2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第一章計(jì)數(shù)原理1.2.1第2課時(shí)排列的綜合應(yīng)用學(xué)案含解析新人教A版選修2-3

PAGE其次課時(shí)排列的綜合應(yīng)用內(nèi)容標(biāo)準(zhǔn)學(xué)科素養(yǎng)1.進(jìn)一步加深對(duì)排列概念的理解.2.駕馭幾種有限制條件的排列，能應(yīng)用排列數(shù)公式解決簡(jiǎn)潔的實(shí)際問(wèn)題.利用數(shù)字抽象加強(qiáng)數(shù)學(xué)建模授課提示：對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)第8頁(yè)[基礎(chǔ)相識(shí)]學(xué)問(wèn)點(diǎn)一排列數(shù)公式學(xué)問(wèn)梳理Aeq\o\al(m,n)＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)(n，m∈N*，m≤n)＝eq\f(n！,n－m！).Aeq\o\al(n,n)＝n(n－1)(n－2)…2·1＝n！(叫做n的階乘)．另外，我們規(guī)定0?。?.學(xué)問(wèn)點(diǎn)二排列應(yīng)用問(wèn)題學(xué)問(wèn)梳理求排列應(yīng)用題時(shí)，正確地理解題意是最關(guān)鍵的一步，要擅長(zhǎng)把題目中的文字語(yǔ)言翻譯成排列的相關(guān)術(shù)語(yǔ)．正確運(yùn)用分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理是非常重要的．分類(lèi)時(shí)，要留意各類(lèi)之間不重復(fù)、不遺漏．分步時(shí)，要留意依次做完各個(gè)步驟后，事情才能完成．假如不符合條件的狀況較少時(shí)，也可以采納解除法．解簡(jiǎn)潔的排列應(yīng)用問(wèn)題首先必需仔細(xì)分析題意，看能否把問(wèn)題歸結(jié)為排列問(wèn)題，即是否有依次，假如是，再進(jìn)一步分析這里n個(gè)不同的元素指的是什么，以及從n個(gè)不同的元素中任取m個(gè)元素的每一種排列對(duì)應(yīng)的是什么事．[自我檢測(cè)]1．已知Aeq\o\al(2,n)＝132，則n等于()A．11 B．12C．13 D．14解析：Aeq\o\al(2,n)＝n(n－1)＝132，解得，n＝12或－11(舍去)．答案：B2．北京、廣州、南京、天津4個(gè)城市相互通航，應(yīng)當(dāng)有________種機(jī)票．解析：符合題意的機(jī)票種類(lèi)有：北京廣州，北京南京，北京天津，廣州南京，廣州天津，廣州北京，南京天津，南京北京，南京廣州，天津北京，天津廣州，天津南京，共12種．答案：12授課提示：對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)第9頁(yè)探究一無(wú)限制條件的排列問(wèn)題[閱讀教材P18例3](1)從5本不同的書(shū)中選3本送給3名同學(xué)，每人各1本，共有多少種不同的送法？(2)從5種不同的書(shū)中買(mǎi)3本送給3名同學(xué)，每人各1本，共有多少種不同的送法？題型：無(wú)限制條件的排列問(wèn)題方法步驟：(1)一種送法就是三本書(shū)的一個(gè)排列，故有Aeq\o\al(3,5)＝60種不同的送法．(2)從5種書(shū)中買(mǎi)3本送給3名同學(xué)，應(yīng)分三步完成，共有5×5×5＝125種．[例1](1)有5個(gè)不同的科研小課題，從中選3個(gè)由高二(6)班的3個(gè)學(xué)習(xí)愛(ài)好小組進(jìn)行探討，每組一個(gè)課題，共有多少種不同的支配方法？