人教A版數(shù)學(xué)(選擇性必修一講義)第02講1.1.2空間向量的數(shù)量積運算(學(xué)生版+解析)

第02講1.1.2空間向量的數(shù)量積運算課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)①會進行空間向量的線性運算，空間向量的數(shù)量積，空間向量的夾角的相關(guān)運算.1、掌握空間向量的夾角的概念，培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng)．2、掌握空間向量的數(shù)量積的定義、性質(zhì)、運算律，提升數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng)．3、了解空間向量投影的概念以及投影向量的意義，培養(yǎng)直觀想象的核心素養(yǎng)．4、能用空間向量的數(shù)量積解決立體幾何中的垂直、夾角、長度等問題，強化數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng).知識點01：空間兩個向量的夾角1、定義：如圖已知兩個非零向量，在空間任取一點，作，，則么叫做向量的夾角，記.（特別注意向量找夾角口訣：共起點找夾角）2、范圍：．特別地，（1）如果，那么向量互相垂直，記作．(2)由概念知兩個非零向量才有夾角，當(dāng)兩非零向量同向時，夾角為0；反向時，夾角為，故(或)(為非零向量)．(3)零向量與其他向量之間不定義夾角，并約定與任何向量都是共線的，即．兩非零向量的夾角是唯一確定的．3、拓展（異面直線所成角與向量夾角聯(lián)系與區(qū)別）若兩個向量所在直線為異面直線，兩異面直線所成的角為，(1)向量夾角的范圍是0<<><，異面直線的夾角的范圍是0<<，(2)當(dāng)兩向量的夾角為銳角時，；當(dāng)兩向量的夾角為時，兩異面直線垂直；當(dāng)兩向量的夾角為鈍角時，.【即學(xué)即練1】（2023秋·高二課時練習(xí)）已知，則__________．【答案】【詳解】根據(jù)向量的夾角公式，，由于向量夾角的范圍是，故故答案為：知識點02：空間向量的數(shù)量積1、定義：已知兩個非零向量，，則叫做，的數(shù)量積，記作；即．規(guī)定：零向量與任何向量的數(shù)量積都為0.特別提醒：兩個空間向量的數(shù)量積是數(shù)量,而不是向量,它可以是正數(shù)、負(fù)數(shù)或零;2、空間向量數(shù)量積的應(yīng)用(1)利用公式可以解決空間中有關(guān)距離或長度的問題;(2)利用公式可以解決兩向量夾角,特別是兩異面直線夾角的問題;3、向量的投影3.1．如圖(1)，在空間，向量向向量投影，由于它們是自由向量，因此可以先將它們平移到同一個平面內(nèi)，進而利用平面上向量的投影，得到與向量共線的向量，向量稱為向量在向量上的投影向量．類似地，可以將向量向直線投影(如圖(2))．3.2．如圖(3)，向量向平面投影，就是分別由向量的起點和終點作平面的垂線，垂足分別為，，得到，向量稱為向量在平面上的投影向量．這時，向量，的夾角就是向量所在直線與平面所成的角．4、空間向量數(shù)量積的幾何意義：向量，的數(shù)量積等于的長度與在方向上的投影的乘積或等于的長度與在方向上的投影的乘積.5、數(shù)量積的運算：（1），.（2）(交換律)．（3）(分配律).【即學(xué)即練2】（2023春·福建寧德·高二校聯(lián)考期中）已知在標(biāo)準(zhǔn)正交基下，向量，，，則向量在上的投影為_________.【答案】【詳解】因為向量，，，因此，，所以向量在上的投影為.故答案為：知識點03：空間向量數(shù)量積的性質(zhì)（1）（2）若與同向，則；若與反向，則．特別地，．（3）.題型01空間向量的數(shù)量積（求空間向量的數(shù)量積）【典例1】（2023秋·福建福州·高二福建省福州銅盤中學(xué)校考期末）如圖所示，平行六面體中，以頂點為端點的三條棱長都為1，且兩兩夾角為，求的值是（

）A． B．1 C． D．【典例2】（2023·全國·高二專題練習(xí)）正四面體的棱長為，點、分別是、的中點，則______．【變式1】（2023秋·浙江紹興·高二統(tǒng)考期末）已知正四面體的棱長為為棱的中點，則（

