六年級數(shù)學下冊 2圖形與幾何-第04講 立體圖形的計算(教師版)（北師大）

高思愛提分演示（KJ)初中語文教師輔導講義[教師版]學員姓名寒假班 年級初一輔導科目初中語文學科教師李紅娟上課時間2020-02-0508:00:00-09:00:00 知識圖譜長方體和正方體知識精講一、長方體表面積計算方法長方體表面積：．二、長方體的體積公式1．長方體體積的意義：長方體的體積就是長方體所含體積單位的多少．2．長方體體積公式：長方體體積=長×寬×高，3．用字母表示長方體的體積公式：．三、正方體表面積的計算方法正方體表面積：．四、正方體的體積公式1、正方體體積的意義：正方體的體積就是正方體所含體積單位的多少．2、正方體體積公式的推導：正方體可以看作長、寬、高都相等的長方體，根據(jù)二者之間的關系，可以推導出正方體的體積計算公式．3、用字母表示正方體的體積公式：，一般寫成．長方體及正方體表面積及體積計算例題例題1、一段木料長1.8m，寬3dm，厚2dm，把它鋸成3段，表面積至少增加________dm2．【答案】24【解析】3×2×4＝6×4＝24（平方分米），答：表面積至少增加24平方分米．例題2、如圖是一個長方體水箱，長2米，寬1.2米，高0.8米，里面水深0.6米．（1）這個水箱前面的面積是多少平方米？（2）水箱里面的水有多少立方米？【答案】（1）1.6平方米（2）1.44立方米【解析】（1）2×0.8＝1.6（平方米）答：這個水箱前面的面積是1.6平方米．（2）2×1.2×0.6＝2.4×0.6＝1.44（立方米）答：水箱里面的水有1.44立方米．例題3、計算下面組合圖形的表面積和體積．【答案】680平方分米；932立方分米【解析】8×8×4＋（14×10＋14×3＋10×3）×2＝64×4＋（140＋42＋30）×2＝256＋212×2＝256＋424＝680（平方分米）；8×8×8＋14×10×3＝512＋420＝932（立方分米）；答：它的表面積是680平方分米，體積是932立方分米．例題4、把一個棱長為1分米的正方體，按圖中所示分割成12個大小不等的小長方體，這些小長方體的表面積之和是________dm2．【答案】14【解析】1×1×（6＋8）＝1×14＝14（dm2）答：這些個小長方體的表面積之和是14dm2．隨練隨練1、用絲帶捆扎一種禮品盒如下，結頭處長25厘米，要捆扎這種禮品盒需準備（）分米的絲帶比較合理．A.10B.21.5C.23D.30【答案】C【解析】（厘米）（厘米）225厘米分米分米隨練2、李叔叔用108cm長的鐵絲焊接成一個正方體框架，這個正方體的體積是多少cm3？【答案】729立方厘米【解析】108÷12＝9（厘米）9×9×9＝729（立方厘米），答：這個正方體的體積是729立方厘米．隨練3、一間教室長8米，寬6米，高4米．要粉刷教室的天花板和四周墻壁，除去門窗23平方米．如果每平方米用涂料0.2千克，共需涂料多少千克？【答案】27.4【解析】[8×6＋（8×4＋6×4）×2－23]×0.2＝[48＋112－23]×0.2＝[160－23]×0.2＝137×0.2＝27.4（千克）答：共需涂料27.4千克．長方體與正方體綜合應用例題例題1、如圖，一個棱長3分米的正方體木塊被切割成若干個棱長為一分米的小正方體。（1）這個大正方體被平均分成了________個小正方體。（2）每個小正方體的體積占大正方體體積的________，每個小正方體的表面積占大正方體的________。（3）如果在大正方體的表面涂上紅色，三面涂色的小正方體有________個，兩面涂色的有________個，一面涂色的有________個。沒有涂色的有________個?！敬鸢浮浚?）27（2）；（3）8；12；6；1例題2、用一張長90cm、寬80cm的長方形鐵皮，在它的四個角各剪去一個邊長10cm的小正方形（如圖），焊接成一個無蓋的鐵皮箱，這個鐵皮箱的表面積是多少平方厘米？它的容積是多少升？如果每升裝機油0.8千克，可以裝機油多少千克？