(2)12名選手參與校內(nèi)歌手大獎(jiǎng)賽，競(jìng)賽設(shè)一等獎(jiǎng)、二等獎(jiǎng)、三等獎(jiǎng)各一名，每人最多獲得一種獎(jiǎng)項(xiàng)，共有多少種不同的獲獎(jiǎng)狀況？[解析](1)從5個(gè)不同的科研小課題中選出3個(gè)，由3個(gè)學(xué)習(xí)愛(ài)好小組進(jìn)行探討，對(duì)應(yīng)于從5個(gè)不同元素中取出3個(gè)元素的一個(gè)排列．因此不同的支配方法有Aeq\o\al(3,5)＝5×4×3＝60(種)．(2)從12名選手中選出3名獲獎(jiǎng)并支配獎(jiǎng)次，共有Aeq\o\al(3,12)＝12×11×10＝1320種不同的獲獎(jiǎng)狀況．方法技巧典型的排列問(wèn)題，用排列數(shù)計(jì)算其排列方法數(shù)；若不是排列問(wèn)題，需用計(jì)數(shù)原理求其方法種數(shù)．排列的概念很清晰，要從“n個(gè)不同的元素中取出m個(gè)元素”．即在排列問(wèn)題中元素不能重復(fù)選取，而在用分步乘法計(jì)數(shù)原理解決的問(wèn)題中，元素可以重復(fù)選?。櫶骄?.從1,2,3,4這四個(gè)數(shù)字中任選三個(gè)數(shù)字，共能排成多少個(gè)沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)．解析：從1,2,3,4這四個(gè)數(shù)字中任選三個(gè)數(shù)字，排成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，就是從這四個(gè)元素中任取三個(gè)式子的排列，所以共有Aeq\o\al(3,4)＝4×3×2＝24個(gè)沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)．探究二有限制條件的排列問(wèn)題1．?dāng)?shù)字排列問(wèn)題[閱讀教材P19例4]用0到9這10個(gè)數(shù)字，可以組成多少個(gè)沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)？題型：數(shù)字排列問(wèn)題方法步驟：(1)特殊元素優(yōu)先法，分含0的三位數(shù)和不含0的三位數(shù)．含0的三位數(shù)共有Aeq\o\al(1,2)Aeq\o\al(2,9)＝144，不含0的三位數(shù)共有Aeq\o\al(3,9)＝504，共有144＋504＝648.(2)特殊位置優(yōu)先法，分兩步：第一步，填百位有Aeq\o\al(1,9)種，其次步，填個(gè)位和十位有Aeq\o\al(2,9)種．共有Aeq\o\al(1,9)·Aeq\o\al(2,9)＝648.(3)間接法，Aeq\o\al(3,10)－Aeq\o\al(2,9)＝648.Aeq\o\al(2,9)表示0在百位的三位數(shù)．[例2]用0,1,2,3,4,5這六個(gè)數(shù)字：(1)能組成多少個(gè)無(wú)重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)？(2)能組成多少個(gè)無(wú)重復(fù)數(shù)字且為5的倍數(shù)的五位數(shù)？(3)能組成多少個(gè)比1325大的四位數(shù)？[解析](1)符合要求的四位偶數(shù)可分為三類(lèi)：第一類(lèi)：當(dāng)0在個(gè)位時(shí)，有Aeq\o\al(3,5)個(gè)；其次類(lèi)：當(dāng)2在個(gè)位時(shí)，千位從1,3,4,5中選定1個(gè)(Aeq\o\al(1,4)種)，十位和百位從余下的數(shù)字中選(有Aeq\o\al(2,4)種)，于是有Aeq\o\al(1,4)·Aeq\o\al(2,4)個(gè)；第三類(lèi)：當(dāng)4在個(gè)位時(shí)，與其次類(lèi)同理，也有Aeq\o\al(1,4)·Aeq\o\al(2,4)個(gè)．