新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)：數(shù)列（測試）（解析版）

模塊四數(shù)列（測試）

（考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：150分）

第I卷

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目

要求的。

1.已知5“是數(shù)列｛%｝的前/項(xiàng)和，若q=1,用，則（）

A.數(shù)列｛%｝是等比數(shù)列B.數(shù)列｛4｝是等差數(shù)列

C.數(shù)列｛5｝是等比數(shù)列D.數(shù)列｛S,,｝是等差數(shù)列

【答案】C

1111

【解析】因s.=52+1①可得，當(dāng)“22時(shí)，②，于是，由①-②可得：Sn-Sn_l=-a?+l--an,

即見可得曝=3,因4=1,在S“=4ax中，取"=1,可得。2=2岳=2,即

22?！?

生=2*3,

ax

故數(shù)列｛%｝不是等比數(shù)列，選項(xiàng)A,B錯誤；

又因當(dāng)“eN*時(shí)，都有。"M=S”+「S”,代入S“=9“M中，可得整理得：*=3,

故數(shù)列｛5“｝是等比數(shù)列，即選項(xiàng)C正確，D錯誤.

故選：C.

2.意大利著名數(shù)學(xué)家斐波那契在研究兔子繁殖問題時(shí)，發(fā)現(xiàn)有這樣一列數(shù)：1,1,2,3,5,8,13,…，其中從第

三個(gè)數(shù)起，每一個(gè)數(shù)都等于它前面兩個(gè)數(shù)的和，人們把這樣的一列數(shù)所組成的數(shù)列也“｝稱為“斐波那契數(shù)

列”.若把該數(shù)列｛%｝的每一項(xiàng)除以3所得的余數(shù)按相對應(yīng)的順序組成新數(shù)列也｝,則數(shù)列｛bn｝的前2024

項(xiàng)和是（）

A.2275B.2276C.2277D.2278

【答案】C

【解析】1,1,2,3,5,8,13,...,

除以3所得余數(shù)分別為1,1,2,0,2,2,1,0；1,1,2,0,2,2,1,0...,

即帆｝是周期為8的周期數(shù)列，

因?yàn)?024=8x253,

b[+仇+???+4=9,

所以數(shù)列也｝的前2024項(xiàng)和為253x9=2277.

故選：C

3.已知等比數(shù)列｛。"｝的前”項(xiàng)積為S"，若如=2",則%d=()

A.16B.8C.6D.4

【答案】B

【解析】設(shè)等比數(shù)列｛?！埃墓葹閝,則%=%/…%0%i=&i=2n,貝U%=2,

所以a4a7=-^(44)=4=8.

q

故選：B.

+l

4.已知數(shù)列｛q｝的前〃項(xiàng)和為S“，an+l=Sn+T,4=2,貝”“=()

A.B.(71+1)-2"

C.77-2"-1D.n-r

【答案】D

【解析】因?yàn)榇?5“+2向，貝電+「S,=S“+2"+i,整理得費(fèi)一寸=1,

又4=2,則?一l，

因此數(shù)列[多｝是首項(xiàng)為1,公差為1的等差數(shù)列，

則￥=l+(l)xl=〃,所以5〃=加2〃.

故選：D.

3〃22/77+2w<7

:~n「一，若對任意〃cN*,都有。〃+1>風(fēng)，則實(shí)數(shù)方的取值范

(4n+94,n>7

圍是()

23923923

A.tG[3,4-00)B.te[—,—)C.tG)D.tG[7y^00)

14214214

【答案】C

【解析】當(dāng)〃e{l,2,3,4,5,6}時(shí)，an+i-an=3（〃+1）2-2/（4+1）+2-3〃2+2M-2=6〃+3-2/>0恒成立,

所以2r<6"+3對〃e｛l,2,3,4,5,6卜恒成立，故2r〈gntv?,

又當(dāng)”>7,〃eN時(shí)，氏=4〃+94為單調(diào)遞增的數(shù)列，

故要使對任意刀eN*,都有。則網(wǎng)>%，即4x8+94>3x7?-14f+2,

解得"上，

14

綜上可得優(yōu)噌23,9*,

故選:C

6.已知等差數(shù)列｛為｝中，4=100,公差1=一3,前〃項(xiàng)和為S“，則下列結(jié)論中錯誤的是()

