2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第一章計(jì)數(shù)原理1.2.2第2課時(shí)組合的綜合應(yīng)用學(xué)案含解析新人教A版選修2-3

PAGE其次課時(shí)組合的綜合應(yīng)用內(nèi)容標(biāo)準(zhǔn)學(xué)科素養(yǎng)1.能應(yīng)用組合學(xué)問解決有關(guān)組合的簡(jiǎn)潔實(shí)際問題．2.能解決有限制條件的組合問題.利用數(shù)據(jù)分析建立數(shù)學(xué)建模提升數(shù)學(xué)運(yùn)算授課提示：對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第14頁(yè)[基礎(chǔ)相識(shí)]學(xué)問點(diǎn)組合的特點(diǎn)學(xué)問梳理1.組合的特點(diǎn)是只取不排組合要求n個(gè)元素是不同的，被取出的m個(gè)元素也是不同的，即從n個(gè)不同的元素中進(jìn)行m次不放回地取出．2．組合的特性元素的無(wú)序性，即取出的m個(gè)元素不講究依次，沒有位置的要求．3．相同的組合依據(jù)組合的定義，只要兩個(gè)組合中的元素完全相同(不管依次如何)，就是相同的組合．[自我檢測(cè)]1．某乒乓球隊(duì)有9名隊(duì)員，其中2名是種子選手，現(xiàn)在選擇5名選手參與競(jìng)賽，種子選手必需在內(nèi)，那么不同選法共有()A．26種 B．84種C．35種 D．21種答案：C2．將4個(gè)顏色互不相同的球全部放入編號(hào)為1和2的兩個(gè)盒子里，使得放入每個(gè)盒子里球的個(gè)數(shù)不小于該盒子的編號(hào)，則不同的放球方法有________種．答案：10授課提示：對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第14頁(yè)探究一有限制條件的組合問題[閱讀教材P24例8]在100件產(chǎn)品中，有98件合格品，2件次品，從這100件產(chǎn)品中隨意抽出3件，(1)有多少種不同的抽法？(2)抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少種？(3)抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少種？題型：有限制條件的組合問題方法步驟：對(duì)于(1)是無(wú)限制條件的組合問題，由組合數(shù)公式即可．對(duì)于(2)是“恰好”有幾個(gè)的組合問題，分兩步完成這件事．對(duì)于(3)是“至少”“至多”型的組合問題，分類完成這件事或者用間接法．[例1]課外活動(dòng)小組共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女生各有一名隊(duì)長(zhǎng)，現(xiàn)從中選5人主持某項(xiàng)活動(dòng)，依下列條件各有多少種選法？(1)至少有一名隊(duì)長(zhǎng)當(dāng)選；(2)至多有兩名女生當(dāng)選；(3)既要有隊(duì)長(zhǎng)，又要有女生當(dāng)選．[解析](1)Ceq\o\al(5,13)－Ceq\o\al(5,11)＝825(種)．(2)至多有2名女生當(dāng)選含有三類：有2名女生；只有1名女生；沒有女生，所以共有Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(3,8)＋Ceq\o\al(1,5)Ceq\o\al(4,8)＋Ceq\o\al(5,8)＝966(種)選法．(3)分兩類：第一類女隊(duì)長(zhǎng)當(dāng)選，有Ceq\o\al(4,12)＝495(種)選法，其次類女隊(duì)長(zhǎng)沒當(dāng)選，有Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(3,7)＋Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(2,7)＋Ceq\o\al(3,4)Ceq\o\al(1,7)＋Ceq\o\al(4,4)＝295(種)選法，所以共有495＋295＝790(種)選法．方法技巧有限制條件的組合問題分類及解題策略有限制條件的抽(選)取問題，主要有兩類：一是“含”與“不含”問題，其解法常用干脆分步法，即“含”的先取出，“不含”的可把所指元素去掉再取，分步計(jì)數(shù)；二是“至多”“至少”問題，其解法常有兩種解決思路：一是干脆分類法，但要留意分類要不重不漏；二是間接法，留意找準(zhǔn)對(duì)立面，確保不重不漏．跟蹤探究1.某醫(yī)院從10名醫(yī)療專家中抽調(diào)6名組成醫(yī)療小組到社區(qū)義診，其中這10名醫(yī)療專家中有4名是外科專家．