易錯(cuò)31題專(zhuān)練（2020必修三全部?jī)?nèi)容）

易錯(cuò)31題專(zhuān)練（滬教版2020必修三全部?jī)?nèi)容）一．選擇題（共3小題）1．（2021秋?浦東新區(qū)校級(jí)月考）若直線(xiàn)l不平行于平面α，且l?α，則（）A．α內(nèi)存在直線(xiàn)與l異面 B．α內(nèi)存在與l平行的直線(xiàn) C．α內(nèi)存在唯一的直線(xiàn)與l平行 D．α內(nèi)的直線(xiàn)與l都相交【分析】根據(jù)線(xiàn)面關(guān)系的定義，我們根據(jù)已知中直線(xiàn)l不平行于平面α，且l?α，判斷出直線(xiàn)l與α的關(guān)系，利用直線(xiàn)與平面相交的定義，我們逐一分析四個(gè)答案，即可得到結(jié)論．【解答】解：直線(xiàn)l不平行于平面α，且l?α，則l與α相交l與α內(nèi)的直線(xiàn)可能相交，也可能異面，但不可能平行故B，C，D錯(cuò)誤故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查線(xiàn)線(xiàn)、線(xiàn)面位置關(guān)系的判定，考查邏輯推理能力和空間想象能力．其中利用已知判斷出直線(xiàn)l與α的關(guān)系是解答本題的關(guān)鍵．2．（2021秋?寶山區(qū)校級(jí)期中）已知m，n是不同的直線(xiàn)，α，β是不同的平面，則下列條件能使n⊥α成立的是（）A．α⊥β，m?β B．α∥β，n⊥β C．α⊥β，n∥β D．m∥α，n⊥m【分析】n⊥α必有n平行α的垂線(xiàn)，或者n垂直α的平行平面，依次判定選項(xiàng)即可．【解答】解：α⊥β，m?β，不能說(shuō)明n與α的關(guān)系，A錯(cuò)誤；α∥β，n⊥β能夠推出n⊥α，正確；α⊥β，n∥β可以得到n與平面α平行、相交，所以不正確．m∥α，n⊥m則n與平面α可能平行，所以不正確．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線(xiàn)與平面垂直的判定，考查空間想象能力，是基礎(chǔ)題．3．（2021秋?奉賢區(qū)校級(jí)期末）若空間中n個(gè)不同的點(diǎn)兩兩距離都相等，則正整數(shù)n的取值（）A．至多等于3 B．至多等于4 C．等于5 D．大于5【分析】先考慮平面上的情況：只有三個(gè)點(diǎn)的情況成立；再考慮空間里，只有四個(gè)點(diǎn)的情況成立，注意運(yùn)用外接球和三角形三邊的關(guān)系，即可判斷．【解答】解：考慮平面上，3個(gè)點(diǎn)兩兩距離相等，構(gòu)成等邊三角形，成立；4個(gè)點(diǎn)兩兩距離相等，三個(gè)點(diǎn)在圓上，一個(gè)點(diǎn)是圓心，圓上的點(diǎn)到圓心的距離都相等，則不成立；n大于4，也不成立；在空間中，4個(gè)點(diǎn)兩兩距離相等，構(gòu)成一個(gè)正四面體，成立；若n＞4，由于任三點(diǎn)不共線(xiàn)，當(dāng)n＝5時(shí)，考慮四個(gè)點(diǎn)構(gòu)成的正四面體，第五個(gè)點(diǎn)，與它們距離相等，必為正四面體的外接球的球心，且球的半徑不等于邊長(zhǎng)，即有球心與正四面體的底面的中心重合，但顯然球的半徑不等于棱長(zhǎng)，故不成立；同理n＞5，不成立．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查空間幾何體的特征，主要考查空間兩點(diǎn)的距離相等的情況，注意結(jié)合外接球和三角形的兩邊與第三邊的關(guān)系，屬于中檔題和易錯(cuò)題．二．填空題（共22小題）4．（2021秋?楊浦區(qū)校級(jí)期末）如果圓錐的底面圓半徑為1，母線(xiàn)長(zhǎng)為2，則該圓錐的側(cè)面積為2π．【分析】由圓錐的側(cè)面積公式即可求解．【解答】解：由圓錐的側(cè)面積公式S＝LR＝×（2πr）×R＝×2π×1×2＝2π．