【答案】6800平方厘米；42升；33.6千克【解析】90×80－10×10×4＝7200－400＝6800（平方厘米）；（90－10×2）－（80－10×2）×10＝70×60×10＝42000（立方厘米）；42000立方厘米＝42升，42×0.8＝33.6（千克）；答：這個鐵皮箱的表面積是6800平方厘米，它的容積是42升，可以裝機油33.6千克．例題3、如圖是一個棱長為5厘米的正方體，在上下面的中心位置挖去一個底面為邊長1厘米的長方體，將正方體的上、下兩面打通，挖去之后的正方體的的表面積是多少平方厘米？【答案】162平方厘米【解析】少了兩個正方形的面積，但是多了長方體四個側面的面積，因此挖去之后正方體的表面積為（平方厘米）例題4、如圖，有一個邊長為20厘米的大正方體，分別在它的角上、棱上、面上各挖掉一個大小相同的小立方體后，表面積變?yōu)?454平方厘米，那么挖掉的小立方體的邊長是多少厘米？【答案】3【解析】大立方體的表面積是平方厘米．在角上挖掉一個小正方體后，外面少了3個面，但里面又多出3個面；在棱上挖掉一個小正方體后，外面少了2個面，但里面多出4個面；在面上挖掉一個小正方體后，外面少了1個面，但里面多出5個面．所以，最后的情況是挖掉了三個小正方體，反而多出了6個面，可以計算出每個面的面積：平方厘米，說明小正方體的棱長是3厘米．隨練隨練1、一個長方體玻璃容器，從里面量長為3分米，寬為2分米，向容器中倒入7.5升水，再把一個蘋果放入水中，這時測得容器內的水面的高度是13.4厘米．這個蘋果的體積是多少？【答案】540立方厘米【解析】（分米）（厘米），（立方厘米），答：這個蘋果的體積是540立方厘米．隨練2、若正方體的棱長被平均分成3份，其中3面、2面、1面涂色、0面涂色的小正方體各有多少個？【答案】3面：8個；2面：12個；1面：6個；0面：1個【解析】如下圖：3面涂色的小正方體在大正方體的八個頂點上，2面涂色的小正方體在大正方體的棱上，1面涂色的小正方體在大正方體的面上，0面在大正方體的內部，也就是用總的小正方體的個數(shù)減去涂色的小正方體的個數(shù)3面：8個；2面：個；1面：個；0面：個．33面涂色1面涂色2面涂色隨練3、如圖是一個棱長為40厘米的立方體，若分別在它的六個面的中心位置各挖去一個棱長10厘米的小正方體，那么剩下的立方體的表面積是多少平方厘米？【答案】12000平方厘米【解析】大正方體的表面積為40×40×6＝9600平方厘米，一個小正方體的表面積（不包括它的外面和里面）為10×10×4＝400平方厘米，6個小正方體的表面積（不包括它的外面和里面）為400×6＝2400平方厘米，剩下的立方體的表面積是9600＋2400＝12000平方厘米，答：剩下的立方體的表面積是9600＋2400＝12000平方厘米．圓柱圓錐知識精講一、圓柱的表面積的意義和計算方法，用字母表示為．二、圓柱側面積的計算方法，用字母表示為．三、圓柱側面積計算公式的應用1、已知圓柱的底面直徑和高，可以根據(jù)公式直接求出圓柱的側面積．2、已知圓柱的底面半徑和高，可以根據(jù)公式直接求出圓柱的側面積．四、圓柱表面積計算公式的應用1、已知圓柱的底面半徑和高，可以根據(jù)公式直接求出圓柱的表面積．2、已知圓柱的底面直徑和高，求圓柱的表面積時，可以根據(jù)公式來求．3、已知圓的底面周長和高，求圓柱的表面積，可以根據(jù)公式來求．五、圓柱體積的意義和計算公式1、一個圓柱所占空間的大小，叫做這個圓柱的體積．2、圓柱體積的計算公式：．如果用V表示圓柱的體積，用S表示圓柱的底面積，用h表示圓柱的高，則圓柱體積的字母公式為．圓柱的表面積及體積的計算例題例題1、一個正方體的棱長是6厘米，把它削成一個最大的圓柱，圓柱的表面積是________平方厘米．【答案】169.56【解析】3.14×（6÷2）2×2＋3.14×6×6＝3.14×9×2＋3.14×36＝56.52＋113.04＝169.56（平方厘米）答：這個圓柱的表面積是169.56平方厘米．例題2、一個圓柱的底面半徑是5厘米，它的側面展開圖正好是一個正方形，這個圓柱的體積大約是多少立方厘米？