A.數(shù)列，為等差數(shù)列

B.當(dāng)”=34時(shí)，S“值取得最大

C.存在不同的正整數(shù)V,使得s,=s,

D.所有滿足q+%=101(，</)的正整數(shù),"中，當(dāng)i=17,j=18時(shí)，值最大

【答案】C

【解析】S“=嗎+'("1討=一3"2+堊",得之=一3〃+學(xué)，數(shù)列［1］為等差數(shù)列，A正確；

"1222"22［nJ

203

當(dāng)川的對稱軸為“33.8,因?yàn)椤癳N*,所以當(dāng)〃=34時(shí)，S,值取得最大，B正確；

6

因?yàn)楫?dāng)S,的對稱軸為〃=￡20B333.8,且〃eN*,因此不存在整數(shù)對稱點(diǎn)，即不存在不同的正整數(shù)，，),使

6

得s，=Sj,C錯誤；

由題可知an=103-3n,ai+a.=103-3z+103-3j=101(z<j),解得i+j=35,

2

aiaj=(103-3z)(103-3j)=10609+9z/--309(z+j),化簡可得4%=-9z+315z-206,

根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)可知當(dāng)，=17.5時(shí),4勺取最大值,因?yàn)槎﨨*,所以當(dāng)7=17,/=18時(shí)，值最大,D

正確.

故選：C.

7.若數(shù)列｛%｝滿足二一一1=d(〃eN*,d為常數(shù))，則稱數(shù)列｛%｝為調(diào)和數(shù)歹1J.已知數(shù)列士為調(diào)和數(shù)

an+lanJ

歹(J,且x；+x；+%；+,,,+^2022=2022,則X9+X2014的最大值為（）

A.0B.2C.2A/2D.4

【答案】B

【解析】數(shù)列3為調(diào)和數(shù)列，故X；

：,27：=d,所以｛d｝為等差數(shù)列,

〔X"

fx23+%第)x2022

1

由町+x；+x；+.?.+X|022=2022,所以二一空"------二2022，

2

故%]+%2022=2,所以/+%2014=2,故為+%2014=2N2%9^2014,故工9%2014—，

由于(與+*2014)2=￥+X2014+2罰尤2014=2+2Mx刈4&4，

當(dāng)且僅當(dāng)F=々014時(shí)等號成立，故為+尤2014的最大值為2,

故選:B

33a“111

8.已知數(shù)列｛4｝的首項(xiàng)%=],且%+i—十一+…+一<2。25,則滿足條件的最大整數(shù)〃=

+1

A.2022B.2023C.2024D.2025

【答案】C

3%12%+1，所以二一

【解析】因?yàn)閝，所以——二

‘用一2%+1an+\3%3%3a

n+l

1,2

所以數(shù)列｝是等比數(shù)列，首項(xiàng)為百3,公比為g,

5

n-l

所以;l=；x1,即，=2x

=2x+1,

3anI

2

1111

所以S〃=-------1----------1-,??H--------=2x-++…++n

3II

1Y)

—X

3

=2x——+n=n+1—I

而當(dāng)時(shí)，S〃單調(diào)遞增,

門產(chǎn)4=2026一］『>2025,

又因?yàn)?2024=2025—§<2025,且S2025

所以滿足條件的最大整數(shù)〃=2024.

故選：C.

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全

部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分。

9.已知數(shù)列｛（｝中，4=1,。用=q,+2"（〃eN*）,則下列結(jié)論正確的是（）

A.%=13B.{4}是遞增數(shù)列C.aw<1000D.??+i=2a?+l

【答案】BD

【解析】由。用=。,+2"，可得需=1舞+；，則黑一1=:（祟一1），

又由4=1,可得11=一（，所以數(shù)列］果-11表示首項(xiàng)為-;，公比為3的等比數(shù)列,

所以墨一1=一"T=一9"，所以?=2"_1,

由&=24-1=15,所以A不正確;

由%.一%=2向一1-2"+1=2">。，即所以｛%｝是遞增數(shù)列，所以B正確；

由％0=21°-1=1023>1。。。，所以C錯誤；

由4m=2向-1,2%+1=2-2"-2+1=2向一1,所以ax=24+l,所以D正確.

故選：BD.

10.已知S“是等差數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和，且為>。，/+%。<。，則下列選項(xiàng)正確的是（）

A.數(shù)列｛%｝為遞減數(shù)列B.&<。

C.S”的最大值為S7D.S14>0

【答案】ABC

【解析】設(shè)等差數(shù)列｛%｝的公差為d,

由于%>0,。5+%0<°,故％+。8="5+”10<°，

則a<0,B正確；

d=a.-a1<0,則數(shù)列｛%｝為遞減數(shù)列，A正確,

由以上分析可知6嗎，…時(shí)，a?<0,

故S”的最大值為S’，C正確;