故答案為：2π【點(diǎn)評(píng)】考查圓錐的側(cè)面積公式，屬于基礎(chǔ)題．5．（2021秋?徐匯區(qū)校級(jí)期中）已知長(zhǎng)方體的表面積是24cm2，過(guò)同一頂點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)之和是6cm，則它的對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)是．【分析】設(shè)出長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高，利用已知條件，容易得到解答．【解答】解：設(shè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為：a、b、c，由題意可知：a+b+c＝6…①2（ab+bc+ca）＝24…②①的平方﹣②得a2+b2+c2＝12所以長(zhǎng)方體的對(duì)角線(xiàn)是：故答案為：【點(diǎn)評(píng)】本題考查長(zhǎng)方體的有關(guān)計(jì)算問(wèn)題，是基礎(chǔ)題．6．（2021秋?黃浦區(qū)校級(jí)月考）若用與球心的距離為的平面截球體所得的圓面半徑為，則球的體積為36π．【分析】根據(jù)題意求出球的半徑，再計(jì)算球的體積．【解答】解：如圖所示，依題意知，截面圓的半徑為r＝AC＝，球心O到截面圓的距離為d＝OC＝，所以球的半徑為R＝OA＝＝3，所以球的體積為V＝π×33＝36π．故答案為：36π．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了球的體積計(jì)算問(wèn)題，也考查了球面被平面所截的截面圓問(wèn)題，是基礎(chǔ)題．7．（2021秋?寶山區(qū)校級(jí)月考）已知三棱錐P﹣ABC的三條側(cè)棱兩兩垂直，且它們的長(zhǎng)度分別為1，1，，則此三棱錐的高為．【分析】根據(jù)題意，利用等體積法，即可求出三棱錐P﹣ABC高的大?。窘獯稹拷猓喝鐖D所示，三棱錐P﹣ABC中，PA⊥PB，PA⊥PC，PB⊥PC，且PA＝PB＝1，PC＝，所以AB＝，AC＝BC＝，所以△ABC的面積為S△ABC＝××＝，設(shè)此三棱錐的高為h，則××1××1＝××h，解得h＝．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了利用等體積法計(jì)算三棱錐高的問(wèn)題，是基礎(chǔ)題．8．（2021秋?奉賢區(qū)校級(jí)期末）某區(qū)老年、中年和青年教師的人數(shù)見(jiàn)下表，采用分層抽樣的方法調(diào)查教師的新冠疫苗接種情況，在抽取的樣本中，青年教師有320人，則該樣本的老年教師人數(shù)為180．類(lèi)別人數(shù)老年教師900中年教師1800青年教師1600合計(jì)4300【分析】根據(jù)分層抽樣原理列方程求出該樣本中老年教師人數(shù)．【解答】解：設(shè)該樣本的老年教師人數(shù)為x，則＝，x＝180，所以樣本中老年教師人數(shù)為180．故答案為：180．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了分層抽樣原理應(yīng)用問(wèn)題，是基礎(chǔ)題．9．（2021秋?楊浦區(qū)校級(jí)期中）在棱長(zhǎng)為6的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，E是棱AB的中點(diǎn)，過(guò)E，D，C1作正方體的截面，則該截面的面積是．【分析】過(guò)E，D，C1作正方體的截面，是等腰梯形，結(jié)合圖中數(shù)據(jù)，求出截面圖形的面積．