《現(xiàn)代控制理論》本科筆記

《現(xiàn)代控制理論》筆記第一章：引言1.1控制系統(tǒng)概述控制理論是工程學(xué)中的一個(gè)分支，它研究如何通過(guò)反饋機(jī)制來(lái)影響系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)行為?？刂葡到y(tǒng)可以被定義為任何旨在保持或改變系統(tǒng)狀態(tài)的設(shè)備、過(guò)程或者算法。在現(xiàn)代工業(yè)、航空航天、機(jī)器人技術(shù)以及日常生活中，我們都可以看到控制系統(tǒng)的應(yīng)用。控制系統(tǒng)的目的是確保輸出盡可能接近于期望值，即使存在外部擾動(dòng)或是系統(tǒng)內(nèi)部參數(shù)的變化。為了實(shí)現(xiàn)這一目標(biāo)，控制系統(tǒng)通常由以下幾部分組成：傳感器：用于測(cè)量系統(tǒng)的實(shí)際輸出。比較器：將實(shí)際輸出與期望輸出進(jìn)行對(duì)比?？刂破鳎夯谡`差信號(hào)（即比較器輸出）計(jì)算所需的調(diào)整量。執(zhí)行機(jī)構(gòu)：根據(jù)控制器發(fā)出的指令作用于系統(tǒng)，以調(diào)整其狀態(tài)。被控對(duì)象：受到控制器調(diào)節(jié)的實(shí)際物理系統(tǒng)。1.2現(xiàn)代控制理論的歷史背景自20世紀(jì)初以來(lái)，隨著電氣工程和機(jī)械工程的發(fā)展，人們開始更加深入地研究控制問(wèn)題。經(jīng)典控制理論主要關(guān)注單輸入單輸出(SISO)系統(tǒng)，并采用頻率響應(yīng)方法來(lái)進(jìn)行分析與設(shè)計(jì)。然而，面對(duì)復(fù)雜多變的實(shí)際需求，尤其是當(dāng)涉及到多輸入多輸出(MIMO)系統(tǒng)時(shí)，經(jīng)典控制理論顯得力不從心。因此，在20世紀(jì)60年代左右，現(xiàn)代控制理論應(yīng)運(yùn)而生，它引入了狀態(tài)空間模型等新概念，使得能夠更有效地處理MIMO系統(tǒng)以及其他非線性或時(shí)間變化系統(tǒng)的問(wèn)題。年份事件影響1948維納發(fā)表《控制論》奠定了信息論與自動(dòng)控制的基礎(chǔ)1957鐘士元提出極點(diǎn)配置法促進(jìn)了最優(yōu)控制領(lǐng)域的發(fā)展1960s卡爾曼引入狀態(tài)空間表示標(biāo)志著現(xiàn)代控制理論的誕生1970sH∞控制理論提出提高了魯棒性和不確定性處理能力1.3本課程的主要目標(biāo)和結(jié)構(gòu)本課程旨在向?qū)W生介紹現(xiàn)代控制理論的核心概念和技術(shù)，使他們能夠理解并解決復(fù)雜的控制問(wèn)題。通過(guò)學(xué)習(xí)這門課程，你將獲得如下技能：掌握基本的數(shù)學(xué)工具，如線性代數(shù)、微分方程等；學(xué)會(huì)使用狀態(tài)空間方法對(duì)系統(tǒng)建模；能夠評(píng)估系統(tǒng)的穩(wěn)定性、能控性和能觀性；設(shè)計(jì)有效的控制器來(lái)滿足特定性能要求；了解最新的控制技術(shù)及其應(yīng)用領(lǐng)域。課程內(nèi)容分為十五個(gè)章節(jié)，依次探討從基礎(chǔ)到高級(jí)的不同主題。每章都包含理論講解、實(shí)例分析及練習(xí)題，幫助加深理解和記憶。1.4控制系統(tǒng)的應(yīng)用領(lǐng)域控制理論的應(yīng)用極其廣泛，幾乎涉及所有工程技術(shù)領(lǐng)域。例如，在汽車制造業(yè)中，電子穩(wěn)定程序(ESP)就是一個(gè)典型的例子，它利用多個(gè)傳感器監(jiān)測(cè)車輛狀態(tài)，并適時(shí)調(diào)整剎車力分布以防止打滑；而在電力系統(tǒng)中，則需要精確控制發(fā)電機(jī)輸出功率以保證電網(wǎng)頻率穩(wěn)定。此外，航空航天、化工生產(chǎn)、生物醫(yī)藥等領(lǐng)域也離不開先進(jìn)的控制策略支持。第二章：數(shù)學(xué)基礎(chǔ)2.1線性代數(shù)回顧線性代數(shù)是現(xiàn)代控制理論中最基礎(chǔ)也是最重要的數(shù)學(xué)工具之一。它提供了描述系統(tǒng)狀態(tài)所需的基本框架。以下是幾個(gè)關(guān)鍵概念：向量：有序數(shù)組，用來(lái)表示具有大小和方向的數(shù)量。矩陣：矩形數(shù)組，用于組織數(shù)據(jù)或表示變換操作。行列式：衡量矩陣所代表變換下的體積縮放比例。特征值與特征向量：對(duì)于給定矩陣A，如果存在非零向量x和標(biāo)量λ使得Ax=λx成立，則稱λ為A的一個(gè)特征值，x為其對(duì)應(yīng)的特征向量。它們?cè)谘芯肯到y(tǒng)動(dòng)力學(xué)特性方面起著重要作用。2.2微分方程及其解法微分方程是用來(lái)描述隨時(shí)間變化現(xiàn)象的重要工具。特別是在連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)中，經(jīng)常遇到各種形式的常微分方程(ODE)。常見的解法包括但不限于直接積分法、分離變量法以及拉普拉斯變換法。其中，拉普拉斯變換特別適用于求解線性時(shí)不變(LTI)系統(tǒng)的初始值問(wèn)題，因?yàn)樗梢詫?fù)雜的微分方程轉(zhuǎn)換成簡(jiǎn)單的代數(shù)方程組。2.3拉普拉斯變換與Z變換拉普拉斯變換：一種積分變換，可用于簡(jiǎn)化線性時(shí)不變系統(tǒng)的分析。對(duì)于函數(shù)f(t)，其拉普拉斯變換F(s)定義為F(s)=∫0∞e?stf(t)dtF(s)=∫0∞?e?stf(t)dt。該變換能夠?qū)r(shí)間域內(nèi)的卷積運(yùn)算轉(zhuǎn)化為頻域內(nèi)的乘法運(yùn)算，從而大大降低了計(jì)算復(fù)雜度。Z變換：類似于離散時(shí)間信號(hào)處理中的拉普拉斯變換，Z變換適用于分析離散時(shí)間系統(tǒng)。對(duì)于序列{x[n]}，其Z變換X(z)定義為X(z)=∑n=?∞∞x[n]z?nX(z)=∑n=?∞∞?x[n]z?n。Z變換同樣具備將差分方程化簡(jiǎn)為代數(shù)方程的能力。2.4向量空間與線性變換向量空間：一組遵循特定規(guī)則的對(duì)象集合，允許加法和標(biāo)量乘法操作。這些規(guī)則保證了加法封閉性、結(jié)合律、交換律、存在零元素、每個(gè)元素都有負(fù)元素、標(biāo)量乘法封閉性、分配律等性質(zhì)。線性變換：從一個(gè)向量空間到另一個(gè)向量空間的映射，保持加法和標(biāo)量乘法不變。即對(duì)于任意兩個(gè)向量u,v以及任意標(biāo)量c，有T(u+v)=T(u)+T(v)和T(cu)=cT(u)成立。在線性代數(shù)中，這種變換可以通過(guò)矩陣表示出來(lái)。第三章：狀態(tài)空間表示3.1狀態(tài)變量與狀態(tài)空間模型狀態(tài)變量是指一組最小數(shù)量的獨(dú)立變量，它們的當(dāng)前值加上輸入信號(hào)即可完全確定系統(tǒng)未來(lái)的狀態(tài)。通過(guò)選擇合適的狀態(tài)變量，我們可以建立更為直觀且易于分析的模型——狀態(tài)空間模型。一個(gè)典型的狀態(tài)空間模型包括兩組方程：狀態(tài)方程：描述系統(tǒng)內(nèi)部狀態(tài)隨時(shí)間演變的過(guò)程。輸出方程：給出系統(tǒng)輸出與狀態(tài)變量之間的關(guān)系。設(shè)有一個(gè)n維狀態(tài)向量x(t)，m維輸入向量u(t)，以及p維輸出向量y(t)，則連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式可寫作：x˙(t)=Ax(t)+Bu(t)x˙(t)=Ax(t)+Bu(t)y(t)=Cx(t)+Du(t)y(t)=Cx(t)+Du(t)這里A,B,C,D分別為系統(tǒng)矩陣、輸入矩陣、輸出矩陣以及直接傳輸矩陣。3.2狀態(tài)方程與輸出方程狀態(tài)方程反映了系統(tǒng)內(nèi)部動(dòng)力學(xué)特性。