第24章 解直角三角形 綜合檢測

第24章解直角三角形綜合檢測(滿分100分，限時(shí)60分鐘)一、選擇題(每小題4分，共32分)1.(2023陜西咸陽涇陽期末)計(jì)算1-2sin245°的結(jié)果是()A.-1 B.0 C.12 2.(2023吉林長春二道月考)在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=6，下列四個(gè)選項(xiàng)，正確的是()A.tanB=43 B.tanA=34 C.sinB=35 D.cos3.(2023山西太原小店月考)數(shù)學(xué)小組探究這樣一道題：已知，tanα=2，tanβ=13，求α-β的度數(shù).該組的同學(xué)經(jīng)過思考后，畫出如圖所示的5×3的小正方形網(wǎng)格，把α和β放在網(wǎng)格中，使∠BAC=α，∠DAC=β，連結(jié)BD，得到△ABD，此時(shí)，根據(jù)網(wǎng)格可知AD=BD，∠ADB=90°.由此可知，α-β=45°.A.數(shù)形結(jié)合思想 B.分類思想 C.統(tǒng)計(jì)思想 D.方程思想4.(2023吉林大學(xué)附中期末)如圖，某地修建高速公路，要從B地向C地修一條隧道(B，C在同一水平面上)，為了測量B，C兩地之間的距離，某工程師乘坐熱氣球從C地出發(fā)，垂直上升300米到達(dá)A處，在A處觀察B地的俯角為α，則B，C兩地之間的距離為()A.300sinα米 B.300cosα米 C.300tanα米 D.5.(2022吉林長春十一高中北湖學(xué)校模擬)如圖，一座廠房屋頂人字架的跨度AC=12m，AB=BC，∠BAC=25°.若用科學(xué)計(jì)算器求AB的長，則下列按鍵順序正確的是()A.6×sin25°'″= B.6÷cos25°'″=C.6÷tan25°'″= D.12÷cos25°'″=6.(2023山西臨汾曲沃期末)定義一種公式如下：cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ，已知32sinθ+12cosθ=22A.75° B.60° C.30° D.15°7.四邊形的不穩(wěn)定性，使其在生活中得到廣泛的應(yīng)用.如圖所示的圖形為一個(gè)伸縮門的一部分，四邊形ABCD是邊長為2的正方形，通過拉伸改變內(nèi)角度數(shù)，使其變?yōu)榱庑蜛BC'D'，若∠D'AB=45°，則陰影部分的面積是()A.5+22 B.5-2 C.5+228.(2022海南?？谀M)如圖所示的是一塊光學(xué)直角棱鏡，其截面為直角三角形ABC，AB所在的面為不透光的磨砂面，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=8cm.現(xiàn)將一束單色光從AC邊上的O點(diǎn)入射，折射后到達(dá)AB邊上的D點(diǎn)，恰有CD⊥AB，再經(jīng)過反射后(即∠CDE=∠ODC)，從E點(diǎn)垂直于BC射出，則光線在棱鏡內(nèi)部經(jīng)過的路徑OD+DE的總長度為() A.12cm B.63cm C.(43+4)cm D.212二、填空題(每小題4分，共16分)9.(2023河南鶴壁淇濱期末)如圖，∠AOB=30°，點(diǎn)C在射線OB上，若OC=6，則點(diǎn)C到OA的距離等于.

10.(2022湖北荊州中考)如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，通過尺規(guī)作圖得到的直線MN分別交AB，AC于D，E，連結(jié)CD.若CE=13AE=1，則CD=11.(2023海南?？趯?shí)驗(yàn)中學(xué)期中)如圖，已知花叢中的電線桿AB上有一盞路燈A，燈光下，小明在點(diǎn)C處時(shí)，測得他的影長CD=3米，他沿BC方向行走到點(diǎn)E處時(shí)，CE=2米，測得他的影長EF=4米，如果小明的身高為1.6米，那么電線桿AB的高度等于米.

12.(2023吉林長春四十五中期末)已知直線l1∥l2∥l3，且相鄰的兩條平行直線間的距離均等，將一個(gè)含45°角的直角三角板按圖示放置，使其三個(gè)頂點(diǎn)分別在三條平行線上，則sinα的值是.

