高考數(shù)學(xué)專項復(fù)習(xí)訓(xùn)練：立體幾何初步

清單07立體幾何初步

空間幾何體與斜二測畫法

直線與直線的位置關(guān)系：平行、相交、異面

直線在平面內(nèi)

直線與平面的位置關(guān)系

構(gòu)成空間幾何鈾基本元素直線與平面平行

直線在外/-----------------

空間幾何體--------------直線與平面相交

平面與平面的位置關(guān)系：平行、相交

多面體：棱柱、棱錐和棱臺

空間幾/----------------------------簡單組合體的結(jié)構(gòu)特征、截面、展開圖、例面積和表面積

-------------《旋轉(zhuǎn)體：圓柱、圓錐和圓臺

祖迪原理與幾何體的體積

平面的基本性質(zhì)與推論/三個右界

---------------------------------《三個推論

空間平行線的傳遞性

空間等角定理

平行直線與異面直線判定方法：與YTO相交于一點的直線與

異面直線這個平面內(nèi)不經(jīng)過交點的直線異面

空間四邊形

立體幾何初步

判定共：如果平面夕舟)一條直線與平面內(nèi)的一條直線平行，那

空間中的鈉亍關(guān)系么這條直線與這個平面平行

性質(zhì)迎：如果平行，且經(jīng)過這條直線的平面

與這個平面相交，那么這條直線就與兩個平面的交線平行

判定定理：如果一個平面內(nèi)有兩條相交直線分別平行于另夕

面，另幽這兩個平面平行

與平面平行

性質(zhì)迎：如果兩個平行平面同時與第三個平面相交，另隱它們的交線平行

異面直線所成的角

判定定理：如果一條直線與面內(nèi)的兩條相交直線垂直，另陷城

條直線與這個平面垂直

直線與平面垂直

性質(zhì)定理：如果兩條直線垂直于同一個平面，那么這兩條直線平行

平面所頻角

空間中的垂直關(guān)系距離問題

二面角

判定鈿：如果Y平面經(jīng)過另夕一^平面的一條垂線，那么這兩個平面互相垂直

平面與平面垂直

性質(zhì)定理：如果兩個平面互相垂直，另戰(zhàn)在一個平面內(nèi)垂直于它

們交線的直線垂另一個平面

考點儕單

【考點題型一】斜二測畫法的概念及計算

1、斜二測畫法的概念：我們常用斜二測畫法畫空間圖形及水平放置的平面圖形的直觀圖.

(1)“斜”：在已知圖形的xOy平面內(nèi)與x軸垂直的線段，在直觀圖中均與%'軸承45?；?35。

(2)“二測”：兩種度量形式,即在直觀圖中，平行于久'軸或/軸的線段長度不變；

平行于y'軸的長度變成原來的一半，

2、直觀圖與原圖之間的“變”與“不變”

“三變”：(1)坐標(biāo)軸的夾角改變；(2)與y軸平行的線段長度變?yōu)樵瓉淼囊话耄?3)圖形改變.

，，三不變，，：(1)平行性不改變;(2)與x軸和z軸平行的線段長度不改變；(3)相對位置不改變.

3、直觀圖與原圖形面積的關(guān)系：按照斜二測畫法得到的平面圖形的直觀圖與原圖形面積的關(guān)系：S直觀圖=

*s原圖形；S原圖形=2吸S直觀圖.

[例1](2223高一下?天津?期末)用斜二測畫法畫水平放置的平面圖形的直觀圖時，下列結(jié)論正確的是

()

A.正方形的直觀圖是正方形

B.矩形的直觀圖是矩形

C.菱形的直觀圖是菱形

D.平行四邊形的直觀圖是平行四邊形

【答案】D

【解析】根據(jù)斜二測畫法的規(guī)則可知，平行于坐標(biāo)軸的直線平行性不變，

平行于x軸的線段長度不變，平行于y軸的線段長度減半.

