專題06函數(shù)與導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用-2023年高考數(shù)學(xué)母題題源解密（新高考卷）

專題06函數(shù)與導(dǎo)數(shù)：導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用【母題來(lái)源】2022年新高考I卷【母題題文】已知函數(shù)f(x)=x3-x+1，則A.f(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)

B.f(x)有三個(gè)零點(diǎn)

C.點(diǎn)(0,1)是曲線y=f(x)的對(duì)稱中心

D.直線y=2x是曲線y=f(x)的切線【答案】AC【分析】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值與零點(diǎn)以及曲線上一點(diǎn)的切線問(wèn)題，函數(shù)的對(duì)稱性，考查了運(yùn)算能力以及數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題．【解答】解：f(x)=x3-x+1?f'(x)=3x2-1，令f'(x)=0得：x=±33，

f'(x)>0?x<-33或x>33；f'(x)<0?-33<x<33，

所以f(x)在(-∞,-33)上單調(diào)遞增，在(-33,33)上單調(diào)遞減，在(33,+∞)上單調(diào)遞增，

所以f(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)(x=-33為極大值點(diǎn)，x=33為極小值點(diǎn))，故A正確;

又f(-33)=-39-(-33)+1=1+239>0，f(33)=39-33+1=1-239>0，

所以f(x)僅有1個(gè)零點(diǎn)(如圖所示)，故B錯(cuò);

又f(-x)=-【母題來(lái)源】2022年新高考II卷【母題題文】曲線y=ln|x|經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的兩條切線方程分別為

，【答案】y=xe【分析】本題考查函數(shù)切線問(wèn)題，設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)，表示出切線方程，帶入坐標(biāo)原點(diǎn)，求出切點(diǎn)的橫坐標(biāo)，即可求出切線方程，為一般題．【解答】解：當(dāng)x>0時(shí)，點(diǎn)(x1,lnx1)(x1>0)上的切線為y-lnx1=1x1(x-x1).

若該切線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，則lnx1-1=0，解得x=e，

此的切線方程為y=xe．

當(dāng)x<0時(shí)，點(diǎn)【命題意圖】考察導(dǎo)數(shù)的概念，考察導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考察導(dǎo)數(shù)求導(dǎo)法則求導(dǎo)公式，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，考察數(shù)學(xué)運(yùn)算和邏輯推導(dǎo)素養(yǎng)，考察分類討論思想，函數(shù)和方程思想，化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，分析問(wèn)題與解決問(wèn)題的能力?！久}方向】導(dǎo)數(shù)在高考數(shù)學(xué)中，是作為應(yīng)用工具來(lái)考察的。常規(guī)考察，要考察求導(dǎo)公式，求導(dǎo)法則與導(dǎo)數(shù)的幾何意義，涉及到求切線，導(dǎo)數(shù)計(jì)算，和求導(dǎo)法則的應(yīng)用。在應(yīng)用層次上，要考察導(dǎo)數(shù)的極值，單調(diào)性，最值等應(yīng)用，需要理解導(dǎo)數(shù)與原函數(shù)之間的關(guān)系。深度考察，則涉及到求函數(shù)零點(diǎn)或者零點(diǎn)個(gè)數(shù)，零點(diǎn)范圍，比大小或者證明不等式，恒成立或者存在型問(wèn)題求參等等，常常和函數(shù)單調(diào)性，數(shù)列，不等式等等知識(shí)有機(jī)結(jié)合進(jìn)行綜合考察?！镜梅忠c(diǎn)】一、導(dǎo)數(shù)求切線思維以上是“在點(diǎn)”與“過(guò)點(diǎn)”的區(qū)別，授課時(shí)可參考下圖恒成立求參經(jīng)驗(yàn)思維一般地，已知函數(shù)，（1）若，，總有成立，故；（2）若，，有成立，故；（3）若，，有成立，故；（4）若，，有，則的值域是值域的子集．1．（2022·四川成都·高三階段練習(xí)（文））若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用函數(shù)在區(qū)間上的導(dǎo)函數(shù)為非負(fù)數(shù)，列不等式，解不等式即可求得的取值范圍.【詳解】由題意得，在區(qū)間上恒成立，即在區(qū)間上恒成立，又函數(shù)在上單調(diào)遞增，得，所以，即實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：B2．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且滿足，則（

）A． B． C．1 D．【答案】B【分析】求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，令，即可求解.【詳解】由題意，函數(shù)，可得，所以，則．故選：B.3．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為，則（

