2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第六章概率2離散型隨機(jī)變量及其分布列學(xué)案北師大版選擇性必修第一冊(cè)

PAGE§2離散型隨機(jī)變量及其分布列必備學(xué)問·自主學(xué)習(xí)導(dǎo)思1．什么叫隨機(jī)變量？2．如何求離散型隨機(jī)變量的分布列？1.隨機(jī)變量(1)定義：在隨機(jī)試驗(yàn)中，我們確定了一個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系，使得樣本空間的每一個(gè)樣本點(diǎn)都用一個(gè)確定的數(shù)值表示．在這個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系下，數(shù)值隨著試驗(yàn)結(jié)果的改變而改變．像這種取值隨著試驗(yàn)結(jié)果的改變而改變的量稱為隨機(jī)變量．(2)表示：隨機(jī)變量常用字母X，Y，ξ，η，…表示．2．離散型隨機(jī)變量(1)定義：取值能夠一一列舉出來的隨機(jī)變量稱為離散型隨機(jī)變量．(2)特征：①可用數(shù)值表示．②試驗(yàn)之前可以推斷其出現(xiàn)的全部值．③在試驗(yàn)之前不能確定取何值．④試驗(yàn)結(jié)果能一一列出．離散型隨機(jī)變量的取值必需是有限個(gè)嗎？提示：離散型隨機(jī)變量的取值可以是有限個(gè)，例如取值為1，2，…，n；也可以是無限個(gè)，如取值為1，2，…，n，….3．離散型隨機(jī)變量的分布列(1)定義：若離散型隨機(jī)變量X的取值為x1，x2，…，xn，…，隨機(jī)變量X取xi的概率為pi(i＝1，2，…，n，…)，記作P(X＝xi)＝pi(i＝1，2，…，n，…).以表格的形式表示如下：xix1x2…xn…P(X＝xi)p1p2…pn…這個(gè)表格稱為離散型隨機(jī)變量X的分布列，簡(jiǎn)稱為X的分布列．(2)性質(zhì)①pi＞0，i＝1，2，…，n，…；②p1＋p2＋…＋pn＋…＝1．求離散型隨機(jī)變量的分布列應(yīng)按幾步進(jìn)行？提示：求離散型隨機(jī)變量的分布列的步驟：(1)找出隨機(jī)變量全部可能的取值xi(i＝1，2，3，…，n，…)；(2)求出相應(yīng)的概率P(X＝xi)＝pi(i＝1，2，3，…，n，…)；(3)列成表格形式．4．兩點(diǎn)分布假如隨機(jī)變量X的分布列如表：X10Ppq其中0<p<1，q＝1－p，那么稱離散型隨機(jī)變量X聽從參數(shù)為p的兩點(diǎn)分布(又稱0－1分布或伯努利分布).1．辨析記憶(對(duì)的打“√”，錯(cuò)的打“×”)(1)隨機(jī)變量的取值可以是有限個(gè)，也可以是無限個(gè)．()(2)在拋擲一枚質(zhì)地勻稱的硬幣試驗(yàn)中，“出現(xiàn)正面的次數(shù)”為隨機(jī)變量．()(3)離散型隨機(jī)變量的取值是隨意的實(shí)數(shù)．()(4)新生兒的性別、投籃是否命中、買到的商品是否為正品，可用兩點(diǎn)分布探討．()提示：(1)√.因?yàn)殡S機(jī)變量的每一個(gè)取值，均代表一個(gè)試驗(yàn)結(jié)果，試驗(yàn)結(jié)果有限個(gè)，隨機(jī)變量的取值就有有限個(gè)，試驗(yàn)結(jié)果有無限個(gè)，隨機(jī)變量的取值就有無限個(gè)．(2)√.因?yàn)閿S一枚硬幣，可能出現(xiàn)的結(jié)果是正面對(duì)上或反面對(duì)上，以一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)如正面對(duì)上的次數(shù)來描述這一隨機(jī)試驗(yàn)，那么正面對(duì)上的次數(shù)就是隨機(jī)變量ξ，ξ的取值是0，1.(3)×.由離散型隨機(jī)變量的定義可知它的取值能夠一一列出，因此離散型隨機(jī)變量的取值是隨意的實(shí)數(shù)的說法錯(cuò)誤．(4)√.依據(jù)兩點(diǎn)分布的概念知，該說法正確．2．袋中有大小相同的紅球6個(gè)，白球5個(gè)，從袋中每次隨意取出1個(gè)球，直到取出的球是白球?yàn)橹箷r(shí)，所須要的取球次數(shù)為隨機(jī)變量X，則X的可能取值為()A．1，2，3，…，6B．1，2，3，…，7C．0，1，2，…，5D．1，2，…，5【解析】選B.