）A． B． C． D．【變式2】（2023春·高二課時練習(xí)）已知空間向量滿足，且與的夾角為，則__________．題型02空間向量的數(shù)量積（空間向量的數(shù)量積的最值或范圍）【典例1】（2023春·高二課時練習(xí)）如圖，已知正方體的棱長為1，為棱上的動點，則向量在向量方向上的投影數(shù)量的取值范圍為______．【典例2】（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，在三棱錐中，，平面，于點，是的中點，，則的最小值為______．【變式1】（2023秋·湖北黃石·高二校聯(lián)考期末）已知正三棱錐的底面的邊長為2，M是空間中任意一點，則的最小值為（

）A． B． C． D．題型03利用數(shù)量積求夾角【典例1】（2023春·高二課時練習(xí)）空間四邊形中，，，則的值是（

）A． B． C． D．【典例2】（2023春·高二課時練習(xí)）如圖，在平行六面體中，以頂點為端點的三條邊的長度都為1，且兩兩夾角為60°.求與所成角的余弦值.【典例3】（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，正四面體(所有棱長均相等)的棱長為1，，，，分別是正四面體中各棱的中點，設(shè)，，，試采用向量法解決下列問題：(1)求的模長；(2)求，的夾角.【變式1】（2023·全國·高二專題練習(xí)）如圖，平行六面體中，，，與、的夾角都為求：（1）的長；

（2）與所成的角的余弦值．題型04空間向量的投影（投影向量）【典例1】（2023春·安徽合肥·高二校考開學(xué)考試）已知空間向量，，且與夾角的余弦值為，則在上的投影向量為（

）A． B． C． D．【典例2】（2023·全國·高二專題練習(xí)）在棱長為的正方體中，向量在向量方向上的投影向量的模是______．【變式1】（2023·全國·高二專題練習(xí)）如圖，已知平面，，，則向量在上的投影向量等于____.題型05空間向量中的模（距離，長度）【典例1】（2023春·四川成都·高二四川省成都市新都一中校聯(lián)考期中）已知正四面體的棱長為，若、分別是、的中點，則線段的長為（

）A．2 B．C． D．【典例2】（2023春·福建寧德·高二校聯(lián)考期中）已知單位向量，，中，，，則（

）A． B．5 C．6 D．【典例3】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知長方體的底面是邊長為的正方形，若，則該長方體的外接球的表面積為________；記分別是方向上的單位向量，且，，則（，為常數(shù)）的最小值為________．【變式1】（2023春·高一課時練習(xí)）已知，均為空間單位向量，它們的夾角為60°，那么等于（

）A． B． C． D．4【變式2】（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）四棱柱的底面是邊長為1的菱形，側(cè)棱長為2，且，則線段的長度是（

）A． B． C．3 D．題型06利用數(shù)量積證明垂直問題【典例1】（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）已知正四面體的棱長為2，點是的重心，點是線段的中點.(1)用表示，并求出；(2)求證：.【典例2】（2023春·高一課時練習(xí)）如圖，棱長為的正方體中，，分別為棱和的中點，為棱的中點.求證：

(1)平面；(2)平面平面.【變式1】（2022秋·重慶九龍坡·高二重慶實驗外國語學(xué)校?？计谀┤鐖D，已知平行六面體中，底面是邊長為1的菱形，，(1)求線段的長；(2)求證：．【變式2】（2022秋·河南周口·高二校考階段練習(xí)）如圖，正方體的棱長為．(1)求和的夾角；(2)求證：．題型07重點方法篇（利用極化恒等式求數(shù)量積最值）【典例1】（2023春·高二課時練習(xí)）已知正四棱柱中，底面邊長，，是長方體表面上一點，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【典例2】（2023秋·江西萍鄉(xiāng)·高三統(tǒng)考期末）已知球是棱長為1的正四面體的內(nèi)切球，為球的一條直徑，點為正四面體表面上的一個動點，則的取值范圍為_______________.【變式1】（2023秋·重慶·高二校聯(lián)考期末）已知是棱長為8的正方體外接球的一條直徑，點在正方體的棱上運動，則的最小值為（

