湖北省云學(xué)名校2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷含答案

湖北省云學(xué)名校2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷考試時間：2023年11月23號14：30～16：30時長：120分鐘滿分：150分一、單選題：（本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．）1．“”是“直線與直線平行”的（）A．充要條件 B．充分不必要條件 C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件2．如圖是某個閉合電路的一部分，每個元件的可靠性是，則從A到B這部分電路暢通的概率為（）A． B． C． D．3．已知雙曲線，F(xiàn)為其右焦點(diǎn)，過F點(diǎn)的直線與雙曲線相交于A，B兩點(diǎn)，若，則這樣的直線l的條數(shù)為（）A．1條 B．2條 C．3條 D．4條4．設(shè)l，m，n表示不同的直線，α，β，γ表示不同的平面，下列命題中正確的是（）A．若，，則 B．若，，，則C．若，，則 D．若，，，則5．點(diǎn)P是橢圓C：上任一動點(diǎn)，定點(diǎn)，F(xiàn)為右焦點(diǎn)，則的最小值為（）A．1 B．3 C． D．6．若實(shí)數(shù)x、y滿足條件，則的范圍是（）A． B． C． D．7．已知圓C：，AB是圓C上的一條動弦，且，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則的最小值為（）A． B． C． D．8．已知雙曲線C：的左、右焦點(diǎn)分別為，，過的直線與C的左支交于A，B兩點(diǎn)，且，，則C的漸近線為（）A． B． C． D．二、多選題：（本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的2分，有選錯的得0分．）9．下列說法中正確的有（）A．在x軸、y軸上的截距分別為a，b的直線方程為B．直線的一個方向向量為C．若點(diǎn)和點(diǎn)關(guān)于直線對稱，則D．過點(diǎn)的直線l分別交x，y的正半軸于A，B，則面積的最小值為810．甲、乙各投擲一枚骰子，下列說法正確的是（）A．事件“甲投得1點(diǎn)”與事件“甲投得2點(diǎn)”是互斥事件B．事件“甲、乙都投得1點(diǎn)”與事件“甲、乙不全投得2點(diǎn)”是對立事件C．事件“甲投得1點(diǎn)”與事件“乙投得2點(diǎn)”是相互獨(dú)立事件D．事件“至少有1人投得1點(diǎn)”與事件“甲投得1點(diǎn)且乙沒投得2點(diǎn)”是相互獨(dú)立事件11．如圖所示，正方體的棱長為1，E、F、G分別為BC、、的中點(diǎn)，則下列說法正確的是（）A．直線與直線所成角的余弦值為 B．點(diǎn)到距離為C．直線與平面AEF平行 D．三棱錐的體積為12．已知，是橢圓C：的左右焦點(diǎn)，點(diǎn)M在C上，且，則下列說法正確的是（）A．的面積是 B．的內(nèi)切圓的半徑為C．M的縱坐標(biāo)為2 D．若點(diǎn)P是C上的一動點(diǎn)，則的最大值為6三、填空題：（本題共4小題，每小題5分，共20分．）13．已知雙曲線的漸近線方程為，則雙曲線的離心率為______．14．已知空間向量，，，若，，共面，則實(shí)數(shù)______．15．已知直線l：與x軸交于點(diǎn)M，圓O：，P為直線l上一動點(diǎn)，過P點(diǎn)引圓O的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，則點(diǎn)M到直線AB的距離最大值為______．16．已知橢圓，經(jīng)過仿射變換，則橢圓變?yōu)榱藞A，并且變換過程有如下對應(yīng)關(guān)系：①點(diǎn)變?yōu)椋虎谥本€斜率k變?yōu)?，對?yīng)直線的斜率比不變；③圖形面積S變?yōu)?，對?yīng)圖形面積比不變；④點(diǎn)、線、面位置不變（平行直線還是平行直線，相交直線還是相交直線，中點(diǎn)依然是中點(diǎn)，相切依然是相切等）．過橢圓內(nèi)一點(diǎn)作一直線與橢圓相交于C兩點(diǎn)，則的面積的最大值為______．四、解答題：（本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．）17．（本小題10分）已知直線l：，．（1）證明：直線l過定點(diǎn)P，并求出P點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）直線l與坐標(biāo)軸的分別交于點(diǎn)A，B，當(dāng)截距相等時，求直線l的方程．18．（本小題12分）已知圓O：及點(diǎn)，動點(diǎn)P在圓O上運(yùn)動，線段MP的中點(diǎn)為Q．