由于取到白球嬉戲結(jié)束，由題意可知X的可能取值為1，2，3，4，5，6，7.3．若離散型隨機(jī)變量X的分布列為X01P2a3a則a＝()A．eq\f(1,5)B．eq\f(1,4)C．eq\f(1,3)D．eq\f(1,2)【解析】選A.由離散型隨機(jī)變量分布列的性質(zhì)可知，2a＋3a＝1，所以a＝eq\f(1,5).4．(教材二次開發(fā)：例題改編)設(shè)隨機(jī)變量X的分布列為P(X＝i)＝eq\f(i,a)(i＝1，2，3，4)，則Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)<X<\f(7,2)))＝__________．【解析】P(X＝i)＝eq\f(i,a)(i＝1，2，3，4)，得a＝10，所以，Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)<X<\f(7,2)))＝P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝3)＝eq\f(1,10)＋eq\f(2,10)＋eq\f(3,10)＝eq\f(3,5).答案：eq\f(3,5)關(guān)鍵實(shí)力·合作學(xué)習(xí)類型一隨機(jī)變量的可能取值及試驗(yàn)結(jié)果(邏輯推理)【典例】寫出下列隨機(jī)變量可能取的值，并說明隨機(jī)變量所取的值表示的隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果．(1)一個(gè)袋中裝有8個(gè)紅球，3個(gè)白球，從中任取5個(gè)球，其中所含白球的個(gè)數(shù)為X.(2)一個(gè)袋中有5個(gè)同樣大小的黑球，編號(hào)分別為1，2，3，4，5，從中任取3個(gè)球，取出的球的最大號(hào)碼記為X.【思路導(dǎo)引】eq\x(分析題意)→eq\x(寫出X可能取的值)→eq\x(分別寫出取值所表示的結(jié)果)【解析】(1)X可取0，1，2，3.X＝0表示取5個(gè)球全是紅球；X＝1表示取1個(gè)白球，4個(gè)紅球；X＝2表示取2個(gè)白球，3個(gè)紅球；X＝3表示取3個(gè)白球，2個(gè)紅球．(2)X可取3，4，5.X＝3表示取出的球編號(hào)為1，2，3.X＝4表示取出的球編號(hào)為1，2，4；1，3，4或2，3，4.X＝5表示取出的球編號(hào)為1，2，5；1，3，5；1，4，5；2，3，5；2，4，5或3，4，5.在本例(1)條件下，規(guī)定取出一個(gè)紅球贏2元，而每取出一個(gè)白球輸1元，以ξ表示贏得的錢數(shù)，結(jié)果如何？【解析】ξ可取10，7，4，1.ξ＝10表示取5個(gè)球全是紅球；ξ＝7表示取1個(gè)白球，4個(gè)紅球；ξ＝4表示取2個(gè)白球，3個(gè)紅球；ξ＝1表示取3個(gè)白球，2個(gè)紅球．用隨機(jī)變量表示隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果的關(guān)鍵點(diǎn)和留意點(diǎn)(1)關(guān)鍵點(diǎn)：解決此類問題的關(guān)鍵是明確隨機(jī)變量的全部可能取值，以及取每一個(gè)值對(duì)應(yīng)的意義，即一個(gè)隨機(jī)變量的取值對(duì)應(yīng)一個(gè)或多個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果．(2)留意點(diǎn)：解答過程中不要漏掉某些試驗(yàn)結(jié)果．【補(bǔ)償訓(xùn)練】寫出下列各隨機(jī)變量可能取的值，并說明隨機(jī)變量所取的值表示的隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果.(1)在北京高校的自主招生中，參加面試的5名考生中，通過面試的考生人數(shù)X；(2)射手對(duì)目標(biāo)進(jìn)行射擊，擊中目標(biāo)得1分，未擊中目標(biāo)得0分，該射手在一次射擊中的得分用ξ表示.【解析】(1)X可能取值為0，1，2，3，4，5，X=i表示面試通過的有i人，其中i=0，1，2，3，4，5.(2)ξ可能取值為0，1，當(dāng)ξ=0時(shí)，表明該射手在本次類型二分布列的性質(zhì)及應(yīng)用(數(shù)學(xué)運(yùn)算)【典例】設(shè)隨機(jī)變量X的分布列Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(X＝\f(k,5)))＝ak(k＝1，2，3，4，5).