




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文檔簡介
處理導(dǎo)數(shù)解答題的八種常用方法
一、方法:
1.列表
根據(jù)導(dǎo)函數(shù)正負(fù),推導(dǎo)原函數(shù)的單調(diào)性,列表求極值和最值。
2.分類討論
導(dǎo)函數(shù)最常用的方法,對參數(shù)進(jìn)行分段討論。
3.分離參數(shù)
對于恒成立問題和能成立問題,避免復(fù)雜的分類討論,將參數(shù)分離出來,構(gòu)造新函數(shù)求最值。
4.洛必達(dá)法則
對于端點值取不到的情況,使用洛必達(dá)法則,大題可以直接使用。
5.兩邊取對數(shù)
指數(shù)型的不等式或者連乘的不等式,可以兩邊取對數(shù),利用對數(shù)運(yùn)算降低運(yùn)算級別。
6.變換主元
若導(dǎo)數(shù)問題中含有雙變量,根據(jù)簡單原則確定主元。
7.設(shè)而不求
導(dǎo)數(shù)零點無法確定的隱零點問題,采用設(shè)而不求的方式設(shè)出零點,根據(jù)方程整體代換,再利用零點存
在定理逐步逼近零點。
8.二階求導(dǎo)
對于導(dǎo)函數(shù)無法判斷正負(fù)的情況,可以嘗試二次求導(dǎo)或者多次求導(dǎo),再根據(jù)圖像依次倒推出原函數(shù)的
單調(diào)性。
二、例題:
分離參數(shù)+列表
1.已知函數(shù)/。)=(/-。)短.
⑴若a=3,求/(%)的單調(diào)區(qū)間;
⑵已知石,々是/(%)的兩個不同的極值點,且|凡+馬因玉4I,若3/(4)<°3+不/一34+6恒成立,求實
數(shù)6的取值范圍。
解:(l)va=3,.-./(x)=(x2-3)e\r(x)=(/+2x—3)/=0nx=—3或1
令TO。,解得尤e(—應(yīng)―3)U(l,+8)令尸⑴<0,解得xe(-3,1),
???/(x)的增區(qū)間為(-應(yīng)-3),(1,+8);減區(qū)間為(-3,1),
⑵f'(x)=(x2+2x-d)ex=0,即+2x一a=0
由題意兩根為,,占+%=-2,4,%2=-。,X,.1!^+x21>|x,x2\:.-2<a<2
且△=4+4。>0,—1<。<2.
—3—3
g(a)=3/(a)—ci—tz"+3a=3(礦a)e"—/——Q-+3(i,
g\a)=3(/+a-l)(e0-1)=0=>a=1、"或a=0
(0與)--1(與,2)
a(-1,0)02
2
g'(a)+0—0+
g(a)/極大值極小值/gQ)
又g(0)=0,g(2)=6e2-8,8(嘰叱=6/-8,.?.。>6/-8.
二、分離參數(shù)+洛必達(dá)法則
2.已知函數(shù)=辦-1,(其中aeR,e為自然對數(shù)的底數(shù)).
⑴當(dāng)。=0時,求曲線"Ax)在(0,〃0))處的切線方程;
(2)當(dāng)1三1時,若關(guān)于%的不等式/⑺三0恒成立,求實數(shù)。的取值范圍.
⑶當(dāng)x三1時,若關(guān)于1的不等式/⑺三0恒成立,求實數(shù)。的取值范圍.
2
解:(1)當(dāng)。=0時,/(刈=/_三-1,"'(x)=e*-x,二/(0)=0"'(0)=1,...切線方程為丁=%.
x
(2)[方法一]2e---l
x>1,f(x)—e*-----cix-120a<---------
2x
X2r2
ex---l(x-lX---1
設(shè)g(x)=----2—,貝1Jg'(x)=-------一一
XX
設(shè)0(x)=(x-l)ex--+1,貝1J(p\x)=x(ex-1)>0,
。(%)在口,+8)上為增函數(shù),,(p(x)2(p(y)=1>0,
,V=..=匚'在"⑹上為增函數(shù),
33
,g(x)2g(l)=e—3,,?e~~o,
丫2
[方法二];/(尤)="一]一以一1,;.f\x)=ex-x-a,
設(shè)/z(x)=ex-x-a,h'(x)=ex-1,
???x20,.?.”(0=靖一120,,/7(x)=e,-x-。在口,+8)上為增函數(shù),
W)三以1)=e-1-a.(如何判斷其符號?由已知f(x)>°恒成立有/(1)>0)
丫233
又=—120恒成立,「./⑴二^—a—彳20,/.Cl
22,
,力(九)2力(1)=6—1一。>0,「.f\x)=ex-x-a>0,
23
y(x)=e,-二-0-1在口,+8)上為增函數(shù),此時/(x)Nf(X)=e-a—-NO恒成立,
22
..a一e--3-.
