2025屆高考數學統考二輪復習增分強化練二十九橢圓雙曲線拋物線理含解析

PAGE增分強化練(二十九)考點一圓錐曲線的定義及標準方程1．(2024·榆林模擬)已知拋物線y2＝2px(p>0)上的點M到其焦點F的距離比點M到y軸的距離大eq\f(1,2)，則拋物線的標準方程為()A．y2＝x B．y2＝2xC．y2＝4x D．y2＝8x解析：由拋物線y2＝2px(p＞0)上的點M到其焦點F的距離比點M到y軸的距離大eq\f(1,2)，依據拋物線的定義可得eq\f(p,2)＝eq\f(1,2)，∴p＝1，所以拋物線的標準方程為y2＝2x.故選B.答案：B2．(2024·株洲模擬)已知雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1的一條漸近線l的傾斜角為eq\f(π,3)，且C的一個焦點到l的距離為eq\r(3)，則雙曲線C的方程為()A.eq\f(x2,12)－eq\f(y2,4)＝1 B.eq\f(x2,4)－eq\f(y2,12)＝1C.eq\f(x2,3)－y2＝1 D．x2－eq\f(y2,3)＝1解析：由eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝0可得y＝±eq\f(b,a)x，即漸近線的方程為y＝±eq\f(b,a)x，又一條漸近線l的傾斜角為eq\f(π,3)，所以eq\f(b,a)＝taneq\f(π,3)＝eq\r(3).因為雙曲線C的一個焦點(c,0)到l的距離為eq\r(3)，所以eq\f(|bc|,\r(a2＋b2))＝b＝eq\r(3)，所以a＝1，所以雙曲線的方程為x2－eq\f(y2,3)＝1.故選D.答案：D3．已知橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的離心率為eq\f(1,2)，且橢圓C的長軸長與焦距之和為6，則橢圓C的標準方程為()A.eq\f(4x2,25)＋eq\f(y2,6)＝1 B.eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,2)＝1C.eq\f(x2,2)＋y2＝1 D.eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1解析：依題意橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的離心率為eq\f(1,2)得eq\f(c,a)＝eq\f(1,2)，橢圓C的長軸長與焦距之和為6,2a＋2c＝6，解得a＝2，c＝1，則b＝eq\r(3)，所以橢圓C的標準方程為：eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1，故選D.答案：D4．設F1，F2是橢圓E：eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝1的左右焦點，P是橢圓E上的點，則|PF1|·|PF2|的最小值是________．解析：由橢圓方程可知a＝5，c＝3，依據橢圓的定義，有|PF2|＝2a－|PF1|＝10－|PF1|，故|PF1|·|PF2|＝|PF1|·(10－|PF1|)，由于|PF1|∈[a－c，a＋c]＝[2,8]留意到二次函數y＝x(10－x)的對稱軸為x＝5，故當x＝2，x＝8時，都是函數的最小值，即最小值為2×8＝16.答案：16考點二圓錐曲線的性質1．已知橢圓C：16x2＋4y2＝1，則下列結論正確的是()A．長軸長為eq\f(1,2) B．焦距為eq\f(\r(3),4)C．短軸長為eq\f(1,4) D．離心率為eq\f(\r(3),2)解析：由橢圓方程16x2＋4y2＝1化為標準方程可得eq\f(x2,\f(1,16))＋eq\f(y2,\f(1,4))＝1，所以a＝eq\f(1,2)，b＝eq\f(1,4)，c＝eq\f(\r(3),4)，長軸為2a＝1，焦距2c＝eq\f(\r(3),2)，短軸2b＝eq\f(1,2)，離心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(3),2).故選D.答案：D2．(2024·九江模擬)已知雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a，b>0)的右頂點A和右焦點F到一條漸近線的距離之比為1∶eq\r(2)，則C的漸近線方程為()A．y＝±x B．y＝±eq\r(2)xC．y＝±2x D．y＝±eq\r(3)x解析：由雙曲線方程可得漸近線為：y＝±eq\f(b,a)x，A(a,0)，F(c,0)，則點A到漸近線距離d1＝eq\f(|ab|,\r(a2＋b2))＝eq\f(ab,c)，點F到漸近線距離d2＝eq\f(|bc|,\r(a2＋b2))＝eq\f(bc,c)＝b，∴d1∶d2＝eq\f(ab,c)∶b＝a∶c＝1∶eq\r(2)，即c＝eq\r(2)a，則eq\f(b,a)＝eq\f(\r(c2－a2),a)＝eq\f(a,a)＝1，∴雙曲線漸近線方程為y＝±x.故選A.答案：A3．已知雙曲線C：x2－y2＝1，則點(4,0)到C的漸近線的距離為________．解析：雙曲線C：x2－y2＝1(a＞b＞0)的漸近線方程y＝±x，點(4,0)到C的漸近線的距離為eq\f(|±4|,\r(2))＝2eq\r(2).答案：2eq\r(2)4．(2024·株洲模擬)已知F1，F2是橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左右焦點，B是短軸的一個端點，線段BF2的延長線交橢圓C于點D，若△F1BD為等腰三角形，則橢圓C的離心率為________．解析：如圖，不妨設點B是橢圓短軸的上端點，則點D在第四象限內，設點D(x，y)．