指數(shù)函數(shù)型函數(shù)的單調(diào)性、對稱性-高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)壓軸題（選擇、填空題）（新高考地區(qū)專用）

專題07指數(shù)函數(shù)型函數(shù)的單調(diào)性、對稱性

【方法點撥】

nIIn

1.指數(shù)復(fù)合型函數(shù)/(%)=------(。＞0且。/1,相〃片0)的對稱中心為(108產(chǎn),——).

ax+m2m

記憶方法：橫下對，縱半分(即橫坐標(biāo)是使分母取對數(shù)的值，但真數(shù)為保證有意義，取的是絕對值而已,

而縱坐標(biāo)是分母、分子中的常數(shù)分別作為分母、分子的值的一半).

2X-1

2.函數(shù)/(%)=的性質(zhì)如下：

2'+1

(1)定義域是R；(2)值域是(—1,1)；

說明：形如/(x)=------的函數(shù)，即指數(shù)函數(shù)與一次分式函數(shù)復(fù)合類型的函數(shù)是重要的考察的載體，通過

2、+1

1+11

變形(部分分式)，可得到/'(x)=k：、/⑺=二：/(刈=k：等.

2+12-12-1

【典型例題】

例1已知函數(shù)小)=島-2%,則滿足不等式｛)+〃3"2)〉2的實數(shù)。的取值范圍

是.

【答案】

【解析】y=f—的對稱中心是(0,1),其定義域為R且單減

3+1

令g(x)=/(x)-l=——-2x-l,則g(九)為R上的單調(diào)遞減的奇函數(shù)

3+1

由f(a)+f(3a+2)>2得f(3a+2)-l>l-fau6aqyu

即g(3a+2)>—g(a)

因為g(x)為奇函數(shù)，故一g(a)=g(—a)

所以g(3a+2)>g(-a)

1

又g(x)在R上單減，所以3。+2<-。，解之得。<——

2

所以實數(shù)。的取值范圍是8,-g

同「Ac、幾,/、2020"+1+2019

例2已知a>0,設(shè)函數(shù)/(X)=--,-----------a--,-a--］--的-最大值、最小值分別為“、N,則M+N

2020,+1

的值為.

【答案】4039

【分析】研究函數(shù)的對稱性，利用函數(shù)g(x)=/(%)+。(其中〃龍)是奇函數(shù))在對稱區(qū)間上的最大值、最

小值的和為2a.

2020x+1+201920201+1+2020-11

【解析】/(%)=―2020

2020'+12020'+120201+1

1

設(shè)g(x)=〃x)—2020=—

2020,+1

貝ijg(-x)+g(x)=-(-----\—

+---------)=―]

202(/+12020-x+l

所以g(x)的圖象關(guān)于點(0,-g)對稱

所以/(%)的圖象關(guān)于點(0,下一)對稱

故4+N的值為4039.

1y2

例3已知函數(shù)/(x)=log1——(awl)是奇函數(shù)，設(shè)函數(shù)g(x)=/(x)+r—,xe(-l,l),

31+ax2+1

若g(m)>g(〃)，其中八,試比較加,九的大小.

【答案】m<n.

【分析】研究函數(shù)的單調(diào)性，逆用單調(diào)性脫“g”即可.

1+r2

【解析】易得a=—1,故g(x)=log1—-+--,xe(-l,l),下面考察函數(shù)的單調(diào)性.

21—X2+1

對于匕2=2—(1)=—2_1在(_1,1)單增，由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性得l0gi在(—1,1)單減；

1X1XX1,1—A

2二-在單減，由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性得二一

對于設(shè)2'=/(fe(—,—)),在(—1,1)單

2T+122t+1222X+1

減，

1+r2

再由函數(shù)單調(diào)性得性質(zhì)得g(x)=logi--+--,在xe(—1,1)單減,

鼻1x2+1

因為g(m)>g(〃)，zw,?e(-l,l),所以機<〃.

【鞏固練習(xí)】

1.已知函數(shù)/(x)=——+a的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點對稱，則實數(shù)。的值為___.

2-1

2.已知函數(shù)/(X)=0K+2X,則滿足不等式/(。)+/(3。+2)>0的實數(shù)。的取值范圍是_________.

3+1

3.已知小)=士，則…+/幽］的值為

4"+2U001JU001JU001JU001J----------

4.已知函數(shù)/(%)=亍一在區(qū)間［一匕內(nèi)上的值域為［利川，則m+n=.

2%

/(x)=a-------「a.

5.已知函數(shù)2、+1是定義域為R的奇函數(shù)，當(dāng)龍右1，刃時，不等式

/(logs2x)+/(2-mlog3%)N0恒成立，則實數(shù)m的取值范圍是

【答案與提示】

1.【答案】一1

【提示】由/(—1)+/(1)=0立得.

2.【答案】^—―+

3'-1y+1-22

【提示】/(%)=-—+2x=--------+2x=l------+2x的對稱中心是(0,0),其定義域為R且單增.

3+13+13+1

3.【答案】500

【思路一】從所求式中自變量的特征，被動發(fā)現(xiàn)函數(shù)的對稱性.設(shè)若嘗試去求

/(a)+/(I-a)的值，易得/(a)+f(l-a)=l.

【思路二】主動發(fā)現(xiàn)函數(shù)的對稱性，〃無)=且二=1-——,設(shè)g(x)=，—，則其對稱中心為pi,口，

4,+24*+24*+2(22)

則f(x)的對稱中心也為,故/(%)+/(l-x)=l.

4.【答案】2

V-12'-1

【提示】/(%)=---2x+l,g(x)=---2%^,單增.

2+12+1

5.【答案】[3,+8).

【解析】：函數(shù)是定義域為R的奇函數(shù)，

201

?,*f(0)=a—7—=0,解得a=—.

」'J2°+12

經(jīng)檢驗，當(dāng)a=；時，函數(shù)了(%)為奇函數(shù)，即所求實數(shù)°的值為;.

]2國(12巧、

設(shè)V%,%2eR且不<%2，則/(盾)―/(%2)=5一。為]一]

乙乙IJ.I4乙IJ.)

2*(2為+1)-2Xl(2f+1)_2*—2Xl

―(2.+1)(2*+1)付+1)(2*+1)，

：%2*—2為〉0，(23+1)(2*+1)>0,

???〃西)-/(%)>。即/(西)>/(々)，所以/(%)是R上的減函數(shù).

22

由f(log3x)+/(2-mlog3x)>0,可得/(log3%)>-/(2