）A．1 B．2 C．4 D．5【答案】D【分析】求導(dǎo)，利用切線方程，得到方程組，求出，，求出答案.【詳解】由，則，所以解得：，，所以.故選：D.4．（2022·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)（理））已知函數(shù)（k，n為正奇數(shù)），是的導(dǎo)函數(shù)，則（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】依題意求出，再求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)的特征求出，即可得解；【詳解】解：因?yàn)?，所以，所以，則，其中，所以，所以；故選：D5．（2022·福建·莆田八中高三開(kāi)學(xué)考試）已知函數(shù)的圖象上存在點(diǎn)，函數(shù)的圖象上存在點(diǎn)，且，關(guān)于軸對(duì)稱，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)與函數(shù)的圖象關(guān)于x軸對(duì)稱，根據(jù)已知得函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象有交點(diǎn)，即方程在上有解，即在上有解．令，，則，可知在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故當(dāng)時(shí)，，由于，，且，所以．故選：A．6．（2022·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)（理））若函數(shù)，g(x)=對(duì)任意的，不等式恒成立，則整數(shù)m的最小值為（

）A．2 B．1 C．0 D．1【答案】A【分析】根據(jù)所給不等式轉(zhuǎn)化為時(shí)，恒成立，構(gòu)造函數(shù)知其單調(diào)遞增，利用導(dǎo)數(shù)恒大于等于0求解即可.【詳解】因?yàn)閱握{(diào)遞增，，所以，即，原不等式恒成立可化為恒成立，即時(shí)，恒成立，即函數(shù)在上為增函數(shù)，所以在上恒成立，即，令，則，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，故當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最大值為，即恒成立，由知，整數(shù)m的最小值為2.故選：A7．（2022·云南師大附中高三階段練習(xí)（文））設(shè)函數(shù)，若，則下列不等式正確的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】可由確定函數(shù)解析式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，每個(gè)選項(xiàng)中，可賦值其中一個(gè)，進(jìn)而根據(jù)單調(diào)性比較另外兩個(gè)大小即可確定每個(gè)選項(xiàng)正誤.【詳解】由題，化簡(jiǎn)整理得，于是所以，進(jìn)而，據(jù)此，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，因?yàn)椋矗畬?duì)于A，由，又，所以，即，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，因?yàn)?，所以，而，所以，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，而，所以，所以，故C正確；對(duì)于D，由，因?yàn)?，所以，所以，故D錯(cuò)誤.故選：C．【點(diǎn)睛】（1）賦值法是解決一些抽象函數(shù)問(wèn)題常見(jiàn)的方法之一；（2）根據(jù)單調(diào)性比較大小是解決抽象函數(shù)及復(fù)雜函數(shù)比大小或解不等式的重要方法.8．（2021·全國(guó)·高考真題（理））設(shè)，，．則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算和對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性不難對(duì)a,b的大小作出判定，對(duì)于a與c，b與c的大小關(guān)系，將0.01換成x,分別構(gòu)造函數(shù),，利用導(dǎo)數(shù)分析其在0的右側(cè)包括0.01的較小范圍內(nèi)的單調(diào)性，結(jié)合f(0)=0,g(0)=0即可得出a與c，b與c的大小關(guān)系.【詳解】,所以;下面比較與的大小關(guān)系.記,則,，由于所以當(dāng)0<x<2時(shí)，,即,,所以在上單調(diào)遞增，所以,即,即;令,則,,由于，在x>0時(shí),,所以,即函數(shù)在[0,+∞)上單調(diào)遞減，所以,即,即b<c;綜上，,故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查比較大小問(wèn)題，難度較大，關(guān)鍵難點(diǎn)是將各個(gè)值中的共同的量用變量替換，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究相應(yīng)函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而比較大小，這樣的問(wèn)題，憑借近似估計(jì)計(jì)算往往是無(wú)法解決的.9．（2022·黑龍江·哈九中模擬預(yù)測(cè)（理））已知函數(shù)，（）的三個(gè)零點(diǎn)分別為，，，其中，的取值范圍為（）A． B．C． D．【答案】D【分析】構(gòu)造，結(jié)合零點(diǎn)個(gè)數(shù)及單調(diào)性求出，求出且，利用基本不等式得到，從而得到答案.【詳解】∵，令，即，（）令，（），則，則，（），令，（），要想除1外再有兩個(gè)零點(diǎn)，則在上不單調(diào)，則，解得：或，當(dāng)時(shí)，在恒成立，則在單調(diào)遞增，不可能有兩個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，設(shè)，即的兩根為，且，則有，故，令，解得：或，令，解得：，所以在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，若，則，因?yàn)椋?，所以，因?yàn)椋?檢驗(yàn)：當(dāng)時(shí)，（），，此時(shí)在上單調(diào)遞增，又，即，此時(shí)為臨界情況，；綜上：的取值范圍為.故選：D.【點(diǎn)睛】利用導(dǎo)數(shù)研究零點(diǎn)問(wèn)題：（1）確定零點(diǎn)的個(gè)數(shù)問(wèn)題：可利用數(shù)形結(jié)合的辦法判斷交點(diǎn)個(gè)數(shù)，如果函數(shù)較為復(fù)雜，可用導(dǎo)數(shù)知識(shí)確定極值點(diǎn)和單調(diào)區(qū)間從而確定其大致圖象；（2）方程的有解問(wèn)題就是判斷是否存在零點(diǎn)的問(wèn)題，可參變分離，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域問(wèn)題處理.可以通過(guò)構(gòu)造函數(shù)的方法，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為研究構(gòu)造的函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題；（3）利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)零點(diǎn)或方程根，通常有三種思路：①利用最值或極值研究；②利用數(shù)形結(jié)合思想研究；③構(gòu)造輔助函數(shù)研究.10．（2022·全國(guó)·高考真題（理））已知和分別是函數(shù)（且）的極小值點(diǎn)和極大值點(diǎn)．若，則a的取值范圍是____________．【答案】【分析】由分別是函數(shù)的極小值點(diǎn)和極大值點(diǎn)，可得時(shí)，，時(shí)，，再分和兩種情況討論，方程的兩個(gè)根為，即函數(shù)與函數(shù)的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，構(gòu)造函數(shù)，利用指數(shù)函數(shù)的圖象和圖象變換得到的圖象，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得過(guò)原點(diǎn)的切線的斜率，根據(jù)幾何意義可得出答案.