2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第一章集合與常用邏輯用語1.1集合的概念學(xué)案含解析新人教A版必修第一冊

PAGE第一章集合與常用邏輯用語1．1集合的概念內(nèi)容標(biāo)準(zhǔn)學(xué)科素養(yǎng)1.通過實例了解集合的含義，體會元素與集合的“屬于”關(guān)系．?dāng)?shù)學(xué)抽象數(shù)學(xué)建模2.能用自然語言、圖形語言、集合語言描述不同的詳細問題.授課提示：對應(yīng)學(xué)生用書第1頁[教材提煉]學(xué)問點一集合的概念eq\a\vs4\al(預(yù)習(xí)教材，思索問題)(1)方程x2－3x＋2＝0的全部實數(shù)根；(2)全部的正方形；(3)某班全部的“帥哥”．上述問題中的元素可否看成一個“集合”？學(xué)問梳理(1)一般地，我們把探討對象統(tǒng)稱為元素(element)，把一些元素組成的總體叫做集合(set)(簡稱為集)．(2)集合中元素的特性：確定性、互異性、無序性．我們通常用大寫拉丁字母A，B，C，…表示集合，用小寫拉丁字母a，b，c，…表示集合中的元素．學(xué)問點二元素與集合的關(guān)系eq\a\vs4\al(預(yù)習(xí)教材，思索問題)設(shè)方程x2－3x＋2＝0的全部實根構(gòu)成集合A.1是否在集合A里面？2是否在里面？0是否在里面？學(xué)問梳理(1)假如a是集合A的元素，就說a屬于(belongto)集合A，記作a∈A；假如a不是集合A中的元素，就說a不屬于(notbelongto)集合A，記作a?A.(2)常見的數(shù)集及表示符號數(shù)集非負整數(shù)集(自然數(shù)集)正整數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集實數(shù)集符號NN*或N＋ZQR學(xué)問點三集合的表示eq\a\vs4\al(預(yù)習(xí)教材，思索問題)我們可以用自然語言描述一個集合．除此之外，還可以用什么方式表示集合呢？學(xué)問梳理(1)列舉法把集合的全部元素一一列舉出來，并用花括號“{}”括起來表示集合的方法叫做列舉法．“方程x2－3x＋2＝0的全部實數(shù)根”組成的集合可以表示為{1,2}．(2)描述法一般地，設(shè)A是一個集合，我們把集合A中全部具有共同特征P(x)的元素x所組成的集合表示為{x∈A|P(x)}，這種表示集合的方法稱為描述法．“方程x2－3x＋2＝0的全部實數(shù)根”組成的集合用描述法可表為{x∈R|x2－3x＋2＝0}．學(xué)問點四相等集合eq\a\vs4\al(預(yù)習(xí)教材，思索問題)A＝{方程x2－3x＋2＝0的實數(shù)根}B＝{1,2}C＝{x∈R|x2－3x＋2＝0}A、B、C可否說為相等集合？學(xué)問梳理只要構(gòu)成兩個集合的元素是一樣的，我們就稱這兩個集合是相等的．[自主檢測]1．(教材P5練習(xí)1改編)下列給出的對象中，能組成集合的是()A．與定點A，B等距離的點 B．中學(xué)學(xué)生中的游泳能手C．無限接近10的數(shù) D．特別長的河流答案：A2．若一個集合中的三個元素a，b，c是△ABC的三邊長，則此三角形肯定不是()A．銳角三角形 B．直角三角形C．鈍角三角形 D．等腰三角形答案：D3．下列結(jié)論中，不正確的是()A．若a∈N，則eq\f(1,a)?N B．若a∈Z，則a2∈ZC．若a∈Q，則|a|∈Q D．若a∈R，則eq\r(3,a)∈R答案：A4．(教材P4例2改編)分別用描述法、列舉法表示大于0小于6的自然數(shù)組成的集合．解析：描述法：{x∈N|0＜x＜6}，列舉法：{1,2,3,4,5}．授課提示：對應(yīng)學(xué)生用書第2頁探究一集合的概念[例1]下列對象中可以構(gòu)成集合的是()A．