對于A中，正方形的直角，在直觀圖中變?yōu)?5?；?35。,不是正方形，所以A錯誤；

對于B中，矩形的直角，在直觀圖中變?yōu)?5。或135。，不是矩形，所以B錯誤；

對于C中，菱形的對角線互相垂直平分，在直觀圖中對角線的夾角變?yōu)?5。，

所以菱形的直觀圖不是菱形，所以C錯誤；

對于D中，根據(jù)平行線不變，可知平行四邊形的直觀圖還是平行四邊形，所以D正確.故選：D.

【變式11】(2324高一下.黑龍江牡丹江期中)如圖所示，正方形OA8C的邊長為2cm,它是水平放置

的一個平面圖形的直觀圖，則原平面圖形的周長是()

D.4+4gcm

【答案】A

【解析】???直觀圖正方形O'AM。的邊長為2cm,.-.O'B'=2^2cm,

原圖形為平行四邊形Q4BC,如圖：

其中。1=2cm,高OB=2x2應(yīng)=4瓜m,

AB=CO=上+(40)2=6cm,

二原圖形的周長工=2x(2+6)=16cm.故選：A.

【變式12]（2324高一下?天津北辰期中）一個水平放置的平面圖形的斜二測直觀圖是直角梯形ABCD,

如圖所示，ZABC=45\AB=AD=1,DC1BC,則原平面圖形的面積為（）

【答案】A

【解析】如圖，在直觀圖中過點A，作AELBC交3c于點E,

因為NA8C=45°,A8=AD=1,DC_L3c,

所以CE=U>=1,BE=ABcos45°=—,§PBC=1+-

2

—D

/B（O）ECx

將直觀圖還原為平面圖如下：

所以SABCD=-1+1+*x2=2+乎?故選：A

【變式13]（2324高一下?廣東廣州?期中）如圖所示，梯形AB'C'D是平面圖形ABCD用斜二測畫法得到

的直觀圖，A'D'=2,A'B'=B'C'=1，則平面圖形ABCD中對角線AC的長度為（）

【答案】c

【解析】由直觀圖知原幾何圖形是直角梯形ABC。,如圖，

由斜二測法貝II知鉆=249=2,BC=B'C=1,

所以AC=+BC，==亞?故選:C.

【考點題型二】多面體與旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征

1、多面體的結(jié)構(gòu)特征

名稱棱柱棱錐棱臺

D'D'

S

圖形

ABABAB

底面互相平行且全等多邊形互相平行且相似

側(cè)棱平行且相等相交于一點，但不一定相等延長線交于一點，但不一定相等

側(cè)面形狀平行四邊形三角形梯形

2、旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征

名稱圓柱圓錐總圓臺球

口

圖形A

旋轉(zhuǎn)圖形矩形直角三角形直角梯形半圓形

旋轉(zhuǎn)軸任一邊所在的直線任一直角邊所在的垂直于底邊的腰直徑所在的

直線所在的直線直線

互相平行且相等，垂

母線相交于一點延長線交于一點

直于底面

軸截面全等的矩形全等的等腰三角形全等的等腰梯形圓

側(cè)面展開圖矩形扇形扇環(huán)

