2024-2025學(xué)年西藏拉薩市高三上學(xué)期第二次月考數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測(cè)試卷（含解析）

2024-2025學(xué)年西藏拉薩市高三上學(xué)期第二次月考數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測(cè)試卷注意事項(xiàng)：1．本試卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.2．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)等信息填寫在答題卡指定位置上.3．作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).作答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1已知集合，則（）A. B. C. D.2.下列命題中形式不同于其他三個(gè)的是（）A.，B.，C.每一個(gè)正數(shù)的倒數(shù)都大于0D.，x－3＜03.已知，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件4.對(duì)于任意實(shí)數(shù)x，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)a取值范圍為（

）A. B. C. D.5.設(shè)，，，則（）A. B. C. D.6.有四個(gè)冪函數(shù)：；；；.某同學(xué)研究了其中的一個(gè)函數(shù)，他給出這個(gè)函數(shù)的三個(gè)性質(zhì)：①它是偶函數(shù)；②它的值域是且；③它在上單調(diào)遞增．若他給出的三個(gè)性質(zhì)中有兩個(gè)正確、一個(gè)錯(cuò)誤，則他研究的函數(shù)是（）A. B. C. D.7.已知定義在R上的函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，且周期為3，又，則的值是（）A.2024 B.2023 C.1 D.08.中國(guó)的5G技術(shù)領(lǐng)先世界，5G技術(shù)中的數(shù)學(xué)原理之一是香農(nóng)公式：，它表示在被高斯白噪音干擾的信道中，最大信息傳送速率取決于信道帶寬、信道內(nèi)所傳信號(hào)的平均功率S、信道內(nèi)部的高斯噪音功率的大小，其中叫做信噪比.已知當(dāng)比較大時(shí)，，按照香農(nóng)公式，由于技術(shù)提升，寬帶在原來的基礎(chǔ)上增加，信噪比從1000提升至8000，則大約增加了（）（附：）A. B. C. D.二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的選項(xiàng)中有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分9.下列不等式恒成立的是（）A. B.若，則C.若，則 D.若，則10.下列選項(xiàng)中，正確的是（）A.若，，則，B.若不等式的解集為，則C.函數(shù)圖象恒過定點(diǎn)D.若，，且，則的最小值為911.已知定義域?yàn)镽的函數(shù)滿足不恒為零，且，，，則下列結(jié)論正確的是（）A.B.是奇函數(shù)C.的圖象關(guān)于直線對(duì)稱D.在上有6個(gè)零點(diǎn)三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分12.函數(shù)的定義域是____________．13.已知定義在R上的偶函數(shù)滿足當(dāng)時(shí)，則________．14.函數(shù)的最小值為______．四、解答題：本題共5小題，共77分，其中第15題13分，第16-17題每題15分，第18-19題每題17分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.已知奇函數(shù)圖象過點(diǎn).（1）判斷在上的單調(diào)性，并用定義證明；（2）求在上的值域.16.已知橢圓過點(diǎn)，且其一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合.（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，若點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，求直線的方程.17.已知為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，，．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，求數(shù)列的前10項(xiàng)和．18.對(duì)于函數(shù)，如果存在實(shí)數(shù)，使得函數(shù)，那么我們稱為的“函數(shù)”．（1）已知，試判斷是否為的“函數(shù)”．若是，請(qǐng)求出實(shí)數(shù)的值；若不是，請(qǐng)說明理由；（2）已知為“函數(shù)”且．若關(guān)于的方程有解，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）已知為的“函數(shù)”（其中），的定義域，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得最小值4．若對(duì)任意正實(shí)數(shù)，且，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的最大值．