專題五 探究性幾何-2021年中考數(shù)學三輪沖刺復習專項訓練

2021年中考數(shù)學三輪沖刺復習專題五探究性幾何

一、單選題

1.矩形具有而平行四邊形不一定具有的性質(zhì)是（）

A.對角線互相垂直B.對角線相等C.對角線互相平分D.對角相等

2.小亮是一個很愛動腦筋的小男孩.一天，小亮正準備把一卷用完了的透明膠扔掉時，他突發(fā)奇想，如果

我把它疊成了一個正六邊形，那該多好??！于是小亮開始動手折疊.折疊步驟如下：第一步，把2米長的

長方形透明膠沿AB折疊，A8=2cm；第二步，沿8折疊；第三步，沿EF折疊回原來位置，這時剛好疊成

正六邊形的第一層，然后依次重復上述折疊過程，間最多可疊（）層

A.16B.20C.22D.19

3.如圖，在△ABC中，ZC=90°,以A為圓心，任意長為半徑畫弧分別交AB、AC于點M和N,再分別以M、

N為圓心，大于*MN的長為半徑畫弧，兩弧交于點P,連結AP并延長交BC于點D,則下列說法錯誤的是

（）

B.點D到AB邊的距離就等于線段CD的長

C.SAABD=SAACDD.AD垂直平分MN

4.如圖，AB與。。相切于點B,OA=2,NOAB=30。，弦BCIIOA,則劣弧馥;的長是（）

一,拓

C.HD.云

5.一個大矩形按如圖方式分割成6個小矩形，且只有標號為②，④的兩個小矩形為正方形，若要求出

△ABC的面積，則需要知道下列哪個條件？（）

A.⑥的面積B.③的面積C.⑤的面積D.⑤的周長

6.如圖，在△ABC中，ZACB=a,將△ABC繞點C順時針方向旋轉到△ABC的位置，使AA1IBC,設旋轉

角為B，則a,6滿足關系（）

A.a+B=90°B.a+20=18O°C.2a+B=180°D.a+B=180°

7.如圖，菱形OABC的頂點。在坐標原點，頂點A在x軸上，ZB=120°,0A=2,將菱形OABC繞原點順時

8.如圖，四邊形ABCD中，ADIIBC,ZABC+ZDCB=90°,且BC=2AD,以AB、BC、DC為邊向外作正方形,

其面積分別為Si、Sz、SB,若Si=3,53=9,則S2的值為（）

A.12B.18C.24D.48

9.如圖，正方形ABCD的邊長為2,其面積標記為Si,以CD為斜邊作等腰直角三角形，以該等腰直角

三角形的一條直角邊為邊向外作正方形，其面積標記為S2,…按照此規(guī)律繼續(xù)下去，則S2016的值為

()

10.下圖是蜘蛛結網(wǎng)過程示意圖，一只蜘蛛先以◎為起點結六條線?星.◎啜”魏一.◎步，@固;@配后，

再從線期虱上某點開始按逆時針方向依次在凝說尊織麻曖:，◎幻，◎宏，QF，◎成…上結網(wǎng),

若將各線上的結點依次記為1、2、3、4、5、6、7、8、...，那么第2020個結點在()

A.線像/上B.線OD上C.線OE上D.線腐上

二、填空題

11.如圖，點E為矩形息馥&的總西邊上一點，以窗宵:為折痕將△就就:向上折疊，點B恰好落在.總演

邊上的點F處，若息曹?=歲，彥呢=多則懿:的長是.

13.找出如下圖形變化的規(guī)律，則第100個圖形中黑色正方形的數(shù)量是.

■=■口=......

圖..■■■■■■■■■■■■

(1)(2)(3)(4)(5)

14.如圖，給正五邊形的頂點依次編號為1,2,3,4,5.若從某一頂點開始，沿正五邊形的邊順時針方

向行走，頂點編號的數(shù)字是幾，就走幾個邊長，則稱這種走法為一次"移位如：一小球在編號為3的頂

點上時'那么它應走3個邊長，即從3玲4玲5玲1為第一次"移位"，這時它到達編號為1的頂點；然后從

1玲2為第二次"移位若這個小球從編號為2的頂點開始，第2019次"移位"后，則它所處頂點的編號是

15.已知正方形ABCiDi的邊長為1,延長CiDi到Ai,以AiCi為邊向右作正方形A1C1C2D2,延長C2D2

到A2,以A2c2為邊向右作正方形A2c2c3D3(如圖所示)，以此類推....若AiJ=2,且點A,D2,

D3,…，Dio都在同一直線上，則正方形A9c9C10D10的邊長是.