問：(1)抽調(diào)的6名專家中恰有2名是外科專家的抽調(diào)方法有多少種？(2)至少有2名外科專家的抽調(diào)方法有多少種？(3)至多有2名外科專家的抽調(diào)方法有多少種？解析：(1)分步：首先從4名外科專家中任選2名，有Ceq\o\al(2,4)種選法，再?gòu)某饪茖＜彝獾?人中選取4人，有Ceq\o\al(4,6)種選法，所以共有Ceq\o\al(2,4)·Ceq\o\al(4,6)＝90種抽調(diào)方法．(2)(干脆法)按選取的外科專家的人數(shù)分類：①選2名外科專家，共有Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(4,6)種選法；②選3名外科專家，共有Ceq\o\al(3,4)Ceq\o\al(3,6)種選法；③選4名外科專家，共有Ceq\o\al(4,4)Ceq\o\al(2,6)種選法，所以至少有2名外科專家的抽調(diào)方法共有Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(4,6)＋Ceq\o\al(3,4)Ceq\o\al(3,6)＋Ceq\o\al(4,4)Ceq\o\al(2,6)＝185種．(3)至多有2名外科專家的抽調(diào)方法有Ceq\o\al(6,6)＋Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(5,6)＋Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(4,6)＝115種．探究二幾何中的組合問題[閱讀教材P24例7](1)平面內(nèi)有10個(gè)點(diǎn)，以其中每2個(gè)點(diǎn)為端點(diǎn)的線段共有多少條？(2)平面內(nèi)有10個(gè)點(diǎn)，以其中第2個(gè)點(diǎn)為端點(diǎn)的有向線段共有多少條？題型：與幾何圖形有關(guān)的組合問題方法步驟：(1)一條線段就是兩個(gè)點(diǎn)的一個(gè)組合．由組合數(shù)公式得共有Ceq\o\al(2,10)條線段．(2)一條有向線段就是兩個(gè)點(diǎn)的一個(gè)排列．由排列數(shù)公式得共有Aeq\o\al(2,10)條有向線段．[例2]平面內(nèi)有12個(gè)點(diǎn)，其中有4個(gè)點(diǎn)共線，此外再無(wú)任何3點(diǎn)共線．以這些點(diǎn)為頂點(diǎn)，可構(gòu)成多少個(gè)不同的三角形？[解析]法一：以從共線的4個(gè)點(diǎn)中取點(diǎn)的多少作為分類的標(biāo)準(zhǔn)．第一類：共線的4個(gè)點(diǎn)中有2個(gè)點(diǎn)為三角形的頂點(diǎn)，共有Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(1,8)＝48個(gè)不同的三角形；其次類：共線的4個(gè)點(diǎn)中有1個(gè)點(diǎn)為三角形的頂點(diǎn)，共有Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(2,8)＝112個(gè)不同的三角形；第三類：共線的4個(gè)點(diǎn)中沒有點(diǎn)為三角形的頂點(diǎn)，共有Ceq\o\al(3,8)＝56個(gè)不同的三角形．由分類加法計(jì)數(shù)原理知，不同的三角形共有48＋112＋56＝216個(gè)．法二：(間接法)：從12個(gè)點(diǎn)中隨意取3個(gè)點(diǎn)，有Ceq\o\al(3,12)＝220種取法，而在共線的4個(gè)點(diǎn)中隨意取3個(gè)均不能構(gòu)成三角形，即不能構(gòu)成三角形的狀況有Ceq\o\al(3,4)＝4種．故這12個(gè)點(diǎn)構(gòu)成三角形的個(gè)數(shù)為Ceq\o\al(3,12)－Ceq\o\al(3,4)＝216個(gè)．方法技巧解答幾何組合問題的策略(1)幾何組合問題，主要考查組合的學(xué)問和空間想象實(shí)力，題目多以立體幾何中的點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系為背景的排列組合．這類問題情境新奇，多個(gè)學(xué)問點(diǎn)交匯在一起綜合性強(qiáng)．(2)解答幾何組合問題的思索方法與一般的組合問題基本一樣，只要把圖形的限制條件視為組合問題的限制條件即可．(3)計(jì)算時(shí)可用干脆法，也可用間接法，要留意在限制條件較多的狀況下，須要分類計(jì)算符合題意的組合數(shù)．跟蹤探究2.(1)四面體的一個(gè)頂點(diǎn)為A，從其他頂點(diǎn)和各棱的中點(diǎn)中取3個(gè)點(diǎn)，使它們和點(diǎn)A在同一平面上，有多少種不同的取法？