【答案】2464.9立方厘米【解析】圓柱的高為：3.14×2×5＝31.4（厘米），圓柱的體積為：3.14×52×31.4＝78.5×31.4＝2464.9（立方厘米）答：圓柱的體積是2464.9立方厘米．例題3、把長方形ABCD（如下圖）以邊BC所在的直線為軸旋轉一周，得到一個圓柱，這個圓柱的表面積是多少平方厘米？【答案】3.14×62×2＋2×3.14×6×12=678.24（cm2）【解析】3.14×62×2＋2×3.14×6×12=678.24（cm2）例題4、如圖，一臺壓路機的前輪直徑是1.7m，如果前輪每分鐘轉動6周，壓路機工作5分鐘前進多遠？【答案】160.14米【解析】3.14×1.7×6×5＝5.338×6×5＝32.028×5＝160.14（米），答：壓路機工作5分鐘前進160.14米．隨練隨練1、一個圓柱，底面周長12.56米，高是1.5米，它的體積是多少立方米？【答案】18.84立方米【解析】3.14×（12.56÷3.14÷2）2×1.5＝3.14×22×1.5＝3.14×4×1.4＝12.56×1.5＝18.84（立方米），答：它的體積是18.84立方米．隨練2、一個圓柱形水池，底面周長是，深．在這個水池的池壁和池底抹一層水泥，抹水泥的面積是多少平方米？【答案】50.24平方米【解析】（米）（平方米）（平方米）答：抹水泥的面積是50.24平方米．隨練3、一個無蓋的圓柱形鐵皮水桶，底面直徑和高都是5分米，做這樣一個水桶至少需用多少平方分米的鐵皮？（得數(shù)保留整數(shù)）【答案】99平方分米【解析】3.14×5×5＋3.14×（5÷2）2＝78.5＋3.14×6.25＝78.5＋19.625＝98.125≈99（平方分米），答：做這樣一個水桶至少需用99平方分米的鐵皮．知識精講一、圓錐體積的計算公式的推導，與圓柱等底等高的圓錐的體積等于圓柱體積的，推得．如果用V表示圓錐的體積，用S表示圓錐的底面積，用h表示圓錐的高，用r表示圓錐的底面半徑，則圓錐體積的計算公式用字母表示為或．二、圓錐體積的計算公式的應用1、已知圓錐的底面半徑和高，可以直接利用公式來求圓錐的體積．2、已知圓錐的底面直徑和高，可以直接利用公式來求圓錐的體積．3、已知圓錐的底面周長和高，可以直接利用公式來求圓錐的體積．圓錐的體積計算例題例題1、計算圓柱的表面積和圓錐的體積．【答案】785平方厘米；150.72立方厘米【解析】（1）（平方厘米）；答：這個圓柱的表面積是785平方厘米．（2）（立方厘米），答：這個圓錐的體積是150.72立方厘米．例題2、將圖中直角三角形以4cm長的直角邊為軸旋轉一周，求所形成的圖形體積．【答案】37.68立方厘米【解析】×3.14×32×4＝3.14×3×4＝37.68（立方厘米）答：若以直角邊4cm為軸旋轉一周形成的圖形體積是37.68立方厘米．例題3、把一塊棱長9厘米的正方體鐵塊熔鑄成一個底面半徑9厘米的圓錐形鐵塊．這個圓錐形鐵塊的高是多少厘米？（得數(shù)保留一位小數(shù)）（用方程解答）【答案】8.6厘米【解析】設這個圓錐形鐵塊的高是厘米，依題意有答：這個圓錐形鐵塊的高大約是8.6厘米．例題4、一個圓錐形沙堆，底面周長是12.56米，高6米，將這些沙鋪在寬10米的道路上鋪8厘米厚，可以鋪多少米長？【答案】31.4米【解析】8厘米米（米）答：可以鋪31.4米長．隨練隨練1、一個圓錐的體積是18立方厘米，與它等底等高的圓柱體積是________立方厘米；如果這個圓柱的底面積是9平方厘米，它的高是________厘米．【答案】54；6【解析】圓柱體的體積：（立方厘米）圓柱的高為：54÷9＝6（厘米）答：圓柱體積是54立方厘米，它的高是6厘米．隨練2、一個棱長為6分米的正方體木塊的表面積是________平方分米，把它切削成一個最大的圓錐體，這個圓錐體的體積是________立方分米．【答案】216；56.52【解析】6×6×6＝216平方分米，圓錐的底面積為：3.14×（6÷2）2＝3.14×9＝28.26（平方分米）；圓錐的體積為×28.26×6＝56.52（立方分米）；隨練3、建筑工地有堆近似于圓錐的沙子，量得底面的周長是12.56米，高是1.65米．如果每立方米沙子重1500千克，這堆沙子約有多少千克？