）A． B． C． D．0A夯實基礎(chǔ)B能力提升C綜合素養(yǎng)A夯實基礎(chǔ)一、單選題1．（2023春·高二課時練習(xí)）在正四面體ABCD中，與的夾角等于（

）A．30° B．60° C．150° D．120°2．（2023春·高二課時練習(xí)）平行六面體中，，，則的長為（）A．10 B． C． D．3．（2023春·江蘇鹽城·高二鹽城市大豐區(qū)南陽中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在正四面體中，棱長為1，且D為棱的中點，則的值為（

）.A． B． C． D．4．（2023秋·廣東揭陽·高二統(tǒng)考期末）在空間四邊形中，等于（

）A． B．0 C．1 D．不確定5．（2023春·高二課時練習(xí)）已知空間向量兩兩夾角均為，其模均為1，則（

）A． B． C．2 D．6．（2023秋·河南新鄉(xiāng)·高二統(tǒng)考期末）《九章算術(shù)》中的“商功”篇主要講述了以立體幾何為主的各種形體體積的計算，其中塹堵是指底面為直角三角形的直棱柱．如圖，在塹堵中，分別是的中點，是的中點，，則（

）

A．4 B．5 C．6 D．87．（2023春·福建莆田·高二莆田第二十五中學(xué)校考期中）在空間，已知，為單位向量，且，若，，，則實數(shù)k的值為（

）A．－6 B．6C．3 D．－38．（2023春·安徽合肥·高二?？奸_學(xué)考試）已知空間向量，，且與夾角的余弦值為，則在上的投影向量為（

）A． B． C． D．二、多選題9．（2023秋·河北邢臺·高二邢臺一中?？计谀┤鐖D，在三棱柱中，分別是上的點，且.設(shè)，若，則下列說法中正確的是（

）A． B．C． D．10．（2023春·高二課時練習(xí)）已知為正方體，則下列說法正確的有（

）A．；B．；C．與的夾角為；D．在面對角線中與直線所成的角為的有8條三、填空題11．（2023秋·湖南衡陽·高二?？计谀┤鐖D，在直三棱柱中，，、分別為棱、的中點，則______.12．（2023秋·山東菏澤·高二統(tǒng)考期末）如圖所示，在平行六面體中，，，，為棱的中點，則______．四、解答題13．（2023春·高二課時練習(xí)）如圖，在三棱錐P-ABC中，PA⊥平面ABC，CB⊥AB，AB＝BC＝a，PA＝b.試確定在直線AB上的投影向量，并求.14．（2023春·高二課時練習(xí)）已知：如圖，OB是平面α的斜線，O為斜足，，A為垂足，，且．求證：．B能力提升1．（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知點P在棱長為2的正方體表面上運動，AB是該正方體外接球的一條直徑，則的最小值為（

）A．2 B．3 C．1 D．02．（2023春·江蘇常州·高二華羅庚中學(xué)校考階段練習(xí)）如圖已知矩形，沿對角線將折起，當(dāng)二面角的余弦值為時，則B與D之間距離為（

）A．1 B． C． D．3．（2023春·江蘇淮安·高二?？茧A段練習(xí)）如圖，在空間四邊形中，，點為的中點，設(shè).(1)試用向量表示向量；(2)若，求的值.4．（2023春·高二課時練習(xí)）如圖，在三棱錐中，平面，，，．(1)確定在平面上的投影向量，并求；(2)確定在上的投影向量，并求．C綜合素養(yǎng)1．（2023春·江蘇南京·高二南京市人民中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，三棱錐各棱的棱長是1，點是形，且.當(dāng)?shù)闹禐開_____時，能使平面