【解答】解：正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，E是棱AB的中點(diǎn)，過(guò)E，D，C1作正方體的截面，是等腰梯形DEFC1，如圖所示：其中F是BB1的中點(diǎn)，EF＝DC1＝×6＝3，DE＝FC1＝＝3；所以梯形底面上的高為h＝＝，則該截面的面積是S＝×（6+3）×＝．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正方體截面面積的計(jì)算問(wèn)題，也考查了運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．10．（2021春?徐匯區(qū)校級(jí)月考）下列判斷中：①三點(diǎn)確定一個(gè)平面；②一條直線(xiàn)和一點(diǎn)確定一個(gè)平面；③兩條直線(xiàn)確定一個(gè)平面；④三角形和梯形一定是平面圖形；⑤四邊形一定是平面圖形；⑥六邊形一定是平面圖形；⑦兩兩相交的三條直線(xiàn)確定一個(gè)平面．其中正確的是④．【分析】主要根據(jù)公理2以及推論判斷①②③④，利用空間圖形和幾何體進(jìn)行判斷⑤⑥⑦．【解答】解①根據(jù)公理2知，必須是不共線(xiàn)的三點(diǎn)確定一個(gè)平面，故①不對(duì)；②根據(jù)一條直線(xiàn)和直線(xiàn)外的一點(diǎn)確定一個(gè)平面知，故②不對(duì)；③由異面直線(xiàn)的定義知，兩條直線(xiàn)不一定確定一個(gè)平面，故③不對(duì)；④因梯形的一組對(duì)邊平行，所以由“兩條平行確定一個(gè)平面”知，梯形是一個(gè)平面圖形，又因三角形的三個(gè)頂點(diǎn)不共線(xiàn)，故④對(duì)；⑤比如空間四邊形則不是平面圖形，故⑤不對(duì)；⑥比如空間六邊形則不是平面圖形，故⑥不對(duì)；⑦兩兩相交于同一點(diǎn)的三條直線(xiàn)，如三棱錐的三個(gè)側(cè)面，它們確定了三個(gè)平面，故⑦不對(duì)．故答案為：④．【點(diǎn)評(píng)】本題的考點(diǎn)是平面公理2以及推論的應(yīng)用，主要利用公理2的作用和公理中的關(guān)鍵條件進(jìn)行判斷，考查了空間想象能力．11．（2021秋?徐匯區(qū)校級(jí)月考）若a，b是異面直線(xiàn)，直線(xiàn)c∥a，則c與b的位置關(guān)系是相交或異面．【分析】?jī)蓷l直線(xiàn)的位置關(guān)系有三種：相交，平行，異面．由于a，b是兩條異面直線(xiàn)，直線(xiàn)c∥a則c有可能與b相交且與a平行，但是c不可能與b平行，要說(shuō)明這一點(diǎn)采用反證比較簡(jiǎn)單．【解答】解：∵a，b是兩條異面直線(xiàn)，直線(xiàn)c∥a∴過(guò)b任一點(diǎn)可作與a平行的直線(xiàn)c，此時(shí)c與b相交．另外c與b不可能平行理由如下：若c∥b則由c∥a可得到a∥b這與a，b是兩條異面直線(xiàn)矛盾，故c與b異面．故答案為：相交或異面．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了空間中兩直線(xiàn)的位置關(guān)系：相交，平行，異面．做題中我們可采用逐個(gè)驗(yàn)證再結(jié)合反證法的使用即可達(dá)到目的，這也不失為常用的解題方法！12．（2021秋?寶山區(qū)校級(jí)月考）已知α∥β，a?α．b?β，則直線(xiàn)a與b的位置關(guān)系為平行或異面．【分析】由α∥β，a?α．b?β，可知兩條直線(xiàn)沒(méi)有公共點(diǎn)，因此兩條直線(xiàn)平行或者異面．【解答】解：因?yàn)棣痢桅?，a?α．b?β，所以?xún)蓷l直線(xiàn)沒(méi)有公共點(diǎn)，所以直線(xiàn)a與b的位置關(guān)系平行或異面；故答案為：平行或者異面．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了由空間平面的位置關(guān)系判斷平面內(nèi)直線(xiàn)的位置關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．