【詳解】解：，因?yàn)榉謩e是函數(shù)的極小值點(diǎn)和極大值點(diǎn)，所以函數(shù)在和上遞減，在上遞增，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，若時(shí)，當(dāng)時(shí)，，則此時(shí)，與前面矛盾，故不符合題意，若時(shí)，則方程的兩個(gè)根為，即方程的兩個(gè)根為，即函數(shù)與函數(shù)的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，∵,∴函數(shù)的圖象是單調(diào)遞減的指數(shù)函數(shù)，又∵,∴的圖象由指數(shù)函數(shù)向下關(guān)于軸作對(duì)稱變換，然后將圖象上的每個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)保持不變，縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)或縮短為原來(lái)的倍得到，如圖所示：設(shè)過(guò)原點(diǎn)且與函數(shù)的圖象相切的直線的切點(diǎn)為，則切線的斜率為，故切線方程為，則有，解得，則切線的斜率為，因?yàn)楹瘮?shù)與函數(shù)的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，所以，解得，又，所以，綜上所述，的范圍為.【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的極值點(diǎn)問(wèn)題，考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查了轉(zhuǎn)化思想及分類討論思想，有一定的難度.11．（2019·江蘇·高考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A在曲線y=lnx上，且該曲線在點(diǎn)A處的切線經(jīng)過(guò)點(diǎn)（e，1)(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），則點(diǎn)A的坐標(biāo)是____.【答案】.【分析】設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)，得到切線方程，然后求解方程得到橫坐標(biāo)的值可得切點(diǎn)坐標(biāo).【詳解】設(shè)點(diǎn)，則.又，當(dāng)時(shí)，，點(diǎn)A在曲線上的切線為，即，代入點(diǎn)，得，即，考查函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，且，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，注意到，故存在唯一的實(shí)數(shù)根，此時(shí)，故點(diǎn)的坐標(biāo)為.【點(diǎn)睛】導(dǎo)數(shù)運(yùn)算及切線的理解應(yīng)注意的問(wèn)題：一是利用公式求導(dǎo)時(shí)要特別注意除法公式中分子的符號(hào)，防止與乘法公式混淆．二是直線與曲線公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)不是切線的本質(zhì)，直線與曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)，直線不一定是曲線的切線，同樣，直線是曲線的切線，則直線與曲線可能有兩個(gè)或兩個(gè)以上的公共點(diǎn)．12．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)f(x)＝若函數(shù)f(x)的圖象與x軸有且只有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是________．【答案】【分析】利用導(dǎo)數(shù)求得在區(qū)間上的單調(diào)性和最值，根據(jù)分段函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合冪函數(shù)、一次函數(shù)的單調(diào)性判斷零點(diǎn)的分布，進(jìn)而求m的范圍.【詳解】當(dāng)時(shí)，，所以在區(qū)間上遞增，最小值為，最大值為.在上，時(shí)為單調(diào)函數(shù)，時(shí)無(wú)零點(diǎn)，故要使有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則在區(qū)間和區(qū)間各有一個(gè)零點(diǎn)，所以在上必遞減且，則，可得.故答案為：13．（2022·湖南·長(zhǎng)沙一中高三開(kāi)學(xué)考試）若直線l：為曲線與曲線的公切線（其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，），則實(shí)數(shù)b=___________.【答案】或##或【分析】設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)，求導(dǎo)，根據(jù)切線方程的求解，分別得到，的切線方程，由兩條切線方程相同可聯(lián)立方程即可求出切點(diǎn)橫坐標(biāo)，進(jìn)而可求解.【詳解】根據(jù)切線方程的求解，聯(lián)立方程即可解得切點(diǎn)，進(jìn)而可求.設(shè)與的切點(diǎn)為，則由，有.同理，設(shè)與的切點(diǎn)為，由，有.故由①式兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)得：，將③代入②中可得：，進(jìn)而解得或.則或故或.故答案為：或14．（2022·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）若不等式有且僅有一個(gè)正整數(shù)解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是______．【答案】【分析】→→，，研究?jī)蓚€(gè)函數(shù)圖像并得到點(diǎn)，→數(shù)形結(jié)合→【詳解】依題意不等式可化為．令，，．函數(shù)的圖像恒過(guò)定點(diǎn)．函數(shù)，，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減．所以當(dāng)x＝1時(shí)，．又，記點(diǎn)，，且，當(dāng)時(shí)，．作出函數(shù)大致圖像，如圖．若滿足不等式有且僅有一個(gè)正整數(shù)解，則結(jié)合函數(shù)圖像必有．又因?yàn)?，，所以．【點(diǎn)睛】根據(jù)不等式的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，求解參數(shù)的取值范圍問(wèn)題，通常會(huì)轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)交點(diǎn)問(wèn)題，要畫(huà)出函數(shù)圖象，數(shù)形結(jié)合進(jìn)行求解.15．（2022·河南·模擬預(yù)測(cè)（理））已知函數(shù)，，若關(guān)于x的方程在區(qū)間上恰有四個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______.【答案】【分析】將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在區(qū)間上恰有四個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，進(jìn)而設(shè)，然后先通過(guò)導(dǎo)數(shù)的方法探討函數(shù)的圖象和性質(zhì)，再討論關(guān)于t的方程的根的分布，最后求得答案.【詳解】問(wèn)題即在區(qū)間上恰有四個(gè)不同的實(shí)數(shù)根.設(shè)，，則時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，且.如示意圖：

