2024−2025學(xué)年高二上學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)試題含答案

2024?2025學(xué)年高二上學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)試題一、單選題（本大題共8小題）1．直線的傾斜角為（

）A． B． C． D．2．曲線與曲線一定成立的是（

）A．長(zhǎng)軸長(zhǎng)相等 B．焦距相等 C．離心率相等 D．短軸長(zhǎng)相等3．“平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)滿足到兩定點(diǎn)的距離之和為常數(shù)”是“點(diǎn)的軌跡是橢圓”的（

）A．充分不必要條件 B．既不充分也不必要條件 C．充要條件 D．必要不充分條件4．若直線的截距式方程化為斜截式方程為，化為一般式方程為，則（

）A． B．2 C．6 D．85．圓與圓的公切條數(shù)為（

）A．2條 B．1條 C．3條 D．4條6．已知直線與焦點(diǎn)在軸上的橢圓總有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．7．已知，是橢圓：的左右焦點(diǎn)，若橢圓上存在一點(diǎn)使得，則橢圓的離心率的取值范圍為（

）A． B． C． D．8．已知雙曲線，過(guò)右焦點(diǎn)的直線與雙曲線交于兩點(diǎn)．且，這樣的直線有4條，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．已知雙曲線，則（

）A．實(shí)軸長(zhǎng)為2B．離心率為C．兩漸近線夾角的正切值不存在D．直線與曲線有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，則10．已知直線的方程，則（

）A．恒過(guò)定點(diǎn)B．存在實(shí)數(shù)使直線在坐標(biāo)軸上截距互為相反數(shù)C．直線的斜率一定存在D．點(diǎn)到直線的距離最大值為11．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，則（

）A．與有相同離心率的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程一定是B．過(guò)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，則C．設(shè)，點(diǎn)是橢圓上任意點(diǎn)，則有最大值無(wú)最小值D．設(shè)圓，圓上任意點(diǎn)向橢圓引切線，則兩切線互相垂直三、填空題（本大題共3小題）12．設(shè)方程表示橢圓，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．13．設(shè)集合，，若，則實(shí)數(shù)．14．已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)在雙曲線右支上，則的內(nèi)切圓與軸的切點(diǎn)橫坐標(biāo)為．四、解答題（本大題共5小題）15．已知定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)距離之比為．(1)求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；(2)過(guò)點(diǎn)作的切線，切點(diǎn)為，求所在直線方程．16．已知橢圓的左焦點(diǎn)為是橢圓上任意一點(diǎn)，的最大值為3，最小值為1．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)已知是橢圓內(nèi)一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)任做一條直線與橢圓交于兩點(diǎn)，求以為中點(diǎn)的弦所在的直線方程．17．已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)在雙曲線右支（且不在坐標(biāo)軸上），(1)若雙曲線與橢圓有共同的焦點(diǎn)，且雙曲線過(guò)點(diǎn)，求該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若，，求的面積．18．設(shè)動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離與它到定直線的距離之比為．(1)求點(diǎn)的軌跡的方程；(2)過(guò)的直線與曲線交右支于兩點(diǎn)（在軸上方），曲線與軸左、右交點(diǎn)分別為，設(shè)直線的斜率為，直線的斜率為，試判斷是否為定值，若是定值，求出此值，若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．19．已知橢圓，左焦點(diǎn).(1)設(shè)直線與橢圓交于，點(diǎn)是橢圓上任意一點(diǎn)，證明：；(2)過(guò)做兩條互相垂直的直線、，交橢圓于、，交橢圓于、，（?。┯浰倪呅蚊娣e為，求的取值范圍；（ⅱ）設(shè)的中點(diǎn)為的中點(diǎn)為，直線與直線交于，證明．