13．（2021秋?奉賢區(qū)校級(jí)月考）正方體各面所在的平面將空間分成27部分．【分析】利用一個(gè)平面把空間分成兩部分，兩個(gè)平行平面把空間分成三部分來(lái)解．【解答】解：27；上、中、下三個(gè)部分，每個(gè)部分分空間為9個(gè)部分，共27部分，故答案為27【點(diǎn)評(píng)】正方體共有六個(gè)面，在這六個(gè)面中，有三對(duì)是平行平面，且任一平面均與不和它平行的其他四個(gè)平面垂直14．（2021秋?浦東新區(qū)期中）平面內(nèi)兩直線(xiàn)有三種位置關(guān)系：相交，平行與重合．已知兩個(gè)相交平面α，β與兩直線(xiàn)l1，l2，又知l1，l2在α內(nèi)的射影為s1，s2，在β內(nèi)的射影為t1，t2．試寫(xiě)出s1，s2與t1，t2滿(mǎn)足的條件，使之一定能成為l1，l2是異面直線(xiàn)的充分條件s1∥s2，并且t1與t2相交（t1∥t2，并且s1與s2相交）．【分析】當(dāng)兩直線(xiàn)在一個(gè)平面內(nèi)的射影是兩條平行線(xiàn)，在另一個(gè)相交面內(nèi)的射影是兩條相交直線(xiàn)時(shí)，這兩條直線(xiàn)一定是異面直線(xiàn)．【解答】解：兩個(gè)相交平面α，β，當(dāng)兩直線(xiàn)在平面α內(nèi)的射影是兩條平行線(xiàn)，在平面β內(nèi)的射影是兩條相交直線(xiàn)時(shí)，這兩直線(xiàn)是異面直線(xiàn)．當(dāng)兩直線(xiàn)在平面α內(nèi)的射影是兩條相交直線(xiàn)，在平面β內(nèi)的射影是兩條平行線(xiàn)時(shí)，這兩直線(xiàn)也是異面直線(xiàn)．故“能成為l1，l2是異面直線(xiàn)的充分條件”的是“s1∥s2，并且t1與t2相交”或“t1∥t2，并且s1與s2相交”．故答案為：s1∥s2，并且t1與t2相交，或t1∥t2，并且s1與s2相交．【點(diǎn)評(píng)】本題考查判斷兩直線(xiàn)是異面直線(xiàn)的方法，以及充分條件、必要條件的概念與判斷方法．15．（2021秋?松江區(qū)校級(jí)期中）若一圓錐的底面半徑為3，體積是12π，則該圓錐的側(cè)面積等于15π．【分析】首先根據(jù)圓錐的體積求出圓錐的高度，然后求出母線(xiàn)長(zhǎng)度，根據(jù)側(cè)面積公式解答．【解答】解：由已知得到圓錐的體積12π＝，解得h＝4，所以圓錐的母線(xiàn)長(zhǎng)度為＝5，所以圓錐的側(cè)面積為＝15π；故答案為：15π．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓錐的體積和側(cè)面積公式的運(yùn)用；屬于基礎(chǔ)題．16．（2021秋?黃浦區(qū)校級(jí)期中）棱長(zhǎng)為2的正方體外接球的表面積是12π．【分析】直接求出正方體的對(duì)角線(xiàn)的長(zhǎng)度，就是它的外接球的直徑，求出半徑即可求出球的體積，【解答】解：正方體的對(duì)角線(xiàn)的長(zhǎng)度，就是它的外接球的直徑，所以，球的直徑為：2，半徑為：球的表面積為：4πr2＝12π故答案為：12π【點(diǎn)評(píng)】本題考查球的體積和表面積，考查球的內(nèi)接體問(wèn)題，考查空間想象能力，是基礎(chǔ)題．17．（2021秋?普陀區(qū)校級(jí)月考）已知圓錐的母線(xiàn)長(zhǎng)為5cm，側(cè)面積為15πcm2，則此圓錐的體積為12πcm3．【分析】先求圓錐的底面半徑，再求圓錐的高，然后求其體積．【解答】解：已知圓錐的母線(xiàn)長(zhǎng)為5cm，側(cè)面積為15πcm2，所以圓錐的底面周長(zhǎng)：6π底面半徑是：3圓錐的高是：4此圓錐的體積為：故答案為：12π【點(diǎn)評(píng)】本題考查圓錐的側(cè)面積、體積，考查計(jì)算能力，是基礎(chǔ)題．