人教A版數(shù)學(xué)(選擇性必修一講義)第04講1.3空間向量及其運(yùn)算的坐標(biāo)表示(學(xué)生版+解析)

第04講1.3空間向量及其運(yùn)算的坐標(biāo)表示課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)①理解和掌握空間向量的坐標(biāo)表示及意義②會(huì)用向量的坐標(biāo)表達(dá)空間向量的相關(guān)運(yùn)算③會(huì)求空間向量的夾角、長(zhǎng)度以及有關(guān)平行、垂直的證明利用空間向量的坐標(biāo)表示，將形與數(shù)有機(jī)結(jié)合，并能進(jìn)行相關(guān)的計(jì)算與證明是學(xué)習(xí)空間向量及運(yùn)算的關(guān)鍵.也是解決空間幾何的重要手段與工具.知識(shí)點(diǎn)01：空間向量的正交分解及其坐標(biāo)表示1、空間直角坐標(biāo)系空間直角坐標(biāo)系及相關(guān)概念(1)空間直角坐標(biāo)系：在空間選定一點(diǎn)和一個(gè)單位正交基底，以為原點(diǎn)，分別以的方向?yàn)檎较?，以它們的長(zhǎng)為單位長(zhǎng)度建立三條數(shù)軸：軸、軸、軸，它們都叫做坐標(biāo)軸，這時(shí)我們就建立了一個(gè)空間直角坐標(biāo)系.(2)相關(guān)概念：叫做原點(diǎn)，都叫做坐標(biāo)向量，通過(guò)每?jī)蓚€(gè)坐標(biāo)軸的平面叫做坐標(biāo)平面，分別稱為平面、平面、平面，它們把空間分成八個(gè)部分．2、空間向量的坐標(biāo)表示2.1空間一點(diǎn)的坐標(biāo)：在空間直角坐標(biāo)系中，為坐標(biāo)向量，對(duì)空間任意一點(diǎn)，對(duì)應(yīng)一個(gè)向量，且點(diǎn)的位置由向量唯一確定，由空間向量基本定理，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組，使.在單位正交基底下與向量對(duì)應(yīng)的有序?qū)崝?shù)組叫做點(diǎn)在此空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，記作，其中叫做點(diǎn)的橫坐標(biāo)，叫做點(diǎn)的縱坐標(biāo)，叫做點(diǎn)的豎坐標(biāo)．2.2空間向量的坐標(biāo)：在空間直角坐標(biāo)系中，給定向量，作.由空間向量基本定理，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組，使.有序?qū)崝?shù)組叫做在空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，上式可簡(jiǎn)記作.【即學(xué)即練1】（2023春·高二課時(shí)練習(xí)）已知是空間的一個(gè)單位正交基底，向量用坐標(biāo)形式可表示為_(kāi)_______．【答案】【詳解】因?yàn)槭强臻g的一個(gè)單位正交基底，則有.所以向量用坐標(biāo)形式表示為.故答案為：知識(shí)點(diǎn)02：空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示設(shè)，空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算法則如下表所示：運(yùn)算坐標(biāo)表示加法減法數(shù)乘數(shù)量積知識(shí)點(diǎn)03：空間向量平行與垂直的條件，幾何計(jì)算的坐標(biāo)表示1、兩個(gè)向量的平行與垂直平行（）垂直（）（均非零向量）特別提醒：在中，應(yīng)特別注意，只有在與三個(gè)坐標(biāo)平面都不平行時(shí)，才能寫成.例如，若與坐標(biāo)平面平行，則，這樣就沒(méi)有意義了.【即學(xué)即練2】（2023春·四川成都·高二四川省成都列五中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知兩個(gè)空間向量，，且，則實(shí)數(shù)的值為_(kāi)_________．【答案】【詳解】因?yàn)?，，且，所以，即，即，解?故答案為：2、向量長(zhǎng)度的坐標(biāo)計(jì)算公式若，則，即空間向量長(zhǎng)度公式表示的是向量的長(zhǎng)度，其形式與平面向量長(zhǎng)度公式一致，它的幾何意義是表示長(zhǎng)方體的體對(duì)角線的長(zhǎng)度3、兩個(gè)向量夾角的坐標(biāo)計(jì)算公式設(shè)，則【即學(xué)即練3】（2023春·高二課時(shí)練習(xí)）已知向量，，，，.(1)求x，y，z的值；(2)求向量與所成角的余弦值．【答案】(1)(2)【詳解】（1）∵，，，，因?yàn)椋O(shè)存在實(shí)數(shù)，使得，所以，則.因?yàn)?，，則.∴所以.（2）由（1）知，，，∴，，∴，，，∴.∴向量與所成角的余弦值為.4、兩點(diǎn)間的距離公式已知，則題型01空間向量的坐標(biāo)表示【典例1】（2023秋·北京豐臺(tái)·高二北京市第十二中學(xué)?？计谀┰诳臻g直角坐標(biāo)系中，已知三點(diǎn)，若點(diǎn)在平面內(nèi)，則點(diǎn)的坐標(biāo)可能是（

）A． B． C． D．【典例2】（多選）（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）如圖，在正三棱柱中，已知的邊長(zhǎng)為2，三棱柱的高為的中點(diǎn)分別為，以為原點(diǎn)，分別以的方向?yàn)檩S?軸?軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則下列空間點(diǎn)及向量坐標(biāo)表示正確的是（