它表明，在給定時(shí)刻t的狀態(tài)x(t)以及同一時(shí)刻施加的輸入u(t)條件下，下一時(shí)刻的狀態(tài)x˙(t)x˙(t)是如何決定的。矩陣A包含了關(guān)于系統(tǒng)自然行為的所有信息。輸出方程則揭示了如何從當(dāng)前狀態(tài)x(t)和輸入u(t)計(jì)算出可觀測(cè)到的輸出y(t)。C矩陣決定了哪些狀態(tài)成分可以直接觀察到，而D矩陣描述了輸入對(duì)輸出的即時(shí)影響。3.3系統(tǒng)矩陣、輸入矩陣、輸出矩陣及直接傳輸矩陣系統(tǒng)矩陣A：刻畫了無(wú)外力作用下系統(tǒng)內(nèi)部各狀態(tài)之間相互影響的方式。A的特征值直接影響系統(tǒng)穩(wěn)定性。輸入矩陣B：指示了外部輸入如何影響各個(gè)狀態(tài)變量。輸出矩陣C：指明了哪些狀態(tài)變量會(huì)被作為輸出顯示出來(lái)。直接傳輸矩陣D：有時(shí)也稱為前饋增益，表示輸入信號(hào)直接傳遞至輸出的比例系數(shù)。3.4狀態(tài)空間模型轉(zhuǎn)換盡管不同的狀態(tài)變量選擇可能會(huì)導(dǎo)致不同的狀態(tài)空間模型，但只要它們都是正確的，那么這些模型之間就存在一定的等價(jià)關(guān)系。這意味著，可以通過(guò)某些變換將一個(gè)狀態(tài)空間模型轉(zhuǎn)換為另一個(gè)。常見的轉(zhuǎn)換方法包括坐標(biāo)變換（如相似變換）、平衡實(shí)現(xiàn)等。正確地選擇狀態(tài)變量不僅有助于簡(jiǎn)化分析過(guò)程，還能提高數(shù)值計(jì)算效率。通過(guò)上述介紹，我們已經(jīng)奠定了理解現(xiàn)代控制理論所需的基礎(chǔ)知識(shí)。接下來(lái)的章節(jié)將繼續(xù)深入探討更多高級(jí)話題，如穩(wěn)定性分析、能控性與能觀性判斷等。希望同學(xué)們能夠扎實(shí)掌握每一部分內(nèi)容，為后續(xù)學(xué)習(xí)打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。第四章：穩(wěn)定性分析4.1平衡點(diǎn)與穩(wěn)定性的定義在控制理論中，系統(tǒng)的穩(wěn)定性是衡量系統(tǒng)能否維持其工作狀態(tài)的關(guān)鍵指標(biāo)。當(dāng)一個(gè)控制系統(tǒng)處于平衡狀態(tài)時(shí)，如果沒有外部干擾，它將保持這種狀態(tài)不變；而如果受到小的擾動(dòng)后能夠恢復(fù)到原來(lái)的平衡狀態(tài)，則稱該系統(tǒng)是穩(wěn)定的。為了更精確地討論這一概念，我們需要先了解什么是平衡點(diǎn)。對(duì)于連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)，設(shè)狀態(tài)方程為x˙(t)=f(x(t),u(t))x˙(t)=f(x(t),u(t))，其中x(t)x(t)是狀態(tài)向量，u(t)u(t)是輸入向量。若存在某個(gè)特定的狀態(tài)xexe?使得對(duì)所有時(shí)間tt均有x˙e=0x˙e?=0（即f(xe,u)=0f(xe?,u)=0），則稱xexe?為系統(tǒng)的平衡點(diǎn)。對(duì)于線性定常系統(tǒng)，平衡點(diǎn)通常對(duì)應(yīng)于原點(diǎn)x=0x=0。根據(jù)Lyapunov穩(wěn)定性理論，我們可以定義幾種不同類型的穩(wěn)定性：李雅普諾夫意義下的穩(wěn)定性：如果對(duì)于任意給定的?>0?>0，總能找到一個(gè)δ>0δ>0，使得當(dāng)初始條件滿足∣x(0)?xe∣<δ∣x(0)?xe?∣<δ時(shí)，系統(tǒng)的解始終有∣x(t)?xe∣<?∣x(t)?xe?∣<?成立。漸近穩(wěn)定性：除了上述條件外，還要求隨著t→∞t→∞，系統(tǒng)狀態(tài)趨向于xexe?。全局穩(wěn)定性：如果上述性質(zhì)對(duì)于所有可能的初始條件都成立，則稱系統(tǒng)具有全局穩(wěn)定性。不穩(wěn)定性：若不存在任何δ>0δ>0使得上述條件成立，則系統(tǒng)被認(rèn)為是不穩(wěn)定的。4.2李雅普諾夫第一方法李雅普諾夫第一方法也稱為間接法，通過(guò)研究系統(tǒng)狀態(tài)方程線性化后的特征值來(lái)判斷原非線性系統(tǒng)的局部穩(wěn)定性。具體步驟如下：在感興趣的平衡點(diǎn)處對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行泰勒展開并保留一階項(xiàng)，得到線性化的系統(tǒng)模型。計(jì)算線性化模型的特征值。根據(jù)特征值的位置來(lái)決定原系統(tǒng)的穩(wěn)定性：如果所有特征值均具有負(fù)實(shí)部，則系統(tǒng)在該平衡點(diǎn)附近是漸近穩(wěn)定的。若至少有一個(gè)特征值具有正實(shí)部，則系統(tǒng)不穩(wěn)定。當(dāng)存在虛軸上的特征值時(shí)，需要進(jìn)一步分析以確定穩(wěn)定性類型。這種方法適用于那些可以方便地線性化的系統(tǒng)，但對(duì)于高度非線性的系統(tǒng)來(lái)說(shuō)可能不夠準(zhǔn)確或適用范圍有限。4.3李雅普諾夫第二方法（直接法）與基于特征值的方法不同，李雅普諾夫第二方法提供了一種更為通用且直觀的方式來(lái)證明系統(tǒng)的穩(wěn)定性。該方法的核心思想是構(gòu)造一個(gè)所謂的李雅普諾夫函數(shù)V(x)，它滿足以下條件：V(x)是一個(gè)正定函數(shù)，即對(duì)于所有x≠xex=xe?都有V(x)>0，并且V(x_e)=0；沿著系統(tǒng)軌跡，V(x)的導(dǎo)數(shù)V˙(x)V˙(x)是非正定的，即V˙(x)≤0V˙(x)≤0。如果能找到這樣一個(gè)V(x)，則說(shuō)明系統(tǒng)在xexe?處至少是穩(wěn)定的；如果V˙(x)V˙(x)嚴(yán)格小于零（除了x=xex=xe?的情況），則系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的。此方法的優(yōu)點(diǎn)在于不需要顯式求解狀態(tài)方程，因此特別適合處理復(fù)雜非線性問(wèn)題。4.4穩(wěn)定性邊界判定有時(shí)我們還需要考慮系統(tǒng)的臨界情況，即當(dāng)某些參數(shù)變化導(dǎo)致穩(wěn)定性從一種類型轉(zhuǎn)變?yōu)榱硪环N類型時(shí)的情形。這通常涉及到尋找穩(wěn)定性邊界，即使得系統(tǒng)恰好處于穩(wěn)定與不穩(wěn)定之間分界線上的參數(shù)組合。常見的技術(shù)包括但不限于根軌跡分析、Bode圖以及Nyquist準(zhǔn)則等。通過(guò)這些工具，工程師們可以在設(shè)計(jì)階段就預(yù)測(cè)并避免潛在的不穩(wěn)定區(qū)域。第五章：能控性和能觀性5.1能控性與能觀性的概念能控性是指通過(guò)適當(dāng)選擇輸入信號(hào)u(t)，是否可以使系統(tǒng)從任意初始狀態(tài)轉(zhuǎn)移到任意目標(biāo)狀態(tài)的能力。換句話說(shuō)，如果存在一個(gè)有限的時(shí)間區(qū)間0,T0,T和相應(yīng)的輸入序列u(t)，使得系統(tǒng)能夠在T時(shí)刻達(dá)到預(yù)定的目標(biāo)狀態(tài)，則稱該系統(tǒng)是完全能控的。能觀性則是指通過(guò)測(cè)量輸出y(t)，是否能夠唯一確定系統(tǒng)的內(nèi)部狀態(tài)x(t)。如果對(duì)于任何兩個(gè)不同的初始狀態(tài)，在相同輸入作用下產(chǎn)生的輸出總是不同的，則稱系統(tǒng)是完全能觀的。這兩個(gè)屬性對(duì)于設(shè)計(jì)有效的控制器至關(guān)重要，因?yàn)橹挥挟?dāng)我們既能夠操縱系統(tǒng)的行為又能準(zhǔn)確知道它的當(dāng)前狀況時(shí)，才能實(shí)現(xiàn)期望的控制效果。5.2能控性準(zhǔn)則判斷線性時(shí)不變(LTI)系統(tǒng)的能控性可以通過(guò)檢查所謂的能控性矩陣C來(lái)完成。給定狀態(tài)空間模型x˙=Ax+Bux˙=Ax+Bu，定義C=[B