18．（2021秋?寶山區(qū)校級(jí)月考）若圓錐的側(cè)面積為20π，且母線(xiàn)與底面所成的角的余弦值為，則該圓錐的體積為16π．【分析】設(shè)出圓錐的母線(xiàn)與底面半徑，通過(guò)圓錐的側(cè)面積為20π，且母線(xiàn)與底面所成的角的余弦值為，求出半徑與母線(xiàn)，求出圓錐的高，即可求出圓錐的體積．【解答】解：設(shè)圓錐的母線(xiàn)為l，底面半徑為r，因?yàn)閳A錐的側(cè)面積為20π，且母線(xiàn)與底面所成的角的余弦值為，所以，πrl＝20π，，所以r＝4，l＝5，圓錐的高為：3，所以圓錐的體積為：＝16π．故答案為：16π．【點(diǎn)評(píng)】本題是基礎(chǔ)題，考查圓錐的底面半徑、母線(xiàn)、高的關(guān)系以及側(cè)面積與體積求法，考查計(jì)算能力．19．（2021秋?奉賢區(qū)校級(jí)月考）一個(gè)圓錐形的空杯子上面放一個(gè)球形的冰激凌，圓錐底的直徑與球的直徑均為10，如果冰激凌融化后全部流在杯子中，并且不會(huì)溢出杯子，則杯子高度的最小值為20．【分析】設(shè)出圓錐的高，求出球的體積和圓錐的體積，二者相等，求出圓錐的高．【解答】解：設(shè)圓錐的高為h，則圓錐的體積：球的體積：由題意：所以，h＝20故答案為：20【點(diǎn)評(píng)】本題考查球的體積，圓錐的體積，考查計(jì)算能力，是基礎(chǔ)題．20．（2021春?浦東新區(qū)校級(jí)期中）如圖，是一個(gè)無(wú)蓋正方體盒子的表面展開(kāi)圖，A、B、C為其上的三個(gè)點(diǎn)，則在正方體盒子中，∠ABC＝．【分析】根據(jù)題意，將幾何體復(fù)原，可以看出△ABC，判斷形狀，求得結(jié)果．【解答】解：幾何體復(fù)原如圖：則△ABC是正三角形，所以∠ABC＝故答案為：【點(diǎn)評(píng)】本題看出棱柱的結(jié)構(gòu)特征，是基礎(chǔ)題．21．（2021秋?奉賢區(qū)校級(jí)期中）兩個(gè)球的體積之比為8：27，那么這兩個(gè)球的表面積的比為4：9．【分析】由題意，設(shè)兩個(gè)球的半徑，表示出求的表面積和體積；根據(jù)體積比，得到表面積的比．【解答】解：設(shè)兩個(gè)球的半徑分別為r，R，由兩個(gè)球的體積之比為8：27，得到r3：R3＝8：27，所以r：R＝2：3，那么這兩個(gè)球的表面積的比為r2：R2＝4：9；故答案為：4：9．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了球的體積和表面積；明確體積、表面積公式是關(guān)鍵．22．（2021秋?徐匯區(qū)校級(jí)期中）水管或煤氣管的外部經(jīng)常需要包扎，以便對(duì)管道起保護(hù)作用，包扎時(shí)用很長(zhǎng)的帶子纏繞在管道外部．若需要使帶子全部包住管道且沒(méi)有重疊的部分（不考慮管子兩端的情況，如圖所示），這就要精確計(jì)算帶子的“纏繞角度α”（α指纏繞中將部分帶子拉成圖中所示的平面ABCD時(shí)的∠ABC，其中AB為管道側(cè)面母線(xiàn)的一部分）．若帶子寬度為1，水管直徑為2，則“纏繞角度”α的余弦值為．【分析】本題使帶子全部包住管道且不重疊（不考慮管道兩端的情況），即斜邊長(zhǎng)為水管的周長(zhǎng)為2π．利用展開(kāi)圖解決．【解答】解：其展開(kāi)圖如圖所示．∵水管直徑為2，∴水管的周長(zhǎng)為2π，∴cos∠α＝故答案為：【點(diǎn)評(píng)】本題考查銳角三角函數(shù)的概念，轉(zhuǎn)化思想，空間想象能力．23．（2021秋?徐匯區(qū)校級(jí)期中）一塊各面均涂有油漆的正方體被鋸成27個(gè)同樣大小的小正方體，將這些小正方體均勻地?cái)嚮煸谝黄?，從中隨機(jī)地取出一個(gè)小正方體，其兩面漆有油漆的概率是．