(1)求常數(shù)a的值；(2)求Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(X≥\f(3,5))).【解析】分布列可改寫為：Xeq\f(1,5)eq\f(2,5)eq\f(3,5)eq\f(4,5)eq\f(5,5)Pa2a3a4a5a(1)由a＋2a＋3a＋4a＋5a＝1，得a＝eq\f(1,15).(2)Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(X≥\f(3,5)))＝Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(X＝\f(3,5)))＋Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(X＝\f(4,5)))＋Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(X＝\f(5,5)))＝eq\f(3,15)＋eq\f(4,15)＋eq\f(5,15)＝eq\f(4,5)，或Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(X≥\f(3,5)))＝1－Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(X≤\f(2,5)))＝1－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,15)＋\f(2,15)))＝eq\f(4,5).利用離散型分布列的性質(zhì)解題時(shí)要留意以下兩個(gè)問題(1)X＝Xi的各個(gè)取值表示的事務(wù)是互斥的．(2)不僅要留意p1＋p2＋…＋pn＋…＝1而且要留意pi＞0，i＝1，2，…，n，….若離散型隨機(jī)變量X的分布列為：X01P4a－13a2＋a求常數(shù)a及相應(yīng)的分布列．【解析】由分布列的性質(zhì)可知：3a2＋a＋4a－1＝1，即3a2＋5a－2＝0，解得a＝eq\f(1,3)或a＝－2，又因?yàn)?a－1>0，即a>eq\f(1,4)，故a≠－2.所以a＝eq\f(1,3)，此時(shí)4a－1＝eq\f(1,3)，3a2＋a＝eq\f(2,3).所以隨機(jī)變量X的分布列為：X01Peq\f(1,3)eq\f(2,3)【學(xué)問拓展】求離散型隨機(jī)變量y=f(ξ)的分布列(1)若ξ是一個(gè)隨機(jī)變量，a，b是常數(shù)，則η=aξ+b也是一個(gè)隨機(jī)變量，推廣到一般狀況有：若ξ是隨機(jī)變量，f(x)是連續(xù)函數(shù)或單調(diào)函數(shù)，則η=f(ξ)也是隨機(jī)變量，也就是說，隨機(jī)變量的某些函數(shù)值也是隨機(jī)變量，并且若ξ為離散型隨機(jī)變量，則η=f(ξ)也為離散型隨機(jī)變量.(2)已知離散型隨機(jī)變量ξ的分布列，求離散型隨機(jī)變量η=f(ξ)的分布列的關(guān)鍵是弄清晰ξ取每一個(gè)值時(shí)對(duì)應(yīng)的η的值，再把η取相同的值時(shí)所對(duì)應(yīng)的事務(wù)的概率相加，列出概率分布列即可.【補(bǔ)償訓(xùn)練】已知隨機(jī)變量ξ的分布列為ξ-2-10123Peq\f(1,12)eq\f(1,4)eq\f(1,3)eq\f(1,12)eq\f(1,12)分別求出隨機(jī)變量η1=QUOTEξ，η2=ξ2的分布列.【解析】由η1=QUOTEξ知，對(duì)于ξ取不同的值-2，-1，0，1，2，3時(shí)，η1的值分別為-1，-QUOTE，0，QUOTE，1，QUOTE，所以η1的分布列為η1-1-QUOTE01Peq\f(1,12)eq\f(1,4)eq\f(1,3)eq\f(1,12)eq\f(1,12)由η2=ξ2知，對(duì)于ξ的不同取值-2，2及-1，1，η2分別取相同的值4與1，即η2取4這個(gè)值的概率應(yīng)是ξ?。?與2的概率eq\f(1,12)與eq\f(1,6)的和，η2取1這個(gè)值的概率應(yīng)是ξ?。?與1的概率eq\f(1,4)與eq\f(1,12)的和，所以η2的分布列為η20149Peq\f(1,3)eq\f(1,3)eq\f(1,4)eq\f(1,12)【拓展訓(xùn)練】設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布列為：X01234P0.20.10.10.3m求：(1)2X＋1的分布列；(2)|X－1|的分布列．