(2)四面體的頂點(diǎn)和各棱的中點(diǎn)共有10個(gè)點(diǎn)，在其中取4個(gè)不共面的點(diǎn)，有多少種不同的取法？解析：(1)如圖所示，在含頂點(diǎn)A的四面體的3個(gè)面上，除點(diǎn)A外都有5個(gè)點(diǎn)，從中隨意取出3個(gè)點(diǎn)必與點(diǎn)A共面，共有3Ceq\o\al(3,5)種取法；在含頂點(diǎn)A的3條棱上各有3個(gè)點(diǎn)，它們與所對(duì)的棱的中點(diǎn)共面，共有3種取法．依據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理，與頂點(diǎn)A共面的3個(gè)點(diǎn)的取法有3Ceq\o\al(3,5)＋3＝33(種)．(2)如圖所示，從10個(gè)點(diǎn)中取4個(gè)點(diǎn)的取法有Ceq\o\al(4,10)種，減去4點(diǎn)共面的取法種數(shù)就可以得到結(jié)果．從四面體同一個(gè)面上的6個(gè)點(diǎn)中取出4點(diǎn)必定共面，有4Ceq\o\al(4,6)＝60(種)；四面體的每一條棱上的3個(gè)點(diǎn)與相對(duì)的棱的中點(diǎn)共面，共有6種共面狀況；從6條棱的6個(gè)中點(diǎn)中取4個(gè)點(diǎn)時(shí)有3種共面狀況(對(duì)棱中點(diǎn)連線兩兩相交且相互平分)．故4點(diǎn)不共面的取法有Ceq\o\al(4,10)－(60＋6＋3)＝141(種)．探究三分組、安排問題[例3]6本不同的書，分為3組，在下列條件下各有多少種不同的安排方法？(1)每組2本(平均分組)；(2)一組1本，一組2本，一組3本(不平均分組)；(3)一組4本，另外兩組各1本(局部平均分組)．[解析](1)每組2本，均分為3組的方法數(shù)為eq\f(C\o\al(2,6)C\o\al(2,4)C\o\al(2,2),A\o\al(3,3))＝eq\f(15×6×1,6)＝15.(2)一組1本，一組2本，一組3本的分組種數(shù)為Ceq\o\al(3,6)Ceq\o\al(2,3)Ceq\o\al(1,1)＝20×3＝60.(3)一組4本，另外兩組各1本的分組種數(shù)為eq\f(C\o\al(4,6)C\o\al(1,2)C\o\al(1,1),A\o\al(2,2))＝eq\f(15×2,2)＝15.方法技巧“分組”與“安排”問題的解法(1)分組問題屬于“組合”問題，常見的分組問題有三種：①完全勻稱分組，每組的元素個(gè)數(shù)均相等；②部分勻稱分組，應(yīng)留意不要重復(fù)，有n組勻稱，最終必需除以n??；③完全非勻稱分組，這種分組不考慮重復(fù)現(xiàn)象．(2)安排問題屬于“排列”問題，安排問題可以按要求逐個(gè)安排，也可以分組后再安排．跟蹤探究3.6本不同的書，分給甲、乙、丙3人，在下列條件下各有多少種不同的安排方法？(1)甲2本，乙2本，丙2本；(2)甲1本，乙2本，丙3本；(3)甲4本，乙、丙每人1本；(4)每人2本；(5)一人1本，一人2本，一人3本；(6)一人4本，其余兩人每人1本．解析：(1)(2)(3)中，由于每人分的本數(shù)固定，屬于定向安排問題，由分步乘法計(jì)數(shù)原理得：(1)共有Ceq\o\al(2,6)Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(2,2)＝90(種)不同的安排方法；(2)共有Ceq\o\al(1,6)Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(3,3)＝60(種)不同的安排方法；(3)共有Ceq\o\al(4,6)Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,1)＝30(種)不同的安排方法．(4)(5)(6)屬于不定向安排問題，是該類題中比較困難的問題．安排給3人，同一本書給不同的人是不同的分法，屬于排列問題．事實(shí)上可看作兩個(gè)步驟：先分為3組，再把這3組分給甲、乙、丙3人的全排列數(shù)Aeq\o\al(3,3)即可．因此，(4)共有Ceq\o\al(2,6)Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(2,2)÷Aeq\o\al(3,3)×Aeq\o\al(3,3)＝90(種)不同的安排方法；(5)共有Ceq\o\al(1,6)Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(3,3)×Aeq\o\al(3,3)＝360(種)不同的安排方法；(6)共有Ceq\o\al(4,6)Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,1)÷Aeq\o\al(2,2)×Aeq\o\al(3,3)＝90(種)不同的安排方法．