AB

A2B

...

An?1B]C=[B

AB

A2B

...

An?1B]其中n是狀態(tài)向量x的維數(shù)。如果C的秩等于n，則系統(tǒng)是完全能控的。此外，還有其他幾種等價(jià)的判別法則，比如Kalman秩條件、Gramian矩陣測(cè)試等。5.3能觀性準(zhǔn)則類似地，LTI系統(tǒng)的能觀性可通過(guò)檢驗(yàn)?zāi)苡^性矩陣O來(lái)進(jìn)行評(píng)估。對(duì)于x˙=Ax+Bu,y=Cx+Dux˙=Ax+Bu,y=Cx+Du形式的系統(tǒng)，O=[CCACA2...CAn?1]O=?CCACA2...CAn?1??如果O的秩也為n，則表明系統(tǒng)是完全能觀的。同樣存在多種替代方法用于驗(yàn)證這一點(diǎn)，如Popov-Belevitch-Hautus(PBH)測(cè)試等。5.4能控標(biāo)準(zhǔn)型與能觀標(biāo)準(zhǔn)型為了簡(jiǎn)化分析過(guò)程，常常會(huì)采用一些特殊形式的狀態(tài)空間表示，其中最常用的兩種是能控標(biāo)準(zhǔn)型和能觀標(biāo)準(zhǔn)型。能控標(biāo)準(zhǔn)型：當(dāng)一個(gè)系統(tǒng)被轉(zhuǎn)換成這種形式時(shí)，其能控性矩陣呈現(xiàn)為單位矩陣，從而可以直接看出系統(tǒng)是否能控。轉(zhuǎn)換公式一般涉及使用變換矩陣P，使得Ac=PAP?1,Bc=PBAc?=PAP?1,Bc?=PB。能觀標(biāo)準(zhǔn)型：與此相反，能觀標(biāo)準(zhǔn)型確保了能觀性矩陣為單位矩陣，便于快速判斷能觀性。相應(yīng)的轉(zhuǎn)換關(guān)系為Ao=P?1AP,Co=CP?1Ao?=P?1AP,Co?=CP?1。值得注意的是，雖然這兩種標(biāo)準(zhǔn)型有助于分析，但在實(shí)際應(yīng)用中并不總是最優(yōu)的選擇，特別是在考慮數(shù)值穩(wěn)定性和計(jì)算效率等因素時(shí)。第六章：極點(diǎn)配置6.1極點(diǎn)配置的概念極點(diǎn)配置是一種設(shè)計(jì)控制器的技術(shù)，旨在通過(guò)選擇合適的反饋增益來(lái)改變閉環(huán)系統(tǒng)的特征值位置，從而達(dá)到改善性能的目的。理想情況下，我們希望將極點(diǎn)放置在復(fù)平面上特定的位置上，以確保系統(tǒng)具備良好的動(dòng)態(tài)響應(yīng)特性，如較快的上升時(shí)間、較小的超調(diào)量等。6.2單輸入單輸出系統(tǒng)的極點(diǎn)配置對(duì)于SISO系統(tǒng)，假設(shè)有狀態(tài)反饋控制器u=?Kxu=?Kx，其中K是一個(gè)行向量。那么閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)方程變?yōu)閤˙=(A?BK)xx˙=(A?BK)x。我們的任務(wù)就是找到適當(dāng)?shù)腒，使得A?BKA?BK的特征值位于預(yù)先指定的位置上。這個(gè)問(wèn)題可以通過(guò)多項(xiàng)式匹配法或者Ackermann公式解決。后者提供了一個(gè)簡(jiǎn)潔的表達(dá)式，直接給出了所需反饋增益K：K=[0