三、綜合題

16.如圖，在數(shù)軸上方作一個4x4的方格（每一方格的邊長為1個單位），依次連結四邊中點A,B,C,D得

到一個正方形，點A落在數(shù)軸上，用圓規(guī)在點A的左側的數(shù)軸上取點E使AE=AB.若點A在原點右側且到

原點的距離為1個單位，則點E表示的數(shù)是。

17.閱讀：如圖1,G是四邊形ABCD對角線AC上一點，過G作GEIICD交AD于E,GFIICB交AB于F,若

EG=FG,則有BC=CD成立，同時可知四邊形ABCD與四邊形AFGE相似.

公路

圖2

解答問題：有一塊三角形空地，如圖2,△ABC,BC靠近公路，現(xiàn)需在此空地上修建一個正方形廣場，其

地為草坪，要使廣場一邊靠公路，且面積最大，如何設計？請你在下面的圖中畫出此正方形，（不寫畫法,

保留痕跡）

18.問題背景:

如圖1:在四邊形ABCD中，AB=AD,NBAD=120。，ZB=ZADC=90°,E,F分別是BC,CD上的點，且

NEAF=60。.探究圖中線段BE,EF,FD之間的數(shù)量關系.

小王同學探究此問題的方法是，延長FD到點G.使DG=BE.連結AG,先證明△ABE2AADG,再證明

△AE這AAGF,可得出結論，他的結論應是什么;

探索延伸:

如圖2,若在四邊形ABCD中，AB=AD,ZB+ZD=180°,E,F分別是BC,CD上的點，且NEAF=*

工

zBAD,上述結論是否仍然成立，并說明理由；

實際應用：

如圖3,在某次軍事演習中，艦艇甲在指揮中心處）北偏西30。的A處，艦艇乙在指揮中心南偏東70。

的B處，并且兩艦艇到指揮中心的距離相等，接到行動指令后，艦艇甲向正東方向以60海里/小時的速度

前進，艦艇乙沿北偏東50。的方向以80海里/小時的速度前進，L5小時后，指揮中心觀測到甲、乙兩艦艇

分別到達E,F處，且兩艦艇之間的夾角為70。，試求此時兩艦艇之間的距離.

19.如圖

（1）問題背景：如圖1,在四邊形ABCD中，AB=AD,NBAD=120。，NB=NADC=90°,E、F分別是BC,

CD上的點，且NEAF=60。，探究圖中線段BE,EF,FD之間的數(shù)量關系.小王同學探究此問題的方法是延

長FD到點G,使DG=BE,連結AG,先證明△ABE空△ADG,再證明△AEF空△AGF,可得出結論，他的結

論應是;

（2）探索延伸：如圖2,若在四邊形ABCD中，AB=AD,NB+ND=180。，E,F分別是BC,CD上的點，

且NEAF=與NBAD,上述結論是否仍然成立，并說明理由；

（3）結論應用：如圖3,在某次軍事演習中，艦艇甲在指揮中心（。處）北偏西30。的A處，艦艇乙在指

揮中心南偏東70。的B處，并且兩艦艇到指揮中心的距離相等.接到行動指令后，艦艇甲向正東方向以60

海里/小時的速度前進，艦艇乙沿北偏東50。的方向以80海里/小時的速度前進，1.5小時后，指揮中心觀

測到甲、乙兩艦艇分別到達E,F處，且兩艦艇與指揮中心。之間夾角NEOF=70。，試求此時兩艦艇之間的

距離.

20.如圖1,點0是線段AD的中點，分別以A。和DO為邊在線段AD的同側作等邊三角形OAB和等邊三角

形OCD,連接AC和BD,相交于點E,連接BC.

s

（2）求NAEB的大小.

（3）如圖2,aOAB固定不動，保持△OCD的形狀和大小不變，將AOCD繞點。旋轉（ZkOAB和AOCD

不能重疊），求NAEB的大小.