【分析】由一塊各面均涂有油漆的正方體被鋸成27個(gè)同樣大小的小正方體，可得基本事件的總數(shù)有27個(gè)，然后計(jì)算出滿(mǎn)足條件兩面漆有油漆的基本事件個(gè)數(shù)，代入古典概型概率公式即可得到答案．【解答】解：一塊各面均涂有油漆的正方體被鋸成27個(gè)同樣大小的小正方體，其中滿(mǎn)足兩面漆有油漆的小正方體有12個(gè)故從中隨機(jī)地取出一個(gè)小正方體，其兩面漆有油漆的概率P＝＝故答案為：【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是古典概型及其概率計(jì)算公式，其中根據(jù)棱柱的結(jié)構(gòu)特征，根據(jù)正方體共有12條棱，計(jì)算出兩面漆有油漆的基本事件個(gè)數(shù)，是解答本題的關(guān)鍵．24．（2021春?楊浦區(qū)校級(jí)期中）如圖，一矩形ABCD的一邊AB在x軸上，另兩個(gè)頂點(diǎn)C、D在函數(shù)f（x）＝，x＞0的圖象上，則此矩形繞x軸旋轉(zhuǎn)而成的幾何體的體積的最大值是．【分析】求出y的范圍，設(shè)出點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，根據(jù)A、B兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等得到x2?x1＝1，再求出高h(yuǎn)；根據(jù)圓柱體的體積公式得到關(guān)于y的代數(shù)式，最后根據(jù)基本不等式求出體積的最大值．【解答】解：由y＝f（x）＝＝≤＝，當(dāng)且僅當(dāng)x＝1時(shí)取等號(hào)，得x+＝；又矩形繞x軸旋轉(zhuǎn)得到的旋轉(zhuǎn)體是圓柱，設(shè)A點(diǎn)的坐標(biāo)為（x1，y），B點(diǎn)的坐標(biāo)為（x2，y），則圓柱的底面圓半徑為y，高為h＝x2﹣x1，且f（x1）＝，f（x2）＝，所以＝，即（x2﹣x1）（x2?x1﹣1）＝0，所以x2?x1＝1，所以h2＝（x2+x1）2﹣4x2?x1＝（x1+）2﹣4＝﹣4，所以h＝＝，所以V圓柱＝πy2?h＝πy＝π?≤π?（）＝π，當(dāng)且僅當(dāng)y＝時(shí)取等號(hào)，故此矩形繞x軸旋轉(zhuǎn)得到的旋轉(zhuǎn)體的體積的最大值為．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了空間幾何體的體積計(jì)算和基本不等式的應(yīng)用問(wèn)題，是難題．25．（2021秋?黃浦區(qū)校級(jí)期中）如圖，有一個(gè)水平放置的透明無(wú)蓋的正方體容器，容器高8cm，將一個(gè)球放在容器口，再向容器內(nèi)注水，當(dāng)球面恰好接觸水面時(shí)測(cè)得水深為6cm，如果不計(jì)容器的厚度，則球的體積為cm3．【分析】根據(jù)圖形的性質(zhì)，求出截面圓的半徑，即而求出求出球的半徑，得出體積．【解答】解：根據(jù)幾何意義得出：邊長(zhǎng)為8的正方形，球的截面圓為正方形的內(nèi)切圓，∴圓的半徑為：4，∵球面恰好接觸水面時(shí)測(cè)得水深為6cm，∴d＝8﹣6＝2，∴球的半徑為：R＝，R＝5∴球的體積為π×（5）3＝cm3故答案為．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了球的幾何性質(zhì)，運(yùn)用求解體積面積，屬于中檔題．三．解答題（共6小題）26．（2021秋?長(zhǎng)寧區(qū)校級(jí)期中）蒙古包是蒙古族牧民居住的一種房子，建造和搬遷都很方便，適于牧業(yè)生產(chǎn)和游牧生活．蒙古包古代稱(chēng)作穹廬、“氈包”或“氈帳”，如圖1所示．一個(gè)普通的蒙古包可視為一個(gè)圓錐與一個(gè)圓柱的組合，如圖2所示．已知該圓錐的高為2米，圓柱的高為3米，底面直徑為6米．（1）求該蒙古包的側(cè)面積；（2）求該蒙古包的體積．【分析】（1）先計(jì)算圓錐和圓柱部分的側(cè)面積，再求和即可．