0

...

1]?adj(sI?A+bk0I)?bK=[0

0

...

1]?adj(sI?A+bk0?I)?b這里s代表所期望的極點(diǎn)集合，k0k0?是待定系數(shù)，adj()表示伴隨矩陣運(yùn)算，而b是B矩陣中的列向量。6.3多輸入多輸出系統(tǒng)的極點(diǎn)配置MIMO系統(tǒng)的情況要稍微復(fù)雜些，因?yàn)榇藭r(shí)需要同時(shí)調(diào)整多個(gè)反饋通道。然而基本原理仍然是相同的——通過(guò)選擇合適的反饋矩陣F使得A+BFA+BF擁有理想的特征值分布。由于可能存在無(wú)窮多組解，通常還會(huì)附加額外約束來(lái)優(yōu)化結(jié)果，例如最小化某種范數(shù)。常用的算法包括基于線性二次調(diào)節(jié)器(LQR)的設(shè)計(jì)方法、偽逆方法等。6.4實(shí)現(xiàn)特定動(dòng)態(tài)響應(yīng)極點(diǎn)配置不僅可以用來(lái)提高系統(tǒng)的穩(wěn)定性，還能幫助我們實(shí)現(xiàn)特定的動(dòng)態(tài)行為。例如，如果我們希望系統(tǒng)表現(xiàn)出欠阻尼振蕩特性，就可以設(shè)置一對(duì)共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)；若追求快速響應(yīng)，則應(yīng)將極點(diǎn)盡可能遠(yuǎn)離虛軸。當(dāng)然，在實(shí)際操作過(guò)程中還需綜合考慮物理限制、噪聲敏感度等問(wèn)題，合理權(quán)衡各項(xiàng)指標(biāo)。以上內(nèi)容介紹了現(xiàn)代控制理論中關(guān)于穩(wěn)定性分析、能控性與能觀性以及極點(diǎn)配置的基礎(chǔ)知識(shí)。接下來(lái)我們將繼續(xù)深入探討觀測(cè)器設(shè)計(jì)、最優(yōu)控制等相關(guān)話題。希望同學(xué)們能夠認(rèn)真理解每一部分的內(nèi)容，并嘗試將其應(yīng)用于實(shí)際問(wèn)題中去。第七章：觀測(cè)器設(shè)計(jì)7.1觀測(cè)器的基本原理在控制理論中，狀態(tài)估計(jì)是通過(guò)測(cè)量系統(tǒng)的輸出來(lái)推測(cè)其內(nèi)部狀態(tài)的過(guò)程。當(dāng)系統(tǒng)的一些狀態(tài)變量無(wú)法直接測(cè)量時(shí)，就需要使用觀測(cè)器（也稱為狀態(tài)估計(jì)器）來(lái)進(jìn)行間接測(cè)量。觀測(cè)器的設(shè)計(jì)基于這樣的假設(shè)：如果可以準(zhǔn)確地模擬出被控對(duì)象的行為，并且能夠?qū)?shí)際輸出與模型預(yù)測(cè)輸出之間的差異作為反饋信號(hào)加以利用，那么就可以逐漸逼近真實(shí)的系統(tǒng)狀態(tài)。觀測(cè)器通常由兩部分組成：模型部分：根據(jù)已知的輸入和輸出數(shù)據(jù)以及系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程來(lái)計(jì)算狀態(tài)估計(jì)值。校正機(jī)制：用于修正估計(jì)誤差，確保估計(jì)值最終收斂于真實(shí)狀態(tài)。7.2全維觀測(cè)器全維觀測(cè)器（Full-OrderObserver）是指其維度與被控對(duì)象相同的狀態(tài)估計(jì)器。對(duì)于線性定常系統(tǒng)x˙=Ax+Bu,y=Cxx˙=Ax+Bu,y=Cx，一個(gè)典型的全維觀測(cè)器可表示為：x^˙=Ax^+Bu+L(y?Cx^)x^˙=Ax^+Bu+L(y?Cx^)這里x^x^是狀態(tài)估計(jì)值，LL是一個(gè)待設(shè)計(jì)的增益矩陣。選擇合適的LL可以保證觀測(cè)誤差e=x?x^e=x?x^隨時(shí)間衰減至零。具體來(lái)說(shuō)，我們希望使得A?LCA?LC的所有特征值具有負(fù)實(shí)部，從而保證誤差動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。描述xx實(shí)際狀態(tài)向量x^x^估計(jì)狀態(tài)向量yy系統(tǒng)輸出uu控制輸入LL觀測(cè)器增益矩陣7.3降階觀測(cè)器雖然全維觀測(cè)器能夠提供精確的狀態(tài)估計(jì)，但在某些情況下可能過(guò)于復(fù)雜或成本高昂。因此，人們開發(fā)了降階觀測(cè)器（Reduced-OrderObserver），它僅需估計(jì)那些不可直接測(cè)量的狀態(tài)分量。設(shè)系統(tǒng)有n個(gè)狀態(tài)變量，其中r個(gè)可以直接測(cè)量，則只需構(gòu)建(n-r)維的觀測(cè)器即可。降階觀測(cè)器的設(shè)計(jì)相對(duì)較為復(fù)雜，因?yàn)樗枰幚聿糠挚捎^測(cè)的問(wèn)題，但同時(shí)也能帶來(lái)顯著的成本效益和技術(shù)優(yōu)勢(shì)。7.4觀測(cè)器的應(yīng)用實(shí)例觀測(cè)器廣泛應(yīng)用于各種控制系統(tǒng)中，例如自動(dòng)駕駛汽車中的傳感器融合、工業(yè)過(guò)程監(jiān)控、航空航天領(lǐng)域中的導(dǎo)航系統(tǒng)等。通過(guò)合理設(shè)計(jì)并實(shí)現(xiàn)有效的觀測(cè)器，不僅可以提高系統(tǒng)的魯棒性和可靠性，還可以降低對(duì)昂貴傳感設(shè)備的需求。第八章：最優(yōu)控制8.1最優(yōu)控制問(wèn)題介紹最優(yōu)控制旨在找到一組控制策略，使得某一性能指標(biāo)達(dá)到極小值或極大值。這種優(yōu)化通常是基于某種代價(jià)函數(shù)進(jìn)行的，該函數(shù)綜合考慮了如能量消耗、響應(yīng)速度、平滑度等因素。最優(yōu)控制理論不僅提供了數(shù)學(xué)框架來(lái)形式化這些問(wèn)題，還發(fā)展了一系列求解方法。