參考答案1．【答案】B【詳解】直線方程可整理為，即，所以直線的斜率，設(shè)傾斜角為，則，因?yàn)?，所?故選：B.2．【答案】B【詳解】曲線表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，其中，所以長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，短軸長(zhǎng)，焦距為，離心率，因?yàn)椋?，曲線表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，其中，，，所以長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，短軸長(zhǎng)，焦距為，離心率故長(zhǎng)軸長(zhǎng)不相等，焦距相等，離心率不相等，短軸長(zhǎng)不相等，故ABD錯(cuò)，B對(duì)；故選：B3．【答案】D【詳解】“點(diǎn)的軌跡是以，為焦點(diǎn)的橢圓”“為常數(shù)”；反之不成立，若常數(shù)兩個(gè)定點(diǎn)的距離，其軌跡不是橢圓．因此“平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)滿足到兩定點(diǎn)的距離之和為常數(shù)”是“點(diǎn)的軌跡是橢圓”的必要不充分條件．故選：D．4．【答案】C【詳解】由方程可知，，即，所以，解得，所以.故選：C5．【答案】A【詳解】由是以為圓心，3為半徑的圓.，轉(zhuǎn)換為，即該圓是以為圓心，4為半徑的圓.所以圓心距，所以所以兩圓相交，故公切線的條數(shù)為2，故選：A6．【答案】D【分析】先求出直線過(guò)的定點(diǎn)，要想直線和橢圓總有公共點(diǎn)，只需定點(diǎn)在橢圓上或內(nèi)部，因?yàn)槎c(diǎn)為，所以直接跟短半軸b比較即可【詳解】由題意，直線恒過(guò)定點(diǎn)，要使直線與橢圓總有公共點(diǎn)，則只需點(diǎn)在橢圓上或橢圓內(nèi)，則．又焦點(diǎn)在軸上，所以，所以．故選：D．7．【答案】B【分析】根據(jù)橢圓的性質(zhì)求出的范圍，代入即可求出離心率的取值范圍.【詳解】設(shè)點(diǎn)，，因?yàn)?，所以，即，結(jié)合可得，所以.故選：B.8．【答案】B【詳解】設(shè)，令，則，過(guò)雙曲線的右焦點(diǎn)作直線與雙曲線交于兩點(diǎn)，如果在同一支上，則有，如果在兩支上，則有，因?yàn)檫@樣的直線有4條，所以，解得，故選：B9．【答案】ABC【詳解】由雙曲線可得，所以實(shí)軸長(zhǎng)為，故A對(duì)；離心率為，故B對(duì)；令，可得漸近線方程為和，斜率分別為1和-1，所以斜率之積為-1，所以兩直線垂直，其夾角為，故兩漸近線夾角的正切值不存在，故C對(duì)；把直線代入雙曲線中，消y，得,當(dāng)時(shí)，即時(shí)，直線與雙曲線相交有一個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)，時(shí)，即，解得，直線與雙曲線相切，有一個(gè)交點(diǎn)，所以直線與曲線有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，則或，故D錯(cuò)；故選：ABC10．【答案】ABD【詳解】A.聯(lián)立，得，所以點(diǎn)滿足方程，即直線恒過(guò)定點(diǎn)，故A正確；B.當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)，得，故B正確；C.直線的方程，當(dāng)，時(shí)，直線的斜率不存在，故C錯(cuò)誤；D.點(diǎn)到直線距離的最大值為點(diǎn)與定點(diǎn)之間的距離，即，故D正確.故選：ABD11．【答案】BD【詳解】對(duì)于A，橢圓的離心率，若橢圓方程為：，則其離心率也為12，但該方程不是的形式，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，設(shè)過(guò)的直線方程為，Ax1,y聯(lián)立，消去可得，，，，同理，所以，故B正確；對(duì)于C，由橢圓的定義可得，所以，當(dāng)三點(diǎn)不共線時(shí)，，共線時(shí)，所以有最大值，有最小值，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，設(shè)圓上任意點(diǎn)，當(dāng)切線的斜率存在時(shí)，設(shè)斜率為，則切線方程為，代入橢圓方程，所以，整理可得，所以，又，所以，當(dāng)斜率不存在時(shí)，顯然垂直，故D正確；故選：BD.12．【答案】【詳解】由題意，方程表示橢圓，則滿足，解得且，則實(shí)數(shù)的取值范圍是，故答案為：13．【答案】或【詳解】集合，，且，直線與直線平行，或經(jīng)過(guò)點(diǎn)，即或，故答案為：1或．14．【答案】a【詳解】由題知，設(shè)內(nèi)切圓與x軸的切點(diǎn)為，與內(nèi)切圓的切點(diǎn)分別為，由雙曲線定義有，得，由圓的切線長(zhǎng)定理知，，即，即，設(shè)內(nèi)切圓的圓心橫坐標(biāo)為x，則點(diǎn)H的橫坐標(biāo)為x，所以，故答案為：15．【答案】(1)(2)【詳解】（1）設(shè)Mx,y，由題意知，得，所以點(diǎn)的軌跡的方程為（2）連接PE，QE，則所以四點(diǎn)共圓，其圓是以為直徑的圓，因?yàn)?，的中點(diǎn)為，，所以為直徑的圓的方程為所以所在直線方程為，即16．【答案】(1)(2)【詳解】（1）由的最大值為3，最小值為得，則，可得，所以橢圓方程為（2）根據(jù)題意得中點(diǎn)弦的斜率存在，且在橢圓內(nèi)，設(shè),，,，所以，，兩式作差，得，由于是的中點(diǎn)，故，所以，所以，所以，所以中點(diǎn)弦的方程為，所求的直線方程．17．【答案】(1)(2)【詳解】（1）橢圓的焦點(diǎn)為和，所以雙曲線C:x2a2?又雙曲線過(guò)點(diǎn)，所以，由，解得，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（2）設(shè)，由雙曲線的定義可得，在中，由余弦定理，得，所以，則的面積，

18．【答案】(1)(2)為定值，且定值為【詳解】（1）設(shè)Mx,y，到定直線的距離為則，故，平方后化簡(jiǎn)可得，故點(diǎn)的軌跡的方程為：（2）由題意，,設(shè)直線的方程為，,，,，由，可得，所以，．則，，所以；當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，，此時(shí)，綜上，為定值．

19．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)（?。áⅲ┳C明見(jiàn)解析【詳解】