由分類(lèi)計(jì)數(shù)原理知，符合題意的四位偶數(shù)共有Aeq\o\al(3,5)＋Aeq\o\al(1,4)·Aeq\o\al(2,4)＋Aeq\o\al(1,4)·Aeq\o\al(2,4)＝156(個(gè))．(2)是5的倍數(shù)的五位數(shù)可分為兩類(lèi)：個(gè)位數(shù)字是0的五位數(shù)有Aeq\o\al(4,5)個(gè)；個(gè)位數(shù)字是5的五位數(shù)有Aeq\o\al(1,4)·Aeq\o\al(3,4)個(gè)．故滿(mǎn)意條件的五位數(shù)共有Aeq\o\al(4,5)＋Aeq\o\al(1,4)·Aeq\o\al(3,4)＝216(個(gè))．(3)比1325大的四位數(shù)可分為三類(lèi)：第一類(lèi)，形如2□□□，3□□□，4□□□，5□□□，共有Aeq\o\al(1,4)·Aeq\o\al(3,5)個(gè)；其次類(lèi)：形如14□□，15□□，共有Aeq\o\al(1,2)·Aeq\o\al(2,4)個(gè)；第三類(lèi)：形如134□，135□，共有Aeq\o\al(1,2)·Aeq\o\al(1,3)個(gè)．由分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理知，比1325大的四位數(shù)共有Aeq\o\al(1,4)·Aeq\o\al(3,5)＋Aeq\o\al(1,2)·Aeq\o\al(2,4)＋Aeq\o\al(1,2)·Aeq\o\al(1,3)＝270(個(gè))．方法技巧用分步排位的方法計(jì)算排列數(shù)，必需留意三個(gè)方面(1)在題設(shè)條件的限制下，依據(jù)哪些元素可取、哪些元素不行取，對(duì)每一步排位；(2)在某一步排位后，下一步排位可取元素的個(gè)數(shù)，應(yīng)視詳細(xì)狀況而定；(3)若某一步必需分類(lèi)，則分類(lèi)后各步都必需按各類(lèi)分別計(jì)算．2．排隊(duì)問(wèn)題[例3]3名男生，4名女生，依據(jù)不同的要求排隊(duì)，求不同的排隊(duì)方案的方法種數(shù)：(1)選5名同學(xué)排成一行；(2)全體站成一排，其中甲只能在中間或兩端；(3)全體站成一排，其中甲、乙必需在兩端；(4)全體站成一排，其中甲不在最左端，乙不在最右端；(5)全體站成一排，男生、女生各站在一起；(6)全體站成一排，男生必需排在一起；(7)全體站成一排，男生不能排在一起；(8)全體站成一排，男生、女生各不相鄰；(9)全體站成一排，甲、乙中間必需有2人；(10)全體站成一排，甲必需在乙的右邊；(11)全體站成一排，甲、乙、丙三人自左向右的依次不變；(12)排成前后兩排，前排3人，后排4人．[解析](1)無(wú)限制條件的排列問(wèn)題，只要從7名同學(xué)中任選5名即可，則共有N＝Aeq\o\al(5,7)＝7×6×5×4×3＝2520種不同的排隊(duì)方案．(2)(干脆分步法)先考慮甲有Aeq\o\al(1,3)種方案，再考慮其余6人全排有Aeq\o\al(6,6)種方案，故共有N＝Aeq\o\al(1,3)Aeq\o\al(6,6)＝2160種不同的排隊(duì)方案．(3)(干脆分步法)先支配甲、乙有Aeq\o\al(2,2)種方案，再支配其余5人全排有Aeq\o\al(5,5)種方案，故共有N＝Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(5,5)＝240種不同的排隊(duì)方案．(4)(法一：干脆分類(lèi)法)按甲是否在最右端分兩類(lèi)．