8.2性能指標(biāo)性能指標(biāo)的選擇直接影響到最優(yōu)控制方案的質(zhì)量。常見的性能指標(biāo)包括但不限于：積分型指標(biāo)：例如二次型積分J=∫0T(xTQx+uTRu)dtJ=∫0T?(xTQx+uTRu)dt，其中QQ和RR分別是狀態(tài)和輸入權(quán)重矩陣。終端型指標(biāo)：側(cè)重于系統(tǒng)到達(dá)目標(biāo)狀態(tài)時(shí)的表現(xiàn)，比如最小化x(T)TPx(T)x(T)TPx(T)，其中PP是對(duì)稱正定矩陣?；旌闲椭笜?biāo)：結(jié)合上述兩種類型，既關(guān)注整個(gè)過(guò)程又強(qiáng)調(diào)終態(tài)特性。8.3動(dòng)態(tài)規(guī)劃動(dòng)態(tài)規(guī)劃是一種解決多階段決策問(wèn)題的強(qiáng)大工具，在最優(yōu)控制中有著廣泛應(yīng)用。它的核心思想是將整個(gè)優(yōu)化過(guò)程分解成一系列子問(wèn)題，然后采用逆向遞推的方式逐個(gè)求解。對(duì)于離散時(shí)間系統(tǒng)，貝爾曼方程描述了這一過(guò)程：Vk(xk)=min?u{g(xk,u)+Vk+1(f(xk,u))}Vk?(xk?)=umin?{g(xk?,u)+Vk+1?(f(xk?,u))}這里gg代表即時(shí)成本，VV是價(jià)值函數(shù)，ff則是狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程。通過(guò)迭代求解上述方程，我們可以逐步逼近全局最優(yōu)解。8.4Pontryagin最小原理Pontryagin最小原理是連續(xù)時(shí)間最優(yōu)控制問(wèn)題的一個(gè)重要結(jié)果，它給出了尋找最優(yōu)控制律的一般條件。設(shè)系統(tǒng)為x˙=f(x,u,t)x˙=f(x,u,t)，目標(biāo)是最小化性能指標(biāo)J=∫t0tfL(x,u,t)dt+h(x(tf),tf)J=∫t0?tf??L(x,u,t)dt+h(x(tf?),tf?)，則存在共軛變量λ(t)λ(t)滿足以下條件：哈密頓函數(shù)：定義H(x,u,λ,t)=L(x,u,t)+λTf(x,u,t)H(x,u,λ,t)=L(x,u,t)+λTf(x,u,t)最優(yōu)控制條件：?H?u=0?u?H?=0共軛方程：λ˙=??H?xλ˙=??x?H?橫截條件：取決于邊界條件的具體形式通過(guò)解這組微分方程，可以獲得滿足給定約束下的最優(yōu)軌跡和相應(yīng)的控制輸入。第九章：線性二次調(diào)節(jié)器(LQR)9.1LQR問(wèn)題設(shè)定線性二次調(diào)節(jié)器（LinearQuadraticRegulator,LQR）是一種針對(duì)線性系統(tǒng)、采用二次型性能指標(biāo)的最優(yōu)控制技術(shù)。LQR的目標(biāo)是找到一個(gè)狀態(tài)反饋控制器u=?Kxu=?Kx，使得閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的同時(shí)使如下性能指標(biāo)最小化：J=∫0∞(xTQx+uTRu)dtJ=∫0∞?(xTQx+uTRu)dt其中QQ和RR分別為正半定和正定的加權(quán)矩陣，分別反映了狀態(tài)偏離期望值的程度以及控制努力的大小。9.2Riccati方程求解LQR問(wèn)題的關(guān)鍵在于找到適當(dāng)?shù)姆答佋鲆婢仃嘖K。為此，我們需要引入代數(shù)Riccati方程（AlgebraicRiccatiEquation,ARE）：ATP+PA?PBR?1BTP+Q=0ATP+PA?PBR?1BTP+Q=0其中PP是一個(gè)對(duì)稱正定矩陣。一旦找到了滿足ARE的PP，就可以通過(guò)K=R?1BTPK=R?1BTP得到所需的反饋增益。值得注意的是，ARE的解總是存在的，并且唯一，前提是(A,B)這對(duì)是能控的，(A,Q^(1/2))這對(duì)是能觀的。9.3LQR的設(shè)計(jì)步驟設(shè)計(jì)LQR控制器的一般流程如下：確定系統(tǒng)模型：建立線性時(shí)不變系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式。選擇性能指標(biāo)：指定合適的QQ和RR矩陣，反映設(shè)計(jì)者對(duì)系統(tǒng)性能的要求。求解Riccati方程：使用數(shù)值方法（如Schur分解法）或者專用軟件包求得PP。計(jì)算反饋增益：利用K=R?1BTPK=R?1BTP得到最終的控制律。驗(yàn)證結(jié)果：檢查所得控制器是否滿足所有要求，必要時(shí)調(diào)整參數(shù)重新計(jì)算。9.4LQR在實(shí)際中的應(yīng)用LQR因其簡(jiǎn)單直觀而成為許多工程領(lǐng)域的標(biāo)準(zhǔn)解決方案之一。例如，在機(jī)械臂控制中，可以通過(guò)設(shè)置不同的QQ和RR值來(lái)平衡位置精度與關(guān)節(jié)力矩之間的關(guān)系；在飛行器姿態(tài)控制中，LQR同樣表現(xiàn)出色，能夠有效抑制擾動(dòng)并保持穩(wěn)定飛行。此外，LQR還經(jīng)常與其他高級(jí)控制策略相結(jié)合，形成更為復(fù)雜的控制架構(gòu)，以應(yīng)對(duì)更廣泛的挑戰(zhàn)。通過(guò)以上內(nèi)容，我們介紹了現(xiàn)代控制理論中關(guān)于觀測(cè)器設(shè)計(jì)、最優(yōu)控制以及線性二次調(diào)節(jié)器的基礎(chǔ)知識(shí)。這些概念和技術(shù)不僅深化了我們對(duì)控制系統(tǒng)本質(zhì)的理解，也為實(shí)際工程問(wèn)題提供了強(qiáng)大的分析與設(shè)計(jì)手段。希望同學(xué)們能夠深入學(xué)習(xí)并靈活運(yùn)用這些知識(shí)，不斷探索新的應(yīng)用場(chǎng)景。