中，若sinA>eq\f(\r(2),2)，則A>eq\f(π,4)；②若1≤x<2，則(x－1)(x－2)≤0；③若α＝eq\f(π,4)，則tanα＝1；④已知a，b，c為向量，若a·b＝a·c(a≠0)，則b＝c.則以下推斷正確的為()A．①的逆否命題為真 B．②的否命題為真C．③的否命題為真 D．④為真解析：對(duì)于①，在△ABC中，0<A<π，由sinA>eq\f(\r(2),2)，得eq\f(π,4)<A<eq\f(3π,4)，所以原命題為真命題，故其逆否命題為真命題．對(duì)于②，命題的否命題：若x≥2或x<1，則(x－1)(x－2)>0.當(dāng)x＝2時(shí)，(x－1)(x－2)＝0，故否命題為假命題．對(duì)于③，命題的否命題：若α≠eq\f(π,4)，則tanα≠1.當(dāng)x＝eq\f(5π,4)時(shí)，tanα＝1，故否命題為假命題．對(duì)于④，向量是有方向的，若b，c方向相反，a垂直于b，c，則b＝c不成立，所以為假命題．故選A.答案：A2．命題“若f(x)是奇函數(shù)，則f(－x)是奇函數(shù)”的否命題是()A．若f(x)是偶函數(shù)，則f(－x)是偶函數(shù)B．若f(x)不是奇函數(shù)，則f(－x)不是奇函數(shù)C．若f(－x)是奇函數(shù)，則f(x)是奇函數(shù)D．若f(－x)不是奇函數(shù)，則f(x)不是奇函數(shù)解析：命題的否命題既否定條件又否定結(jié)論，且“是”的否定是“不是”，故選 B.答案：B3．下列語(yǔ)句中是命題的為_(kāi)___________，其中是真命題的為_(kāi)_______．(寫(xiě)出序號(hào))①垂直于同一條直線的兩條直線必平行嗎？②一個(gè)數(shù)不是正數(shù)就是負(fù)數(shù)；③大角所對(duì)的邊大于小角所對(duì)的邊；④△ABC中，若∠A＝∠B，則sinA＝sinB；⑤求證x∈R，方程x2＋x＋1＝0無(wú)實(shí)根．解析：①是疑問(wèn)句不是命題；②是假命題，0既不是正數(shù)也不是負(fù)數(shù)；③是假命題，沒(méi)有考慮在同一個(gè)三角形中；④是真命題；⑤是祈使句不是命題．答案：②③④④4．已知集合A＝{x|x2－4x＋3≤0}，B＝{y|y＝x2－2x＋a}，C＝{x|x2－ax－4≤0}．命題p：A∩B≠?，命題q：A?C.(1)若命題p為假命題，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(2)若命題p，q都為真命題，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．解析：(1)A＝{x|1≤x≤3}，B＝{y|y＝(x－1)2＋a－1}＝{y|y≥a－1}．由p為假命題，知A∩B＝?，∴a－1>3，∴a>4，故實(shí)數(shù)a的取值范圍是(4，＋∞)．(2)∵p，q都為真命題，∴A∩B≠?且A?C，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－1≤3,1－a－4≤0,9－3a－4≤0))，解得eq\f(5,3)≤a≤4，即實(shí)數(shù)a的取值范圍為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(5,3)，4)).5．a(chǎn)，b，c為三個(gè)人，命題A：“假如b的年齡不是最大，那么a的年齡最小”和