）A． B．C． D．【典例3】（2023春·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·高二校考開(kāi)學(xué)考試）已知點(diǎn)，，點(diǎn)滿足，則點(diǎn)的坐標(biāo)是________.【變式1】（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）如圖，在空間直角坐標(biāo)系中，正方體的棱長(zhǎng)為1，，則等于A． B． C． D．【變式2】（2023春·高二課時(shí)練習(xí)）若?，點(diǎn)在線段上，且，則點(diǎn)的坐標(biāo)是___________.題型02空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算【典例1】（2023春·高二課時(shí)練習(xí)）已知向量，，，求：(1)；(2)；(3).【典例2】（2023春·高二課時(shí)練習(xí)）如圖，在長(zhǎng)方體中，，，，以為單位正交基底，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．(1)寫出，，，四點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)寫出向量，，，的坐標(biāo)．【變式1】（2023春·福建寧德·高二校聯(lián)考期中）已知，，，若，，三向量共面，則實(shí)數(shù)等于（

）A．4 B．5 C．6 D．7【變式2】（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）已知點(diǎn)、，且滿足，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．題型03空間向量數(shù)量積（坐標(biāo)形式求空間向量的數(shù)量積）【典例1】（2023秋·北京豐臺(tái)·高二北京市第十二中學(xué)?？计谀┤粝蛄浚瑵M足條件，則（

）A． B． C．1 D．2【典例2】（2023春·高二課時(shí)練習(xí)）已知向量，．求．【變式1】（2023秋·廣東深圳·高二統(tǒng)考期末）已知向量，，若，則（

）A． B． C． D．【變式2】（2023秋·天津·高二統(tǒng)考期末）已知空間向量，，，則（

）A． B． C． D．題型04空間向量數(shù)量積（坐標(biāo)形式求空間向量數(shù)量積的最值范圍問(wèn)題）【典例1】（2023秋·湖北·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）在長(zhǎng)方體中，，，，，分別是棱，，上的點(diǎn)，且，，，是平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，若直線與平面平行，則的最小值為（

）A． B．17 C． D．【典例2】（2023春·山東煙臺(tái)·高二山東省煙臺(tái)第一中學(xué)?？奸_(kāi)學(xué)考試）正四面體的棱長(zhǎng)為2，動(dòng)點(diǎn)在以為直徑的球面上，則的最大值為（

）A．2 B． C．4 D．【典例3】（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）在空間直角坐標(biāo)系中，，，，點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)，則當(dāng)取得最小值時(shí)，______．【變式1】（2023秋·河南鄭州·高二鄭州市第九中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知空間直角坐標(biāo)系中，，，，點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)，則當(dāng)取得最小值時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【變式2】（2023秋·上海徐匯·高二南洋中學(xué)校考期末）已知是長(zhǎng)方體外接球的一條直徑，點(diǎn)P在長(zhǎng)方體表面上運(yùn)動(dòng)，長(zhǎng)方體的棱長(zhǎng)分別為1、1、，則的取值范圍為_(kāi)_______.題型05空間向量的模（坐標(biāo)形式求空間向量的模（距離，長(zhǎng)度））【典例1】（2023春·江蘇南京·高二南京市第五高級(jí)中學(xué)?？计谥校┮阎蛄浚?，且，那么等于（

）A． B． C． D．5【典例2】（2023春·高二課時(shí)練習(xí)）如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體中，，分別為，的中點(diǎn)，在棱上，且，H為的中點(diǎn)．求||.【典例3】（2023秋·山東日照·高二統(tǒng)考期末）已知，，且，則_____．【變式1】（2023秋·上海長(zhǎng)寧·高二上海市延安中學(xué)校考期末）已知，，且，則為_(kāi)_____.題型06空間向量的模（根據(jù)空間向量的模求參數(shù)）【典例1】（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知向量，且，則____________．題型07空間向量的模（坐標(biāo)形式求空間向量模的最值（范圍）問(wèn)題）【典例1】（2022·高二課時(shí)練習(xí)）已知正方體的棱長(zhǎng)為4，點(diǎn)是棱的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)在正方形內(nèi)（包括邊界）運(yùn)動(dòng)，且平面，則長(zhǎng)度的取值范圍為（

）A． B．C． D．【典例2】（2023·高二課時(shí)練習(xí)）如圖，在直三棱柱中，，，為的中點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，點(diǎn)在線段上，求線段長(zhǎng)的最小值．【典例3】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知單位空間向量滿足．若空間向量滿足，且對(duì)于任意實(shí)數(shù)的最小值是2，則的最小值是_________．【變式1】（2023春·上海寶山·高二統(tǒng)考期末）已知、是空間互相垂直的單位向量，且，，則的最小值是______.【變式2】（2023·上海·高三專題練習(xí)）已知，，是空間兩兩垂直的單位向量，，且，則的最小值為_(kāi)_______．【變式3】（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）已知，，則的最小值為_(kāi)_________．題型08空間向量的夾角問(wèn)題（坐標(biāo)形式）【典例1】（2023秋·山東臨沂·高二校考期末）已知空間向量，，且，則向量與的夾角為（

）A． B． C． D．【典例2】（2023春·江蘇·高二南師大二附中校聯(lián)考階段練習(xí)）若向量，且與夾角的余弦值為，則等于（

）A． B． C．或 D．2【典例3】（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）已知空間三點(diǎn)，，，則與的夾角的大小是________．【典例4】（2023秋·河南周口·高二統(tǒng)考期末）已知向量(1)求；(2)求向量與夾角的余弦值.【變式1】（2023·江蘇淮安·江蘇省盱眙中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）若向量，，且,的夾角的余弦值為，則實(shí)數(shù)等于（

）.A．0 B． C．0或 D．0或【變式2】（2023春·甘肅白銀·高二?？茧A段練習(xí)）在空間直角坐標(biāo)系中，已知，，則、夾角的余弦值是______．【變式3】（2023秋·吉林遼源·高二校聯(lián)考期末）已知向量，.(1)求的值；(2)求向量與夾角的余弦值.題型09空間向量的投影向量（坐標(biāo)形式）【典例1】（2023春·江蘇宿遷·高二統(tǒng)考期中）已知向量，，則向量在向量上的投影向量為（