第十章：卡爾曼濾波器10.1卡爾曼濾波器簡(jiǎn)介卡爾曼濾波器（KalmanFilter,KF）是一種遞歸算法，用于估計(jì)線性系統(tǒng)的狀態(tài)。它結(jié)合了系統(tǒng)模型和觀測(cè)數(shù)據(jù)，通過(guò)最小化估計(jì)誤差的方差來(lái)提供最優(yōu)的狀態(tài)估計(jì)。卡爾曼濾波器不僅適用于靜態(tài)環(huán)境下的狀態(tài)估計(jì)，也能夠處理動(dòng)態(tài)變化的情況，并且在噪聲環(huán)境中表現(xiàn)出色?？柭鼮V波器的核心思想是基于貝葉斯估計(jì)理論，將先驗(yàn)信息與新獲得的數(shù)據(jù)結(jié)合起來(lái)，不斷更新對(duì)系統(tǒng)狀態(tài)的認(rèn)知。其主要組成部分包括：預(yù)測(cè)步驟：根據(jù)系統(tǒng)模型預(yù)測(cè)下一時(shí)刻的狀態(tài)。更新步驟：利用新的測(cè)量值修正預(yù)測(cè)結(jié)果。10.2離散時(shí)間卡爾曼濾波器離散時(shí)間卡爾曼濾波器適用于以固定采樣間隔獲取數(shù)據(jù)的系統(tǒng)。假設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)xkxk?滿足以下線性高斯模型：xk+1=Axk+Buk+wkxk+1?=Axk?+Buk?+wk?zk=Hxk+vkzk?=Hxk?+vk?其中wkwk?和vkvk?分別是過(guò)程噪聲和觀測(cè)噪聲，均服從零均值高斯分布。離散時(shí)間卡爾曼濾波器的算法流程如下：初始化：初始狀態(tài)估計(jì)x^0?x^0??及協(xié)方差矩陣P0?P0??預(yù)測(cè)步驟：預(yù)測(cè)狀態(tài)x^k∣k?1=Ax^k?1∣k?1+Buk?1x^k∣k?1?=Ax^k?1∣k?1?+Buk?1?預(yù)測(cè)狀態(tài)協(xié)方差Pk∣k?1=APk?1∣k?1AT+QPk∣k?1?=APk?1∣k?1?AT+Q更新步驟：計(jì)算卡爾曼增益Kk=Pk∣k?1HT(HPk∣k?1HT+R)?1Kk?=Pk∣k?1?HT(HPk∣k?1?HT+R)?1更新狀態(tài)估計(jì)x^k∣k=x^k∣k?1+Kk(zk?Hx^k∣k?1)x^k∣k?=x^k∣k?1?+Kk?(zk??Hx^k∣k?1?)更新狀態(tài)協(xié)方差Pk∣k=(I?KkH)Pk∣k?1Pk∣k?=(I?Kk?H)Pk∣k?1?這里QQ和RR分別表示過(guò)程噪聲和觀測(cè)噪聲的協(xié)方差矩陣。符號(hào)描述xkxk?實(shí)際狀態(tài)向量x^kx^k?估計(jì)狀態(tài)向量zkzk?觀測(cè)向量ukuk?控制輸入A,B,HA,B,H系統(tǒng)、輸入和觀測(cè)矩陣wk,vkwk?,vk?過(guò)程噪聲和觀測(cè)噪聲Q,RQ,R噪聲協(xié)方差矩陣10.3連續(xù)時(shí)間卡爾曼濾波器對(duì)于連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)，可以采用類似的思路設(shè)計(jì)卡爾曼濾波器。設(shè)系統(tǒng)模型為：x˙(t)=Ax(t)+Bu(t)+w(t)x˙(t)=Ax(t)+Bu(t)+w(t)z(t)=Hx(t)+v(t)z(t)=Hx(t)+v(t)連續(xù)時(shí)間卡爾曼濾波器的主要步驟包括：狀態(tài)估計(jì)：通過(guò)解微分方程x^˙(t)=Ax^(t)+Bu(t)+L(z(t)?Hx^(t))x^˙(t)=Ax^(t)+Bu(t)+L(z(t)?Hx^(t))來(lái)估計(jì)狀態(tài)其中L=PCTR?1L=PCTR?1，PP滿足連續(xù)時(shí)間代數(shù)Riccati方程：ATP+PA?PCTR?1CP+Q=0ATP+PA?PCTR?1CP+Q=0誤差分析：估計(jì)誤差e(t)=x(t)?x^(t)e(t)=x(t)?x^(t)誤差協(xié)方差矩陣P(t)P(t)滿足P˙=AP+PAT?PCTR?1CP+QP˙=AP+PAT?PCTR?1CP+Q連續(xù)時(shí)間卡爾曼濾波器的設(shè)計(jì)更為復(fù)雜，通常需要數(shù)值方法求解相關(guān)的微分方程和代數(shù)方程。10.4擴(kuò)展卡爾曼濾波器當(dāng)系統(tǒng)是非線性的時(shí)，標(biāo)準(zhǔn)卡爾曼濾波器不再適用。此時(shí)可以使用擴(kuò)展卡爾曼濾波器（ExtendedKalmanFilter,EKF），它是通過(guò)局部線性化非線性系統(tǒng)來(lái)近似應(yīng)用卡爾曼濾波的一種方法。EKF的基本思想是在每個(gè)時(shí)間點(diǎn)上，將非線性函數(shù)在當(dāng)前估計(jì)值附近進(jìn)行一階泰勒展開，然后按照標(biāo)準(zhǔn)卡爾曼濾波器的方式進(jìn)行處理。對(duì)于非線性系統(tǒng)模型：xk+1=f(xk,uk)+wkxk+1?=f(xk?,uk?)+wk?zk=h(xk)+vkzk?=h(xk?)+vk?EKF的預(yù)測(cè)和更新步驟類似于離散時(shí)間卡爾曼濾波器，但需要用到雅可比矩陣來(lái)計(jì)算線性化的系數(shù)。第十一章：魯棒控制11.1魯棒控制的基本思想魯棒控制旨在設(shè)計(jì)控制器，使得系統(tǒng)能夠在存在不確定性或外部擾動(dòng)的情況下仍保持良好的性能。這些不確定性可能來(lái)源于參數(shù)變化、未建模的動(dòng)力學(xué)特性以及測(cè)量誤差等。魯棒控制的目標(biāo)是確保系統(tǒng)在所有允許的不確定性范圍內(nèi)都具有穩(wěn)定性和滿意的動(dòng)態(tài)響應(yīng)。11.2不確定性建模為了設(shè)計(jì)魯棒控制器，首先需要對(duì)系統(tǒng)的不確定性進(jìn)行適當(dāng)?shù)慕?。常見的不確定性類型包括：參數(shù)不確定性：某些系統(tǒng)參數(shù)的具體值未知或隨時(shí)間變化。