[例2]（2324高一下?河南濮陽月考）下列說法中錯誤的是（）

A.棱臺的上、下底面是相似且對應(yīng)邊平行的多邊形

B.用一個平行于圓錐底面的平面去截圓錐可得到圓臺

C.直角三角形繞其任一邊所在直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的幾何體都是圓錐

D.在圓柱的上、下底面的圓周上各取一點，則這兩點的連線不一定是圓柱的母線

【答案】C

【解析】由棱臺的結(jié)構(gòu)特征可知，A選項中說法正確；

由圓臺的結(jié)構(gòu)特征可知，B選項中說法正確；

直角三角形繞斜邊所在直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的幾何體，不是圓錐，

是由兩個同底圓錐組成的幾何體，C選項中的說法錯誤；

在圓柱的上、下底面的圓周上各取一點，這兩點的連線不一定是圓柱的母線，

只有當(dāng)這兩點的連線平行于軸時才是母線，D選項中說法正確.故選：C

【變式21]（2324高一下?黑龍江佳木斯?期中）下列命題中正確的是（）

A.梯形的直觀圖可能是平行四邊形

B.圓錐的軸截面是所有過頂點的截面中面積最大的一個

C.有兩個面平行且相似，其他各個面都是梯形的多面體是棱臺

D.底面是矩形的直平行六面體是長方體

【答案】D

【解析】對于A:因為梯形平行的一組對邊長度不相等，所以它們的直觀圖的長度也不相等，

故梯形的直觀圖不可能是平行四邊形，故A錯誤；

對于B：過圓錐頂點的截面為等腰三角形，且兩腰長為母線長/,

1JT

設(shè)該等腰三角形頂角為，,則截面三角形面積為S=sin，，顯然當(dāng)。=5,面積S最大，

TT

故當(dāng)圓錐的軸截面三角形頂角大于5時，圓錐的軸截面面積不一定是最大的，故B錯誤；

對于C：根據(jù)棱臺的定義，棱臺的側(cè)棱延伸后必須交于同一點，故C錯誤；

對于D:底面是矩形的直平行六面體是長方體，故D正確.故選：D

【變式22］（2324高一下?福建?期中）下列說法正確的是（）

A.圓柱的母線長與圓柱的底面圓半徑不可能相等

B.直四棱柱是長方體

C.將一個等腰梯形繞著它較長的底邊所在的直線旋轉(zhuǎn)一周，所得的幾何體是一個圓錐

D.正棱錐的側(cè)面是全等的等腰三角形

【答案】D

【解析】A.圓柱的母線長與圓柱的底面圓半徑可能相等，故A錯誤；

B.直四棱柱是底面是四邊形，側(cè)棱和底面垂直的棱柱，不一定是長方體，故B錯誤；

C.將一個等腰梯形繞著它較長的底邊所在的直線旋轉(zhuǎn)一周，

所得的幾何體是一個組合體，上下是圓錐，中間是圓柱，故C錯誤；

D.正棱錐的側(cè)面是全等的等腰三角形，故D正確.故選：D

【變式23］（2324高一下?福建福州期中）（多選）下列說法錯誤的是（）

A.直四棱柱是長方體

B.圓錐截去一個小圓錐后剩余部分是圓臺

C.棱臺的各側(cè)棱延長后必交于一點

D.棱柱中兩個互相平行的面一定是棱柱的底面

【答案】AD

【解析】對于A:因為直四棱柱上下底面平行，側(cè)棱垂直于底面，

但是上下底面可以不是矩形，所以直棱柱不一定是長方體，故A錯誤；

對于B:圓錐截去一個小圓錐后剩余部分是圓臺，故B正確；

對于C:由棱臺的定義知，棱臺的側(cè)棱延長后必交于一點，故C正確；

對于D：棱柱的兩個面平行可能是棱柱的底面也可能是棱柱的側(cè)面，故D錯誤；故選：AD.

【考點題型三】幾何體展開圖的最短距離問題

求解空間幾何體表面最短路徑問題通常涉及以下步驟：

1、化曲為直：將立體圖形展開為平面圖形，在平面圖形中將路線轉(zhuǎn)化為兩點間的距離，然后借助直角三角

形利用勾股定理求出最短路線；

2、考慮路徑選擇：在空間幾何體的表面上，從一點到另一點的最短路徑可能不是唯一的。有時需要考慮不

同的路徑選擇，例如既走側(cè)面又走底面的路徑；

3、利用幾何性質(zhì)：在某些情況下，可以利用幾何體的對稱性或者特定的幾何性質(zhì)來簡化問題。例如，在正

方體或其他規(guī)則多面體上，可以利用對稱性找到最短路徑.

[例3]（2223高一下?山東濰坊月考）如圖所示，在正三棱柱ABC-A瓦G中，AB=2,⑨=2,由頂

點B沿棱柱側(cè)面（經(jīng)過棱AA）到達頂點G,與M的交點記為M,則從點B經(jīng)點M到G的最短路線長為

【答案】B

由側(cè)面展開圖可知，當(dāng)BM,G三點共線時，從點8經(jīng)點M到G的路線最短.