三、解答題(共52分)13.(2023河南周口實(shí)驗(yàn)中學(xué)期末)(8分)計(jì)算：(1)cos30°?tan60°?cos45°cos30°； (2)cos60°-2sin245°+32tan230°14.(8分)如圖，在△ABC中，AB=AC，∠BAC的平分線AD交BC于點(diǎn)D，E為AB的中點(diǎn).若BC=12，AD=8，求DE的長.15.(2023河南新鄉(xiāng)十中期末)(10分)周末，小華和小亮想用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識測量家門前小河的寬.測量時(shí)，他們選擇了河對岸岸邊的一棵大樹，將其底部作為點(diǎn)A，在他們所在的岸邊選擇了點(diǎn)B，使得AB與河岸垂直，并在點(diǎn)B豎起標(biāo)桿BC，再在AB的延長線上選擇點(diǎn)D，豎起標(biāo)桿DE，使得點(diǎn)E、C、A共線.CB⊥AD，ED⊥AD，測得BC=1m，DE=1.5m，BD=9m.測量示意圖如圖所示.請根據(jù)相關(guān)測量信息，求河寬AB.16.(2022福建泉州模擬)(12分)小明在某次作業(yè)中得到如下結(jié)果：sin27°+sin283°≈0.122+0.992=0.9945，sin222°+sin268°≈0.372+0.932=1.0018，sin229°+sin261°≈0.482+0.872=0.9873，sin237°+sin253°≈0.602+0.802=1.0000，sin245°+sin245°=222+2據(jù)此，小明猜想：對于任意銳角α，均有sin2α+sin2(90°-α)=1.(1)當(dāng)α=30°時(shí)，驗(yàn)證sin2α+sin2(90°-α)=1是否成立；(2)小明的猜想是否成立?若成立，請給予證明；若不成立，請舉出一個(gè)反例.17.(2022山西晉城模擬)(14分)如圖①，AB、CD是兩座垂直于同一水平地面且高度不同的鐵塔.小明和小麗為了測量兩座鐵塔的高度，從地面上的點(diǎn)E處測得鐵塔頂端A的仰角為39°，鐵塔頂端C的仰角為27°，沿著EB向前走20米到達(dá)點(diǎn)F處，測得鐵塔頂端A的仰角為53°.已知∠ABE=∠CDE=90°，點(diǎn)E、B、D構(gòu)成的△EBD中，∠EBD=90°.(1)圖②是圖①中的一部分，求鐵塔AB的高度；(2)小明說，在點(diǎn)E處只要再測量一個(gè)角，通過計(jì)算即可求出鐵塔CD的高度，那么可以測量的角為，若將這個(gè)角記為α，則鐵塔CD的高度是米；(用含α的式子表示)

(3)小麗說，除了在點(diǎn)E處測量角的度數(shù)外，還可以在點(diǎn)F處再測量一條線段的長度，通過計(jì)算也可求出鐵塔CD的高度，那么可以測量的線段是.(請寫出兩個(gè)不同的答案，可用文字描述)

（結(jié)果精確到1米，參考數(shù)據(jù)：sin39°≈35，cos39°≈34，tan39°≈45，sin27°≈920，cos27°≈910，tan27°≈12，sin53°≈45，cos53°

