江西省宜春市豐城市2024−2025學(xué)年高二日新班上學(xué)期第一次段考 數(shù)學(xué)試卷含答案

江西省宜春市豐城市2024?2025學(xué)年高二日新班上學(xué)期第一次段考數(shù)學(xué)試卷一、單選題（本大題共8小題）1．已知集合，，則集合的真子集個(gè)數(shù)為（

）A． B． C． D．2．已知等比數(shù)列滿足，則的值為（

）A．2 B．4 C． D．63．函數(shù)的圖象可能是（

）A．

B．

C．

D．

4．已知，則是的（

）A．必要不充分條件 B．充分不必要條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件5．已知，，，則的大小關(guān)系是（

）A． B． C． D．6．的展開式中，的系數(shù)為（

）A．60 B．120 C． D．7．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，P為橢圓上一點(diǎn)，且，若關(guān)于平分線的對稱點(diǎn)在橢圓C上，則該橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．8．已知，則（

）A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．設(shè)為互不重合的平面，為互不重合的直線，則下列命題為真命題的是（

）A．若，則B．若，則C．若，則D．若，則10．有一組互不相等的樣本數(shù)據(jù)，平均數(shù)為.若隨機(jī)剔除其中一個(gè)數(shù)據(jù)，得到一組新數(shù)據(jù)，記為，平均數(shù)為，則（

）A．新數(shù)據(jù)的極差可能等于原數(shù)據(jù)的極差B．新數(shù)據(jù)的中位數(shù)不可能等于原數(shù)據(jù)的中位數(shù)C．若，則新數(shù)據(jù)的方差一定大于原數(shù)據(jù)方差D．若，則新數(shù)據(jù)的40%分位數(shù)一定大于原數(shù)據(jù)的40%分位數(shù)11．記函數(shù)的最小正周期為，若，且在上的最大值與最小值的差為3，則（

）A． B．C．在區(qū)間上單調(diào)遞減 D．直線是曲線的切線三、填空題（本大題共3小題）12．已知函數(shù)．則；若，則實(shí)數(shù)m的值為．13．設(shè)是復(fù)數(shù)，已知，，，則．14．有一種珍惜物種，對于其每個(gè)個(gè)體，每天都會發(fā)生如下事件：有的概率消失，有的概率保持不變，有的概率分裂成兩個(gè)，對所有新產(chǎn)生的生物每天也會發(fā)生上述事件，假設(shè)開始只有一個(gè)這樣的珍惜生物，若希望最終這種生物滅絕的概率不超過，則的最大值為．四、解答題（本大題共5小題）15．如圖，四棱錐中，底面是邊長為2的菱形，，，．(1)求證：平面平面；(2)若，求二面角的余弦值.16．設(shè)函數(shù)的圖像為曲線，過原點(diǎn)且斜率為的直線為.設(shè)與除點(diǎn)外，還有另外兩個(gè)交點(diǎn)，（可以重合），記.(1)求的解析式；(2)求的單調(diào)區(qū)間.17．“英才計(jì)劃”最早開始于2013年，由中國科協(xié)、教育部共同組織實(shí)施，到2023年已經(jīng)培養(yǎng)了6000多名具有創(chuàng)新潛質(zhì)的優(yōu)秀中學(xué)生，為選拔培養(yǎng)對象，某高校在暑假期間從中學(xué)里挑選優(yōu)秀學(xué)生參加數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)學(xué)科夏令營活動(dòng).(1)若數(shù)學(xué)組的7名學(xué)員中恰有3人來自中學(xué)，從這7名學(xué)員中選取3人，表示選取的人中來自中學(xué)的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；(2)在夏令營開幕式的晚會上，物理組舉行了一次學(xué)科知識競答活動(dòng)，規(guī)則如下：兩人一組，每一輪競答中，每人分別答兩題，若小組答對題數(shù)不小于3，則取得本輪勝利.已知甲乙兩位同學(xué)組成一組，甲、乙答對每道題的概率分別為，.假設(shè)甲、乙兩人每次答題相互獨(dú)立，且互不影響.當(dāng)時(shí)，求甲、乙兩位同學(xué)在每輪答題中取勝的概率的最大值.18．已知拋物線的焦點(diǎn)為.設(shè)（其中，）為拋物線上一點(diǎn).過作拋物線的兩條切線，，，為切點(diǎn).射線交拋物線于另一點(diǎn).(1)若，求直線的方程；(2)求四邊形面積的最小值.19．我們稱滿足以下兩個(gè)條件的有窮數(shù)列為階“期待數(shù)列”；①；②.（1）若數(shù)列的通項(xiàng)公式是，試判斷數(shù)列是否為2014階“期待數(shù)列”，并說明理由；（2）若等比數(shù)列為階“期待數(shù)列”，求公比及數(shù)列的通項(xiàng)公式；（3）若一個(gè)等差數(shù)列既是（）階“期待數(shù)列”又是遞增數(shù)列，求該數(shù)列的通項(xiàng)公式.