探究四排列、組合的綜合應(yīng)用[閱讀教材P28習(xí)題1.2B組3題]從1,3,5,7,9中任取3個(gè)數(shù)字，從2,4,6,8中任取2個(gè)數(shù)字，一共可以組成多少個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)？解析：分三步：第一步：從1,3,5,7,9中任取3個(gè)數(shù)字，有Ceq\o\al(3,5)種取法．其次步：從2,4,6,8中任取2個(gè)數(shù)字有Ceq\o\al(2,4)種取法．第三步：將取出的5個(gè)數(shù)字全排列有Aeq\o\al(5,5)種排法．共有Ceq\o\al(3,5)Ceq\o\al(2,4)Aeq\o\al(5,5)＝7200個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)．[例4]有4張分別標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4的紅色卡片和4張分別標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4的藍(lán)色卡片，從這8張卡片中取出4張卡片排成一行．假如取出的4張卡片所標(biāo)的數(shù)字之和等于10，則不同的排法共有多少種？[解析]分三類：第一類，當(dāng)取出的4張卡片分別標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4時(shí)，不同的排法有Ceq\o\al(1,2)·Ceq\o\al(1,2)·Ceq\o\al(1,2)·Ceq\o\al(1,2)·Aeq\o\al(4,4)種．其次類，當(dāng)取出的4張卡片分別標(biāo)有數(shù)字1,1,4,4時(shí)，不同的排法有Ceq\o\al(2,2)·Ceq\o\al(2,2)·Aeq\o\al(4,4)種．第三類，當(dāng)取出的4張卡片分別標(biāo)有數(shù)字2,2,3,3時(shí)，不同的排法有Ceq\o\al(2,2)·Ceq\o\al(2,2)·Aeq\o\al(4,4)種．故滿意題意的全部不同的排法種數(shù)為Ceq\o\al(1,2)·Ceq\o\al(1,2)·Ceq\o\al(1,2)·Ceq\o\al(1,2)·Aeq\o\al(4,4)＋2Ceq\o\al(2,2)·Ceq\o\al(2,2)·Aeq\o\al(4,4)＝432.方法技巧解答排列、組合綜合問題的思路及留意點(diǎn)(1)解排列、組合綜合問題的一般思路是“先選后排”，也就是先把符合題意的元素都選出來(lái)，再對(duì)元素或位置進(jìn)行排列．(2)解排列、組合綜合問題時(shí)要留意以下幾點(diǎn)：①元素是否有序是區(qū)分排列與組合的基本方法，無(wú)序的問題是組合問題，有序的問題是排列問題．②對(duì)于有多個(gè)限制條件的困難問題，應(yīng)仔細(xì)分析每個(gè)限制條件，然后再考慮是分類還是分步，這是處理排列、組合綜合問題的一般方法．跟蹤探究4.某科室派出4名調(diào)研員到3個(gè)學(xué)校，調(diào)研該校高三復(fù)習(xí)備考近況，要求每個(gè)學(xué)校至少一名，則不同的安排方案種數(shù)為________．解析：先分組再安排第一步分組：有eq\f(C\o\al(2,4)C\o\al(1,2)C\o\al(1,1),A\o\al(2,2))，其次步安排：有Aeq\o\al(3,3)種，共有eq\f(C\o\al(2,4)C\o\al(1,2)C\o\al(1,1),A\o\al(2,2))·Aeq\o\al(3,3)＝36(種)，∴不同的安排方案種數(shù)為36.答案：36授課提示：對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第16頁(yè)[課后小結(jié)](1)無(wú)限制條件的組合應(yīng)用題．其解題步驟為：①推斷；②轉(zhuǎn)化；③求值；④作答．(2)有限制條件的組合應(yīng)用題：①“含”與“不含”問題：這類問題的解題思路是將限制條件視為特別元素和特別位置，一般來(lái)講，特別要先滿意，其余則“一視同仁”．若正面入手不易，則從反面入手，找尋問題的突破口，即采納解除法．解題時(shí)要留意分清“有且僅有”“至多”“至少”“全是”“都不是”“不都是”等詞語(yǔ)的準(zhǔn)確含義，精確把握分類標(biāo)準(zhǔn)．②幾何中的計(jì)算問題：在處理幾何問題中的組合應(yīng)用問題時(shí)，應(yīng)先明確幾何中的點(diǎn)、線、面及構(gòu)型，明確平面圖形和立體圖形中的點(diǎn)、線、面之間的關(guān)系，將幾何問題抽象成組合問題來(lái)解決．③分組、安排問題：分組問題和安排問題是有區(qū)分的，前者組與組之間只要元素個(gè)數(shù)