結(jié)構(gòu)不確定性：系統(tǒng)中存在未被精確描述的部分動(dòng)力學(xué)特性。外部擾動(dòng)：外界干擾影響系統(tǒng)行為。常用的不確定性建模方法有：多面體不確定性：將不確定性限制在一個(gè)多面體內(nèi)。范數(shù)界不確定性：用某種范數(shù)來(lái)衡量不確定性的大小。區(qū)間不確定性：將不確定性參數(shù)限制在給定的區(qū)間內(nèi)。11.3H∞控制H∞控制是一種重要的魯棒控制方法，它通過(guò)最小化從外部擾動(dòng)到系統(tǒng)輸出之間的能量傳遞來(lái)提高系統(tǒng)的魯棒性。具體來(lái)說(shuō)，H∞控制問(wèn)題可以表述為找到一個(gè)控制器KK，使得閉環(huán)系統(tǒng)的H∞H∞?范數(shù)小于某個(gè)預(yù)定值γγ，即：sup?w≠0∥y∥2∥w∥2<γw=0sup?∥w∥2?∥y∥2??<γ這里∥?∥2∥?∥2?表示信號(hào)的L2L2?范數(shù)，ww是擾動(dòng)輸入，yy是系統(tǒng)輸出。H∞控制可以通過(guò)求解相應(yīng)的Riccati不等式或者使用頻域方法來(lái)實(shí)現(xiàn)。常見的設(shè)計(jì)工具包括線性矩陣不等式（LMI）和μ綜合法。11.4μ綜合μ綜合是一種更高級(jí)的魯棒控制技術(shù)，它考慮了結(jié)構(gòu)化不確定性的影響，并提供了更精細(xì)的性能保證。μ綜合的核心是計(jì)算系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)奇異值μμ，該值反映了系統(tǒng)對(duì)不確定性敏感的程度。通過(guò)優(yōu)化控制器參數(shù)，使閉環(huán)系統(tǒng)的μμ值盡可能小，從而增強(qiáng)系統(tǒng)的魯棒穩(wěn)定性。μ綜合通常涉及復(fù)雜的數(shù)學(xué)推導(dǎo)和數(shù)值計(jì)算，常用軟件如MATLAB中的RobustControlToolbox可以幫助工程師們完成相關(guān)的設(shè)計(jì)工作。第十二章：自適應(yīng)控制12.1自適應(yīng)控制的目的自適應(yīng)控制是一種能夠自動(dòng)調(diào)整自身參數(shù)以適應(yīng)系統(tǒng)變化的控制策略。這種控制方式特別適用于那些難以準(zhǔn)確建?；騾?shù)隨時(shí)間變化的系統(tǒng)。自適應(yīng)控制的主要目標(biāo)是通過(guò)在線學(xué)習(xí)機(jī)制，實(shí)時(shí)更新控制器參數(shù)，以確保系統(tǒng)始終處于最佳運(yùn)行狀態(tài)。12.2參數(shù)估計(jì)技術(shù)自適應(yīng)控制的基礎(chǔ)是參數(shù)估計(jì)技術(shù)，即如何從可用數(shù)據(jù)中提取出系統(tǒng)的真實(shí)參數(shù)。常用的參數(shù)估計(jì)方法包括：最小二乘法（LeastSquares,LS）：通過(guò)最小化估計(jì)誤差平方和來(lái)確定參數(shù)值。遞歸最小二乘法（RecursiveLeastSquares,RLS）：在線版本的最小二乘法，適合處理實(shí)時(shí)數(shù)據(jù)流。梯度下降法（GradientDescent,GD）：通過(guò)沿著負(fù)梯度方向逐步調(diào)整參數(shù)來(lái)尋找最小值。12.3模型參考自適應(yīng)控制模型參考自適應(yīng)控制（ModelReferenceAdaptiveControl,MRAC）是一種典型的自適應(yīng)控制方法。它的基本原理是定義一個(gè)期望的參考模型，然后設(shè)計(jì)控制器使實(shí)際系統(tǒng)的行為趨同于這個(gè)模型。MRAC通常包含兩個(gè)主要部分：參考模型：定義理想系統(tǒng)的行為。自適應(yīng)律：根據(jù)實(shí)際系統(tǒng)與參考模型之間的差異來(lái)調(diào)整控制器參數(shù)。例如，在直接自適應(yīng)控制中，控制器增益會(huì)根據(jù)估計(jì)誤差進(jìn)行調(diào)整，直到實(shí)際輸出與參考輸出一致。12.4自校正控制器自校正控制器（Self-TuningController,STC）是一種基于參數(shù)估計(jì)的自適應(yīng)控制方法。STC分為兩層架構(gòu)：參數(shù)估計(jì)層：負(fù)責(zé)識(shí)別系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性，并估計(jì)關(guān)鍵參數(shù)?？刂茖樱夯诠烙?jì)的參數(shù)設(shè)計(jì)控制器，如PID控制器或其他形式的控制器。自校正控制器的工作流程通常是周期性的，即每隔一段時(shí)間就重新估計(jì)一次參數(shù)并更新控制器設(shè)置。這種方法特別適用于那些參數(shù)緩慢變化的系統(tǒng)，能夠有效地應(yīng)對(duì)環(huán)境變化帶來(lái)的挑戰(zhàn)。通過(guò)以上內(nèi)容，我們介紹了現(xiàn)代控制理論中關(guān)于卡爾曼濾波器、魯棒控制以及自適應(yīng)控制的基礎(chǔ)知識(shí)。這些概念和技術(shù)不僅深化了我們對(duì)控制系統(tǒng)本質(zhì)的理解，也為解決復(fù)雜工程問(wèn)題提供了強(qiáng)大的工具。希望同學(xué)們能夠深入學(xué)習(xí)并靈活運(yùn)用這些知識(shí)，不斷探索新的應(yīng)用場(chǎng)景。第十三章：非線性控制系統(tǒng)13.1非線性現(xiàn)象簡(jiǎn)介非線性控制系統(tǒng)是指系統(tǒng)中至少存在一個(gè)非線性元件，其動(dòng)態(tài)行為不能通過(guò)簡(jiǎn)單的線性疊加原理來(lái)描述。非線性現(xiàn)象廣泛存在于物理、生物和社會(huì)系統(tǒng)中，如飽和、死區(qū)、遲滯等。這些特性使得非線性系統(tǒng)的分析和控制變得更加復(fù)雜。