2024-2025學(xué)年云南省昆明市高二上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)檢測試卷（含解析）

2024-2025學(xué)年云南省昆明市高二上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)檢測試卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每個小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.設(shè)全集，集合，集合，則圖中陰影部分表示的集合為（）A. B. C. D.2.已知復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的向量為，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則為（）A.1 B. C. D.23.一個橢圓的兩個焦點(diǎn)分別是，，橢圓上的點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離之和等于8，則該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A. B. C. D.4.已知直線與平行，且過點(diǎn)，則（）A. B.3 C. D.25.若圓C的圓心為，且被y軸截得的弦長為8，則圓C的一般方程為（）A. B.C. D.6.已知在四面體中，，，，，為BC的中點(diǎn)，若.則（）A. B. C. D.37.如圖，在正方體中，，分別為，的中點(diǎn)，則直線和夾角的余弦值為（）A. B. C. D.8.已知點(diǎn)，直線，則到的距離的最大值為（）A. B. C. D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.直線：（），直線：．下列命題正確有（）A.，使得 B.，使得C.，與都相交 D.，使得坐標(biāo)原點(diǎn)到的距離為210.已知，則下列說法正確的是（）A.是平面的一個法向量 B.四點(diǎn)共面C. D.11.已知圓，點(diǎn)是圓上的點(diǎn)，直線，則（）A.直線與圓相交弦長B.的最大值是C.圓上恰有3個點(diǎn)到直線距離等于1D.過點(diǎn)向圓引切線，為切點(diǎn)，則最小值為三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.若點(diǎn)為直線上的動點(diǎn)，則的最小值為______．13.已知直線過點(diǎn)和點(diǎn)，則點(diǎn)到直線距離為____________.14.人臉識別在現(xiàn)今生活中應(yīng)用非常廣泛，主要是測量面部五官之間的距離，稱為“曼哈頓距離”．其定義如下：設(shè)，，則A，B兩點(diǎn)間的曼哈頓距離.已知，若點(diǎn)滿足，點(diǎn)N在圓上運(yùn)動，則的最大值為______四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知的頂點(diǎn)坐標(biāo)為.（1）若點(diǎn)是邊上的中點(diǎn)，求直線的方程；（2）求邊上的高所在的直線方程.16.如圖，四棱錐底面是平行四邊形，平面，，是的中點(diǎn)．（1）證明：平面；（2）若，求直線與平面所成角的大小．17.在長方體中，.（1）證明：平面面；（2）若，求二面角的余弦值.18.已知圓過兩點(diǎn)，，且圓心在直線上．（1）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)，過點(diǎn)作兩條互相垂直的直線和直線，交圓于、兩點(diǎn)，交圓于、兩點(diǎn)，求的最小值和四邊形面積的最大值．19.已知兩個定點(diǎn)，動點(diǎn)滿足，設(shè)動點(diǎn)的軌跡為曲線，直線．（1）求曲線的方程；（2）若與曲線交于不同，兩點(diǎn)，且（為坐標(biāo)原點(diǎn)），求直線的斜率；（3）若是直線上的動點(diǎn)，過作曲線的兩條切線，切點(diǎn)為、，設(shè)點(diǎn)在圓上，求點(diǎn)到直線距離的最大值．2024-2025學(xué)年云南省昆明市高二上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)檢測試卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每個小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.設(shè)全集，集合，集合，則圖中陰影部分表示的集合為（）A. B. C. D.【正確答案】D【分析】由圖可得陰影部分表示,進(jìn)而利用交集的定義求解即可【詳解】由題,,由圖,圖中陰影部分表示,所以,故選:D本題考查集合的交集運(yùn)算,考查利用韋恩圖求集合2.已知復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的向量為，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則為（）A.1 B. C. D.2【正確答案】B【分析】由圖,,進(jìn)而由復(fù)數(shù)的模的定義求解即可【詳解】由圖,,所以,故選:B本題考查復(fù)數(shù)的模,考查復(fù)數(shù)在復(fù)平面上的表示3.