3=14（%;%）=14（%；區(qū)。）<0,D錯誤，

故選：ABC

11.已知數(shù)列｛%｝滿足q=1,^-T--=??+1--,則%023的值可能為（）

2

an

【答案】AD

【解析】由守-=an+i-,可得—"="四一-n(%。用-1)(2%+i-?,,)=0,

22an+1an2an+lan

故見。用T=°或2%+i-4=°，

當(dāng)44+「1=。時(shí)，則?！?。"+1=1，因此%=1,故4=1，。2023=1，

2022

若2%-%=0時(shí)，則｛瑪｝為等比數(shù)列，且公比為，貝1%。23=1

故選：AD

函數(shù)〃x）滿足〃》+〉）=器需

12.對于任意非零實(shí)數(shù)x,y,且“X）在（0,+8）單調(diào)遞減,

"1）=1,則下列結(jié)論正確的是（）

C./（X）為奇函數(shù)D./（X）在定義域內(nèi)單調(diào)遞減

【答案】AC

【解析］令彳=>=；,

是以/（g）=2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列,

所以

20232(1_22。23)

故。=22024-2,故B錯誤;

~1^2-

i=l7

由題意，函數(shù)“X）的定義域?yàn)椋?s，0）U（0,+s）,關(guān)于原點(diǎn)對稱,

“尤)/(-2x)

令y=-2x,則〃T)=

f(x)+f(-2x)'

/(T)/(T)

令-x代換羽y,則/(-2x)=

2/(-x)

由兩式可得/（T）=------｛「化簡可得/（-x）=-〃x）,所以/⑺為奇函數(shù)，故C正確;

/（尤）+勺2

因?yàn)?（X）在（0,+8）單調(diào)遞減，函數(shù)為奇函數(shù)，可得/（X）在（-8,0）上單調(diào)遞減，

但是不能判斷"X）在定義域上的單調(diào)性，例如/。）=!，故D錯誤.

X

故選：AC

第II卷

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

a

13.各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列｛。“｝的前〃項(xiàng)和為S“，且-卬，：小，生成等差數(shù)列，若弓=1，則

【答案】15

【解析】設(shè)等比數(shù)列何｝的公比為心

3

因?yàn)?〃1，4%，”3成等差數(shù)列,

3

以2x—a?-—6+Q3，

3

以2xaqq=-a1+qg,

因?yàn)閝=1,且各項(xiàng)均為正數(shù),

所以解得4=2,

34

所以S,=i_L?^=15.

41-2

故答案為：15

14.設(shè)數(shù)列｛g｝的前〃項(xiàng)和為S“，且〃eN*,a“>an+l,Sn<S8.請寫出一個(gè)滿足條件的數(shù)列｛a,｝的通項(xiàng)公式

【答案】8—n(答案不唯一)

【解析】因?yàn)椤╡N*“>%,則數(shù)列㈤｝遞減，又S：即"最大，所以4=8-九符合.

故答案為：8-n(答案不唯一)

10

15.已知數(shù)列｛?！埃凉M足。3=5,??+an+l=4/7,則WX，=.

z=l'

【答案】4082

【解析】因?yàn)椤?+。用=4",

所以4+〃2=4,%+〃3=8,

又〃3=5,所以〃2=3,。1=1,

因?yàn)?+〃〃+1=4"，所以an+\+°"+2=4"+4,

兩式相減得為+2-%=4,

所以｛%｝的所有奇數(shù)項(xiàng)成等差數(shù)列，首項(xiàng)為1,公差為4,

｛%｝的所有偶數(shù)項(xiàng)成等差數(shù)列，首項(xiàng)為3,公差為4,

n—1

所以當(dāng)〃為奇數(shù)時(shí)，fl?=l+(^-+l-l)x4=2?-l,

V)—2

當(dāng)"為偶數(shù)時(shí)，a?=3+(—?-+l-l)x4=2n-l,

a

綜述：n=2n—1(weN,),

所以％,=2*2-1=2陽—1,

ioo2—211x2

所以2%，=22-l+r—1+…+2U-l=(2?+23+…+2")-10=~~~—10=212-14=4082.

z=i1—2

故答案為：4082.

16.已知數(shù)列｛為｝滿足4=1,%M=2%+l(〃eN*),記數(shù)列7—守一方的前”項(xiàng)和為1.若對于

任意"cN*,不等式左恒成立，則實(shí)數(shù)上的取值范圍為.

【答案】g,+8)

【解析】由題設(shè)+1=2(%+1),而4+1=2,則依+1｝是首項(xiàng)、公比都為2的等比數(shù)列，

所以4+1=2",則%=2"-1,

%+1X11

所以

(4+2)(%+2)(2"+1)(2向+1)2"+12n+1+l

---1-------1--=-1------1--<!在

貝1|7；=-------—+----------+???+〃cN*上恒成立,

〃2+14+14+18+12"+12"+'+132"+1+13一

要使不等式%恒成立，只需左2;,所以實(shí)數(shù)左的取值范圍為今,+8).

故答案為：［；,+8)

四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步聚。

17.(10分)

已知數(shù)列何｝的前?項(xiàng)和為S?,且滿足S"="2+1.

(1)求數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式;

(2)若數(shù)列bn=(-1)"??,求數(shù)列也｝的前2n項(xiàng)和T2n.

