《案例分析》知識(shí)清單

《案例分析》知識(shí)清單以下是關(guān)于蘇教版（2019）必修第二冊(cè)專題數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)探究中案例分析的知識(shí)清單：##一、數(shù)學(xué)建模1.**概念理解**-數(shù)學(xué)建模是將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)程。在高中階段，它要求學(xué)生能夠從現(xiàn)實(shí)生活、工程技術(shù)、科學(xué)研究等情境中抽象出數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。例如，在分析物體運(yùn)動(dòng)問(wèn)題時(shí)，把物體的位移、速度、加速度等物理量用數(shù)學(xué)變量表示，建立起函數(shù)關(guān)系，這就是一種簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)建模。-對(duì)于蘇教版教材中的案例，要明確每個(gè)案例所涉及的實(shí)際背景，像經(jīng)濟(jì)問(wèn)題中的成本、利潤(rùn)、產(chǎn)量關(guān)系，或者生態(tài)問(wèn)題中的種群數(shù)量變化等。2.**建模步驟**-問(wèn)題提出：這是建模的起始點(diǎn)。要從實(shí)際現(xiàn)象中發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，如在研究傳染病傳播模型時(shí)，問(wèn)題可能是預(yù)測(cè)傳染病在一定時(shí)間內(nèi)的感染人數(shù)。-模型假設(shè)：為了簡(jiǎn)化實(shí)際問(wèn)題，需要做出一些合理假設(shè)。例如在上述傳染病模型中，假設(shè)人口總數(shù)不變（忽略出生、死亡、遷入、遷出等因素在短期內(nèi)的影響），傳染病的傳播速率在一定階段是恒定的等。-模型建立：根據(jù)假設(shè)，運(yùn)用合適的數(shù)學(xué)知識(shí)建立模型。對(duì)于傳染病傳播，可能會(huì)建立微分方程模型。在蘇教版教材的案例分析中，不同的案例會(huì)運(yùn)用到函數(shù)（如線性函數(shù)、二次函數(shù)等）、方程（線性方程、方程組）、概率統(tǒng)計(jì)等知識(shí)來(lái)建立模型。-模型求解：利用數(shù)學(xué)方法求解所建立的模型。這可能涉及到代數(shù)運(yùn)算、求導(dǎo)、積分等知識(shí)。例如求解上述傳染病模型的微分方程，得到感染人數(shù)隨時(shí)間變化的函數(shù)表達(dá)式。-模型檢驗(yàn)：將模型的解與實(shí)際數(shù)據(jù)進(jìn)行比較。如果在傳染病模型中，用歷史的傳染病數(shù)據(jù)來(lái)驗(yàn)證模型預(yù)測(cè)的準(zhǔn)確性。如果模型結(jié)果與實(shí)際相差較大，就需要重新檢查假設(shè)或者調(diào)整模型。-模型應(yīng)用：如果模型通過(guò)檢驗(yàn)，就可以用于預(yù)測(cè)、優(yōu)化等。比如利用傳染病模型預(yù)測(cè)未來(lái)傳染病的發(fā)展趨勢(shì)，為防控措施提供依據(jù)。##二、數(shù)學(xué)探究1.**探究目標(biāo)**-在案例分析中，數(shù)學(xué)探究旨在培養(yǎng)學(xué)生的自主探索能力和創(chuàng)新思維。例如，探究不同數(shù)學(xué)模型在特定問(wèn)題中的適用性，像在資源分配問(wèn)題中，探究線性規(guī)劃模型和非線性模型哪一個(gè)更能有效解決資源的最優(yōu)分配。-學(xué)生要學(xué)會(huì)從給定的案例中提出自己的研究問(wèn)題，如在幾何圖形的案例中，探究不同形狀的幾何圖形在相同周長(zhǎng)下面積的最大值問(wèn)題，進(jìn)一步挖掘數(shù)學(xué)知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系。