19.“民政送溫暖，老人有飯吃”．近年來，各級(jí)政府，重視提高老年人的生活質(zhì)量．在醫(yī)療、餐飲等多方面，為老人提供了方便．單從用餐方面，各社區(qū)，創(chuàng)建了“愛心食堂”、“愛心午餐”、“老人食堂”等等不同名稱的食堂，解決了老人的吃飯問題．“愛心食堂A”為了更好地服務(wù)老人，于3月28日12時(shí)，食堂管理層人員對(duì)這一時(shí)刻用餐的118人，對(duì)本食堂推出的15種菜品按性價(jià)比“滿意”和“不滿意”作問卷調(diào)查，其中，有13人來食堂用餐不足5次，另有兒童5人，他們對(duì)菜品不全了解，不予問卷統(tǒng)計(jì)，在被問卷的人員中男性比女性多20人．用餐者對(duì)15種菜品的性價(jià)比認(rèn)為“滿意”的菜品數(shù)記為，當(dāng)時(shí)，認(rèn)為該用餐者對(duì)本食堂的菜品“滿意”，否則，認(rèn)為“不滿意”.統(tǒng)計(jì)結(jié)果部分信息如下表：滿意不滿意合計(jì)男40女20合計(jì)（1）①完成上面列聯(lián)表；②能有多大（百分比）的把握認(rèn)為用餐者對(duì)本食堂菜品的性價(jià)比是否滿意與性別有關(guān)？（2）用分層抽樣在對(duì)菜品的性價(jià)比“滿意”的人群中抽取6人，再?gòu)倪@6人中隨機(jī)抽取3人，用表示抽取的3人中的男性人數(shù)，求的分布列和期望．附：參考公式和臨界值表，其中，．0.1000.05000100.0012.7063.8416.63510.8282024-2025學(xué)年西藏拉薩市高三上學(xué)期第二次月考數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測(cè)試卷注意事項(xiàng)：1．本試卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.2．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)等信息填寫在答題卡指定位置上.3．作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).作答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，則（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】先求解兩個(gè)集合，再結(jié)合兩集合交集定義求解答案；【詳解】因?yàn)椋裕蔬x：B.2.下列命題中形式不同于其他三個(gè)的是（）A.，B.，C.每一個(gè)正數(shù)的倒數(shù)都大于0D.，x－3＜0【正確答案】B【分析】根據(jù)全稱命題與特稱命題即可求解.【詳解】“任意”，“每一個(gè)”是全稱量詞，故ACD是全稱命題，而“存在”是存在性量詞，故B為特稱命題，故B與ACD命題不同，故選：B3.已知，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【正確答案】B【分析】求解一元二次不等式和分式不等式，由充分性、必要性的定義分析即得解【詳解】由，解得，由且，解得，故，充分性不成立；，必要性成立故是成立的必要不充分條件故選：B.4.對(duì)于任意實(shí)數(shù)x，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)a取值范圍為（

）A. B. C. D.【正確答案】D【分析】分類討論，利用判別式小于0，即可得到結(jié)論【詳解】當(dāng)，即時(shí)，，恒成立；當(dāng)時(shí)，，解之得，綜上可得故選：D5.設(shè)，，，則（）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】利用指數(shù)和對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)將三個(gè)值化簡(jiǎn)，再利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性判斷即得.【詳解】由，，，因是增函數(shù)，故.故選：C.6.有四個(gè)冪函數(shù)：；；；.某同學(xué)研究了其中的一個(gè)函數(shù)，他給出這個(gè)函數(shù)的三個(gè)性質(zhì)：①它是偶函數(shù)；②它的值域是且；③它在上單調(diào)遞增．若他給出的三個(gè)性質(zhì)中有兩個(gè)正確、一個(gè)錯(cuò)誤，則他研究的函數(shù)是（）A. B. C. D.【正確答案】D【分析】結(jié)合給定條件利用冪函數(shù)性質(zhì)判斷即可.【詳解】對(duì)于，它是定義在上的奇函數(shù)，值域是且，且在上單調(diào)遞減，不滿足題意.對(duì)于，它是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，值域是，且在上單調(diào)遞增，不滿足題意.對(duì)于，它是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，值域是，且在上單調(diào)遞增，不滿足題意.對(duì)于，它是定義在上的偶函數(shù)，值域是，且在上單調(diào)遞增，滿足題意．故選：D.7.已知定義在R上的函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，且周期為3，又，則的值是（）A.2024 B.2023 C.1 D.0【正確答案】D【分析】利用的周期，根據(jù)函數(shù)的奇偶性和已知函數(shù)值，結(jié)合題意，求解即可.【詳解】因?yàn)榈闹芷跒?