大蘋果 B．小橘子C．中學(xué)生 D．聞名的數(shù)學(xué)家[解析]選項正誤緣由A×大蘋果究竟以多重算大，標(biāo)準(zhǔn)不明確B×小橘子究竟以多重算小，標(biāo)準(zhǔn)不明確C√中學(xué)生標(biāo)準(zhǔn)明確，故可構(gòu)成集合Dד聞名”的標(biāo)準(zhǔn)不明確[答案]C推斷一個“全體”是否能構(gòu)成一個集合，其關(guān)鍵是對標(biāo)準(zhǔn)的“確定性”的把握，即依據(jù)這個“標(biāo)準(zhǔn)”，可以明確判定一個對象是或者不是給定集合的元素．給出下列元素①學(xué)習(xí)成果較好的同學(xué)；②方程x2－1＝0的解；③美麗的花兒；④大氣中直徑較大的顆粒物．其中能組成集合的是()A．② B．①③C．②④ D．①②④答案：A探究二元素與集合的關(guān)系[例2]集合A中的元素x滿意eq\f(6,3－x)∈N，x∈N，則集合A中的元素為________．[解析]由eq\f(6,3－x)∈N，x∈N知x≥0，eq\f(6,3－x)＞0，且x≠3，故0≤x＜3.又x∈N，故x＝0,1,2.當(dāng)x＝0時，eq\f(6,3－0)＝2∈N；當(dāng)x＝1時，eq\f(6,3－1)＝3∈N；當(dāng)x＝2時，eq\f(6,3－2)＝6∈N.故集合A中的元素為0,1,2.[答案]0,1,21．若本例2中集合A是由形如eq\r(2)m＋n(m∈Z，n∈Z)(例如數(shù)2eq\r(2)－1)的數(shù)構(gòu)成的，推斷eq\f(1,\r(2)－1)是不是集合A中的元素．解析：eq\f(1,\r(2)－1)＝eq\r(2)＋1＝1×eq\r(2)＋1，而1,1∈Z，所以eq\r(2)＋1∈A，即eq\f(1,\r(2)－1)∈A.2．若本例2集合A是由正整數(shù)構(gòu)成的且滿意“若x∈A，則10－x∈A”，則集合A中元素個數(shù)至多有多少個？解析：由x∈A，則10－x∈A可得：x＞0,10－x＞0，解得：0＜x＜10，x∈N*.若1∈A，則9∈A.同理可得：2,3,4,5,6,7,8，都屬于集合A.因此集合A中元素個數(shù)至多有9個．答案：9探究三集合的表示[例3]教材給出了奇數(shù)集合{x∈Z|x＝2k＋1，k∈Z}．(1)用這樣的方法表示偶數(shù)集．(2)用這樣的方法表示除以3余1的整數(shù)集合．(3)當(dāng)x∈Z，y∈Z點(x，y)稱為整點，如何表示坐標(biāo)系中第一象限內(nèi)的整點？[解析](1)偶數(shù)集{x∈Z|x＝2k，k∈Z}．(2){x∈Z|x＝3k＋1，k∈Z}(3){(x，y)|x＞0，y＞0，x∈Z，y∈Z}1．對于含有有限個元素且個數(shù)較少的集合，采納列舉法表示集合較合適；對于元素個數(shù)較多的集合，假如構(gòu)成該集合的元素具有明顯的規(guī)律，在不發(fā)生誤會的狀況下，可以列舉出幾個元素作為代表，其他元素用省略號表示，如N*＝{1,2,3，…}．2．一般地，元素較多的無限集用描述法表示集合．用另一種方法表示下列集合：(1){肯定值不大于2的整數(shù)}；(2){能被3整除，且小于10的正數(shù)}；(3){x|x＝|x|，x∈Z且x＜5}；(4){－3，－1,1,3,5}．解析：(1){－2，－1,0,1,2}．(2){3,6,9}．(3)因為x＝|x|，所以x≥0.又因為x∈Z且x＜5，所以x＝0,1,2,3,4.所以集合可以表示為{0,1,2,3,4}．(4){x|x＝2k－1，－1≤k≤3，k∈Z}．探究四集合元素的特性及應(yīng)用[例4]已知集合A由元素a－3,2a－1，a2－4構(gòu)成，且－3∈A，求實數(shù)a的值[解析]因為－3∈A，A＝{a－3,2a－1，a2－4}，所以a－3＝－3或2a－1＝－3或a若a－3＝－3，則a＝0，此時集合A＝{－3，－1，－4}，符合題意．