第02講1.1.2空間向量的數(shù)量積運算課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)①會進行空間向量的線性運算，空間向量的數(shù)量積，空間向量的夾角的相關(guān)運算.1、掌握空間向量的夾角的概念，培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng)．2、掌握空間向量的數(shù)量積的定義、性質(zhì)、運算律，提升數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng)．3、了解空間向量投影的概念以及投影向量的意義，培養(yǎng)直觀想象的核心素養(yǎng)．4、能用空間向量的數(shù)量積解決立體幾何中的垂直、夾角、長度等問題，強化數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng).知識點01：空間兩個向量的夾角1、定義：如圖已知兩個非零向量，在空間任取一點，作，，則么叫做向量的夾角，記.（特別注意向量找夾角口訣：共起點找夾角）2、范圍：．特別地，（1）如果，那么向量互相垂直，記作．(2)由概念知兩個非零向量才有夾角，當(dāng)兩非零向量同向時，夾角為0；反向時，夾角為，故(或)(為非零向量)．(3)零向量與其他向量之間不定義夾角，并約定與任何向量都是共線的，即．兩非零向量的夾角是唯一確定的．3、拓展（異面直線所成角與向量夾角聯(lián)系與區(qū)別）若兩個向量所在直線為異面直線，兩異面直線所成的角為，(1)向量夾角的范圍是0<<><，異面直線的夾角的范圍是0<<，(2)當(dāng)兩向量的夾角為銳角時，；當(dāng)兩向量的夾角為時，兩異面直線垂直；當(dāng)兩向量的夾角為鈍角時，.【即學(xué)即練1】（2023秋·高二課時練習(xí)）已知，則__________．【答案】【詳解】根據(jù)向量的夾角公式，，由于向量夾角的范圍是，故故答案為：知識點02：空間向量的數(shù)量積1、定義：已知兩個非零向量，，則叫做，的數(shù)量積，記作；即．規(guī)定：零向量與任何向量的數(shù)量積都為0.特別提醒：兩個空間向量的數(shù)量積是數(shù)量,而不是向量,它可以是正數(shù)、負(fù)數(shù)或零;2、空間向量數(shù)量積的應(yīng)用(1)利用公式可以解決空間中有關(guān)距離或長度的問題;(2)利用公式可以解決兩向量夾角,特別是兩異面直線夾角的問題;3、向量的投影3.1．如圖(1)，在空間，向量向向量投影，由于它們是自由向量，因此可以先將它們平移到同一個平面內(nèi)，進而利用平面上向量的投影，得到與向量共線的向量，向量稱為向量在向量上的投影向量．類似地，可以將向量向直線投影(如圖(2))．3.2．如圖(3)，向量向平面投影，就是分別由向量的起點和終點作平面的垂線，垂足分別為，，得到，向量稱為向量在平面上的投影向量．這時，向量，的夾角就是向量所在直線與平面所成的角．4、空間向量數(shù)量積的幾何意義：向量，的數(shù)量積等于的長度與在方向上的投影的乘積或等于的長度與在方向上的投影的乘積.5、數(shù)量積的運算：（1），.（2）(交換律)．（3）(分配律).【即學(xué)即練2】（2023春·福建寧德·高二校聯(lián)考期中）已知在標(biāo)準(zhǔn)正交基下，向量，，，則向量在上的投影為_________.【答案】【詳解】因為向量，，，因此，，所以向量在上的投影為.故答案為：知識點03：空間向量數(shù)量積的性質(zhì)（1）（2）若與同向，則；若與反向，則．特別地，．（3）.題型01空間向量的數(shù)量積（求空間向量的數(shù)量積）【典例1】（2023秋·福建福州·高二福建省福州銅盤中學(xué)?？计谀┤鐖D所示，平行六面體中，以頂點為端點的三條棱長都為1，且兩兩夾角為，求的值是（