由題意得△F1BD為等腰三角形，且|DF1|＝|DB|.由橢圓的定義得|DF1|＋|DF2|＝2a，|BF1|＝|BF2|＝a，又|DF1|＝|DB|＝|DF2|＋|BF2|＝|DF2|＋a，∴(|DF2|＋a)＋|DF2|＝2a，解得|DF2|＝eq\f(a,2).作DE⊥x軸于E，則有|DE|＝|DF2|sin∠DF2E＝|DF2|sin∠BF2O＝eq\f(a,2)×eq\f(b,a)＝eq\f(b,2)，|F2E|＝|DF2|cos∠DF2E＝|DF2|cos∠BF2O＝eq\f(a,2)×eq\f(c,a)＝eq\f(c,2)，∴|OE|＝|OF2|＋|F2E|＝c＋eq\f(c,2)＝eq\f(3c,2)，∴點D的坐標為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3c,2)，－\f(b,2))).又點D在橢圓上，∴eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3c,2)))2,a2)＋eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2)))2,b2)＝1，整理得3c2＝a2，所以e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(3),3).答案：eq\f(\r(3),3)考點三直線與圓錐曲線的相關問題1．(2024·內江模擬)設橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左右焦點分別為F1、F2，上下頂點分別為A、B，直線AF2與該橢圓交于A、M兩點．若∠F1AF2＝120°，則直線BM的斜率為()A.eq\f(1,4) B.eq\f(\r(3),4)C.eq\f(\r(3),2) D.eq\r(3)解析：由題意，橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，且滿意∠F1AF2＝120°，如圖所示，則在△AF2O中，|OA|＝b，|AF2|＝a，且∠OAF2＝60°，所以a＝2b，不妨設b＝1，則a＝2，所以c＝eq\r(a2－c2)＝eq\r(3)，則橢圓的方程為eq\f(x2,4)＋y2＝1，又由A(0,1)，F2(eq\r(3)，0)，所以kAF2＝－eq\f(\r(3),3)，所以直線AF2的方程為y＝－eq\f(\r(3),3)x＋1，聯立方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝－\f(\r(3),3)x＋1,\f(x2,4)＋y2＝1))，整理得7x2－8eq\r(3)x＝0，解得x＝0或x＝eq\f(8\r(3),7)，把x＝eq\f(8\r(3),7)代入直線y＝－eq\f(\r(3),3)x＋1，解得y＝－eq\f(1,7)，即Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8\r(3),7)，－\f(1,7)))，又由點B(0，－1)，所以BM的斜率為kBM＝eq\f(－\f(1,7)－－1,\f(8\r(3),7)－0)＝eq\f(\r(3),4)，故選B.答案：B2．已知直線l：y＝2x＋b被拋物線C：y2＝2px(p>0)截得的弦長為5，直線l經過C的焦點，M為C上的一個動點，設點N的坐標為(3,0)，則MN的最小值為________．解析：(1)∵eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝2x＋b,y2＝2px))?4x2＋(4b－2p)x＋b2＝0,則52＝(1＋22)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2b－p,2)))2－4×\f(b,4)2))，又直線l經過C的焦點，則－eq\f(b,2)＝eq\f(p,2)，∴b＝－p，由此解得p＝2,拋物線方程為y2＝4x，M(x0，y0)，∴yeq\o\al(2,0)＝4x0，則|MN|2＝(x0－3)2＋yeq\o\al(2,0)＝(x0－3)2＋4x0＝(x0－1)2＋8,故當x0＝1時，|MN|min＝2eq\r(2).答案：2eq\r(2)3．已知橢圓E：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)上的動點到其左焦點距離的最大值是最小值的3倍，且點Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(3,2)))在橢圓上．(1)求橢圓E的標準方程；(2)過點G(0,1)作直線l與曲線交于A，B兩點，求△ABO面積的最大值．解析：(1)由題意得，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋c＝3a－c,a2＝b2＋c2,\f(1,a2)＋\f(9,4b2)＝1))，解得a＝2，b＝eq\r(3)，∴橢圓的標準方程為eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1.(2)易知直線l的斜率存在．設直線l的方程為y＝kx＋1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，聯立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋1,\f(x2,4)＋\f(y2,3)＝1))，消去y得(3＋4k2)x2＋8kx－8＝0，則x1＋x2＝eq\f(－8k,3＋4k2)，x1x2＝eq\f(－8,3＋4k2)，∴|x1－x2|＝eq\r(x1＋x22－4x1x2)＝eq\f(4\r(6)·\r(1＋2k2),3＋4k2)d＝eq\f(1,\r(k2＋1))，∴S△ABO