【解析】由分布列的性質(zhì)知：0．2＋0.1＋0.1＋0.3＋m＝1，所以m＝0.3.首先列表為X012342X＋113579|X－1|10123從而由表得兩個(gè)分布列為(1)2X＋1的分布列：2X＋113579P0.20.10.10.30.3(2)|X－1|的分布列：|X－1|0123P0.10.30.30.3類型三利用排列組合求分布列(邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算)【典例】袋中裝有黑球和白球共7個(gè)，從中任取2個(gè)球都是白球的概率為eq\f(1,7)，現(xiàn)有甲、乙兩人從袋中輪番摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取……取后不放回，直到兩人中有一人取到白球時(shí)終止，每個(gè)球在每一次被取出的機(jī)會(huì)是等可能的，用ξ表示取球終止所須要的取球次數(shù)．(1)求袋中全部的白球的個(gè)數(shù)．(2)求隨機(jī)變量ξ的分布列．(3)求甲取到白球的概率．【思路導(dǎo)引】可以利用組合數(shù)公式與古典概型概率公式求各種取值的概率．【解析】(1)設(shè)袋中原有n個(gè)白球，由題意知eq\f(1,7)＝eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(n)),Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(7)))＝eq\f(\f(n（n－1）,2),\f(7×6,2))＝eq\f(n（n－1）,7×6).可得n＝3或n＝－2(舍去)，即袋中原有3個(gè)白球．(2)由題意，ξ的可能取值為1，2，3，4，5.P(ξ＝1)＝eq\f(3,7)；P(ξ＝2)＝eq\f(4×3,7×6)＝eq\f(2,7)；P(ξ＝3)＝eq\f(4×3×3,7×6×5)＝eq\f(6,35)；P(ξ＝4)＝eq\f(4×3×2×3,7×6×5×4)＝eq\f(3,35)；P(ξ＝5)＝eq\f(4×3×2×1×3,7×6×5×4×3)＝eq\f(1,35).所以ξ的分布列為：ξ12345Peq\f(3,7)eq\f(2,7)eq\f(6,35)eq\f(3,35)eq\f(1,35)(3)因?yàn)榧紫热?，所以甲只有可能在第一次、第三次和第五次取到白球，記“甲取到白球”為事?wù)A，則P(A)＝P(ξ＝1)＋P(ξ＝3)＋P(ξ＝5)＝eq\f(22,35).求離散型隨機(jī)變量分布列時(shí)應(yīng)留意的問題(1)確定離散型隨機(jī)變量ξ的分布列的關(guān)鍵是要搞清ξ取每一個(gè)值對(duì)應(yīng)的隨機(jī)事務(wù)，進(jìn)一步利用排列、組合學(xué)問求出ξ取每一個(gè)值的概率．(2)在求離散型隨機(jī)變量ξ的分布列時(shí)，要充分利用分布列的性質(zhì)，這樣不但可以削減運(yùn)算量，還可以驗(yàn)證分布列是否正確．【補(bǔ)償訓(xùn)練】口袋中有6個(gè)同樣大小的黑球，編號(hào)分別為1，2，3，4，5，6，現(xiàn)從中隨機(jī)取出3個(gè)球，用X表示取出的最大號(hào)碼，求X的分布列.【解析】隨機(jī)變量X的可能取值為3，4，5，6.從袋中隨機(jī)取3個(gè)球，包含的基本領(lǐng)件總數(shù)為，事務(wù)“X=3”包含的基本領(lǐng)件總數(shù)為QUOTE，事務(wù)“X=4”包含的基本領(lǐng)件總數(shù)為QUOTE，事務(wù)“X=5”包含的基本領(lǐng)件總數(shù)為QUOTE，事務(wù)“X=6”包含的基本領(lǐng)件總數(shù)為QUOTE.從而有P(X=3)=QUOTE，P(X=4)=QUOTE，P(X=5)=QUOTE，P(X=6)=，所以隨機(jī)變量X的分布列為X3456P備選類型離散型隨機(jī)變量的判定(邏輯推理)【典例】指出下列隨機(jī)變量是否是離散型隨機(jī)變量，并說明理由．(1)某教學(xué)資源網(wǎng)站一天內(nèi)的點(diǎn)擊量．(2)你明天上學(xué)進(jìn)入校門的時(shí)間．(3)某市明年下雨的次數(shù)．(4)抽檢一件產(chǎn)品的真實(shí)質(zhì)量與標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量的誤差．