（1）求點(diǎn)Q的軌跡方程；（2）過點(diǎn)作直線l與Q的軌跡交于A，B兩點(diǎn)，滿足，求直線l的方程．19．（本小題12分）2023年10月22日，漢江生態(tài)城2023襄陽馬拉松在湖北省襄陽市成功舉行，志愿者的服務(wù)工作是馬拉松成功舉辦的重要保障，襄陽市新時代文明實(shí)踐中心承辦了志愿者選拔的面試工作．現(xiàn)隨機(jī)抽取了100名候選者的面試成績，并分成五組：第一組，第二組，第三組，第四組，第五組，繪制成如圖所示的頻率分布直方圖．已知第一、二組的頻率之和為0.3，第一組和第五組的頻率相同．（1）估計(jì)這100名候選者面試成績的平均數(shù)和第25百分位數(shù)；（2）現(xiàn)從以上各組中用分層隨機(jī)抽樣的方法選取20人，擔(dān)任本市的宣傳者．①現(xiàn)計(jì)劃從第一組和第二組抽取的人中，再隨機(jī)抽取2名作為組長．求選出的兩人來自不同組的概率．②若本市宣傳者中第二組面試者的面試成績的平均數(shù)和方差分別為62和40，第四組面試者的面試成績的平均數(shù)和方差分別為80和70，據(jù)此估計(jì)這次第二組和第四組面試者所有人的方差．20．（本小題12分）已知雙曲線的漸近線方程為，且點(diǎn)在雙曲線上．（1）求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．（2）過點(diǎn)的直線l與雙曲線相交于A，B兩點(diǎn)；①若A，B兩點(diǎn)分別位于雙曲線的兩支上，求直線l的斜率的取值范圍；②若，求此時直線l的方程．21．（本小題12分）如圖所示，在四棱錐中，平面平面ABCD，底面ABCD為直角梯形，，，，，E，F(xiàn)分別為，PC的中點(diǎn)．（1）證明：；（2）若PC與AB所成角的正切值為，求二面角的大小．22．（本小題12分）已知橢圓C的方程為，其離心率為，，為橢圓的左右焦點(diǎn)，過作一條不平行于坐標(biāo)軸的直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)，的周長為．（1）求橢圓C的方程；（2）過B作x軸的垂線交橢圓于點(diǎn)D．①試討論直線AD是否恒過定點(diǎn)，若是，求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若不是，請說明理由．②求面積的最大值．

湖北省云學(xué)名校2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)評分細(xì)則1．A解析：由題可得：當(dāng)直線平行時，，，當(dāng)時，兩直線重合，故：，選A．2．A解析：上半部分電路暢通的概率為：，下半部分電路暢通的概率為，上下兩部分并聯(lián)，暢通的概率為：，故選A．3．C解析：當(dāng)弦AB在雙曲線同一支上時，通徑最短為3，當(dāng)弦AB在雙曲線的兩支上時，長軸最短為4，，在同一支上時有兩條直線，在兩支上時有一條直線，故C．4．C解析：對于選項(xiàng)A，若，，則與可能會相交或平行，故選項(xiàng)A錯誤；對于選項(xiàng)B，若，，，則m，n可能會平行、相交或異面，故選項(xiàng)B錯誤；對于選項(xiàng)C，若，且，根據(jù)線面垂直可知，．故選項(xiàng)C正確；對于選項(xiàng)D，若，，，則α與β可能會相交或平行，故選項(xiàng)D錯誤．故選：B．5．D解析：為左焦點(diǎn)，，故選D．6．B解析：，由斜率的幾何意義和變化情況，選擇B7．A解析：設(shè)弦AB的中點(diǎn)為H，則，且，所以：，所以，點(diǎn)H在以C為圓心，1為半徑的圓上，所以：故選A．8．A解析：如圖．設(shè)，，則，在中有勾股定理：，解得：，在中有勾股定理：解得：，所以，故選A．9．BC解析：A選項(xiàng)中的直線不能表示截距為0的直線，故A選項(xiàng)錯誤．B選項(xiàng)中的直線的一個方向向量為，與年行．故B選項(xiàng)確．C選項(xiàng)中AB被已知直線垂直平分，滿足，即，故C選項(xiàng)正確．D選項(xiàng)中直線l方程可設(shè)為：，過，所以：，故：，∴．，故D選項(xiàng)錯誤．10．AC解析：顯然，A選項(xiàng)正確，B選項(xiàng)錯誤，C選項(xiàng)正確．D選項(xiàng)中至少一人投6點(diǎn)的事件為M，則，甲投6點(diǎn)且乙沒投得6點(diǎn)事件為N，則為，，，故D選項(xiàng)錯誤．11．ACD解析：在棱長為1的正方體中，建立D以為原點(diǎn)，以DA，DC，所在的直線為x軸、y軸、z軸的空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，E、F、G分別為BC、、，的中點(diǎn)，則、、、，A選項(xiàng)，，，，，故A正確B選項(xiàng)，、，∴，，，點(diǎn)到AF距離為，故B錯誤，C選項(xiàng)，連接、，∵，∴A、、E、F四點(diǎn)共面，∵、，∴四邊形為平行四邊形，∴，又平面AEF，平面AEF，∴平面AEF，故C正確，D選項(xiàng)，因?yàn)槠矫鍭EF，∴，故D正確12．