）．A． B． C． D．【典例2】（2023春·江蘇徐州·高二統(tǒng)考期中）已知，，，則向量在上的投影向量的坐標(biāo)是（

）A． B．C． D．【變式1】（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知，則在上的投影向量為（

）A． B． C． D．【變式2】（2023秋·廣東廣州·高二秀全中學(xué)校考期末）已知，，則在上的投影向量為（

）A．1 B． C． D．題型10空間向量的平行關(guān)系（坐標(biāo)形式）【典例1】（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）已知，，且，則（

）A．， B．，C．， D．，【典例2】（2023春·安徽合肥·高二?？奸_(kāi)學(xué)考試）已知兩個(gè)向量，，且，則的值為（

）A．1 B．2 C．4 D．8【典例3】（2023·高二單元測(cè)試）向量，，，且，，則______.【變式1】（2023秋·江西宜春·高二?？计谀┰O(shè)，向量，，，且，，則（

）A． B． C．4 D．3【變式2】（2023春·福建寧德·高二校聯(lián)考期中）已知向量，，若，則實(shí)數(shù)（

）A． B． C． D．題型11空間向量的垂直關(guān)系（坐標(biāo)形式）【典例1】（2023春·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·高二校考開(kāi)學(xué)考試）已知，，且與互相垂直，則實(shí)數(shù)的值為（

）A． B． C． D．【典例2】（2023春·江蘇鹽城·高二江蘇省響水中學(xué)校考階段練習(xí)）已知向量．(1)求；(2)當(dāng)時(shí)，若向量與垂直，求實(shí)數(shù)和的值；(3)若向量與向量共面向量，求的值．【典例3】（2023春·高二課時(shí)練習(xí)）已知點(diǎn)、、，，．(1)若，且，求；(2)求；(3)若與垂直，求．【變式1】（2023春·福建寧德·高二校聯(lián)考期中）已知向量，.(1)求與的夾角余弦值；(2)若，求的值.【變式2】（2023春·江蘇淮安·高二?？茧A段練習(xí)）已知向量，，，且．(1)求實(shí)數(shù)的值；(2)若，求實(shí)數(shù)的值．題型12易錯(cuò)題型根據(jù)空間向量成銳角（鈍角）求參數(shù)【典例1】（多選）（2023春·江蘇宿遷·高二統(tǒng)考期中）若向量與的夾角為銳角，則實(shí)數(shù)的值可能為（

）.A．4 B．5 C．6 D．7【典例2】（2023春·江蘇宿遷·高二?？茧A段練習(xí)）已知向量，，若與的夾角為鈍角，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_(kāi)_____.【典例3】（2023春·高二課時(shí)練習(xí)）已知向量，，若與的夾角為鈍角，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_(kāi)_______．【變式1】（2023春·高二課時(shí)練習(xí)）若，，若與的夾角是鈍角，則的值的取值范圍為_(kāi)_________.【變式2】（2023春·高二課時(shí)練習(xí)）若，若與的夾角是銳角，則的值的取值范圍為_(kāi)_________.1.3空間向量及其運(yùn)算的坐標(biāo)表示A夯實(shí)基礎(chǔ)B能力提升C綜合素養(yǎng)A夯實(shí)基礎(chǔ)一、單選題1．（2023秋·山東濱州·高二統(tǒng)考期末）已知向量，，若，則（

）A． B． C． D．2．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知向量，，則（

）A． B．40 C．6 D．363．（2023春·江蘇揚(yáng)州·高二統(tǒng)考期中），，，若，，共面，則實(shí)數(shù)為（

）A． B． C． D．4．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知在空間單位正交基底下，是空間的一組單位正交基底，是空間的另一組基底.若向量在基底下的坐標(biāo)為，則向量在基底下的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．5．（2023春·吉林通化·高二梅河口市第五中學(xué)?？奸_(kāi)學(xué)考試）設(shè)，向量，且，則（

）A． B． C． D．6．（2023春·高二課時(shí)練習(xí)）已知，，與的夾角為120°，則的值為（

）A． B． C． D．7．（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）已知長(zhǎng)方體中，，若棱上存在點(diǎn)，使得，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．8．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）《九章算術(shù)》是中國(guó)古代張蒼、耿壽昌所撰寫的一部數(shù)學(xué)專著，是《算經(jīng)十書》中最重要的一部，成于公元一世紀(jì)左右，是當(dāng)時(shí)世界上最簡(jiǎn)練有效的應(yīng)用數(shù)學(xué)專著，它的出現(xiàn)標(biāo)志著中國(guó)古代數(shù)學(xué)形成了完整的體系.在《九章算術(shù)》里，將底面是直角三角形的直三棱柱稱為“塹堵”.已知在“塹堵”中，，，動(dòng)點(diǎn)在“塹堵”的側(cè)面上運(yùn)動(dòng)，且，則的最大值為（

）.A． B． C． D．二、多選題9．（2023春·山東臨沂·高二統(tǒng)考期末）空間中三點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，則（

）A．B．C．點(diǎn)關(guān)于平面對(duì)稱的點(diǎn)為D．與夾角的余弦值是10．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知，，，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C．為鈍角 D．在方向上的投影向量為三、填空題11．（2023春·江蘇連云港·高二校聯(lián)考期中）已知向量滿足，且，則_________，在上的投影向量的坐標(biāo)為_(kāi)_____________．12．（2023·高三課時(shí)練習(xí)）已知，，且與的夾角為鈍角，則x的取值范圍是___.四、解答題13．（2023春·高二課時(shí)練習(xí)）已知向量，，，且，.(1)求向量，，；(2)求向量與向量所成角的余弦值.14．（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）（1）已知向量.①計(jì)算和②求.（2）已知向量.①若，求實(shí)數(shù)；②若，求實(shí)數(shù).B能力提升1．（2023秋·陜西西安·高二長(zhǎng)安一中?？计谀┰诶忾L(zhǎng)為2的正方體中，點(diǎn)分別在棱和上，且，則的最大值為（