一個橢圓的兩個焦點(diǎn)分別是，，橢圓上的點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離之和等于8，則該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】利用橢圓的定義求解即可.【詳解】橢圓上的點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離之和等于8，故，且，故，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故選：B4.已知直線與平行，且過點(diǎn)，則（）A. B.3 C. D.2【正確答案】D【分析】根據(jù)兩直線平行的條件求出，將代入直線求出即可.【詳解】因?yàn)橹本€與直線平行，所以，解得，又直線過，則，解得，經(jīng)驗(yàn)證與不重合，所以.故選：D.5.若圓C的圓心為，且被y軸截得的弦長為8，則圓C的一般方程為（）A. B.C. D.【正確答案】C【分析】運(yùn)用弦長結(jié)合垂徑定理求出圓的半徑即可.【詳解】如圖，過點(diǎn)C作CD⊥AB于D，依題意，因?yàn)楣蕓CD|=3，從而，圓的半徑為故所求圓的方程為即故選：C6.已知在四面體中，，，，，為BC的中點(diǎn)，若.則（）A. B. C. D.3【正確答案】B【分析】根據(jù)空間向量的基本定理與應(yīng)用即可求解.【詳解】因?yàn)?，為BC的中點(diǎn)，所以，又，則，，，所以.故選：B.7.如圖，在正方體中，，分別為，的中點(diǎn)，則直線和夾角的余弦值為（）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】由正方體結(jié)構(gòu)特征證得，化為求直線和夾角余弦值，應(yīng)用余弦定理求結(jié)果.【詳解】連接，由正方體的性質(zhì)，知也是的中點(diǎn)，且，即，又，故為平行四邊形，則，所以直線和夾角，即為直線和夾角，若正方體棱長為2，則，所以，即直線和夾角余弦值為.故選：C8.已知點(diǎn)，直線，則到的距離的最大值為（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】先確定直線過定點(diǎn)，由時點(diǎn)線距離最大，再應(yīng)用兩點(diǎn)距離公式求最大值.【詳解】直線可化為，聯(lián)立，即直線過定點(diǎn)，要使到的距離的最大，只需，即距離最大值為.故選：B二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.直線：（），直線：．下列命題正確的有（）A.，使得 B.，使得C.，與都相交 D.，使得坐標(biāo)原點(diǎn)到的距離為2【正確答案】BD【分析】由斜率相等計算判斷AC；由斜率互為負(fù)倒數(shù)計算判斷B；由點(diǎn)到直線距離公式列式計算判斷D.【詳解】對于A，當(dāng)，即時，直線與重合，A錯誤；對于B，由，即時，與斜率互為負(fù)倒數(shù)，，B正確；對于C，由選項A知，當(dāng)時，與重合，C錯誤；對于D，由，得，，此方程有解，D正確.故選：BD10.已知，則下列說法正確的是（）A.是平面的一個法向量 B.四點(diǎn)共面C. D.【正確答案】AD【分析】根據(jù)向量垂直，即可結(jié)合法向量定義求解A，根據(jù)共面定理即可求解B，根據(jù)向量共線即可求解C，由模長公式即可求解D.【詳解】，所以平面，所以平面，所以是平面的一個法向量，故A正確；設(shè)，則，無解，所以四點(diǎn)不共面，故B錯誤；，所以與不平行，故C錯誤；，故D正確；故選：AD.11.已知圓，點(diǎn)是圓上點(diǎn)，直線，則（）A.直線與圓相交弦長B.的最大值是C.圓上恰有3個點(diǎn)到直線的距離等于1D.過點(diǎn)向圓引切線，切點(diǎn)，則最小值為【正確答案】ACD【分析】根據(jù)點(diǎn)到直線距離判斷弦長及圓上的點(diǎn)到直線的距離，根據(jù)的幾何意義可得最值，再根據(jù)切線長的計算公式可得最值.【詳解】

如圖所示，由已知圓，則圓心，半徑，A選項：圓心到直線的距離，則弦長為，A選項正確；B選項：可表示點(diǎn)與點(diǎn)連線的斜率，易知當(dāng)直線與圓相切時，斜率取得最值，設(shè)斜率，則直線，即，則，解得，所以，其最大值為，錯誤；C選項：，，所以圓上恰有個點(diǎn)到直線的距離等于，正確；D選項：由圓可知圓心，半徑，由切線長可知，所以當(dāng)取得最小值時，取最小值，又，即的最小值為，所以的最小值為，D選項正確；故選：ACD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.若點(diǎn)為直線上的動點(diǎn)，則的最小值為______．【正確答案】【分析】由可看成點(diǎn)與定點(diǎn)的距離，結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式，即可求解.【詳解】由可看成點(diǎn)與定點(diǎn)的距離，因?yàn)辄c(diǎn)為直線上的動點(diǎn)，則點(diǎn)到直線的距離為，所以的最小值為.故答案為.13.已知直線過點(diǎn)和點(diǎn)，則點(diǎn)到直線的距離為____________.【正確答案】【分析】取直線的一個單位方向向量為，由點(diǎn)到直線的距離公式為，代入運(yùn)算，即可得解．