參考答案1．【答案】C【詳解】依題意，集合中有個(gè)元素，則其真子集的個(gè)數(shù)有個(gè).故選：C2．【答案】B【詳解】根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)可得，∴，即，解得，又∵，，故可得，故選：B3．【答案】D【分析】利用函數(shù)的定義域、奇偶性、函數(shù)值分析運(yùn)算判斷即可得解.【詳解】設(shè)，定義域?yàn)?，則有，所以函數(shù)是偶函數(shù)，圖象關(guān)于軸對稱，故選項(xiàng)A、C錯(cuò)誤；因?yàn)椋赃x項(xiàng)B錯(cuò)誤；綜上知，選項(xiàng)D正確.故選D.4．【答案】B【詳解】因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，成立，當(dāng)成立時(shí)，如取，此時(shí)不成立，所以是的充分不必要條件.故選：B.5．【答案】C【詳解】，，又，；，，又，；綜上所述：.故選：C.6．【答案】A【詳解】由題意中含的項(xiàng)為，則的系數(shù)為60，故選：A7．【答案】B【詳解】解：設(shè)關(guān)于平分線的對稱點(diǎn)為，則三點(diǎn)共線，設(shè)，則，又，所以為等邊三角形，所以，又，所以，在中，由余弦定理可得：，即，所以，所以.故選：B.