，，則，又，則，因?yàn)楹瘮?shù)在R上的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，所以為偶函數(shù)，故，則，故.故選：D.8.中國(guó)的5G技術(shù)領(lǐng)先世界，5G技術(shù)中的數(shù)學(xué)原理之一是香農(nóng)公式：，它表示在被高斯白噪音干擾的信道中，最大信息傳送速率取決于信道帶寬、信道內(nèi)所傳信號(hào)的平均功率S、信道內(nèi)部的高斯噪音功率的大小，其中叫做信噪比.已知當(dāng)比較大時(shí)，，按照香農(nóng)公式，由于技術(shù)提升，寬帶在原來的基礎(chǔ)上增加，信噪比從1000提升至8000，則大約增加了（）（附：）A. B. C. D.【正確答案】D【分析】利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，由香農(nóng)公式分別計(jì)算信噪比為1000和8000時(shí)的比值即可求解.【詳解】由題意可得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以，所以的增長(zhǎng)率約為.故選：D二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的選項(xiàng)中有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分9.下列不等式恒成立的是（）A. B.若，則C.若，則 D.若，則【正確答案】ACD【分析】對(duì)于ACD，利用基本不等式分析判斷，對(duì)于B，舉例判斷.【詳解】對(duì)于A，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以A正確.對(duì)于B，若，則，所以B錯(cuò)誤.對(duì)于C，因?yàn)?，所以，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以C正確.對(duì)于D，因?yàn)椋?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以D正確.故選：ACD10.下列選項(xiàng)中，正確的是（）A.若，，則，B.若不等式解集為，則C.函數(shù)的圖象恒過定點(diǎn)D.若，，且，則的最小值為9【正確答案】AD【分析】根據(jù)命題的否定即可判斷選項(xiàng)A正誤,根據(jù)一元二次不等式解集和一元二次方程根之間的關(guān)系,再利用韋達(dá)定理,即可判斷選項(xiàng)B正誤,根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)恒過1,0,即可得選項(xiàng)C正誤,根據(jù)“1”的代換,即可得選項(xiàng)D的正誤.【詳解】對(duì)于A：由題知,“”的否定是“”，故A正確；對(duì)于B：若不等式的解集為,則的兩根為，且,根據(jù)韋達(dá)定理有:，解得，所以,故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：對(duì)數(shù)函數(shù)恒過1,0,所以恒過2,1，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：因?yàn)?所以,當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí)等式成立，故的最小值為9，故D正確.故選：AD.11.已知定義域?yàn)镽的函數(shù)滿足不恒為零，且，，，則下列結(jié)論正確的是（）A.B.是奇函數(shù)C.的圖象關(guān)于直線對(duì)稱D.在上有6個(gè)零點(diǎn)【正確答案】AB【分析】根據(jù)題設(shè)確定函數(shù)的周期和對(duì)稱中心，利用這兩個(gè)條件可得推出B正確；結(jié)合函數(shù)定義域，可得A正確；利用函數(shù)性質(zhì)可得函數(shù)在上有8個(gè)零點(diǎn)，排除D項(xiàng)；對(duì)于C，結(jié)合D的結(jié)果，通過舉例說明排除即可.【詳解】由①可得，函數(shù)的周期為6；由可得，②，即函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱；又由②式可得，，結(jié)合①式可得，，故B正確；又因是定義域?yàn)镽的函數(shù)，故，即得，，故A正確；對(duì)于D，由上分析，，，由的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱，是定義域?yàn)镽的函數(shù)可知，，，，，，，故函數(shù)在上有8個(gè)零點(diǎn)，故D錯(cuò)誤；對(duì)于C，因，且，而的值不能確定，即得不到，故C錯(cuò)誤.故選：AB.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分12.函數(shù)的定義域是____________．【正確答案】【分析】由復(fù)合函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)以及冪函數(shù)的定義域即可求解.【詳解】要使函數(shù)有意義，當(dāng)且僅當(dāng)，解得，所以函數(shù)的定義域是.故答案為.13.已知定義在R上的偶函數(shù)滿足當(dāng)時(shí)，則________．【正確答案】1【分析】先由偶函數(shù)，推出，再根據(jù)分段函數(shù)的不同區(qū)間依次求得，.【詳解】因是在R上的偶函數(shù)，則，故.故1.14.函數(shù)的最小值為______．【正確答案】2【分析】利用換元法以及基本不等式即可求解函數(shù)最小值.