所以最短路線長為BQ=A/42+22=26.故選：B.

【變式31]（2223高一下?河南鄭州?期中）如圖，正三棱錐尸-ABC中，ZBPC=20。，側(cè)棱長為4,一只

蟲子從A點出發(fā)，繞三棱錐的三個側(cè)面爬行一周后，又回到A點，則蟲子爬行的最短距離是（）

【答案】B

【解析】將正三棱錐尸-ABC沿9剪開，得到側(cè)面展開圖，如圖所示,

因為ZBPC=20°,即NAP4=60°,

由△ABC的周長為A瓦+BtCt+QA,

要使△ABC的周長的最小，則A,與C，A共線，即44+86+44=44,,

又由正三棱錐P-ABC側(cè)棱長為4,△人必是等邊三角形，

所以（陰+4G+GAL=4,即蟲子爬行的最短距離是4.故選：B.

【變式32】（2024.貴州貴陽一模）如圖，這是一座山的示意圖，山大致呈圓錐形，山腳呈圓形，半徑為

3km,山高為是山坡上一點，且AB=7km.現(xiàn)要建設(shè)一條從A到8的環(huán)山觀光公路，這條

公路從A出發(fā)后先上坡，后下坡，當(dāng)公路長度最短時，公路上坡路段長為（）

A

A.10.2kmB.12kmC.——kmD.——km

1313

【答案】D

【解析】依題意,半徑為3km,山高為3、后km,貝!］母線SA=舊+（3而了=12,

67rit

底面圓周長2助=6兀,則圓錐側(cè)面展開圖扇形的圓心角1=逐=萬,

如圖，是圓錐側(cè)面展開圖，

顯然AB=J122+5Z=13,

由點S向AB引垂線，垂足為點H,此時S”為點S和線段48上的點連線的最小值,

即點H為公路的最高點，A"段為上坡路段，的段為下坡路段，

144

由直角三角形射影定理知,BP122=13AH,解得4"=石小，

144

所以公路上坡路段長為瓦km.故選：D

【變式33］（2223高一下?全國?單元測試）如圖，已知圓柱的高為h,底面半徑為R,軸截面為矩形

A4珥，在母線網(wǎng)上有一點P,且叢=。，在母線8用上取一點Q，使用。=6，則圓柱側(cè)面上P、。兩

點的最短距離為.

【答案】《成￥+（h-a-b）2

【解析】如圖，把圓柱的半個側(cè)面展開，是一個下長為兀R,寬為〃的矩形，

BtQ=b,PA=a,過尸作,E為垂足，所以QE=h—a—b,

即可把尸。放在一個直角邊為成和人。-匕的直角三角形PQE中，

根據(jù)勾股定理可得：PQ=^PE2+QE2=&TIR）2+（h-a-b）2.

【考點題型四】空間幾何體表面積與體積計算

空間幾何體的表面積和體積公式

表面積體積

幾何體

柱體（棱柱和圓柱）s表面積=S側(cè)+2S底V=S底力

錐體（棱錐和圓錐）s表面積=s側(cè)+S底■底〃

s表面積=S側(cè)+S上+S

臺體（棱臺和圓臺）V=g（S上+s下+75上5下）〃

下

球S=4TTR2V=

【例4】（2324高一下.重慶月考）某廣場設(shè)置了一些石凳供大家休息，這些石凳是由正方體截去八個相同

的四面體得到的（如圖），若被截正方體的棱長是6dm,那么該幾何體的表面積是_____dm2.

【答案】36（3+百）

【解析】因為被截正方體的棱長是6dm,所截去八個四面體是相同的，

所以幾何體是由邊長為3亞dm的六個正方形和八個正三角形圍成的,

所以表面積為6X（3&）+8X-^X（3&）=36（3+若）dm。.