）A． B． C． D．12．（2023春·高二課時(shí)練習(xí)）已知，，則取最小值時(shí)的值是（

）A． B． C． D．3．（2023春·江蘇連云港·高二江蘇省海頭高級(jí)中學(xué)?？计谥校┤鐖D，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD為正方形，PA⊥平面ABCD，，M為PC上一動(dòng)點(diǎn)，，若∠BMD為鈍角，則實(shí)數(shù)t可能為（

）A． B． C． D．4．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，＝(1,2,3)，＝(2,1,2)，＝(1,1,2)，點(diǎn)Q在直線OP上運(yùn)動(dòng)，則當(dāng)取得最小值時(shí)，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（）A． B． C． D．問(wèn)題：如圖，在正方體，中，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系．已知點(diǎn)的坐標(biāo)為，為棱上的動(dòng)點(diǎn)，為棱上的動(dòng)點(diǎn)，______，則是否存在點(diǎn)，，使得？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

第04講1.3空間向量及其運(yùn)算的坐標(biāo)表示課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)①理解和掌握空間向量的坐標(biāo)表示及意義②會(huì)用向量的坐標(biāo)表達(dá)空間向量的相關(guān)運(yùn)算③會(huì)求空間向量的夾角、長(zhǎng)度以及有關(guān)平行、垂直的證明利用空間向量的坐標(biāo)表示，將形與數(shù)有機(jī)結(jié)合，并能進(jìn)行相關(guān)的計(jì)算與證明是學(xué)習(xí)空間向量及運(yùn)算的關(guān)鍵.也是解決空間幾何的重要手段與工具.知識(shí)點(diǎn)01：空間向量的正交分解及其坐標(biāo)表示1、空間直角坐標(biāo)系空間直角坐標(biāo)系及相關(guān)概念(1)空間直角坐標(biāo)系：在空間選定一點(diǎn)和一個(gè)單位正交基底，以為原點(diǎn)，分別以的方向?yàn)檎较?，以它們的長(zhǎng)為單位長(zhǎng)度建立三條數(shù)軸：軸、軸、軸，它們都叫做坐標(biāo)軸，這時(shí)我們就建立了一個(gè)空間直角坐標(biāo)系.(2)相關(guān)概念：叫做原點(diǎn)，都叫做坐標(biāo)向量，通過(guò)每?jī)蓚€(gè)坐標(biāo)軸的平面叫做坐標(biāo)平面，分別稱為平面、平面、平面，它們把空間分成八個(gè)部分．2、空間向量的坐標(biāo)表示2.1空間一點(diǎn)的坐標(biāo)：在空間直角坐標(biāo)系中，為坐標(biāo)向量，對(duì)空間任意一點(diǎn)，對(duì)應(yīng)一個(gè)向量，且點(diǎn)的位置由向量唯一確定，由空間向量基本定理，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組，使.在單位正交基底下與向量對(duì)應(yīng)的有序?qū)崝?shù)組叫做點(diǎn)在此空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，記作，其中叫做點(diǎn)的橫坐標(biāo)，叫做點(diǎn)的縱坐標(biāo)，叫做點(diǎn)的豎坐標(biāo)．2.2空間向量的坐標(biāo)：在空間直角坐標(biāo)系中，給定向量，作.由空間向量基本定理，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組，使.有序?qū)崝?shù)組叫做在空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，上式可簡(jiǎn)記作.【即學(xué)即練1】（2023春·高二課時(shí)練習(xí)）已知是空間的一個(gè)單位正交基底，向量用坐標(biāo)形式可表示為_(kāi)_______．【答案】【詳解】因?yàn)槭强臻g的一個(gè)單位正交基底，則有.所以向量用坐標(biāo)形式表示為.故答案為：知識(shí)點(diǎn)02：空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示設(shè)，空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算法則如下表所示：運(yùn)算坐標(biāo)表示加法減法數(shù)乘數(shù)量積知識(shí)點(diǎn)03：空間向量平行與垂直的條件，幾何計(jì)算的坐標(biāo)表示1、兩個(gè)向量的平行與垂直平行（）垂直（）（均非零向量）特別提醒：在中，應(yīng)特別注意，只有在與三個(gè)坐標(biāo)平面都不平行時(shí)，才能寫成.例如，若與坐標(biāo)平面平行，則，這樣就沒(méi)有意義了.【即學(xué)即練2】（2023春·四川成都·高二四川省成都列五中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知兩個(gè)空間向量，，且，則實(shí)數(shù)的值為_(kāi)_________．【答案】【詳解】因?yàn)椋?，且，所以，即，即，解?故答案為：2、向量長(zhǎng)度的坐標(biāo)計(jì)算公式若，則，即空間向量長(zhǎng)度公式表示的是向量的長(zhǎng)度，其形式與平面向量長(zhǎng)度公式一致，它的幾何意義是表示長(zhǎng)方體的體對(duì)角線的長(zhǎng)度3、兩個(gè)向量夾角的坐標(biāo)計(jì)算公式設(shè)，則【即學(xué)即練3】（2023春·高二課時(shí)練習(xí)）已知向量，，，，.(1)求x，y，z的值；(2)求向量與所成角的余弦值．【答案】(1)(2)【詳解】（1）∵，，，，因?yàn)?，設(shè)存在實(shí)數(shù)，使得，所以，則.因?yàn)?，，則.∴所以.（2）由（1）知，，，∴，，∴，，，∴.∴向量與所成角的余弦值為.4、兩點(diǎn)間的距離公式已知，則題型01空間向量的坐標(biāo)表示【典例1】（2023秋·北京豐臺(tái)·高二北京市第十二中學(xué)?？计谀┰诳臻g直角坐標(biāo)系中，已知三點(diǎn)，若點(diǎn)在平面內(nèi)，則點(diǎn)的坐標(biāo)可能是（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】由，，顯然，不共線，根據(jù)向量基本定理可得，故C點(diǎn)坐標(biāo)為，經(jīng)驗(yàn)算只有B選項(xiàng)符合條件，此時(shí)，故選：B【典例2】（多選）（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）如圖，在正三棱柱中，已知的邊長(zhǎng)為2，三棱柱的高為的中點(diǎn)分別為，以為原點(diǎn)，分別以的方向?yàn)檩S?軸?軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則下列空間點(diǎn)及向量坐標(biāo)表示正確的是（