2
(改xNO時,『。)》0恒成立.。三1)
X2
解:先證明g(x)在(0,+8)上是增函數(shù),再由洛比達(dá)法則5T_“me'-XT,...gaAi,...aWL
iiin-iim-i
x—>0xx->0]
(正常的討論進(jìn)行不了,除非系數(shù)調(diào)到二次項上/0)=,-分兩種情況討論可得aW1)
三、兩邊取對數(shù)
3.設(shè)函數(shù)/(x)=,斗"<。>一1且XHO)
(x+1)ln(x+l)
(1)求/(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)求/(x)的取值范圍;
(3)已知2擊>(x+i)",對任意xe(-1,0)恒成立,求實數(shù)機(jī)的取值范圍。
左力/?1、「,/、ln(x+l)+l
觸⑴“8=一(X+l)[2(X+l)
當(dāng)f'(x)>。時,即ln(x+1)+1<0,-1<x<e-1-1.
當(dāng)/(x)<0時,即111。+1)+1>0,0>%>0-1-1或%>0
故函數(shù)/(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(T/-1)
函數(shù)/(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(e-T0),(0,+oo).
(2)由廣。)=。時,即ln(x+l)+l=O,x=eT-l,
由(1)可知/(X)在上遞增,在遞減,所以在區(qū)間(-1,0)上,
當(dāng)了=/-1時,Ax)取得極大值,即最大值為了(",-1)=-墳
在區(qū)間(。,+8)上,/(%)>0,
函數(shù)/(X)的取值范圍為(-s,-eRQ+s).分
m
(3),.2^>(x+l)>0,xe(-l,0)?兩邊取自然對數(shù)得±ln2>wln(x+l)
In2
>(x+l)ln(x+l)對xe(-l,O)恒成立12分
In2
則m大于的最大值,13分
(x+)ln(x+l)
由(2)可知,當(dāng)了=/-1時,—————取得最大值-gln2
(x+l)ln(x+l)
所以附>-gin2....................14分
四、兩邊取對數(shù)的技巧、換元構(gòu)造函數(shù)
丫2
4.已知函數(shù)/(元)="(1+助———.
1+X
⑴求函數(shù)/(X)的單調(diào)區(qū)間;
⑵若不等式(1+1廠we對任意的〃eN*都成立(其中e是自然對數(shù)的底數(shù)),求a的最大值.解:⑴函數(shù)
n
/(x)的定義域是(-1,+8),
21n(1+尤)x2+2x2(1+x)ln(l+x)-x2-2x
1+x(1+x)2—(1+x)2
設(shè)g(x)=2(1+x)ln(l+x)-x2-2x,則g'(x)=2ln(l+x)-2x.
令h(x)=21n(l+x)-2X貝(Jhr(x)=—-—2=—.
'91+x1+x
當(dāng)-l<x<0時,〃(x)>0,〃(x)在(一1,0)上為增函數(shù),當(dāng)x>0時,、(x)<0,〃(尤)在(0,+co)上為減
函數(shù).所以爾x)在產(chǎn)0處取得極大值,而力(0)=0,所以g'(x)<0("0),函數(shù)g(x)在(-1,+?))上為減函數(shù).
于是當(dāng)—l<x<0時,8(%)〉8(0)=0,當(dāng)天>0時,g(x)<g(0)=0.所以,當(dāng)—l<x<0時,/^)>0,/(x)
在(一1,0)上為增函數(shù).當(dāng)x>0時,/'(x)<0,/(無)在(0,+8)上為減函數(shù).
故函數(shù)/(無)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-1,0),單調(diào)遞減區(qū)間為。+8).