【變式41］（2324高一下?河南濮陽月考）已知正四棱臺ABC。-AgGR的上、下底面邊長分別為2和

4,直線AA,與CC,的夾角為60。，則該正四棱臺的體積為（）

.2073?28如?20A/662876

A.---------D.----C.---------D.-----

3333

【答案】D

【解析】依題意將正四棱臺ABCD-44GR補形為正四棱錐尸―ABC。，如下圖所示：

因為直線AA與CG的夾角為60。，所以△PAC為邊長為4&的等邊三角形，

又AG=272,且AC//4G,所以AG是△PAC的中位線，

T^ACC\BD=O,貝［］尸01平面ABCD,且尸0=,（44）2_（2&）2=2瓜,

所以正四棱臺ABCD-A4GA的高OQ=：PO=n,

所以四棱臺ABCD-A耳GA的體積丫=?22+42+2*4卜指=苧.故選：D

【變式42】（2324高一下.重慶.期中）（多選）在等腰梯形ABCD中，AB//DC,AB=2DC=4,

BC=45,以CD所在的直線為軸，其余三邊旋轉(zhuǎn)一周形成的面圍成一個幾何體，則下列說法正確的是

）

A.等腰梯形ABCD的高為2B.該幾何體為圓柱

c.該幾何體的表面積為（16+兀D.該幾何體的體積為飛-

【答案】ACD

【解析】因為在等腰梯形ABC。中，AB//DC,AB=2OC=4,BC=^,

過點。作。E1相交A8于點E,過點C作b1AB交AB于點尸,

貝1|AE=BF=AB、DC=1,所以=CF=-JAD2-AE2=2,

所以等腰梯形ABCD的高為2,

以8所在的直線為軸，其余三邊旋轉(zhuǎn)一周形成的面圍成一個幾何體，

則該幾何體的結(jié)構(gòu)特征為一個圓柱挖去上、下兩個圓錐，

且圓柱的底面半徑r=￡?=2，高為AB=4,

圓錐的底面半徑廠=DE=2,高為A￡=l,故A正確，B錯誤.

該幾何體的表面積S=2TIX2X4+27IX2X岔=（16+4君）兀,

140兀

體積卜=無'22*4-2*]><71乂22義1=不一,故C、D正確.故選：ACD

【變式43】（2223高一下?山東?期中）《九章算術(shù)》中對一些特殊的幾何體有特殊的稱謂，例如，將底面為

直角三角形的直三棱柱叫塹堵，將一個塹堵沿其一頂點與相對的棱刨開，得到一個陽馬（底面是長方形，

且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐，即四棱錐）和一個鱉月需（四個面均為直角三角形的四面

體，即三棱錐G-ABC）.在如圖所示的塹堵ABC-A百G中，已知AB=3,3C=4,AC=5,若鱉月需

C「ABC的體積等于12,求：

（1）求塹堵ABC-AB?的側(cè)棱長；

（2）求陽馬6-428兇的體積；

（3）求陽馬G-A理A的表面積.

【答案】（1）6;（2）24;（3）51+3屈

【解析】（1）由題設(shè)AB2+3C2=AC2,貝UAB13C,且面A3C,

設(shè)的=/?,因為匕TBC=12，所以*；43]=12,所以/z=6.

（2）由題意AA，面ABC,BCu面ABC，貝[，①,

又ABcA4,=A,且都在面內(nèi)，故BC1面42片4,

所以％一期&=:364=24?

（3）由（1）可知，CG=A4,=6,

貝（JA"=32,AC：=5?+62,BC：=4。+6?,

所以AC：=A82+8C；,即AABC為直角三角形，

Sc]_AB44=^/\ABCt+SAB^C、+S4aAC,+BtBAA

=1-3-2>/13+|-6-4+|-5-6+|-4-3+3-6=51+35/13.