由圖可知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)有2個(gè)零點(diǎn)，于是問(wèn)題關(guān)于t的的方程即在上有2個(gè)不等實(shí)根.設(shè)的兩個(gè)零點(diǎn)為，易知.于是，.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題較難，首先直接處理較為麻煩，因此對(duì)原方程進(jìn)行恒等變形，進(jìn)而采用“換元法”降低試題的難度.另外，我們經(jīng)常采用“數(shù)形結(jié)合法”進(jìn)行輔助解題，這樣更加形象和直觀.16.（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）對(duì)于函數(shù)，下列說(shuō)法正確的是（

）A．在處取得極大值B．有兩個(gè)不同的零點(diǎn)C．D．若在上恒成立，則【答案】ACD【分析】根據(jù)導(dǎo)函數(shù)確定的單調(diào)性極值及最值情況，就能確定ABC的正誤，對(duì)于D，恒成立問(wèn)題，可通過(guò)參變分離求最值來(lái)解決.【詳解】【解】A選項(xiàng)，，定義域?yàn)椋?，令，解得，?dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，函數(shù)在時(shí)取得極大值也是最大值，故A對(duì)，B選項(xiàng)，時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，如下圖所示：函數(shù)有且只有唯一一個(gè)零點(diǎn)，故B錯(cuò)，C選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)為單調(diào)遞減函數(shù)，，，，故C對(duì)，D選項(xiàng)，，故，由于函數(shù)在上恒成立，，設(shè)，定義域?yàn)?，則，設(shè)，解得，單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，，故，故D對(duì).故選：ACD.17．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)B．函數(shù)只有極大值而無(wú)極小值C．當(dāng)時(shí)，方程有且只