2.**探究過(guò)程**-觀察與思考：仔細(xì)觀察案例中的現(xiàn)象或數(shù)據(jù)，思考其中可能存在的數(shù)學(xué)規(guī)律。例如在數(shù)列案例中，觀察數(shù)列的各項(xiàng)數(shù)值，思考其通項(xiàng)公式的可能形式。-提出猜想：根據(jù)觀察和思考，提出自己的猜想。比如在研究多邊形內(nèi)角和時(shí)，根據(jù)三角形、四邊形內(nèi)角和的已知結(jié)果，猜想多邊形內(nèi)角和與邊數(shù)的關(guān)系。-論證猜想：運(yùn)用數(shù)學(xué)推理和證明方法來(lái)驗(yàn)證猜想。對(duì)于多邊形內(nèi)角和的猜想，可以用數(shù)學(xué)歸納法等方法進(jìn)行證明。-拓展應(yīng)用：將探究得到的結(jié)果應(yīng)用到其他類似問(wèn)題或者進(jìn)行進(jìn)一步的拓展。如將多邊形內(nèi)角和的結(jié)論應(yīng)用到立體幾何中的多面體角度問(wèn)題的研究中。##三、案例分析的具體內(nèi)容相關(guān)1.**經(jīng)濟(jì)類案例**-成本函數(shù)與利潤(rùn)函數(shù)：理解如何建立成本與產(chǎn)量、利潤(rùn)與產(chǎn)量之間的函數(shù)關(guān)系。例如，成本包括固定成本（如廠房租金、設(shè)備購(gòu)置等）和可變成本（如原材料、勞動(dòng)力等），通過(guò)分析這些成本與產(chǎn)量的關(guān)系建立成本函數(shù)C(x)=C_f+C_v(x)，其中C_f為固定成本，C_v(x)為可變成本函數(shù)，x為產(chǎn)量。利潤(rùn)函數(shù)則是收入函數(shù)減去成本函數(shù)，即L(x)=R(x)-C(x)，其中R(x)為收入函數(shù)。-最優(yōu)生產(chǎn)決策：利用數(shù)學(xué)模型來(lái)確定在什么產(chǎn)量下利潤(rùn)最大或者成本最小。這可能涉及到求函數(shù)的極值問(wèn)題，如對(duì)利潤(rùn)函數(shù)求導(dǎo)，令導(dǎo)數(shù)為0，求出極值點(diǎn)，再判斷是極大值還是極小值。2.**科學(xué)類案例**-物理中的運(yùn)動(dòng)模型：例如自由落體運(yùn)動(dòng)，建立高度h與時(shí)間t的關(guān)系模型h=1/2gt2，其中g(shù)為重力加速度。在案例分析中，要理解這個(gè)模型是如何通過(guò)物理定律（牛頓第二定律）和數(shù)學(xué)推導(dǎo)得出的，以及如何應(yīng)用這個(gè)模型來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題，如計(jì)算物體下落一定高度所需的時(shí)間。-生物種群增長(zhǎng)模型：如馬爾薩斯人口增長(zhǎng)模型P(t)=P_0e^(rt)，其中P(t)為t時(shí)刻的人口數(shù)量，P_0為初始人口數(shù)量，r為人口增長(zhǎng)率。要分析這個(gè)模型的假設(shè)條件（如無(wú)限的資源供應(yīng)等），以及與實(shí)際情況的差異，并且在案例中可能會(huì)探討如何改進(jìn)這個(gè)模型以更接近真實(shí)的生物種群增長(zhǎng)情況。3.**工程類案例**-工程結(jié)構(gòu)中的力學(xué)模型：例如在橋梁設(shè)計(jì)中，分析橋梁的受力情況，建立力學(xué)平衡方程。如果把橋梁簡(jiǎn)化為梁模型，根據(jù)梁的受力（如重力、車輛荷載等），利用靜力學(xué)原理建立彎矩方程、剪力方程等，來(lái)確定梁的尺寸、材料等參數(shù)，以確保橋梁的安全性和穩(wěn)定性。-電路設(shè)計(jì)中的數(shù)學(xué)模型：在電路中，根據(jù)歐姆定律（I=V/R）以