8．【答案】D【詳解】因?yàn)?，結(jié)合題設(shè)，所以，而，所以，即，所以，所以.故選：D9．【答案】AB【詳解】對A：平行于同一個(gè)平面的兩個(gè)平面互相平行，正確；對B：兩個(gè)平面的交線垂直于第三個(gè)平面，則這兩個(gè)平面都垂直于第三個(gè)平面.根據(jù)面面垂直的判定定理，該結(jié)論正確；對C：和兩條平行直線分別平行的兩個(gè)平面相交或平行，故C錯(cuò)誤；對D：垂直于同一個(gè)平面的兩個(gè)平面平行或相交.故D錯(cuò)誤.故選：AB10．【答案】ABC【詳解】不妨設(shè)原數(shù)據(jù)，新數(shù)據(jù)，A：例如原數(shù)據(jù)為，新數(shù)據(jù)為，此時(shí)極差均為，故A正確；B：原數(shù)據(jù)中位數(shù)為，新數(shù)據(jù)中位數(shù)為，可知或，若，可得；若，可得；綜上所述：新數(shù)據(jù)的中位數(shù)不可能等于原數(shù)據(jù)的中位數(shù)，故B正確；C：若，可知去掉的數(shù)據(jù)為，則，可得，所以新數(shù)據(jù)的方差一定大于原數(shù)據(jù)方差，故C正確；D：若，可知去掉的數(shù)據(jù)為，因?yàn)?，可知原?shù)據(jù)的分位數(shù)為第3位數(shù)，，可知新數(shù)據(jù)的分位數(shù)為第2位數(shù)與第3位數(shù)的平均數(shù)，例如原數(shù)據(jù)為，新數(shù)據(jù)為，此時(shí)新數(shù)據(jù)的分位數(shù)、原數(shù)據(jù)的分位數(shù)均為3，故D錯(cuò)誤；故選：ABC.11．【答案】BD【詳解】由，又，可得，又，則，即，若在上單調(diào)，則，即，令，則，即在上單調(diào)遞減，即，即，此時(shí)，此時(shí)，不符合題意，所以在上不單調(diào)，即在上不單調(diào)，又，即，即，即，，若，此時(shí)，符合題意；若，此時(shí)，不符合題意；綜上可得，，即，對于A，，故錯(cuò)誤；對于B，，，故B正確；對于C，當(dāng)，則，且在上先遞減后遞增，故C錯(cuò)誤；對于D，因?yàn)椋?，，可得是在處的切線，故D正確；故選：BD12．【答案】或【詳解】因?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)，，解得，滿足題意；當(dāng)時(shí)，，解得，滿足題意；綜上：的值為或.故答案為：；或.13．【答案】【詳解】設(shè)，，，，，，，.故答案為：.14．【答案】15/【詳解】設(shè)開始有一個(gè)珍稀生物、最終滅絕的概率為，那么若開始有個(gè)珍稀生物、最終滅絕的概率則為，由題意知，從而可得，即，因?yàn)?，所以，所以。解之可得，故的最大值?故答案為：15．【答案】(1)證明見解析；(2).【詳解】（1）取中點(diǎn)，連接，因?yàn)樗倪呅问沁呴L為的菱形，所以，因?yàn)?所以是等邊三角形，所以,因?yàn)?，所以PO=12因?yàn)?，所以，所?因?yàn)?，平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以平面平面；?）因?yàn)?，所以，由?）知，平面平面，而平面平面，平面，所以平面，所以直線兩兩垂直，以為原點(diǎn)建立如圖空間直角坐標(biāo)系，則，所以，設(shè)平面的法向量為，由，取，得，設(shè)平面的法向量為，由，取，得，所以，由圖可知二面角為銳二面角，所以二面角的余弦值為.16．【答案】(1)(2)在，單調(diào)遞減，在，單調(diào)遞增.【詳解】（1）設(shè)直線，聯(lián)立，可得或，即方程有2個(gè)不同的實(shí)根，且，即，化簡可得，由韋達(dá)定理可得，設(shè)，則，所以，（2）當(dāng)時(shí)，，則，所以在單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)或時(shí)，.所以在，單調(diào)遞減，在區(qū)間單調(diào)遞增；綜上所述，在，單調(diào)遞減，在，單調(diào)遞增.17．【答案】(1)分布列見解析，(2)【分析】（1）利用超幾何分布，求出分布列和期望，即可得出結(jié)果；（2）根據(jù)甲、乙答對題數(shù)為二項(xiàng)分布及獨(dú)立事件的概率求出每輪答題中取得勝利的概率，再由二次函數(shù)的性質(zhì)求出結(jié)果.【詳解】（1）由題意知，的可能取值有0，1，2，3，，，，，所以的分布列為：0123P.（2）因?yàn)榧?、乙兩人每次答題相互獨(dú)立，設(shè)甲答對題數(shù)為，則，設(shè)乙答對題數(shù)為，則，設(shè)“甲、乙兩位同學(xué)在每輪答題中取勝”,則由，又，所以，則，又，所以，設(shè)，所以，由二次函數(shù)可知當(dāng)時(shí)取最大值，所以甲、乙兩位同學(xué)在每輪答題中取勝的概率的最大值為.18．【答案】(1)(2)16【詳解】（1）設(shè)Ax1,y1拋物線，即，則，所以拋物線在點(diǎn)Ax1,則切線的方程為，整理得，同理，的方程為，又在上，有，所以直線方程為.（2）設(shè)，，，聯(lián)立，消去整理得，，，設(shè)點(diǎn)到直線的距離為，則，聯(lián)立，得，，（其中），，又，代入