（2）先求出圓錐和圓柱部分的體積，再求和．【解答】解：由題意可知BC＝DE＝3米，AE＝2米，BE＝3米，所以（米）．（1）圓錐部分的側(cè)面積為（平方米）．圓柱部分的側(cè)面積為S2＝2π?BC?BE＝2π×3×3＝18π（平方米）．所以該蒙古包的側(cè)面積為（平方米）．（2）圓錐部分的體積為（立方米），圓柱部分的體積為（立方米）．所以該蒙古包的體積為V＝V1+V2＝6π+27π＝33π（立方米）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了簡(jiǎn)單組合體的表面積和體積的計(jì)算問(wèn)題，也考查了運(yùn)算求解能力與轉(zhuǎn)化思想，是基礎(chǔ)題．27．（2021秋?松江區(qū)校級(jí)月考）某校命制了一套調(diào)查問(wèn)卷（試卷滿(mǎn)分均為100分），并對(duì)整個(gè)學(xué)校的學(xué)生進(jìn)行了測(cè)試，先從這些學(xué)生的成績(jī)中隨機(jī)抽取了50名學(xué)生的成績(jī)，按照[50，60），[60，70），…，[90，100]分成5組，制成了如圖所示的頻率分布直方圖（假定每名學(xué)生的成績(jī)均不低于50分）（1）求頻率分布直方圖中的x的值，并估計(jì)50名學(xué)生的成績(jī)的平均數(shù)、中位數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代表）（2）用樣本估計(jì)總體，若該校共有2000名學(xué)生，試估計(jì)該校這次成績(jī)不低于70分的人數(shù)．【分析】（1）由頻率和為1求出第4組的頻率，再求x的值，利用區(qū)間中點(diǎn)乘以對(duì)應(yīng)頻率值，求和得出平均數(shù)；利用頻率之和為0.5求出中位數(shù)的值；（2）求出不低于70分的頻率，計(jì)算對(duì)應(yīng)的頻數(shù)即可．【解答】解：（1）由頻率分布直方圖得，第4組的頻率為1﹣（0.01+0.03+0.03+0.01）×10＝0.2，所以x＝0.02；所以抽到50名學(xué)生成績(jī)的平均數(shù)為＝（55×0.01+65×0.03+75×0.03+85×0.02+95×0.01）×10＝74；由于前兩組的頻率之和為0.1+0.3＝0.4，前三組的頻率之和為0.1+0.3+0.3＝0.7，所以中位數(shù)在第3組；設(shè)中位數(shù)為t分，則有（t﹣70）×0.03＝0.1，解得t＝；所以所求中位數(shù)是．（2）由（1）知50學(xué)生中不低于70分的頻率為0.3+0.2+0.1＝0.6，用樣本估計(jì)總體，估計(jì)高三年級(jí)2000名學(xué)生中成績(jī)不低于70分的人數(shù)為2000×0.6＝1200（人）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了頻率分布直方圖與平均數(shù)、中位數(shù)的計(jì)算問(wèn)題，也考查了運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．28．（2021秋?浦東新區(qū)校級(jí)月考）已知：平面α∩平面β＝a，b?α，b∩a＝A，c?β且c∥a，求證：b、c是異面直線(xiàn)．【分析】證明b、c是異面直線(xiàn)，比較困難，考慮使用反證法，即若b與c不是異面直線(xiàn)，則b∥c或b與c相交，證明b∥c或b與c相交都是不可能的，從而證明b、c是異面直線(xiàn)．【解答】證明：用反證法：若b與c不是異面直線(xiàn)，則b∥c或b與c相交（1）若b∥c．∵a∥c，∴a∥b這與a∩b＝A矛盾；（2）若b，c相交于B，則B∈β，又a∩b＝A，∴A∈β∴AB?β，即b?β這與b∩β＝A矛盾∴b，c是異面直線(xiàn)．【點(diǎn)評(píng)】本題考查異面直線(xiàn)的判定，考查學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題解決問(wèn)題的能力，是中檔題．