【詳解】令，則，原函數(shù)可化為，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，此時(shí)，函數(shù)的最小值為2．故2.四、解答題：本題共5小題，共77分，其中第15題13分，第16-17題每題15分，第18-19題每題17分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.已知奇函數(shù)的圖象過點(diǎn).（1）判斷在上的單調(diào)性，并用定義證明；（2）求在上的值域.【正確答案】（1）上單調(diào)遞減，證明見解析（2）【分析】（1）利用定義法證明單調(diào)性即可.（2）利用單調(diào)性法求解值域即可.【小問1詳解】由題意可得解得當(dāng)時(shí)，函數(shù)fx是奇函數(shù)，所以.在1,+∞上單調(diào)遞減，證明如下：，且因?yàn)椋?所以，即，所以在1,+∞上單調(diào)遞減.【小問2詳解】由（1）得在1,+∞上單調(diào)遞減.因?yàn)槠婧瘮?shù)，所以在上單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞減.，故在上的值域?yàn)?16.已知橢圓過點(diǎn)，且其一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合.（1）求橢圓方程；（2）設(shè)直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，若點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，求直線的方程.【正確答案】（1）（2）【分析】（1）根據(jù)橢圓經(jīng)過的點(diǎn)以及焦點(diǎn)，即可求解，（2）聯(lián)立直線與橢圓的方程，即可根據(jù)中點(diǎn)關(guān)系求解.【小問1詳解】拋物線的焦點(diǎn)為，由題意得，解得，，所以橢圓的方程為.【小問2詳解】直線的斜率存在，設(shè)斜率為，直線的方程為，即，聯(lián)立，消去得：，設(shè)Ax因?yàn)椋?，所以，解得，此時(shí)滿足題意所以所求直線的方程為.17.已知為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，，．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，求數(shù)列的前10項(xiàng)和．【正確答案】（1）（2）【分析】（1）由題意列出方程組求出首項(xiàng)、公差即可；（2）化簡(jiǎn)表達(dá)式，由裂項(xiàng)相消法即可求解.【小問1詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為．因?yàn)椋?，所以，解得，所以．【小?詳解】由（1）得，所以，所以，所以．18.對(duì)于函數(shù)，如果存在實(shí)數(shù)，使得函數(shù)，那么我們稱為的“函數(shù)”．（1）已知，試判斷是否為的“函數(shù)”．若是，請(qǐng)求出實(shí)數(shù)的值；若不是，請(qǐng)說明理由；（2）已知為的“函數(shù)”且．若關(guān)于的方程有解，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）已知為的“函數(shù)”（其中），的定義域，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得最小值4．若對(duì)任意正實(shí)數(shù)，且，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的最大值．【正確答案】（1）存在，（2）（3）10【分析】（1）根據(jù)“函數(shù)”的定義，利用多項(xiàng)式相等，列方程組求解.（2）先明確的解析式，再用分離變量的方法得到：，結(jié)合二次函數(shù)的值域，可求參數(shù)的取值范圍.（3）先明確的解析式，再利用基本（均值）不等式，求的取值范圍.【小問1詳解】若是的“函數(shù)”，所以，則，解得，所以存在，使得是為的“函數(shù)”．【小問2詳解】由題意可知：，對(duì)于方程，即，即，令，則，則，對(duì)于，可知的圖象開口向上，對(duì)稱軸為，可得，則，即，所以實(shí)數(shù)的取值范圍．【小問3詳解】由題意可知：，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，結(jié)合題意：，解得，所以，可得恒成立，所以又，所以：（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“”）所以.故的最大值為10．易錯(cuò)點(diǎn)睛：利用基本不等式求最值時(shí)，要注意其必須滿足的三個(gè)條件：“一正二定三相等”.（1）“一正”就是各項(xiàng)必須為正數(shù).（2）“二定”就是要求和的最小值，必須把構(gòu)成和的二項(xiàng)之積轉(zhuǎn)化成定值；要求積的最大值，則必須把構(gòu)成積的因式的和轉(zhuǎn)化成定值.（3）“三相等”是利用基本不等式求最值時(shí)，必須驗(yàn)證等號(hào)成立的條件，若不能取等號(hào)則這個(gè)定值就不是所求的最值，這也是最容易發(fā)生錯(cuò)誤的地方.19.“民政送溫暖，老人有飯吃”．近年來，各級(jí)政府，重視提高老年人的生活質(zhì)量．在醫(yī)療、餐飲等多方面，為老人提供了方便．單從用餐方面，各社區(qū)，創(chuàng)建了“愛心食堂”、“愛心午餐”、“老人食堂”等等不同名稱的食堂，解決了老人的吃飯問題．“愛心食堂A”為了更好地服務(wù)老人，于3月28日12時(shí)，