）A． B．1 C． D．【答案】B【詳解】由題意得，，則,故選：B【典例2】（2023·全國·高二專題練習(xí)）正四面體的棱長為，點、分別是、的中點，則______．【答案】/-0.25【詳解】如圖所示，正四面體的棱長為，點、分別是、的中點，所以，故故答案為：【變式1】（2023秋·浙江紹興·高二統(tǒng)考期末）已知正四面體的棱長為為棱的中點，則（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】因為M是棱CD的中點，所以所以.故選：D.【變式2】（2023春·高二課時練習(xí)）已知空間向量滿足，且與的夾角為，則__________．【答案】1【詳解】由空間向量數(shù)量積的定義，.故答案為：1題型02空間向量的數(shù)量積（空間向量的數(shù)量積的最值或范圍）【典例1】（2023春·高二課時練習(xí)）如圖，已知正方體的棱長為1，為棱上的動點，則向量在向量方向上的投影數(shù)量的取值范圍為______．【答案】【詳解】由已知E為棱上的動點，設(shè)，因為，所以，所以向量在向量方向上投影數(shù)量為，又，，，所以向量在向量方向上投影的數(shù)量的取值范圍為故答案為：【典例2】（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，在三棱錐中，，平面，于點，是的中點，，則的最小值為______．【答案】/-0.125【詳解】連接，如圖，因平面ABC，平面ABC，則，而，，平面PAB，則平面PAB，又平面PAB，即有，因M是AC的中點，則，又，，當(dāng)且僅當(dāng)取“=”，所以的最小值為.故答案為：【變式1】（2023秋·湖北黃石·高二校聯(lián)考期末）已知正三棱錐的底面的邊長為2，M是空間中任意一點，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】解：設(shè)中點為,連接,設(shè)中點為,則,當(dāng)與重合時，取最小值0.此時有最小值，故選：A題型03利用數(shù)量積求夾角【典例1】（2023春·高二課時練習(xí)）空間四邊形中，，，則的值是（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】解：，所以所以，故選：D．【典例2】（2023春·高二課時練習(xí)）如圖，在平行六面體中，以頂點為端點的三條邊的長度都為1，且兩兩夾角為60°.求與所成角的余弦值.【答案】.【詳解】記，，，則，，，，，，，，，又，，即與夾角的余弦值為.【典例3】（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，正四面體(所有棱長均相等)的棱長為1，，，，分別是正四面體中各棱的中點，設(shè)，，，試采用向量法解決下列問題：(1)求的模長；(2)求，的夾角.【答案】(1)；(2)90°.【詳解】（1）因為E，F(xiàn)，G是中點，所以，因此，因為正四面體所有棱長為1，所以，所以；（2）由（1）可知：，同理，，所以，的夾角為90°.【變式1】（2023·全國·高二專題練習(xí)）如圖，平行六面體中，，，與、的夾角都為求：（1）的長；

（2）與所成的角的余弦值．【答案】（1）；（2）.【詳解】（1）設(shè)，，，所以，，因為所以平行四邊形中所以對角線的長為：.（2）由，可得，所以由，可得.所以，.題型04空間向量的投影（投影向量）【典例1】（2023春·安徽合肥·高二?？奸_學(xué)考試）已知空間向量，，且與夾角的余弦值為，則在上的投影向量為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】，，與夾角的余弦值為，在上的投影向量為.故選：D．【典例2】（2023·全國·高二專題練習(xí)）在棱長為的正方體中，向量在向量方向上的投影向量的模是______．【答案】【詳解】棱長為的正方體中向量與向量夾角為，所以向量在向量方向上的投影向量是向量在向量方向上的投影向量的模是，故答案為：【變式1】（2023·全國·高二專題練習(xí)）如圖，已知平面，，，則向量在上的投影向量等于____.【答案】【詳解】平面，則，向量在上的投影向量為故答案為：.題型05空間向量中的模（距離，長度）【典例1】（2023春·四川成都·高二四川省成都市新都一中校聯(lián)考期中）已知正四面體的棱長為，若、分別是、的中點，則線段的長為（

）A．2 B．C． D．【答案】B【詳解】，又、、兩兩的夾角均為，且，，.故選：B．【典例2】（2023春·福建寧德·高二校聯(lián)考期中）已知單位向量，，中，，，則（

）A． B．5 C．6 D．【答案】D【詳解】因為，，且，，為單位向量，則.故選：D【典例3】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知長方體的底面是邊長為的正方形，若，則該長方體的外接球的表面積為________；記分別是方向上的單位向量，且，，則（，為常數(shù)）的最小值為________．【答案】.【詳解】在中，，所以，，所以該長方體的外接球的半徑為，所以該長方體的外接球的表面積為由及可得，所以與的方向相同或與的方向相同，不妨取與的方向相同，由平面向量基本定理可得必與共面，在平面上取一點，故可設(shè)，則，所以其最小值為點到平面的最小值，即最小值為.故答案為：；【變式1】（2023春·高一課時練習(xí)）已知，均為空間單位向量，它們的夾角為60°，那么等于（