11
⑵不等式(1+e等價于不等式(〃+a)ln(l+-)<1.
nn
11<1
由1+—>1知,In(l+與>0,.??上式變形得一九
nn皿1+—)
n
iii
設(shè)%=一,則G(尤)=77rl—,龍€(0』,則
幾ln(l+%)x
11_(l+x)ln2(l+x)—/
G(%)=----------------------1—r=—5----------A----------.
(1+x)ln2(l+%)x2x2(l+x)ln2(l+%)
由⑴結(jié)論知,In2(1+x)--------<0,(/(%)W/(O)=。)BP(l+x)ln2(l+x)-x2<0.
1+x
所以G,(x)<0,xe(O,l],于是G(x)在(0,1]上為減函數(shù).
故函數(shù)G(x)在(0』上的最小值為G(l)=+-L
所以a的最大值為,-1.
五、變換主元
5.設(shè)函數(shù)f(x)=alnx-bx2.
⑴若函數(shù)/(X)在x=l處與直線>=-;相切:
①求實數(shù)人的值;②求函數(shù)/(X)在?、樯系淖畲笾担?/p>
e
⑵當(dāng)匕=0時,若不等式/(X)三m+x對所有的ae[O,-],xe口,/]都成立,求實數(shù)m的取值范圍.
解:(1)@f'(x)=--2bx
Xa
[f'(l)=a-2b=0(a=l
?.?函數(shù)/(X)在x=l處與直線y=W相切.?.「小;1,解得L1.
2f(1)=-b=——b=—
I22
(5)/(x)=lnx--x2,f\x)=--x=-——
2xx
當(dāng)LxVe時,令尸(x)>0得L<1;令尸(x)<0,得l<x〈e,"(X)在上單調(diào)遞增,在[1,e]
ee\_e
上單調(diào)遞減,???/'(x)max=Al)=-g.
(2)當(dāng)b=0時,/(x)=alnx若不等式/(x)之機(jī)+x對所有的ae0,|,xe(l,e2]都成立,則alnx2/"+x對
所有的ae0,!”0,/]都成立,
即mWaInx-X,對所有的。e[0,|],尤e(1,e1都成立,
令〃(a)=alnx-x,則/z(a)為一次函數(shù),m</i(a)min.
?.?xe(l,e2],,lnx>0,.1/zm)在。€[。,萬]上單調(diào)遞增,/z(?)min=h(G)=-x,
m<-x對所有的xe(1,e?]都成立.
-.■l<x<e2,.---e2<-x<-l,m<(-x)^=-e2..
(注:也可令/z(x)=aInx-則加Wh(x)所有的xe(1,e?]都成立,分類討論得m<以的血=2a-e?對所
有的ae[0《]都成立,,機(jī)V(2a-e2)而l-?2,請根據(jù)過程酌情給分)
六、二階求導(dǎo)
6.設(shè)函數(shù)/(x)=e,-gx2-x.
⑴若左=0,求若x)的最小值;
⑵若當(dāng)龍20時f(x)21,求實數(shù)Z的取值范圍.
解:(1)左=0時,f(x)=ex-x,f\x)=ex-1.
當(dāng)xe(-co,0)時,尸(x)<0;當(dāng)xe(0,+oo)時,f'(x)>0.
所以/(x)在(-8,0)上單調(diào)減小,在(0,+8)上單調(diào)增加
故/(X)的最小值為/(0)=1
(2)f\x)=ex-kx-l,f\x)=ex-k
當(dāng)左W1時,r(x)>0(x>0),所以/'⑴在[0,+⑹上遞增,
而/'(0)=0,所以尸(?20(x20),所以/⑴在[0,+8)上遞增,
而"))=1,于是當(dāng)時,/(%)>1.
當(dāng)左〉1時,由/"(x)=0得x=ln左
當(dāng)xe(0,lnQ時,rW<0,所以:(功在(0/nQ上遞減,
而八0)=0,于是當(dāng)尤e(0,lnQ時,/(九)<0,所以/(%)在(0,ln幻上遞減,
而"))=1,所以當(dāng)xe(0,lnQ時,/(%)<1.
綜上得左的取值范圍為(-8』].