第24章解直角三角形綜合檢測答案全解全析1.B原式=1-2×222=1-2×12.C如圖，根據(jù)勾股定理得BC=102∴tanB=ACBC=3tanA=BCAC=43，sinB=ACABcosA=ACAB=33.A本題結(jié)合幾何圖形探究角度間的關(guān)系，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想.4.C∵∠ACB=90°，AC=300米，∠DAB=α，AD∥BC，∴∠ABC=∠DAB=α，在Rt△ABC中，BC=ACtanα=3005.B如圖，過B點(diǎn)作BD⊥AC于D，∵AB=BC，BD⊥AC，AC=12米，∴AD=CD=6米，在Rt△ADB中，∠BAC=25°，∴AB=ADcos25°=6cos25°米，即按鍵順序正確的是6÷cos25°'″6.D∵32sinθ+12cosθ=22，∴sin60°sinθ+cos60°cosθ=22.∵cos(α-β)=cossinαsinβ，∴cos(60°-θ)=cos45°，即60°-θ=45°，∴θ=15°.7.D設(shè)BC與C'D'的交點(diǎn)為E，則BE⊥C'D'，∴C'E=BC'·cosC'.∵四邊形ABC'D'為菱形，∴∠C'=∠D'AB=45°，∴C'E=BC'·cosC'=2×22=2∴BE=C'E=2，∴D'E=2-2，∴梯形D'EBA的面積=12(D'E+AB)·BE=22-1，∴陰影部分的面積=2×2-(22-1)=5-228.B∵∠ACB=90°，∠A=30°，∴∠B=60°，∵CD⊥AB，∴∠CDB=∠CDA=90°，∴∠DCB=30°，∠DCA=60°，在Rt△BCD中，BD=12BC=4cm，∴CD=3BD=43∵DE⊥BC，∴∠BDE=30°，∴BE=12BD=2cm，∠CDE=60°，∴DE=3BE=23∵∠CDE=∠ODC，∴∠ODC=60°=∠DCA，∴△OCD是等邊三角形，∴OD=CD=43cm，∴OD+DE=43+23=63(cm).9.3解析如圖，作CD⊥OA于點(diǎn)D，∵∠AOB=30°，∴CD=12OC=310.6解析如圖，連結(jié)BE，∵CE=13AE=1，∴AE=3，AC=4，根據(jù)作圖可知直線MN為線段AB的垂直平分線，∴AE=BE=3，在Rt△ECB中，BC=BE2∴AB=AC2+BC2=26，∵CD為直角三角形ABC斜邊上的中線，∴CD11.4.8解析∵CC'∥AB，∴△DC'C∽△DAB，∴C'CAB=DCDB，即1.6AB=∵EE'∥AB，∴△FE'E∽△FAB，∴EE'AB=EFBF，即1.6AB=4BC+2+4②.由①②得3BC+3=4BC+2+4，解得BC=6米，∴1.6AB=36+312.5解析本題在平行線中探究三角函數(shù)值，命題新穎.如圖，過點(diǎn)A作AD⊥l3于D，過點(diǎn)B作BE⊥l3于E，設(shè)l1，l2，l3相鄰兩條直線之間的距離d=1，∵AD⊥l3，BE⊥l3，∴∠ADC=∠BEC=90°，∵∠CAD+∠ACD=90°，∠BCE+∠ACD=90°，∴∠CAD=∠BCE，在等腰直角△ABC中，AC=BC，∴在△ACD和△CBE中，∠∴△ACD≌△CBE，∴CE=AD=2，在Rt△BCE中，BC=BE2+CE∴sinα=BEBC=15=13.解析(1)原式=32?3?223(2)原式=12-2×222+32×332-12=114.解析∵AB=AC，∠BAC的平分線AD交BC于點(diǎn)D，∴AD⊥BC，BD=CD=12BC由勾股定理得AB=AD2+BD2=82+62=10，∵E15.解析∵CB⊥AD，ED⊥AD，∴BC∥DE，∴△ABC∽△ADE，∴BCDE=ABAD.∵1m，DE=1.5m，BD=9m，∴11.5=ABAB+9，解得AB=18m，∴河寬16.解析(1)證明：當(dāng)α=30°時(shí)，sin2α+sin2(90°-α)=sin230°+sin260°=122+322=1所以，當(dāng)α=30°時(shí)，sin2α+sin2(90°-α)=1成立.(2)小明的猜想成立，證明如下：如圖，在△ABC中，∠C=90°，設(shè)∠A=α，則∠B=90°-α，∴sin2α+sin2(90°-α)=BCAB2+ACAB2=B17.解析(1)在Rt△ABE中，∠ABE=90°，∴tan39°=ABBE，即BE=ABtan39°，在Rt△∠ABF=90°，∴tan53°=ABBF，即BF=ABtan53°，∵EF=20米，∴BE-BF=ABtan39°∴AB=20tan53°·tan39°tan53°?tan39°≈40(米)，故鐵塔(2)答案不唯一，如：可以測量的角是∠BED，在Rt△ABE中，BE=ABtan39°≈50米，在Rt△BED中，DE=BEcosα=50cosα米，在Rt△