）A． B． C． D．4【答案】C【詳解】由題意可得，.故選：C【變式2】（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）四棱柱的底面是邊長為1的菱形，側(cè)棱長為2，且，則線段的長度是（

）A． B． C．3 D．【答案】D【詳解】因為，，所以，，，因為，所以，所以，即線段的長度是.故選：D.題型06利用數(shù)量積證明垂直問題【典例1】（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）已知正四面體的棱長為2，點是的重心，點是線段的中點.(1)用表示，并求出；(2)求證：.【答案】(1)，(2)證明見解析【詳解】（1）因為點是的重心，所以因為點是線段的中點，所以.因為正四面體的棱長為，所以,所以，所以.（2），所以.【典例2】（2023春·高一課時練習(xí)）如圖，棱長為的正方體中，，分別為棱和的中點，為棱的中點.求證：

(1)平面；(2)平面平面.【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【詳解】（1）正方體中，四邊形ABCD是正方形，所以.又平面，平面ABCD，所以，.又因為，，平面，所以，平面.中，E，F(xiàn)分別為AB，BC中點，所以，，所以，平面.（2）正方體中，四邊形是正方形，又F、M分別為、中點，所以，，，所以，，即.①正方體中，平面，平面，所以.②由①②及，且，平面，所以，平面，又平面，所以，平面平面.【變式1】（2022秋·重慶九龍坡·高二重慶實驗外國語學(xué)校校考期末）如圖，已知平行六面體中，底面是邊長為1的菱形，，(1)求線段的長；(2)求證：．【答案】(1)(2)證明見解析【詳解】（1）設(shè)，則，∵，則.∵，∴.故線段的長為.（2）證明：∵，∴.故.【變式2】（2022秋·河南周口·高二?？茧A段練習(xí)）如圖，正方體的棱長為．(1)求和的夾角；(2)求證：．【答案】(1)60°(2)證明見解析【詳解】（1），，．由于正方體的棱長為a，，且，，．，，．又，，．又，，與的夾角為60°．（2）證明：由（1）知，，，，．題型07重點方法篇（利用極化恒等式求數(shù)量積最值）【典例1】（2023春·高二課時練習(xí)）已知正四棱柱中，底面邊長，，是長方體表面上一點，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】取中點，則，當(dāng)為側(cè)面中點時，；的最大值為體對角線的一半，又，，即的取值范圍為.故選：B.【典例2】（2023秋·江西萍鄉(xiāng)·高三統(tǒng)考期末）已知球是棱長為1的正四面體的內(nèi)切球，為球的一條直徑，點為正四面體表面上的一個動點，則的取值范圍為_______________.【答案】【詳解】如圖所示，在邊長為1的正四面體中，設(shè)四面體內(nèi)切球球心為，內(nèi)切球半徑為，取中點為，則,,所以，因為，所以，所以，因為點P為正四面體表面上的一個動點，所以，即，因為,因為為球O的一條直徑，所以,所以，因為，所以，所以，故答案為:.【變式1】（2023秋·重慶·高二校聯(lián)考期末）已知是棱長為8的正方體外接球的一條直徑，點在正方體的棱上運動，則的最小值為（

）A． B． C． D．0【答案】C【詳解】如圖，是棱長為8的正方體外接球的一條直徑，即正方體的一條體對角線，由正方體的特征可得其外接球半徑為,設(shè)外接球球心為O，則,由于點M在正方體的棱上運動,故的最小值為球心O和棱的中點連線的長，即為正方體面對角線的一半，為，所以的最小值為，故選：CA夯實基礎(chǔ)B能力提升C綜合素養(yǎng)A夯實基礎(chǔ)一、單選題1．（2023春·高二課時練習(xí)）在正四面體ABCD中，與的夾角等于（

）A．30° B．60° C．150° D．120°【答案】D【詳解】由正四面體每個面都是正三角形可知，故選：D2．（2023春·高二課時練習(xí)）平行六面體中，，，則的長為（）A．10 B． C． D．【答案】B【詳解】如圖，