非線性系統(tǒng)的行為可能包括但不限于：多穩(wěn)態(tài)：系統(tǒng)可以穩(wěn)定在多個(gè)不同的狀態(tài)。極限環(huán)：系統(tǒng)表現(xiàn)出周期性的振蕩行為?；煦纾杭词钩跏紬l件微小變化也能導(dǎo)致截然不同的長(zhǎng)期行為。分岔：系統(tǒng)參數(shù)的微小改變可能導(dǎo)致系統(tǒng)行為的根本性轉(zhuǎn)變。13.2相平面分析相平面分析是一種圖形化的方法，用于研究二階非線性系統(tǒng)的定性行為。相平面上的每個(gè)點(diǎn)代表系統(tǒng)的狀態(tài)，而軌跡則表示系統(tǒng)隨時(shí)間的變化過(guò)程。通過(guò)繪制不同初始條件下的軌跡，可以直觀地理解系統(tǒng)的穩(wěn)定性、平衡點(diǎn)以及可能存在的極限環(huán)。對(duì)于二階系統(tǒng)x¨=f(x,x˙)x¨=f(x,x˙)，我們通常將xx作為橫坐標(biāo)，x˙x˙作為縱坐標(biāo)。常見的相平面圖特征包括：節(jié)點(diǎn)：所有軌跡都趨向于或遠(yuǎn)離某一點(diǎn)。焦點(diǎn)：軌跡呈螺旋狀接近或遠(yuǎn)離某一點(diǎn)。鞍點(diǎn)：某些方向上軌跡趨近該點(diǎn)，而在其他方向上遠(yuǎn)離。中心：軌跡形成閉合曲線，圍繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)但不趨近也不遠(yuǎn)離。13.3描述函數(shù)法描述函數(shù)法是一種頻率域方法，用于分析具有非線性環(huán)節(jié)的反饋系統(tǒng)。它假設(shè)非線性部分可以用一個(gè)復(fù)數(shù)增益來(lái)近似，這個(gè)增益稱為描述函數(shù)。描述函數(shù)法的基本步驟如下：確定非線性環(huán)節(jié)的描述函數(shù)：設(shè)非線性環(huán)節(jié)的輸入為正弦信號(hào)Asin?(ωt)Asin(ωt)，輸出為y(t)y(t)，則描述函數(shù)N(A)N(A)定義為N(A)=1πA∫02πy(t)e?jωtdtN(A)=πA1?∫02π?y(t)e?jωtdt構(gòu)建等效線性系統(tǒng)：用描述函數(shù)代替非線性環(huán)節(jié)，得到一個(gè)等效的線性系統(tǒng)。應(yīng)用奈奎斯特判據(jù)：利用奈奎斯特圖判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。如果奈奎斯特圖不包圍(-1,0)點(diǎn)，則系統(tǒng)穩(wěn)定；否則可能存在自激振蕩。計(jì)算自激振蕩的頻率和幅度：如果系統(tǒng)不穩(wěn)定且存在自激振蕩，可以通過(guò)求解方程G(jω)N(A)=?1G(jω)N(A)=?1來(lái)確定振蕩的頻率ωω和幅度AA。13.4非線性系統(tǒng)的Lyapunov穩(wěn)定性Lyapunov穩(wěn)定性理論是研究非線性系統(tǒng)穩(wěn)定性的重要工具。它基于能量的觀點(diǎn)，通過(guò)構(gòu)造合適的Lyapunov函數(shù)來(lái)判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。Lyapunov函數(shù)V(x)V(x)需要滿足以下條件：V(x)V(x)是正定的（即V(0)=0V(0)=0且對(duì)于所有x≠0x=0有V(x)>0V(x)>0）。沿著系統(tǒng)軌跡的導(dǎo)數(shù)V˙(x)V˙(x)是非正定的（即V˙(x)≤0V˙(x)≤0）。根據(jù)Lyapunov函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)，可以得出幾種類型的穩(wěn)定性結(jié)論：李雅普諾夫意義下的穩(wěn)定性：如果V˙(x)≤0V˙(x)≤0，則系統(tǒng)在原點(diǎn)處是穩(wěn)定的。漸近穩(wěn)定性：如果V˙(x)<0V˙(x)<0（除了x=0x=0的情況），則系統(tǒng)在原點(diǎn)處是漸近穩(wěn)定的。全局穩(wěn)定性：如果上述條件對(duì)所有xx成立，則系統(tǒng)具有全局穩(wěn)定性。穩(wěn)定性類型條件李雅普諾夫意義下的穩(wěn)定性V˙(x)≤0V˙(x)≤0漸近穩(wěn)定性V˙(x)<0V˙(x)<0（除了x=0x=0的情況）全局穩(wěn)定性對(duì)所有xx成立第十四章：離散時(shí)間控制系統(tǒng)14.1離散化過(guò)程許多實(shí)際系統(tǒng)都是以離散時(shí)間形式工作的，例如數(shù)字計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)。離散化是指將連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)轉(zhuǎn)換為離散時(shí)間系統(tǒng)的過(guò)程。常用的方法包括：零階保持器（Zero-OrderHold,ZOH）：假設(shè)采樣間隔內(nèi)輸入保持不變。一階保持器（First-OrderHold,FOH）：假設(shè)采樣間隔內(nèi)輸入呈線性變化。雙線性變換（BilinearTransformation）：通過(guò)變量替換將s域映射到z域。對(duì)于線性時(shí)不變系統(tǒng)x˙=Ax+Bux˙=Ax+Bu，使用ZOH方法離散化后，可以得到：x(k+1)=(I+AT)x(k)+BTu(k)x(k+1)=(I+AT)x(k)+BTu(k)其中TT是采樣周期。14.2Z域分析Z變換是離散時(shí)間系統(tǒng)分析的重要工具，類似于連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)中的拉普拉斯變換。對(duì)于序列x[n]x[n]，其Z變換定義為：X(z)=∑n=?∞∞x[n]z?nX(z)=n=?∞∑∞?x[n]z?nZ變換能夠?qū)⒉罘址匠剔D(zhuǎn)化為代數(shù)方程，從而簡(jiǎn)化系統(tǒng)的分析與