21.如圖，已知△ABC。以AB、AC為邊向△ABC外作等邊△ABD和等邊△ACE,連接BE、CD。

（1）請你完成圖形（尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡卜

（2）證明:BE=CDo

22.如圖，C是募贏的一定點，D是弦AB上的一定點，P是弦CB上的一動點.連接DP,將線段PD繞點P

順時針旋轉除f得到線段我W.射線覆物與.蜀叔交于點Q?已知短史=會由，設P，C兩點間的距離為

xcm.P,D兩點間的距離p,Q兩點的距離為竽產(chǎn)工

小石根據(jù)學習函數(shù)的經(jīng)驗，分別對函數(shù)居，羯,隨自變量x的變化而變化的規(guī)律進行了探究，下面是小

石的探究過程，請補充完整：

（1）按照下表中自變量x的值進行取點、畫圖、測量，分別得到了芳1，與x的幾組對應值：

x/cm0123456

■4.293.331.651.221.502.24

/cm

相

0.882.843.574.044.173.200.98

/cm

（2）在同一平面直角坐標系xOy中，描出補全后的表中各組數(shù)據(jù)所對應的點我小胡，并畫出函

數(shù)居，海的圖象；

（3）結合函數(shù)圖象，解決問題：連接DQ,當△DPQ為等腰三角形時，PC的長度約為cm.（結果

保留一位小數(shù)）

23.如圖所示，△ABC和△ADE是有公共頂點的等腰直角三角形，NBAC=NDAE=90。，EC的延長線交BD于

點P.

（1）把△ABC繞點A旋轉到圖1,BD,CE的關系是（選填"相等"或"不相等"）；簡要說明理由；

（2）若AB=3,AD=5,把△ABC繞點A旋轉，當NEAC=90。時，在圖2中作出旋轉后的圖形，求PD的值,

簡要說明計算過程；

（3）在（2）的條件下寫出旋轉過程中線段PD的最小值為,最大值為.

24.。。的半徑為5,AB是。。的直徑，點C在。。上，點D在直線AB上.

（1）如圖（1）,已知NBCD=NBAC,求證：CD是。。的切線；

（2）如圖（2）,CD與0。交于另一點E.BD：DE：EC=2：3：5,求圓心。到直線CD的距離；

（3）若圖（2）中的點D是直線AB上的動點，點D在運動過程中，會出現(xiàn)C,D,E在三點中，其中一點

是另外兩點連線的中點的情形，問這樣的情況出現(xiàn)幾次？

25.如圖，在平面直角坐標系中，點F的坐標是t*怎，點P為一個動點，過點P作x軸的垂線物理，垂

足為H,點P在運動過程中始終滿足步.=好環(huán)（提示：平面直角坐標系內(nèi)點M、N的坐標分別為值二不中、

聞小3,則加城=如一儂山鵡一第方

（1）判斷點P在運動過程中是否經(jīng)過點C（0.5）

（2）設動點P的坐標為樂:e,求y關于X的函數(shù)表達式：填寫下表，并在給定坐標系中畫出函數(shù)的圖

（3）點C關于x軸的對稱點為叁,，點P在直線篁：＞的下方時，求線段.好長度的取值范圍

26.（操作體驗）

如圖①，已知線段AB和直線I,用直尺和圓規(guī)在I上作出所有的點P,使得NAPB=30。，如圖②，小明的

第一步：分別以點A,B為圓心，AB長為半徑作弧，兩弧在AB上方交于點。；

第二步：連接OA,0B；

第三步：以0為圓心，0A長為半徑作。0,交I于步”好雪；

所以圖中外,?瑪即為所求的點.（1）在圖②中，連接步題:好圈說明N酰通=30。

（方法遷移）

（1）如圖③，用直尺和圓規(guī)在矩形ABCD內(nèi)作出所有的點P,使得NBPC=45。，（不寫做法，保留作圖痕

跡）.

（2）已知矩形ABCD,BC=2.AB=m,P為AD邊上的點，若滿足NBPC=45。的點P恰有兩個，則m的取值范

圍為?

（3）已知矩形ABCD,AB=3,BC=2,P為矩形ABCD內(nèi)一點，且NBPC=135。，若點P繞點A逆時針旋轉90。

到點Q，則PQ的最小值為.

27.

（1）如圖1，已知圓◎，點，4、存在圓上，且d的圓密為等邊三角形，點爛為直線?與圓◎的一個交

點.連接我婀密，證明：N且號龍=兮4

（2）【方法遷移】如圖2,用直尺和圓規(guī)在矩形息感直:超內(nèi)作出所有的點步，使得連露婆：=4手（不寫

作法，保留作圖痕跡）.