由題知，,，，.，，即的長為.故選：B3．（2023春·江蘇鹽城·高二鹽城市大豐區(qū)南陽中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在正四面體中，棱長為1，且D為棱的中點，則的值為（

）.A． B． C． D．【答案】D【詳解】如圖，因為D為棱的中點，所以，，由正四面體得性質(zhì)，與的夾角為60°，同理與的夾角為60°，，，故，故選：D.4．（2023秋·廣東揭陽·高二統(tǒng)考期末）在空間四邊形中，等于（

）A． B．0 C．1 D．不確定【答案】B【分析】令，利用空間向量的數(shù)量積運算律求解.【詳解】令，則，，.故選：B5．（2023春·高二課時練習(xí)）已知空間向量兩兩夾角均為，其模均為1，則（

）A． B． C．2 D．【答案】B【詳解】.故選：B6．（2023秋·河南新鄉(xiāng)·高二統(tǒng)考期末）《九章算術(shù)》中的“商功”篇主要講述了以立體幾何為主的各種形體體積的計算，其中塹堵是指底面為直角三角形的直棱柱．如圖，在塹堵中，分別是的中點，是的中點，，則（

）

A．4 B．5 C．6 D．8【答案】C【詳解】連接，由棱柱性質(zhì)，側(cè)棱平面，平面，則，故，又，.故選：C7．（2023春·福建莆田·高二莆田第二十五中學(xué)?？计谥校┰诳臻g，已知，為單位向量，且，若，，，則實數(shù)k的值為（

）A．－6 B．6C．3 D．－3【答案】B【詳解】由題意可得，，，所以，即2k－12＝0，得k＝6.故選：B.8．（2023春·安徽合肥·高二?？奸_學(xué)考試）已知空間向量，，且與夾角的余弦值為，則在上的投影向量為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】，，與夾角的余弦值為，在上的投影向量為.故選：D．二、多選題9．（2023秋·河北邢臺·高二邢臺一中?？计谀┤鐖D，在三棱柱中，分別是上的點，且.設(shè)，若，則下列說法中正確的是（

）A． B．C． D．【答案】BD【詳解】因為，，所以，，所以故A錯誤；因為，，，所以，所以，故B正確；因為，所以，故C錯誤；因為，，所以因為，所以，，所以，所以，故D正確.故選：BD.10．（2023春·高二課時練習(xí)）已知為正方體，則下列說法正確的有（

）A．；B．；C．與的夾角為；D．在面對角線中與直線所成的角為的有8條【答案】ABD【詳解】如圖所示：A.由向量的加法運算得，因為，所以，故正確；B.正方體的性質(zhì)易知，所以，故正確；C.因為是等邊三角形，且，所以，則與的夾角為，故錯誤；D.由正方體的性質(zhì)得過的面對角線與直線所成的角都為，這樣有4條，然后相對側(cè)面與之平行的對角線還有4條，共8條，故正確；故選：ABD三、填空題11．（2023秋·湖南衡陽·高二?？计谀┤鐖D，在直三棱柱中，，、分別為棱、的中點，則______.【答案】【詳解】因為平面，平面，則，同理可知，所以，.故答案為：.12．（2023秋·山東菏澤·高二統(tǒng)考期末）如圖所示，在平行六面體中，，，，為棱的中點，則______．【答案】/【詳解】向量的拆分，，又，，由此可得，∴．故答案為：四、解答題13．（2023春·高二課時練習(xí)）如圖，在三棱錐P-ABC中，PA⊥平面ABC，CB⊥AB，AB＝BC＝a，PA＝b.試確定在直線AB上的投影向量，并求.【答案】，【詳解】因為．又，所以在上的投影向量為：.14．（2023春·高二課時練習(xí)）已知：如圖，OB是平面α的斜線，O為斜足，，A為垂足，，且．求證：．【答案】證明見解析【詳解】因為，所以，因為，，所以，．又，所以，故．B能力提升1．（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知點P在棱長為2的正方體表面上運動，AB是該正方體外接球的一條直徑，則的最小值為（

）A．2 B．3 C．1 D．0【答案】A【詳解】由題意可得正方體外