）A． B．C． D．【答案】ABC【詳解】在等邊中，，所以，則，，則.故選：ABC【典例3】（2023春·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·高二校考開(kāi)學(xué)考試）已知點(diǎn)，，點(diǎn)滿足，則點(diǎn)的坐標(biāo)是________.【答案】【詳解】設(shè)，為坐標(biāo)原點(diǎn).由點(diǎn)滿足，得，可得，則點(diǎn)的坐標(biāo)是.故答案為：．【變式1】（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）如圖，在空間直角坐標(biāo)系中，正方體的棱長(zhǎng)為1，，則等于A． B． C． D．【答案】C【詳解】由題，在空間直角坐標(biāo)系中，正方體的棱長(zhǎng)為1，則故選C．【變式2】（2023春·高二課時(shí)練習(xí)）若?，點(diǎn)在線段上，且，則點(diǎn)的坐標(biāo)是___________.【答案】【詳解】解：點(diǎn)?，為線段上一點(diǎn)，且，所以，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，則，即，解得，即；故答案為：．題型02空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算【典例1】（2023春·高二課時(shí)練習(xí)）已知向量，，，求：(1)；(2)；(3).【答案】(1)(2)2(3)4【詳解】（1）由，得（2）（3）【典例2】（2023春·高二課時(shí)練習(xí)）如圖，在長(zhǎng)方體中，，，，以為單位正交基底，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．(1)寫出，，，四點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)寫出向量，，，的坐標(biāo)．【答案】(1)點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)C，(2)；；；．【詳解】（1）點(diǎn)在z軸上，且，所以點(diǎn)的坐標(biāo)是．同理，點(diǎn)C的坐標(biāo)是．點(diǎn)在x軸、y軸、z軸上的射影分別為A，O，，它們?cè)谧鴺?biāo)軸上的坐標(biāo)分別為3，0，2，所以點(diǎn)的坐標(biāo)是．點(diǎn)在x軸、y軸、z軸上的射影分別為A，C，，它們?cè)谧鴺?biāo)軸上的坐標(biāo)分別為3，4，2，所以點(diǎn)的坐標(biāo)是．（2）；；；．【變式1】（2023春·福建寧德·高二校聯(lián)考期中）已知，，，若，，三向量共面，則實(shí)數(shù)等于（

）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】D【詳解】因?yàn)椋?，，且，，三向量共面，設(shè)，則，即，解得.故選：D【變式2】（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）已知點(diǎn)、，且滿足，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】設(shè)點(diǎn)，由，則，所以，，解得，故點(diǎn).故選：B.題型03空間向量數(shù)量積（坐標(biāo)形式求空間向量的數(shù)量積）【典例1】（2023秋·北京豐臺(tái)·高二北京市第十二中學(xué)?？计谀┤粝蛄?，滿足條件，則（

）A． B． C．1 D．2【答案】B【詳解】根據(jù)向量的運(yùn)算可得：，所以，所以，故選：B【典例2】（2023春·高二課時(shí)練習(xí)）已知向量，．求．【答案】【詳解】由向量，，可得.【變式1】（2023秋·廣東深圳·高二統(tǒng)考期末）已知向量，，若，則（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】由題意知，由，得，解得.故選：B.【變式2】（2023秋·天津·高二統(tǒng)考期末）已知空間向量，，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】，，故選：A題型04空間向量數(shù)量積（坐標(biāo)形式求空間向量數(shù)量積的最值范圍問(wèn)題）【典例1】（2023秋·湖北·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）在長(zhǎng)方體中，，，，，分別是棱，，上的點(diǎn)，且，，，是平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，若直線與平面平行，則的最小值為（

）A． B．17 C． D．【答案】A【詳解】以D作坐標(biāo)原點(diǎn)，DA，DC，所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)平面MPN的法向量為，則，令，則，故，設(shè)，則，因?yàn)橹本€與平面平行，所以，，因?yàn)?，所以，故，故?dāng)時(shí)，取得最小值，最小值為.故選：A【典例2】（2023春·山東煙臺(tái)·高二山東省煙臺(tái)第一中學(xué)校考開(kāi)學(xué)考試）正四面體的棱長(zhǎng)為2，動(dòng)點(diǎn)在以為直徑的球面上，則的最大值為（