ABD解析：如圖所示，令A(yù)選項(xiàng)，中的直線不能表示截距為，故A選項(xiàng)正確．B選項(xiàng)，由，可得：，故B選項(xiàng)正確．C選項(xiàng)，由，可得：，故C選項(xiàng)錯誤．D選項(xiàng)，，故D選項(xiàng)正確．13．解析：當(dāng)雙曲線為時，，．當(dāng)雙曲線為時，，．綜上：或14．解析：由題可得：，故：，，，解得．15．解析：設(shè)，則過P點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)AB弦的直線方程為，又因?yàn)椋篜在直線l上，故：，故：切點(diǎn)弦AB的直線恒過定點(diǎn)，點(diǎn)到直線AB的最大距離為．16．解析：，，，有仿射變換，橢圓方程變換為：，變換為，如圖所示：所以：而：，所以：，即的最大面積為1．17．解析：（1），變形為：所以：解得，，所以直線l恒過定點(diǎn)．（2）解法1：當(dāng)截距為0時，即直線l過原點(diǎn)，設(shè)直線l方程為：，所以，，此時直線l方程為：．當(dāng)截距不為0時，設(shè)直線l方程為：，直線過點(diǎn)，故：，∴，此時直線l的方程為：．綜上：滿足條件的直線l的方程為：或．解法2：由題意可得，且，令，得令，得，由題意得，∴，或當(dāng)時，直線l的方程為；當(dāng)時，直線l的方程為18．解析：（1）解法1：設(shè)，，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得：解得：由于點(diǎn)P在圓O：上，所以：，代入可得：化簡可得點(diǎn)Q的軌跡方程為：．解法2：設(shè)線段OM的中點(diǎn)為N，連接NQ∵Q為的中點(diǎn)，∴，∴點(diǎn)Q的軌跡為以N為圓心，1為半徑的圓，則點(diǎn)Q的軌跡方程為：．（2）當(dāng)k不存在時，直線l的方程為．此時圓心Q到直線l的距離為所以：滿足條件．當(dāng)k存在時，直線l的方程為，設(shè)圓心Q到直線l的距離為d則，所以：而Q到直線l的距離為，解得：此時直線l方程為：．綜上：滿足條件的直線l的方程為：或，19．解析：（1）由題意可知：，解得，可知每組的頻率依次為，，，，，所以平均數(shù)等于，因?yàn)椋O(shè)第25百分位數(shù)為，則，解得，第25百分位數(shù)為63．（2）①根據(jù)分層抽樣，和的頻率比為，故在和中分別選取1人和5人，分別編號為A和1，2，3，4，5，則在這6人中隨機(jī)抽取兩個的樣本空間包含的樣本點(diǎn)有：，，，，A5，12，13，14，15，23，24，25，34，35，45，共15個，即，記事件B“兩人來自不同組”，則B包含的樣本點(diǎn)有，，，，共5個，即，所以②設(shè)第二組、第四組的平均數(shù)與方差分別為，，，，且兩組頻率之比為，成績在第二組、第四組的平均數(shù)成績在第二組、第四組的方差，故估計(jì)成績在第二組、第四組的方差是．20．解析：（1）雙曲線的漸近線為，可設(shè)雙曲線的方程為：又點(diǎn)在雙曲線上，所以：雙曲線的方程為：（2）①當(dāng)k不存在時，直線l交雙曲線于左支上兩點(diǎn)，不符合題意．當(dāng)k存在時，直線l的方程可設(shè)為：，設(shè)，聯(lián)立雙曲線方程：，由題：∴．②由，可得：當(dāng)直線l與x軸重合時，，，此時，不滿足條件；直線l的方程設(shè)為：，聯(lián)立方程可得：，，由，可得：代入上式可得：，，解得：，故：．此時直線l的方程為：或．21．解析：（1）因?yàn)?，面面ABCD面ABCD，所以：面PAD面PAD，所以：．（2）因?yàn)?，，所以又面面ABCD，面面ABCD所以面ABCD，面ABCD故：又：，，故：四邊形DEBC為平行四邊形，故：以E原點(diǎn)，，，所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立直角坐標(biāo)系，設(shè)∴，，，∴，設(shè)異面直線AB與PC所成的角為α，由題：，則，∴因?yàn)槊鍭BCD，故：面ABE的法向量為設(shè)：面FBE的法向最為，，，，取，則，設(shè)面BEF與面ABCD所成的銳二面角為θ，則，所以：，即：面BEF與面ABCD所成的二面角的大小為．補(bǔ)充評分標(biāo)準(zhǔn)：1．第一問定理?xiàng)l件不完備扣1分：2．直接建系未證明扣2分，證明了但不完整扣1分：3．a(chǎn)的值錯誤得分不超過6分；4．法向量算錯得分不超過9分，5結(jié)論錯誤寫為扣1分．22．解析：（1）由題：的周長∴，又，∴，故：橢圓的方程為．（2）①由題可設(shè)直線A