（3）【深入探究】己知矩形總感短a能：=當￡,息密=蒲，浮為盤為邊上的點，若滿足

z起步值：=4.窗的點p恰有兩個，求輸?shù)娜≈捣秶?

（4）已知矩形息馥&,*盛=￡虢:=?事,修為矩形息馥蟲內(nèi)一點，且央號照=j*r，若點

爛繞點且逆時針旋轉M到點融，求爛蹩的最小值，并求此時，艱聆的面積.

⑴

答案解析部分

一、單選題

1.B

2.C

3.C

4.B

5.A

6.C

7.A

8.D

9.C

10.B

二、填空題

11.10

12.②⑤

13.150個

14.1

15.f

三、綜合題

16.「垂

17.如圖四邊形EFGH即為所求:

18.解：問題背景：

EF=BE+DF,證明如下:

在^ABE和4ADG中，

甲管=港法

國=濯期海,

離=.僦7

.".△ABEm△ADG(SAS),

，AE=AG,NBAE=NDAG,

ZEAF=BAD,

ZGAF=ZDAG+ZDAF=ZBAE+ZDAF=ZBAD-ZEAF=ZEAF,

ZEAF=ZGAF,

在4AEF和4GAF中，

=舄◎

W就您.螃=

1睛*=總聲

：.△AEF號△AGF(SAS),

EF=FG,

FG=DG+DF=BE+DF,

EF=BE+DF；

故答案為EF=BE+DF.

探索延伸：

上述結論EF=BE+FD成立，

理由：如圖2,延長FD到點G,使得DG=BE,連接AG,

G

ZB=ZADG,

AB=AD,

△ABEm△ADG(SAS),

AE=AG,ZBAE=ZDAG,

???ZEAF=BAD,

1

??.ZGAF=ZDAG+ZDAF=ZDAF+ZBAE=ZBAD-ZEAF=*NBAD,

/.ZGAF=ZEAF,

又..AG=AE,AF=AF,

??.△AFG2△AFE(SAS),

??.EF=GF,

,/GF=DF+DG=DF+BE,

/.EF=BE+FD；

實際應用：

如圖3,連接EF,延長AE、BF相交于點C,

圖3

在四邊形AOBC中，

1

ZAOB=30°+90°+(90°-70°)=140°,NFOE=70°=AOB,

Jk.

又OA=OB,ZOAC+ZOBC=(90°-30°)+(70°+50°)=60°+120°=180°,

???圖3符合探索延伸的條件，

,EF=AE+FB=1.5x(60+80)=210(海里)，

即此時兩艦艇之間的距離210海里.

19.(1)EF=BE+DF

(2)解:EF=BE+DF仍然成立

證明如下:延長FD到G,使DG=BE,

連接AG,如圖2

ZB+ZADC=180"

ZADC+ZADG=180°

ZB=ZADG

在』ABE和^ADG中

f盯察?彥

:連龍口￡上四卷

(.意港匚久心

/.△ABEM△ADG(SAS)

/.AE=AG,ZBAE=ZDAG

,/ZEAF=ZBAD

11

/.ZGAF=ZDAG+ZDAF=ZBAE+ZDAF=ZBAD-ZEAF=:爭NBAD

/.ZEAF=ZGAF

|i烏瑟Ei律

在^AEF和△GAF中A&■舄蕃二:段蛻靖

I.，妍

JI就醫(yī)

心溪蕊?小仁區(qū)線睛$

1舄產(chǎn)口;好

△AEF些△AGF(SAS)

EF=FG

??,FG=DG+DF

「.EF=BE+DF

(3)解：如圖，連接EF,延長AE、BF相交于點C

由題意得：ZAOB=30°+90°+(90°-70°)=140°,NEOF=70°

ZEOF=ZAOB

又??OA=OB,ZOAC+ZOBC=(90°-30°)+(70°+50°)=180°

「?符合⑵的條件

?,?結論EF=AE+BF成立

EF=1.5x(60+80)=210海里

答：此時兩艦艇之間的距離是210海里.