）A．2 B． C．4 D．【答案】C【詳解】設(shè)的中點(diǎn)為，以為原點(diǎn)建立如圖所示的空間坐標(biāo)系，則，設(shè)，則，，，在以為球心，以為半徑的球面上，，，，令，則直線與單位圓相切時(shí)，截距取得最小值，令，解得或的最大值為.故選：C【典例3】（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）在空間直角坐標(biāo)系中，，，，點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)，則當(dāng)取得最小值時(shí)，______．【答案】/【詳解】解：因?yàn)辄c(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)，，所以設(shè)，則，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值，此時(shí)，所以故答案為：【變式1】（2023秋·河南鄭州·高二鄭州市第九中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知空間直角坐標(biāo)系中，，，，點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)，則當(dāng)取得最小值時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】設(shè)，由點(diǎn)在直線上，可得存在實(shí)數(shù)使得，即，可得,所以,則，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，可得當(dāng)時(shí)，取得最小值，此時(shí).故選：C.【變式2】（2023秋·上海徐匯·高二南洋中學(xué)?？计谀┮阎情L(zhǎng)方體外接球的一條直徑，點(diǎn)P在長(zhǎng)方體表面上運(yùn)動(dòng)，長(zhǎng)方體的棱長(zhǎng)分別為1、1、，則的取值范圍為_(kāi)_______.【答案】【詳解】因?yàn)镸N是長(zhǎng)方體外接球的一條直徑，長(zhǎng)方體的棱長(zhǎng)分別為1、1、所以，如圖，設(shè)，則因?yàn)楫?dāng)時(shí)取等號(hào)，此時(shí)點(diǎn)P在ABCD平面內(nèi)，又當(dāng)時(shí)取等號(hào)，此時(shí)點(diǎn)P在ABCD平面內(nèi).即所求的范圍是.故答案為：題型05空間向量的模（坐標(biāo)形式求空間向量的模（距離，長(zhǎng)度））【典例1】（2023春·江蘇南京·高二南京市第五高級(jí)中學(xué)?？计谥校┮阎蛄?，，且，那么等于（

）A． B． C． D．5【答案】C【詳解】因?yàn)?，，且，所以，即，所以，所以，故選：C．【典例2】（2023春·高二課時(shí)練習(xí)）如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體中，，分別為，的中點(diǎn)，在棱上，且，H為的中點(diǎn)．求||.【答案】【詳解】如圖，建立空間直角坐標(biāo)系D－xyz，D為坐標(biāo)原點(diǎn)，則有，，，，，，，，.【典例3】（2023秋·山東日照·高二統(tǒng)考期末）已知，，且，則_____．【答案】【詳解】因?yàn)?，所以，解得所以?故答案為：【變式1】（2023秋·上海長(zhǎng)寧·高二上海市延安中學(xué)校考期末）已知，，且，則為_(kāi)_____.【答案】【詳解】，，且，，即，解得又故答案為：題型06空間向量的模（根據(jù)空間向量的模求參數(shù)）【典例1】（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知向量，且，則____________．【答案】3【詳解】因?yàn)?，所以，可得，因?yàn)?，解得，故答案?.題型07空間向量的模（坐標(biāo)形式求空間向量模的最值（范圍）問(wèn)題）【典例1】（2022·高二課時(shí)練習(xí)）已知正方體的棱長(zhǎng)為4，點(diǎn)是棱的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)在正方形內(nèi)（包括邊界）運(yùn)動(dòng)，且平面，則長(zhǎng)度的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】C【詳解】以D為原點(diǎn)，以，，的方向?yàn)閤，y，z軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．則，，，，，，，，.取的中點(diǎn)為H，連接，.在正方體中，且，所以四邊形為平行四邊形，所以.又面，面，所以面.同理可證：面.又，所以平面平面．因?yàn)槠矫妫渣c(diǎn)P只能在線段上運(yùn)動(dòng)．易知，設(shè)（），，則，，，．當(dāng)時(shí)，取得最小值；當(dāng)時(shí)，取得最大值36．故PC長(zhǎng)度的取值范圍為．故選：C【典例2】（2023·高二課時(shí)練習(xí)）如圖，在直三棱柱中，，，為的中點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，點(diǎn)在線段上，求線段長(zhǎng)的最小值．【答案】【詳解】依題意，、、兩兩垂直，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，則，，設(shè)，，則，設(shè)，，則．若線段EF的長(zhǎng)最小，則必滿足，則，可得，即，因此，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以線段EF長(zhǎng)的最小值為．【典例3】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知單位空間向量滿足．若空間向量滿足，且對(duì)于任意實(shí)數(shù)的最小值是2，則的最小值是_________．【答案】【詳解】以，方向?yàn)檩S，垂直于，方向?yàn)檩S建立空間直角坐標(biāo)系，則，由可設(shè)，由是單位空間向量可得，由可設(shè)，，當(dāng)，的最小值是2，所以，取，，，當(dāng)時(shí)，最小值為.故答案為：.【變式1】（2023春·上海寶山·高二統(tǒng)考期末）已知、是空間互相垂直的單位向量，且，，則的最小值是______.【答案】4【詳解】是空間相互垂直的單位向量，設(shè)，，設(shè)，又，，又，，，其中，，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得等號(hào)，的最小值是4．故答案為：4．【變式2】（2023·上?！じ呷龑ｎ}練習(xí)）已知，，是空間兩兩垂直的單位向量，，且，則的最小值為_(kāi)_______．【答案】【詳解】由題意可設(shè)，，,由，得，，，所以（當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)等號(hào)成立），所以的最小值為.故答案為：.【變式3】（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）已知，，則的最小值為_(kāi)_________．【答案】/【詳解】解：，，∴，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，即的最小值為故答案為：.題型08空間向量的夾角問(wèn)題（坐標(biāo)形式）【典例1】（2023秋·山東臨沂·高二?？计谀┮阎臻g向量，，且，則向量與的夾角為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】，解得，則，，，設(shè)向量與的夾角為，則，，，即與的夾角為．故選：A．【典例2】（2023春·江蘇·高二南師大二附中校聯(lián)考階段練習(xí)）若向量，且與夾角的余弦值為，則等于（