【解析】⑴因?yàn)镾"=?+l,

當(dāng)〃=1時(shí)，4=y=『+1=2,

當(dāng)〃22時(shí)，Sn_x=(n—1)+1,貝!J=*+1—(〃-1)—l=2n—l,

一f2,〃=l

當(dāng)〃=1時(shí)，％=2〃一1不成立，所以為=《

\2n-l,n>2

—2,n=l

⑵由⑴可得K-DZ=](TX21),〃”

所以耳=-2+3-5+7-9+11-13+—+(4"-5)-(4"-3)+(4"-1)

=-2+(3-5)+(7-9)+(11-13)+---+[(4?-5)-(4??-3)]+(4?-1)

=-2-2(/!-1)+(4?-1)=2?-1,

18.(12分)

已知等差數(shù)列｛4｝的前n項(xiàng)和為Sn,且％+必=16,S5=30.

(1)求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式；

11I1

(2)求證:—+—+???+—<1.

【解析】(1)設(shè)數(shù)列｛%｝的首項(xiàng)為4,公差為d.

則%=4+(〃-l)d,S>nf=nax+

2。]+6d=164=2*

由〃2+4=16,85=30,可得5a+10d=300=>q=2〃，neN；

ld=2

(2)由(1),=2〃+〃(〃-=+貝"g"11

n(n+l)nn+1'

11111

—L-=U+i-l+...+l-J-=i—L<i

取SIS2Sn1x22x3n(n+l)223n〃+l〃+l

19.(12分)

3

數(shù)歹U{4}前”項(xiàng)和S“滿足an+x=23+3,4=3,數(shù)歹ij{%}滿足bn=log3.

⑴求數(shù)列｛%｝和也｝的通項(xiàng)公式;

⑵對任意小￡N*,將數(shù)列圾｝中落入?yún)^(qū)間（4,4+I）內(nèi)項(xiàng)的個(gè)數(shù)記為或，求數(shù)列也｝前加項(xiàng)和圖.

【解析】(1)%=3,。〃+i=2S〃+3①，當(dāng)〃=1時(shí)，％=2H+3=9,

當(dāng)〃22時(shí)，〃〃=2S〃_i+3(2),

兩式①■②得4+1-4=2%,即%=3aH,

其中%=9=3%,也滿足上式,

故｛%｝是以3為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列,

故4=%3一=3〃；

a333n

2=1嗝才=log3g=3〃_2；

79

令3m<3〃一2<3加+1,m13w-,+-<H<3"+-,又〃￡N*,

故〃=301T+1,3加1+2,…，3機(jī),貝I]%=3旭—3加一1二2?3W-1,

9.3加

故c"旦=3奈=3,所以｛1｝為等比數(shù)列，首項(xiàng)為。=2,公比為3,

Cm

而N2（1-3"）

所以（“=13/=3山_]

20.（12分）

已知數(shù)列｛叫的前W項(xiàng)和為s“，且滿足S“=一為，4=1.

（1）求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式;

2%,“為偶數(shù)

⑵設(shè)數(shù)列也｝滿足6“=%+2a.小注將，求數(shù)列出｝的前2〃項(xiàng)和&.

---------1------n------Z,〃刃可繳

.a,%+2

n+1

【解析】（1）因?yàn)?,=受為，

n

”22時(shí)，Sn_i=-??_1，

an

兩式相減得工n二-7，

a2_2%=3L4"—〃

%，%2，'an_xn-1

相乘得，二九，所以〃〃=〃（〃之2）,

當(dāng)〃=1時(shí)符合上式，

所以％=";

2”,〃為偶數(shù)

（2）4=<n+2n

---------1-—---2--,--幾-為奇數(shù)

、nn+2

當(dāng)“為奇數(shù)時(shí)優(yōu)=1+2+1-=-2=21，--二

nn+2\nn+2

=22+24+...+22n+2|1--+---+...+

I335

4（1—4〃）4n

1-42n+l

4n+1-44n

-------------1-----------

32n+l

21.（12分）

已知等比數(shù)列｛%｝的公比4>0,且qwl,首項(xiàng)的=1,前w項(xiàng)和為S”.

⑴若久2,且旦^為定值，求q的值；

?！ㄒ?

（2）若Sn+1>an+1+2an（"eN*）對任意”22恒成立，求q的取值范圍.

%（j"）

【解析】（1）易知S“l(fā)-q1\-q"q1q

an-2一（1姆-2%~'q'^-2一~q^i'尸-2

若/2,且」\為定值，

冊-2

則當(dāng)且僅當(dāng)4時(shí)，工；為定值一1.

2?！ㄒ?，

1_〃"+1

(2)因?yàn)镾加>4+I+〃(〃N2),所以T—>q"+2qi=qi(q+2),

1-q

當(dāng)4>1時(shí)，有qn+l-