20.(1)證明：..煤尊工短◎且小毓雅、粉@箱都為等邊三角形,

；??=或@4=慈比

:2流出=&『，

:求:◎喔為等邊三角形，

..區(qū).砒接=工1彥密=「%r,

在山調(diào)蜜:和醒隨窗中，

j趣=算毅

酸：=感算，

匕號《溷=￡4馥：

.-.叢鐳君篤纏施密

(2)證明:如圖所示:

???△6@算和Z\d遨◎都是等邊三角形，

且點。是線段國為的中點，

.■.&￡}=&^-.=G?=1=X2=?r，

...X4=2季,

又■.■X441￡S=

:心=氯「

同理，￡，6=案5"，

二金用慮潘=

;星國成濯=6：便

(3)證明：如圖所示:

,/A后◎算相△,緘◎都是等邊三角形，

.儂=磔&溪1=區(qū)2=6。

又?.???=?

..儂?=嗨*04=CC%

.?.溪4=溪至，溪五=溪胃.

..溪步《斕=溪1+溪昌.

H點CC：=S3T

：.花加密=溪且◎窗：

.^44X,54迄期魏=1M:笈6+W744僦她;=1卷Q"，

」.當富士=/金&

.'.￡%=金卻

又..：公笈成需=H0一意第,厘超=&±4淀&

...溪且龍港=XI4溪⑥一H寺;=溪厘+XS-X§：=X3?

:片.蝠嗇=&cr

21.(1)解：如圖

(2)證明：

V△ABD和4ACE都是等邊三角形,

.,.AD=AB,AC=AE,ZBAD=ZCAE=60°

.,.ZBAD+ZBAC=NCAE+ZBAC

即NCAD=ZEAB

F靖=,姆

V在aCAD和^EAB中，：：X短皤=X龍且曷

用底：=.息彥

/.△CAD合△EAB

.,.BE=CD

22.(1)2.36

(2)解：函數(shù)yi、丫2的圖象如圖所示:

(3)1.26或5.84

23.(1)解：相等

理由：,「△ABC和4ADE是有公共頂點的等腰直角三角形，ZBAC=ZDAE=90°,

/.BA=CA,ZBAD=ZCAE,DA=EA,

△ABD皂△ACE,

BD=CE；

(2)解：作出旋轉后的圖形，若點C在AD上，如圖2所示:

,/ZEAC=90°,

ZPDA=ZAEC,ZPCD=ZACE,

/.△PCD-△ACE,

.算盤cs

,,維二曾

二?PD=/料;

若點B在AE上，如圖2所示:

???ZBAD=90°,

中，血濟二=毋「

RSABDBD=BE=AE-AB=2,

,/ZABD=ZPBE,ZBAD=ZBPE=90°,

二△BAD-△BPE,

?-?S=B即誓嗑,

解得PB=磊朝

PD=BD+PB=M+裊桓'=普跖,

(3)1；7

24.(1)證明：如圖(1),連接0C,

OA=OC,

ZOAC=ZOCA,

又「AB是。。的直徑,

ZACB=90°,

又ZBCD=ZBAC=ZOCA,

ZBCD+ZOCB=90°,即OC±CD,

.CD是。。的切線

(2)解：；NADE=NCDB,ZBCD=ZEAD,

，△BCD-△EAD,

.S幽

??近=凄

.窿砂盛建

":微一的'-'菰，

又???BD：DE：EC=2：3：5,。。的半徑為5,

/.BD=2,DE=3,EC=5,

如圖(2),連接OC、0E,則AOEC是等邊三角形,

作OFXCE于F,則EF=4CE=旨，0F="后,

圓心。到直線CD的距離是a而.

圖（2）

（3）解：這樣的情形共有出現(xiàn)三次：

當點D在。。外時，點E是CD中點，有以下兩種情形，如圖1、圖2；

當點D在。。內(nèi)時，點D是CE中點，有以下一種情形，如圖3.

25.（1）解：若點P經(jīng)過點C,則PH=5,

/.PF=PH,

故點P經(jīng)過點c；

（2）解：由PH=PF得僅一用（，/一'盟望=承，

化簡得：爐=，承一?冽：4■各

故y與x的函數(shù)表達式為呈=黜._當；一騙

分別將x=0、2、4,6、8代入表達式中，則對應的y=5、2、1、2,5,

填寫表格為:

式02468

呼52125

函數(shù)圖象如下:

（3）解：設直線總:浮的函數(shù)表達式為丫=1?<+13,

將點F（4,2）、點宏（0,-5）代入，得:

解得：尸，

%=-S

直線宏^的函數(shù)表達式為爐=事.一%

將苗=爭、一%代入承一室4?茅得：

條-5=§承一蟲+