【詳解】由題意知，直線的一個方向向量為,0,，取直線的一個單位方向向量為，又為直線外一點(diǎn)，且直線過點(diǎn),2,，，,,，，點(diǎn)到直線的距離為．故．14.人臉識別在現(xiàn)今生活中應(yīng)用非常廣泛，主要是測量面部五官之間的距離，稱為“曼哈頓距離”．其定義如下：設(shè)，，則A，B兩點(diǎn)間的曼哈頓距離.已知，若點(diǎn)滿足，點(diǎn)N在圓上運(yùn)動，則的最大值為______【正確答案】【分析】根據(jù)題意，作出點(diǎn)的軌跡，將問題轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到圓的距離問題，從而得解.【詳解】由題意得，圓，圓心，半徑，設(shè)點(diǎn)Px0,故點(diǎn)的軌跡為如下所示的正方形，其中，，

則，，則，即的最大值為.故答案為.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知的頂點(diǎn)坐標(biāo)為.（1）若點(diǎn)是邊上的中點(diǎn)，求直線的方程；（2）求邊上的高所在的直線方程.【正確答案】（1）（2）【分析】（1）由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得到，再由兩點(diǎn)求出斜率，最后有點(diǎn)斜式方程求出即可；（2）由兩直線垂直求出邊上的高所在的直線的斜率為，再由點(diǎn)斜式得到直線方程即可；【小問1詳解】因?yàn)辄c(diǎn)是邊上的中點(diǎn)，則，所以，所以直線的方程為，即；【小問2詳解】因?yàn)?，所以邊上的高所在的直線的斜率為，所以邊上的高所在的直線方程為，即.16.如圖，四棱錐底面是平行四邊形，平面，，是的中點(diǎn)．（1）證明：平面；（2）若，求直線與平面所成角的大?。菊_答案】（1）證明見解析；（2）.【分析】（1）證明，原題即得證；（2）證明就是直線與平面所成的角，再解三角形得解.【小問1詳解】證明：連接交于點(diǎn),連接.因?yàn)樗?又平面，平面,所以平面.【小問2詳解】解：設(shè)，因?yàn)槠矫?，所?因?yàn)?，所?因?yàn)?因?yàn)?又平面,所以平面,所以就是直線與平面所成的角，由題得所以直線與平面所成的角為.17.在長方體中，.（1）證明：平面面；（2）若，求二面角的余弦值.【正確答案】（1）見解析；（2）.【分析】（1）通過證明，來證明平面，進(jìn)而證明平面面；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求出面和面的法向量，通過求法向量的夾角來得到二面角的余弦值．【詳解】（1）證明：因?yàn)?，所以四邊形是正方形，所以，又四邊形是平行四邊形，所以，所以，因?yàn)殚L方體中，平面，所以，又，平面，所以平面，而平面，所以平面平面.（2）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，，，，設(shè)平面的一個法向量為，，，則，取，所以，設(shè)平面的一個法向量為，，，，取，所以，故，又二面角是銳角，所以，二面角的余弦值為.本題考查面面垂直的證明，以及利用空間向量求面面角，考查計算能力與空間想象能力，是中檔題．18.已知圓過兩點(diǎn)，，且圓心在直線上．（1）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)，過點(diǎn)作兩條互相垂直的直線和直線，交圓于、兩點(diǎn)，交圓于、兩點(diǎn)，求的最小值和四邊形面積的最大值．【正確答案】（1）（2）；【分析】（1）設(shè)，表示出圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程，利用待定系數(shù)法計算即可求解；（2）當(dāng)直線時最小，利用幾何法求弦長即可；如圖，先證，結(jié)合基本不等式計算即可求解.【小問1詳解】由題意知，設(shè)，則圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為，又圓C過點(diǎn)，所以，解得，故圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為；【小問2詳解】由（1）知，連接，則，當(dāng)直線時，最小，此時，所以的最小值為；如圖，取弦長的中點(diǎn)，連接，，則四邊形為矩形，，，又，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立.所以四邊形的面積為，即四邊形面積的最大值為6.19.已知兩個定點(diǎn)，動點(diǎn)滿足，設(shè)動點(diǎn)的軌跡為曲線，直線．（1）求曲線的方程；（2）若與曲線交于不同的，兩點(diǎn)，且（為坐標(biāo)原點(diǎn)），求直線的斜率；（3）若是直線上的動點(diǎn)，過作曲線的兩條切線，切點(diǎn)為、，設(shè)點(diǎn)在圓上，求點(diǎn)到直線距離的最大值．【正確答案】（1）；（2）；（3）.【分析】（1）設(shè)，利用兩點(diǎn)間的距離公式表示出，，再代入，化簡即可；（2）取中點(diǎn)，連接，可求得，再利用點(diǎn)到線的距離公式求解即可；（3）根據(jù)四點(diǎn)在以為直徑的圓上，可求得直線過定點(diǎn)，作出圖象，結(jié)合圖象可知當(dāng)為的延長線與圓的交點(diǎn)時，點(diǎn)到