（π取3.14）【答案】10362千克【解析】底面半徑：12.56÷3.14÷2＝2（米）體積：3.14×22×1.65＝3.14×4×1.65＝6.908（立方米）重量：6.908×1500＝10362（千克）答：這堆沙子大約有10362千克．知識精講一、運用圓柱表面積的計算公式解決實際問題在解決實際問題時，并不是所有的圓柱形物體都有兩個底面，有的只有一個底面，有的沒有底面，解題時要根據(jù)實際情況選擇合適的解題方法．二．圓柱的體積計算公式的應用在計算圓柱的體積的過程中，如果已知圓柱的底面半徑、直徑或周長，那么要先求出底面積，再求體積．計算公式分別是，，．圓柱圓錐綜合例題例題1、如圖，這只木箱的下半部是棱長為20cm的正方體，上半部是圓柱體的一半．通過計算得其體積為_________cm3．（取3）【答案】11000【解析】體積為例題2、如圖，一個瓶子里面裝著一些水，瓶子的下面部分是圓柱形．請根據(jù)圖中的數(shù)據(jù)計算出瓶子的容積．（π取3.14）A.565.2立方厘米．B.628立方厘米C.753.6立方厘米D.188.4立方厘米【答案】A【解析】立方厘米．例題3、把一張長方形鐵皮按下圖剪開正好能制成一個底面半徑2分米的鐵皮油桶．這張鐵皮的面積至少多少平方分米？【答案】132.48平方分米【解析】長方形的寬：（分米）；長方形的長：（分米）；長方形的面積：（平方分米）；故：這張鐵皮的面積至少132.48平方分米．例題4、如圖是一個直角三角形．AC邊上的高是多少厘米？（請先在圖中畫出高，并計算）再算一算，以AC為軸旋轉一周形成的立體圖形的體積是多少立方厘米？【答案】；4.8厘米；241.152立方厘米【解析】AC邊上的高：如圖：8×6÷2×2÷10＝48÷10＝4.8（厘米）3.14×4.82×103.14×23.04×10＝241.152（立方厘米）答：以AC為軸旋轉一周形成的立體圖形的體積是241.152立方厘米．隨練隨練1、如圖，一塊鐵皮剛好能裁三塊制成一個圓柱形鐵皮水桶，這個水桶能裝水多少升？（π取3.14）【答案】50.24升【解析】設圓的直徑為d，所以2d+πd=20.56，得d=4，所以半徑為2分米。水桶的容積為：3.14×2×2×4=50.24升。隨練2、下圖是直角梯形ABCD，請根據(jù)圖中信息解答下面各題．（1）這個直角梯形的面積是多少平方厘米？（2）如果以AB邊為軸旋轉一周，得到一個立體圖形，這個立體圖形的體積是多少立方厘米？【答案】（1）16.5平方厘米，（2）141.3立方厘米【解析】（1）梯形的面積為：（4＋7）×3÷2＝11×3÷2＝16.5（平方厘米）；答：梯形的面積為16.5平方厘米．（2）以AB邊為軸旋轉一周，得到一個圓錐和一個圓柱，圓錐的體積為：（立方厘米）．答：這個立體圖形的體積是141.3立方厘米．拓展拓展1、一個長方體的食品盒，長15厘米，寬12厘米，高20厘米．如果圍著它貼一圈商標紙（上下面不貼），這張商標紙的面積至少要多少平方厘米？【答案】1080平方厘米【解析】（平方厘米）；答：這張商標紙的面積至少要1080平方厘米．拓展2、正方體的棱長之和36分米，它的表面積是多少？體積是多少？【答案】54平方分米，27立方分米【解析】每條棱長分米，所以表面積為平方分米，體積為立方分米拓展3、一個長方體的各條棱長的和是48厘米，并且它的長是寬的2倍，高與寬相等，那么這個長方體的體積是多少立方厘米？【答案】54立方厘米【解析】48÷2÷4＝6（厘米），6÷2＝3（厘米），6×3×3＝54（立方厘米）答：這個長方體的體積是54立方厘米．拓展4、將3個棱長為5cm的正方體拼成一個長方體，長方體的表面積與原來的3個正方體的表面積之和相比，會發(fā)生變化嗎？變化了多少？【答案】變小了，少了100cm【解析】變小了，少了100cm拓展5、一個長方體魚缸內盛有一些水，從里面量長56厘米，寬32厘米．把金魚、石子等物體完全浸沒在里面，水面上升了1.5厘米，金魚、石子等物體的體積和是多少？【答案】2688立方厘米【解析】56×32×1.5＝1792×1.5＝2688（立