【思路導(dǎo)引】依據(jù)隨機(jī)變量的實(shí)際背景，推斷隨機(jī)變量的取值是否可以一一列出，從而推斷是否為離散型隨機(jī)變量．【解析】(1)某教學(xué)資源網(wǎng)站一天內(nèi)的點(diǎn)擊量可以一一列出，是離散型隨機(jī)變量．(2)你明天上學(xué)進(jìn)入校門的時(shí)間，可以是某區(qū)間內(nèi)隨意實(shí)數(shù)，不能一一列出，不是離散型隨機(jī)變量．(3)某市明年下雨的次數(shù)可以一一列出，是離散型隨機(jī)變量．(4)抽檢一件產(chǎn)品的真實(shí)質(zhì)量與標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量的誤差可以在某區(qū)間內(nèi)連續(xù)取值，不能一一列出，不是離散型隨機(jī)變量．離散型隨機(jī)變量判定的關(guān)鍵及方法(1)關(guān)鍵：推斷隨機(jī)變量X的全部取值是否可以一一列出．(2)詳細(xì)方法：①明確隨機(jī)試驗(yàn)的全部可能結(jié)果；②將隨機(jī)試驗(yàn)的試驗(yàn)結(jié)果數(shù)量化；③確定試驗(yàn)結(jié)果所對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)是否可按肯定次序一一列出，假如能一一列出，則該隨機(jī)變量是離散型隨機(jī)變量，否則不是．給出下列四種變量(1)某電話亭內(nèi)的一部電話1小時(shí)內(nèi)運(yùn)用的次數(shù)記為X.(2)某人射擊2次，擊中目標(biāo)的環(huán)數(shù)之和記為X.(3)測(cè)量一批電阻，在950Ω和1200Ω之間的阻值記為X.(4)一個(gè)在數(shù)軸上隨機(jī)運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)，它在數(shù)軸上的位置記為X.其中離散型隨機(jī)變量的個(gè)數(shù)是()A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)【解析】選B.(1)某電話亭內(nèi)的一部電話1小時(shí)內(nèi)運(yùn)用的次數(shù)記為X，X是離散型隨機(jī)變量；(2)某人射擊2次，擊中目標(biāo)的環(huán)數(shù)之和記為X，X是離散型隨機(jī)變量；(3)測(cè)量一批電阻，阻值在950Ω～1200Ω之間，是連續(xù)型隨機(jī)變量；(4)一個(gè)在數(shù)軸上運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)，它在數(shù)軸上的位置記為X，X不是隨機(jī)變量．故離散型隨機(jī)變量個(gè)數(shù)是2個(gè)．課堂檢測(cè)·素養(yǎng)達(dá)標(biāo)1．隨機(jī)變量X是某城市1天之中發(fā)生的火警次數(shù)，隨機(jī)變量Y是某城市1天之內(nèi)的溫度，隨機(jī)變量ξ是某火車站1小時(shí)內(nèi)的旅客流淌人數(shù)．這三個(gè)隨機(jī)變量中不是離散型隨機(jī)變量的是()A．X和ξB．只有YC．Y和ξD．只有ξ【解析】選B.某城市1天之內(nèi)的溫度不能一一列舉，故Y不是離散型隨機(jī)變量．2．設(shè)某項(xiàng)試驗(yàn)的勝利率是失敗率的2倍，用隨機(jī)變量X描述一次試驗(yàn)的勝利次數(shù)，則P(X＝0)等于()A．0B．eq\f(1,3)C．eq\f(1,2)D．eq\f(2,3)【解析】選B.設(shè)P(X＝1)＝p，則P(X＝0)＝1－p.依題意知，p＝2(1－p)，解得p＝eq\f(2,3).故P(X＝0)＝1－p＝eq\f(1,3).3．(2024·福州高二檢測(cè))設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布列為X－101Peq\f(1,2)1－2qq2則q＝()A．eq\f(1,2)B．1－eq\f(\r(2),2)C．1＋eq\f(\r(2),2)D．1±eq\f(\r(2),2)【解析】選B.由題意得eq\f(1,2)＋1－2q＋q2＝1，1－2q∈(0，1)，q2∈(0，1)?q＝1－eq\f(\r(2),2).4．(2024·南昌高二檢測(cè))一袋中裝有5個(gè)球，編號(hào)分別為1，2，3，4，5，在袋