【考點題型五】祖膽原理及其應(yīng)用

1、祖晅原理的內(nèi)容：幕勢既同，則積不容異。

2、祖暄原理的含義：加在兩個平行平面間的兩個幾何體，如果被平行于這兩個平面的任意平面所截，兩個

截面的面積總相等，那么這兩個幾何體的體積一定相等。

3、應(yīng)用：等地面積、等高的兩個柱體或錐體的體積相等。

[例5]（2223高一下?福建福州?期末）九章算術(shù)中，稱一個正方體內(nèi)兩個互相垂直的內(nèi)切圓柱所圍成的幾

何體為“牟合方蓋”（如圖）.現(xiàn)提供一種計算“牟合方蓋”體積的方法.顯然，正方體的內(nèi)切球同時也是“牟

合方蓋”的內(nèi)切球.因此，用任意平行于水平面的平面去截“牟合方蓋”，截面均為正方形，該平面截內(nèi)切球

得到的是上述正方形截面的內(nèi)切圓.結(jié)合祖晅原理，兩個同高的立方體，如在等高處的截面積相等，則體

積相等.若正方體的棱長為6,貝「牟合方蓋”的體積為（）

A.144B.6兀C.72D.—兀

3

【答案】A

4二

【解析】正方體的棱長。=6,則其內(nèi)切球的半徑r=3,內(nèi)切球的體積匕=§兀，=36兀.

由于截面正方形與其內(nèi)切圓的面積之比為,

Ttr7i

設(shè)牟合方蓋的體積為匕，則兀％=的，

從而牟合方蓋的體積％=也一±*=144.故選：A

7171

【變式51】（2223高一下?湖南岳陽?期末）中國南北朝時期數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家祖沖之、祖晅父子總結(jié)了魏

晉時期著名數(shù)學(xué)家劉徽的有關(guān)工作經(jīng)驗，提出“幕勢既同，則積不容異”.“幕”是截面積，“勢”是幾何體的

高.詳細點說就是，界于兩個平行平面之間的兩個幾何體，被任一平行于這兩個平面的平面所截，如果兩

個截面的面積相等，則這兩個幾何體的體積相等.上述原理在中國被稱為祖晅原理.一個上底面邊長為

2,下底面邊長為4,高為6的正四棱臺與一個不規(guī)則幾何體滿足“幕勢既同”，則該不規(guī)則幾何體的體積

為.

【答案】56

【解析】由題可得即求相應(yīng)臺體體積，

設(shè)臺體上底面面積為工=4,下底面面積為S?=16,臺體高為〃=6,

則臺體體積為g,+邑+際）〃=；x（4+16+8）x6=56.

【變式52】（2223高一下?遼寧?期末）國南北朝時期的數(shù)學(xué)家祖昭提出了一條原理：“幕勢既同，則積不容

異”即夾在兩個平行平面之間的兩個幾何體，被平行于這兩個平面的任意平面所截，如果截得的兩個截面

的面積總相等，那么這兩個幾何體的體積相等.如圖，將底面半徑都為b,高都為。＞為的半橢球（左

側(cè)圖）和已被挖去了圓錐的圓柱右側(cè)圖）（被挖去的圓錐以圓柱的上底面為底面，下底面的圓心為頂點）

放置于同一平面夕上,用平行于平面夕且與平面△任意距離1處的平面截這兩個幾何體，截面分別為圓面

和圓環(huán)，可以證明$圓=$圓環(huán)總成立.據(jù)此，圖中圓柱體（右側(cè)圖）的底面半徑b為2,高a為3,則該半橢

球體（左側(cè)圖）的體積為

【解析】根據(jù)題意，因為端=S環(huán)總成立,

i2

所以半橢球體的體積為V^-V^=nb2a--nb2a=-nb2a,

由題意知：匕=2,a=3,

2

所以半橢球體的體積為：JX7IX22X3=8TT.