七、分類討論
7.已知函數(shù),3=匕小區(qū)由
X
(I)求函數(shù)f(X)的定義域
(II)確定函數(shù)f(X)在定義域上的單調(diào)性,并證明你的結(jié)論.
(III)若x〉0時/(x)>占恒成立,求正整數(shù)N的最大值.
解:⑴定義域(-1,0)。(0,+8)
(2)/,(X)=4[^T+W+D]當(dāng)尤>0時,/'(x)<0單調(diào)遞減。
XX+1
111X
當(dāng)XG(-1,0),令g(x)=--+ln(x+1)g'(x)=----V+--=-~~
x+1(x+1)x+1(X+1)
ga)1+w)11X
g'(x)=-----T-----------二-------------T
U+l)2x+1(x+1)2
故g(x)在(―1,0)上是減函數(shù),即g(x)>g(0)=l>0,
故此時/⑺=-+ln(x+1)]
Xx+1
在(一1,0)和(0,+8)上都是減函數(shù)
(3)當(dāng)X>0時,/(%)>—^7恒成立,令1=1有%<2[l+ln2]
x+1
又k為正整數(shù),.?.!<的最大值不大于3
k
下面證明當(dāng)k=3時,/W>―r0>0)恒成立
X+1
當(dāng)x>0時(x+1)ln(x+1)+1-2x>Of旦成立
令g(x)=(x+l)ln(x+l)+l—2x貝(Jg'O)=ln(x+l)-l,當(dāng)—l時,gf(x)>0
當(dāng)0<%<e-l時,g,(x)<0:.當(dāng)x=e-1時,g(x)取得最小值g(e-l)=3-e>0
當(dāng)X>0時,(x+l)ln(x+l)+l-2%>0恒成立,因此正整數(shù)k的最大值為3
八、分離參數(shù)+設(shè)而不求
8.已知函數(shù)/'(無)=([-6x?+3x+f)e工,teR.
若存在實數(shù)te[0,2],使對任意的xe[l,向,不等式/(X)WX恒成立.求正整數(shù)加的最大值.
解:不等式/(x)Vx,即(尤3-6x2+3x+f)e"x,即/4旄一,一/+6/一3尤.
轉(zhuǎn)化為存在實數(shù)/[0,2],使對任意xe[l,%],不等式任x/-尤3+6/一3%恒成立,
即不等式04旄-,-尤3+6尤2_3》對任意xe[1,m]上恒成立。
即不等式0<e-,—_?+6x—3在x?[L間上恒成立。
x2x
設(shè)(p(x)=e~-x+6x-3,則(p'(x)=~e~-2x+6o
設(shè)廠(x)=°'(x)=-H*-2x+6,則/(x)=ef-2,因為14x4m,有r'(x)<。。
故r(x)在區(qū)間[1,間上是減函數(shù)。
Xr(l)=4-e-1>0,r(2)=2-e-2>0,r(3)=-e-3<0
故存在/e(2,3),使得r(x0)=*%)=0。
當(dāng)lWx<x()時,有d(x)>0,當(dāng)」>!時,有d(x)<0。
從而y=G(x)在區(qū)間[1,5]上遞增,在區(qū)間[%,+00)上遞減。
又火1)=1+4〉0,以2)="2+5>0,夕(3)=I+6>0,
9(4)=e-+5>0用(5)="5+2〉0,^(6)=e-6-3<0.
所以當(dāng)時,恒有0(x)>0;當(dāng)x26時,恒有。。)<0;
故使命題成立的正整數(shù)m的最大值為5.
九、設(shè)而不求+兩邊取對
9.已知函數(shù)/(x)=mrl(x+l)(x>o).
X
(I)試判斷函數(shù)/(X)在(0,+8)上單調(diào)性并證明你的結(jié)論;
(II)若/*)>々恒成立,求整數(shù)N的最大值;
(III)求證:(1+1X2)(1+2X3)…[1+〃(加l)]>e2"T.
1X11
解:(I)/'(X)=-[-----1-ln(x+1)]=—-[----+ln(x+1)]
XX+1XX+1
x>0,/.x2>0,--—>0,ln(x+1)>0,/.f\x)<0./(%)在(0,oo)上遞減.
x+1'
(II)f(x)>—恒成立,即/z(x)=a+l)[l+ln(x+l)]>々恒成立.
x+1
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