第1類(lèi)，甲在最右端有N1＝Aeq\o\al(6,6)種不同的排隊(duì)方案；第2類(lèi)，甲不在最右端時(shí)，甲有Aeq\o\al(1,5)個(gè)位置可選，而乙也有Aeq\o\al(1,5)個(gè)位置可選，而其余全排，有N2＝Aeq\o\al(1,5)Aeq\o\al(1,5)Aeq\o\al(5,5)種不同的排隊(duì)方案．故共有N＝N1＋N2＝Aeq\o\al(6,6)＋Aeq\o\al(1,5)Aeq\o\al(1,5)Aeq\o\al(5,5)＝3720種不同的排隊(duì)方案．(法二：間接法)無(wú)限制條件的排列數(shù)共有Aeq\o\al(7,7)種，而甲或乙在左端(右端)的排法有Aeq\o\al(6,6)種，甲在左端且乙在右端的排法有Aeq\o\al(5,5)種，故共有N＝Aeq\o\al(7,7)－2Aeq\o\al(6,6)＋Aeq\o\al(5,5)＝3720種不同的排隊(duì)方案．(5)相鄰問(wèn)題(捆綁法)男生必需站在一起，是男生的全排列，有Aeq\o\al(3,3)種排法，女生必需站在一起，是女生的全排列，有Aeq\o\al(4,4)種排法，將男生、女生各視為一個(gè)元素，有Aeq\o\al(2,2)種排法．由分步乘法計(jì)數(shù)原理知，共有Aeq\o\al(3,3)Aeq\o\al(4,4)Aeq\o\al(2,2)＝288種不同的排隊(duì)方案．(6)(捆綁法)把全部男生視為一個(gè)元素，與4名女生組成5個(gè)元素并全排，故共有N＝Aeq\o\al(3,3)Aeq\o\al(5,5)＝720種不同的排隊(duì)方案．(7)即不相鄰問(wèn)題(插空法)，先排女生共有Aeq\o\al(4,4)種排法，男生在4個(gè)女生隔成的5個(gè)空當(dāng)中進(jìn)行排列，有Aeq\o\al(3,5)種排法，故共有N＝Aeq\o\al(4,4)Aeq\o\al(3,5)＝1440種不同的排隊(duì)方案．(8)對(duì)比(7)讓女生插空，共有N＝Aeq\o\al(3,3)Aeq\o\al(4,4)＝144種不同的排隊(duì)方案．(9)(捆綁法)任取2人與甲、乙組成一個(gè)整體，與余下3人全排，故共有N＝Aeq\o\al(2,5)Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(4,4)＝960種不同的排隊(duì)方案．(10)甲與乙之間的左右關(guān)系各占一半，故N＝eq\f(A\o\al(7,7),A\o\al(2,2))＝2520種不同的排隊(duì)方案．(11)甲、乙、丙自左向右的依次保持不變，即為全部甲、乙、丙排列的eq\f(1,A\o\al(3,3))，故共有N＝eq\f(A\o\al(7,7),A\o\al(3,3))＝840種不同的排隊(duì)方案．(12)干脆分步完成，共有Aeq\o\al(3,7)Aeq\o\al(4,4)＝5040種不同的排隊(duì)方案．方法技巧1.處理元素“相鄰”“不相鄰”問(wèn)題應(yīng)遵循“先整體，后局部”的原則．元素相鄰問(wèn)題，一般用“捆綁法”，先把相鄰的若干個(gè)元素“捆綁”為一個(gè)大元素與其余元素全排列，然后再松綁，將這若干個(gè)元素內(nèi)部全排列．元素不相鄰問(wèn)題，一般用“插空法”，先將不相鄰元素以外的“一般”元素全排列，然后在“一般”元素之間及兩端插入不相鄰元素．2．“在”與“不在”排列問(wèn)題解題原則及方法(1)原則：解“在”與“不在”的有限制條件的排列問(wèn)題時(shí)，可以從元素入手也可以從位置入手，原則是誰(shuí)特殊誰(shuí)優(yōu)先．(2)方法：從元素入手時(shí)，先給特殊元素支配位置，再把其他元素支配在其他位置上，從位置入手時(shí)，先支配特殊位置，再支配其他位置．提示：解題時(shí)，或從元素考慮，或從位置考慮，都要貫徹究竟．不能一會(huì)考慮元素，一會(huì)考慮位置，造成分類(lèi)、分步混亂，導(dǎo)致解題錯(cuò)誤．