【變式53】（2324高一下?湖北武漢月考）我國南北朝的偉大科學(xué)教祖晅于5世紀提出了著名的祖晅原

理，意思就是：夾在兩個平行平面之間的兩個幾何體，被平行于這兩個平面的任意平面所截，如果截得的

兩個幾截面的面積總相等，那么這兩個幾何體的體積相等.如圖1,為了求半球的體積，可以構(gòu)造一個底

面半徑和高都與半球的半徑相等的圓柱，與半球放置在同一平面上，然后在圓柱內(nèi)挖去一個以圓柱下底面

圓心為頂點，圓柱上底面為底面的圓錐后得到一個新幾何體，用任何一個平行底面的平面去截它們時，兩

個截面面積總相等.如圖2,某個清代陶瓷容器的上、下底面為互相平行的圓面（上底面開口，下底面封

閉），側(cè)面為球面的一部分，上、下底面圓半徑都為6cm,且它們的距離為24cm,則該容器的容積為

cm3（容器的厚度忽略不計）.

【解析】先求容器一半的體積V,根據(jù)圖一左圖，可知/=12/=6,

則球的半徑為R=J122+62=6萬,且上底面圓的面積為36兀，

建立一個底面半徑為6石，高為12的圓柱，如圖一右圖，

那么根據(jù)祖晅原理，挖去一個與圓柱等高的小圓錐。-鉆,

其底面面積為（6百）一兀-36兀=144兀,

所以/=嗡柱一幅錐=12x（6斯）2n-gxl2xl447r=1584兀,

所以整個容器的容積為31687t.

【考點題型六】共面、共線、共點的證明

1、證明點或線共面問題的2種方法

（1）首先由所給條件中的部分線（或點）確定一個平面，然后再證其余的線（或點）在這個平面內(nèi)；

（2）將所有條件分為兩部分，然后分別確定平面，再證兩平面重合.

2、證明點共線問題的2種方法

（1）先由兩點確定一條直線，再證其他各點都在這條直線上；

（2）直接證明這些點都在同一條特定直線（如某兩個平面的交線）上.

3、證明線共點問題的常用方法

先證其中兩條直線交于一點，再證其他直線經(jīng)過該點.

[例6]（2223高一下?安徽月考）空間四邊形ABCD,E,F,G,H分別在48,,CD,4。上，目

^^AE:EB=CF:FB=2:1,CG:GD=AH:HD=3:1.

(1)求證：￡,尸，6,〃四點共面；

(2)求證：成/,FG,2D三線共點.

【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析

【解析】(1)；AE:EB=CF:FB=2:1,EF//AC

CG:GD^AH:HD=3:1,..HG//AC

■■EF//HG,所以四點共面；

FF1GH1

{2y：EF//HG,=-,—=-,EFMGH,

AC3AC4

二四邊形EFGH為梯形，

設(shè)EHcFG=P，則PeEH,而EHu平面ABD,所以尸e平面ABD,

又PeFG,尸Gu平面BCD,所以尸e平面8C。,

而平面ABDc平面38=3。,P&BD,

?.EH,FG,BD三線共點.

【變式61】（2223高一下河南信陽期中）如圖，在正方體ABCO-ABG"中，E,尸分別是越例上的

點，且人尸=2網(wǎng),BE=2AE.

AE

（2）設(shè)[FcCE=O，證明：A,。，。三點共線.

【答案】（1）證明見祥解；（2）證明見祥解

【解析】（1）證明：如圖，連接

在正方體ABCD-ABG。中，AF=2FA,BE=2AE，所以所//Ad,

又BC〃AQ,且BC=W,

所以四邊形BCD0是平行四邊形，所以AB〃QC,

?-?EF//D.C,所以E,C,\,F四點共面；

（2）證明：由2尸cCE=。,:.OeDtF,

又RFu平面AORA,；.Oe平面,

同理Oe平面ABC。,

又平面4?？?門平面至0。=仞，

??.OeAD，即4,。，。三點共線.

【變式62】（2223高一下.河南商丘月考）如圖，在正四棱臺ABCD-4月￡〃中，AB=AA[=3.

（1）求正四棱臺ABC。-AB?A的體積；

（2）若瓦EG,“分別為棱A綜8G，ABIC的中點，證明：GE,M,即相交于一點.