若2a－1＝－3，則a＝－1，此時集合A＝{－4，－3，－3}，不滿意集合中元素的互異性．若a2－4＝－3，則a＝1或a＝－1(舍去)，當(dāng)a＝1時，集合A＝{－2,1，－3}，符合題意．綜上可知，a＝0，或a＝1.利用集合中元素的互異性求參數(shù)問題(1)依據(jù)集合中元素的確定性，可以解出字母的全部可能值，再依據(jù)集合中元素的互異性對集合中的元素進行檢驗；(2)利用集合中元素的特性解題時，要留意分類探討思想的應(yīng)用．假如集合A＝{x|ax2＋2x＋1＝0，a∈R}中只有一個元素，則實數(shù)a的值是()A．0 B．0或1C．1 D．不能確定解析：集合A中只有一個元素，有兩種狀況：當(dāng)a≠0時，由Δ＝0，解得a＝1，此時A＝{－1}，滿意題意；當(dāng)a＝0時，x＝－eq\f(1,2)，此時A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))，滿意題意．故集合A中只有一個元素時，a＝0或a＝1.答案：B授課提示：對應(yīng)學(xué)生用書第3頁一、“天下誰人不識君”——集合中描述法的相識eq\x(?直觀想象、邏輯推理)1．兩步相識描述法表示的集合(1)一看代表元素：例如{x|p(x)}表示數(shù)集，{(x，y)|y＝p(x)}表示點集．(2)二看條件：即看代表元素滿意什么條件(公共特征)．2．四個集合的區(qū)分(1)A＝{x|y＝x2＋1}表示使函數(shù)y＝x2＋1有意義的自變量x的取值范圍，且x的取值范圍是R，因此A＝R.(2)B＝{y|y＝x2＋1}表示使函數(shù)y＝x2＋1有意義的函數(shù)值y的取值范圍，而y的取值范圍是y＝x2＋1≥1，因此，B＝{y|y≥1}．(3)C＝{(x，y)|y＝x2＋1}表示滿意y＝x2＋1的點(x，y)組成的集合，因此C表示函數(shù)y＝x2＋1的圖象上的點組成的集合．(4)P＝{y＝x2＋1}是用列舉法表示的集合，該集合中只有一個元素，且此元素是一個式子y＝x2＋1.[典例]1.已知A＝{1,2,3}，B＝{2,4}，定義集合A，B間的運算A*B＝{x|x∈A且x?B}，則集合A*B等于()A．{1,2,3} B．{2,3}C．{1,3} D．{2}[解析]x＝1∈A,1?B；x＝2∈A,2∈B；x＝3∈A,2?B；∴A*B＝{1,3}．[答案]C2．二次函數(shù)y＝x2－1上的圖象上縱坐標(biāo)為3的點的集合為________．[解析]點可看作由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝x2－1,y＝3))組成的解集可用描述法．令y＝3得：x2－1＝3，所以x＝－2或x＝2.所以在y＝x2－1的圖象上且縱坐標(biāo)為3的點的集合為：{(－2,3)，(2,3)}．[答案]{(－2,3)，(2,3)}或eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x，y\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝x2－1,y＝3))))))二、集合相等的誤區(qū)——都是元素惹的“禍”eq\x(?數(shù)學(xué)運算、邏輯推理)[典例]已知集合A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(a，\f(b,a)，1))，B＝{a2，a＋b,0}，若A＝B，則a2018＋b2018的值為________．[解析]因為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(a，\f(b,a)，1))＝(a2，a＋b,0)，又因為a≠0,1≠0，所以eq\f(b,a)＝0，所以b＝0，所以{a,0,1}＝{a2，a,0}，所以a2＝1，即a＝±1，又當(dāng)