3．在有些排列問(wèn)題中，某些元素有前后依次是確定的(不肯定相鄰)，解決這類(lèi)問(wèn)題的基本方法有兩種：(1)整體法，即若有m＋n個(gè)元素排成一列，其中m個(gè)元素之間的先后依次確定不變，先將這m＋n個(gè)元素排成一列，有Aeq\o\al(m＋n,m＋n)種不同的排法；然后任取一個(gè)排列，固定其他n個(gè)元素的位置不動(dòng)，把這m個(gè)元素交換依次，有Aeq\o\al(m,m)種排法，其中只有一個(gè)排列是我們須要的，因此共有eq\f(A\o\al(m＋n,m＋n),A\o\al(m,m))種滿(mǎn)意條件的不同排法．(2)逐一插空法，即m個(gè)元素之間的先后依次確定不變，因此先排這m個(gè)元素，只有一種排法，然后把剩下的n個(gè)元素分類(lèi)或分步插入由以上m個(gè)元素形成的空隙中．跟蹤探究2.用1,2,3,4,5,6,7這7個(gè)數(shù)字組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)．(1)假如組成的四位數(shù)必需是偶數(shù)，那么這樣的四位數(shù)有多少個(gè)？(2)假如組成的四位數(shù)必需大于6500，那么這樣的四位數(shù)有多少個(gè)？解析：(1)第一步排個(gè)位上的數(shù)，因?yàn)榻M成的四位數(shù)必需是偶數(shù)，個(gè)位數(shù)字只能是2,4,6之一，所以有Aeq\o\al(1,3)種排法；其次步排千、百、十這三個(gè)數(shù)位上的數(shù)字，有Aeq\o\al(3,6)種排法．依據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，符合條件的四位數(shù)的個(gè)數(shù)是Aeq\o\al(1,3)·Aeq\o\al(3,6)＝3×6×5×4＝360.故這樣的四位數(shù)有360個(gè)．(2)因?yàn)榻M成的四位數(shù)要大于6500，所以千位上的數(shù)字只能取7或6.排法可以分兩類(lèi)．第一類(lèi)：千位上排7，有Aeq\o\al(3,6)種不同的排法；其次類(lèi)：若千位上排6，則百位上可排7或5，十位和個(gè)位可以從余下的數(shù)字中取2個(gè)來(lái)排，共有Aeq\o\al(1,2)·Aeq\o\al(2,5)種不同的排法．依據(jù)分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理，符合條件的四位數(shù)的個(gè)數(shù)是Aeq\o\al(3,6)＋Aeq\o\al(1,2)·Aeq\o\al(2,5)＝160.故這樣的四位數(shù)有160個(gè)．授課提示：對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)第10頁(yè)[課后小結(jié)]求解排列問(wèn)題的主要方法：干脆法把符合條件的排列數(shù)干脆列式計(jì)算優(yōu)先法優(yōu)先支配特殊元素或特殊位置捆綁法把相鄰元素看作一個(gè)整體與其他元素一起排列，同時(shí)留意捆綁元素的內(nèi)部排列插空法對(duì)不相鄰問(wèn)題，先考慮不受限制的元素的排列，再將不相鄰的元素插在前面元素排列的空當(dāng)中定序問(wèn)題除法處理對(duì)于定序問(wèn)題，可先不考慮依次限制，排列后，再除以定序元素的全排列間接法正難則反，等價(jià)轉(zhuǎn)化的方法[素養(yǎng)培優(yōu)]多種方法解決排列問(wèn)題有4名男生、5名女生，全體排成一行，問(wèn)下列情形各有多少種不同的排法？(1)甲不在中間，也不在兩端；(2)甲、乙兩人必需排在兩端；(3)男女相間．審題視點(diǎn)：這是一個(gè)排列問(wèn)題，一般狀況