【答案】（1）號；（2）證明見解析

【解析】（1）連接AGA?,取。,Q分別為AC和AG的中點,

因為ABC。-ABCR為正四棱臺，所以AG//AC,且。a為ABC。-4月6。的高，

因為A4=1,AB=AA=3,所以oq=不,

所以正四棱臺ABCD-MGP的體積為|XV7X（12+32+戶句=拿；

（2）因為E,8G,"分別為棱A4,2G，AB,BC的中點，所以M//AG，GH〃AC,ACHAfi,,

所以EF//GH,所以EfHG為梯形，則EG與尸〃必相交，

設(shè)EGcFH=P,因為EGu平面9瓦2,所以Pe平面他與內(nèi)，

因為切u平面8瓦GC,所以尸e平面BBgC,

又平面92田。平面B4GC=8瓦，所以,

所以GE,以7,2耳交于一點.

【考點題型七】線面位置關(guān)系的命題判斷

1、直觀判斷：通過實物或畫圖來直觀感受空間線面的位置關(guān)系，這有助于快速形成判斷。

2、邏輯推理：根據(jù)已知條件和線面平行、垂直的判定定理、性質(zhì)定理，進行邏輯推導(dǎo)，得出結(jié)論。

3、反例驗證：對于認為是真的命題，嘗試找出反例來驗證其真實性；對于認為是假的命題，嘗試找到支持

其真實性的證據(jù)

【例7】（2324高一下.河南商丘月考）已知名乃是兩個不同的平面，私〃是兩條不同的直線，下列說法正

確的是（）

A.若"2上有兩點到平面。距離相等，則加//a

B.若a//f3,mua,nu。,則m與〃是異面直線

C.若aH/3,mua,nu/3，則，與“沒有公共點

D.若￡門￡=%mua,則機與夕一定相交

【答案】C

【解析】對于A，加上有兩點到平面。距離相等，平面々可以過這兩點的中點，

此時機與。相交，A錯誤；

對于BC,allp,則a,"沒有公共點，由力,得機與g殳有公共點，

加與”是平行直線或者是異面直線，C正確，B錯誤；

對于D,a^/3=n,m^a,則〃z//〃或加與〃是相交直線，當(dāng)時，，〃//月,D錯誤.故選：C

【變式71]（2024.海南海口.二模）設(shè)/,m是兩條直線，。，夕是兩個平面，則（）

A.若e//6,Illa,m1113,則/〃加

B,若a///7,lUm,mL/3,貝

C.若C/,U/a,m!Ip,則/_1機

D,若a，分,Illa,mlI13,則〃/〃?

【答案】B

【解析】對于A,若a/R,l//a,mlip,貝卜與機可能平行，也可能相交，還可能異面，故A錯誤；

對于B,若/〃加,m，/3,則/，力,又a/甲,所以Ua,故B正確；

又寸于C,D,，Illa,mlIp,

貝II/與加可能平行，也可能異面或相交，故C,D錯誤；故選：B.

【變式72】（2324高一下?江蘇南京月考）已知加,“為兩條不同的直線，夕,用為兩個不同的平面，則

下列結(jié)論正確的是（）

A.若a///7,mlla,則加〃力B,若租_La,mHn,a/1/3,貝

C.若mua,wua,m///?,nl1/3,則tz〃/?D,若%_L”,mua,nu。,則

【答案】B

【解析】對于選項A,若c//，血/a,則應(yīng)力或加u4,故選項A錯誤；

對于選項B,若m_La,mlln,貝,又a〃6,貝,故選項B正確；

對于選項C,若，“ua,〃ua,ml1/3,nil[3,如果機，〃是兩條相交直線，則a//￡,

如果根〃“，則al可能相交，不一定平行，故選項C錯誤；

對于選項D,由機"L〃‘mua,〃u#,不能得出n^a,

故不能得出a"故選項D錯誤.故選：B.

【變式73】（2024.江西宜春.三模）已知私〃是空間中兩條不同的直線，。