）A． B． C．或 D．2【答案】A【詳解】因?yàn)?，所以，，又與夾角的余弦值為，，所以，解得，注意到，即，所以.故選：A.【典例3】（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）已知空間三點(diǎn)，，，則與的夾角的大小是________．【答案】120°【詳解】由題意，空間三點(diǎn)A(1,1,1)，B(－1,0,4)，C(2，－2,3)，則，所以,又因?yàn)?，所?故答案為：【典例4】（2023秋·河南周口·高二統(tǒng)考期末）已知向量(1)求；(2)求向量與夾角的余弦值.【答案】(1)(2)【詳解】（1）因?yàn)椋?（2）因?yàn)?，所以，又因?yàn)椋怨逝c夾角的余弦值為.【變式1】（2023·江蘇淮安·江蘇省盱眙中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）若向量，，且,的夾角的余弦值為，則實(shí)數(shù)等于（

）.A．0 B． C．0或 D．0或【答案】C【詳解】由題意得，解得或，故選:C．【變式2】（2023春·甘肅白銀·高二?？茧A段練習(xí)）在空間直角坐標(biāo)系中，已知，，則、夾角的余弦值是______．【答案】/【詳解】因?yàn)?，，由空間向量的夾角公式可得，，所以、夾角的余弦值是，故答案為：.【變式3】（2023秋·吉林遼源·高二校聯(lián)考期末）已知向量，.(1)求的值；(2)求向量與夾角的余弦值.【答案】(1)；(2).【詳解】（1）∵，，∴，，∴；（2）設(shè)與的夾角為，則，，，，，∴，∴向量與夾角的余弦值為.題型09空間向量的投影向量（坐標(biāo)形式）【典例1】（2023春·江蘇宿遷·高二統(tǒng)考期中）已知向量，，則向量在向量上的投影向量為（

）．A． B． C． D．【答案】C【詳解】向量在向量上的投影向量為.故選:C.【典例2】（2023春·江蘇徐州·高二統(tǒng)考期中）已知，，，則向量在上的投影向量的坐標(biāo)是（

）A． B．C． D．【答案】D【詳解】因?yàn)椋?，，所以，所以，，，所以向量在上的投影向量是，所以向量在上的投影向量的坐?biāo)是，故選：D.【變式1】（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知，則在上的投影向量為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】因?yàn)?，所以，所以，所以在上的投影向量為故選：B【變式2】（2023秋·廣東廣州·高二秀全中學(xué)?？计谀┮阎?，，則在上的投影向量為（

）A．1 B． C． D．【答案】C【詳解】解：因?yàn)?，，所以，所以，所以在上的投影向量為故選：C題型10空間向量的平行關(guān)系（坐標(biāo)形式）【典例1】（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）已知，，且，則（

）A．， B．，C．， D．，【答案】B【詳解】，，則，由，可得，解之得故選：B【典例2】（2023春·安徽合肥·高二?？奸_(kāi)學(xué)考試）已知兩個(gè)向量，，且，則的值為（

）A．1 B．2 C．4 D．8【答案】C【詳解】∵，∴，使，得，解得：，所以故選：C【典例3】（2023·高二單元測(cè)試）向量，，，且，，則______.【答案】【詳解】因，，而，則有，解得，即又，且，則有，解得，即，于是得，，所以.故答案為：【變式1】（2023秋·江西宜春·高二校考期末）設(shè)，向量，，，且，，則（

）A． B． C．4 D．3【答案】D【詳解】因?yàn)椋?，故，因?yàn)?，故，故，故，，故，故，故選：D.【變式2】（2023春·福建寧德·高二校聯(lián)考期中）已知向量，，若，則實(shí)數(shù)（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】解：若，則，因?yàn)橐阎蛄?，，所以，解得，所?故選：.題型11空間向量的垂直關(guān)系（坐標(biāo)形式）【典例1】（2023春·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·高二?？奸_(kāi)學(xué)考試）已知，，且與互相垂直，則實(shí)數(shù)的值為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】解：根據(jù)題意，向量

.，，則，

，，，2，，若向量.與.互相垂直，則有，解可得：；故選：D.【典例2】（2023春·江蘇鹽城·高二江蘇省響水中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知向量．(1)求；(2)當(dāng)時(shí)，若向量與垂直，求實(shí)數(shù)和的值；(3)若向量與向量共面向量，求的值．【答案】(1)(2)，(3)【詳解】（1），，，．（2）因?yàn)椋?，解得，因?yàn)椋蚁蛄颗c垂直，所以，即，．所以實(shí)數(shù)和的值分別為和；（3）解：設(shè)，則解得，即，所以向量與向量，共面．【典例3】（2023春·高二課時(shí)練習(xí)）已知點(diǎn)、、，，．(1)若，且，求；(2)求；(3)若與垂直，求．【答案】(1)或；(2)(3)或【詳解】（1）、，，，且，設(shè)，且，解得，或；（2）、、，，，，，；（3），，又與垂直，，解得或．【變式1】（2023春·福建寧德·高二校聯(lián)考期中）已知向量，.(1)求與的夾角余弦值；(2)若，求的值.【答案】(1)(2)【詳解】（1）因?yàn)?，，所以，，，所以；?），因?yàn)椋?，解?【變式2】（2023春·江蘇淮安·高二?？茧A段練習(xí)）已知向量，，，且．(1)求實(shí)數(shù)的值；(2)若，求實(shí)數(shù)的值．【答案】(1)，；(2).【詳解】（1）因?yàn)?，所以，使得，所以有，解得，所以?（2）由（1）知，，所以，.因?yàn)椋?，即，解?題型12易錯(cuò)題型根據(jù)空間向量成銳角（鈍角）求參數(shù)【典例1】（多選）（2023春·江蘇宿遷·高二統(tǒng)考期中）若向量與的夾角為銳角，則實(shí)數(shù)的值可能為（