29．（2021秋?奉賢區(qū)校級(jí)期末）某企業(yè)為了解下屬某部門(mén)對(duì)本企業(yè)職工的服務(wù)情況，隨機(jī)訪(fǎng)問(wèn)50名職工，根據(jù)這50名職工對(duì)該部門(mén)的評(píng)分，繪制頻率分布直方圖（如圖所示），其中樣本數(shù)據(jù)分組區(qū)間為[40，50]，[50，60]，…，[80，90]，[90，100]．（1）求頻率分布圖中a的值；（2）估計(jì)該企業(yè)的職工對(duì)該部門(mén)評(píng)分不低于80的概率；（3）從評(píng)分在[40，60]的受訪(fǎng)職工中，隨機(jī)抽取2人，求此2人評(píng)分都在[40，50]的概率．【分析】（1）利用頻率分布直方圖中的信息，所有矩形的面積和為1，得到a；（2）對(duì)該部門(mén)評(píng)分不低于80的即為90和100，的求出頻率，估計(jì)概率；（3）求出評(píng)分在[40，60]的受訪(fǎng)職工和評(píng)分都在[40，50]的人數(shù)，隨機(jī)抽取2人，列舉法求出所有可能，利用古典概型公式解答．【解答】解：（1）因?yàn)椋?.004+a+0.018+0.022×2+0.028）×10＝1，解得a＝0.006；（2）由已知的頻率分布直方圖可知，50名受訪(fǎng)職工評(píng)分不低于80的頻率為（0.022+0.018）×10＝0.4，所以該企業(yè)職工對(duì)該部門(mén)評(píng)分不低于80的概率的估計(jì)值為0.4；（3）受訪(fǎng)職工中評(píng)分在[50，60）的有：50×0.006×10＝3（人），記為A1，A2，A3；受訪(fǎng)職工評(píng)分在[40，50）的有：50×0.004×10＝2（人），記為B1，B2．從這5名受訪(fǎng)職工中隨機(jī)抽取2人，所有可能的結(jié)果共有10種，分別是{A1，A2}，{A1，A3}，{A1，B1}，{A1，B2}，{A2，A3}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A3，B1}，{A3，B2}，{B1，B2}，又因?yàn)樗槿?人的評(píng)分都在[40，50）的結(jié)果有1種，即{B1，B2}，故所求的概率為P＝．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了頻率分布直方圖的認(rèn)識(shí)以及利用圖中信息求參數(shù)以及由頻率估計(jì)概率，考查了利用列舉法求滿(mǎn)足條件的事件，并求概率．30．（2021秋?黃浦區(qū)校級(jí)月考）如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，底面為直角梯形，AD∥BC，∠BAD＝90°，PA⊥底面ABCD，且PA＝AD＝AB＝2BC，M、N分別為PC、PB的中點(diǎn)．（Ⅰ）求證：PB⊥DM；（Ⅱ）求BD與平面ADMN所成的角．【分析】法一：（Ⅰ）因?yàn)镹是PB的中點(diǎn)，PA＝AB，要證PB⊥DM，只需證明PB垂直DM所在平面ADMN．即可．（Ⅱ）連接DN，說(shuō)明∠BDN是BD與平面ADMN所成的角，在Rt△BDN中，解BD與平面ADMN所成的角．法二：以A為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)﹣xyz，設(shè)BC＝1，（Ⅰ）求出，就證明PB⊥DM．（Ⅱ）說(shuō)明的余角即是BD與平面ADMN所成的角，求出，即可得到BD與平面ADMN所成的角．【解答】解：方法一：（Ⅰ）因?yàn)镹是PB的中點(diǎn)，PA＝AB，所以AN⊥PB．因?yàn)锳D⊥面PAB，所以AD⊥PB．從而PB⊥平面ADMN．因?yàn)镈M?平面ADMN所以PB⊥DM．（Ⅱ）連接DN，因?yàn)镻B⊥平面ADMN，所以∠BDN是BD與平面ADMN