）.A．4 B．5 C．6 D．7【答案】CD【詳解】因?yàn)榕c的夾角為銳角，所以，解得，當(dāng)與共線時(shí)，，解得，所以實(shí)數(shù)x的取值范圍是，經(jīng)檢驗(yàn)，選項(xiàng)C、D符合題意.故選：CD【典例2】（2023春·江蘇宿遷·高二?？茧A段練習(xí)）已知向量，，若與的夾角為鈍角，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_(kāi)_____.【答案】【詳解】解：因?yàn)橄蛄?，，且與的夾角為鈍角，所以，且，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為，故答案為：【典例3】（2023春·高二課時(shí)練習(xí)）已知向量，，若與的夾角為鈍角，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_(kāi)_______．【答案】【詳解】由已知與的夾角為鈍角，則，即，解得.若a與b的夾角為180°，則存在，使.所以，所以，，所以且.故t的取值范圍是.故答案為：.【變式1】（2023春·高二課時(shí)練習(xí)）若，，若與的夾角是鈍角，則的值的取值范圍為_(kāi)_________.【答案】【詳解】已知，，因?yàn)榕c的夾角是鈍角，所以，即，即，解得.若與的夾角為180°，則存在，使，所以，解得，.所以，且.故的取值范圍是.【變式2】（2023春·高二課時(shí)練習(xí)）若，若與的夾角是銳角，則的值的取值范圍為_(kāi)_________.【答案】【詳解】因?yàn)榕c的夾角是銳角，所以，即，解得，若與的夾角為，則存在，使，即，所以，解得.故t的取值范圍是.故答案為：.1.3空間向量及其運(yùn)算的坐標(biāo)表示A夯實(shí)基礎(chǔ)B能力提升C綜合素養(yǎng)A夯實(shí)基礎(chǔ)一、單選題1．（2023秋·山東濱州·高二統(tǒng)考期末）已知向量，，若，則（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】，，解得：.故選：B.2．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知向量，，則（

）A． B．40 C．6 D．36【答案】C【詳解】由題意，∵，，∴，∴.故選：C.3．（2023春·江蘇揚(yáng)州·高二統(tǒng)考期中），，，若，，共面，則實(shí)數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】向量，，，若向量，，共面，則存在唯一的實(shí)數(shù)對(duì)，使，即，解得，實(shí)數(shù)的值為．故選：D4．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知在空間單位正交基底下，是空間的一組單位正交基底，是空間的另一組基底.若向量在基底下的坐標(biāo)為，則向量在基底下的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】設(shè)向量在基底下的坐標(biāo)為，則，又向量在基底下的坐標(biāo)為，則，所以，即，所以解得所以向量在基底下的坐標(biāo)為.故選：C.5．（2023春·吉林通化·高二梅河口市第五中學(xué)?？奸_(kāi)學(xué)考試）設(shè)，向量，且，則（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】向量，且，∴，解得∴，∴，選項(xiàng)C正確.故選：C．6．（2023春·高二課時(shí)練習(xí)）已知，，與的夾角為120°，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】因?yàn)椋?，，，，，，所以，，，所以，所以，且，解得：．故選：A．7．（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）已知長(zhǎng)方體中，，若棱上存在點(diǎn)，使得，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】解：如圖建立坐標(biāo)系，設(shè)，，則，，，，，，，即，所以，當(dāng)時(shí)，所以，所以．故選：C．8．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）《九章算術(shù)》是中國(guó)古代張蒼、耿壽昌所撰寫的一部數(shù)學(xué)專著，是《算經(jīng)十書》中最重要的一部，成于公元一世紀(jì)左右，是當(dāng)時(shí)世界上最簡(jiǎn)練有效的應(yīng)用數(shù)學(xué)專著，它的出現(xiàn)標(biāo)志著中國(guó)古代數(shù)學(xué)形成了完整的體系.在《九章算術(shù)》里，將底面是直角三角形的直三棱柱稱為“塹堵”.已知在“塹堵”中，，，動(dòng)點(diǎn)在“塹堵”的側(cè)面上運(yùn)動(dòng)，且，則的最大值為（

）.A． B． C． D．【答案】B【詳解】由題意可知三棱柱為直三棱柱，且，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別為軸，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，如下圖所示：

因?yàn)?，則，由于動(dòng)點(diǎn)在“塹堵”的側(cè)面上運(yùn)動(dòng)，則存在實(shí)數(shù)使得，又，所以，所以，又，所以，化簡(jiǎn)可得，即，又，又，所以，,所以，又，函數(shù)在上單調(diào)遞減，且，所以的最大值為.故選：B.二、多選題9．（2023春·山東臨沂·高二統(tǒng)考期末）空間中三點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，則（

）A．B．C．點(diǎn)關(guān)于平面對(duì)稱的點(diǎn)為D．與夾角的余弦值是【答案】AB【詳解】，，故A正確；，，，故B正確；由點(diǎn)關(guān)于平面對(duì)稱的點(diǎn)為，故C錯(cuò)誤；因?yàn)?，所以D錯(cuò)誤.故選：AB10．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知，，，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C．為鈍角 D．在方向上的投影向量為【答案】BD【詳解】因?yàn)椋?，不垂直，A錯(cuò)，因?yàn)?，所以，B對(duì)，因?yàn)?，所以，所以不是鈍角，C錯(cuò)，因?yàn)樵诜较蛏系耐队跋蛄?，D對(duì)，故選：BD.三、填空題11．（2023春·江蘇連云港·高二校聯(lián)考期中）已知向量滿足，且，則_________，在上的投影向量的坐標(biāo)為_(kāi)_____________．【答案】【詳解】?jī)蛇吰椒交?jiǎn)得：，①因?yàn)?，所以，又，代入①得：，解得：，?/p>