黑龍江省哈爾濱市2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期10月月考 數(shù)學(xué)試卷含答案

數(shù)學(xué)試題一、單選題1．在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)坐標(biāo)是（

）A． B． C． D．答案：C解：在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱的點(diǎn)坐標(biāo)為.故選：C.2．若向量是空間中的一個(gè)基底，那么對(duì)任意一個(gè)空間向量，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組，使得：，我們把有序?qū)崝?shù)組叫做基底下向量的斜坐標(biāo).設(shè)向量在基底下的斜坐標(biāo)為，則向量在基底下的斜坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．答案：D解：由題意可得，設(shè)，即有即可得，解得，即即向量在基底下的斜坐標(biāo)為.故選：D.3．已知兩條直線，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件答案：A解：當(dāng)時(shí)，，則，所以“”是“”的充分不必要條件.故選：A4．已知平面的一個(gè)法向量，點(diǎn)在平面內(nèi)，若點(diǎn)到的距離為，則（

）A．16 B． C．4或 D．或16答案：C解：由點(diǎn)在平面內(nèi)，若點(diǎn)，可得，因?yàn)槠矫娴囊粋€(gè)法向量，且點(diǎn)到的距離為，可得，即，解得或.故選：C.5．已知點(diǎn)，，若過點(diǎn)的直線與線段AB相交，則該直線斜率的取值范圍是（

）A． B．C． D．答案：B解：解：記為點(diǎn)，直線的斜率，直線的斜率，因?yàn)橹本€l過點(diǎn)，且與線段相交，結(jié)合圖象，可得直線的斜率的取值范圍是．故選：B．6．直線過點(diǎn)，則直線與軸、軸的正半軸圍成的三角形的面積最小值為（

）A．9 B．12 C．18 D．24答案：B解：設(shè)直線：，，因?yàn)橹本€過點(diǎn)，所以，即，所以，解得，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)等號(hào)成立，則直線與軸、軸的正半軸圍城的三角形面積.故選：B.7．如圖，在平行六面體中，，，，則的長(zhǎng)為（

）A． B．C． D．答案：A解：平行六面體中，，因?yàn)?，，，，所以，所以，即的長(zhǎng)為.故選：A.8．正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，所有棱長(zhǎng)均為2，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為棱BB1，A1C1的中點(diǎn)，若過點(diǎn)A，E，F(xiàn)作一截面，則截面的周長(zhǎng)為（）A．2+2 B． C． D．答案：B解：如圖，在正三棱柱中，延長(zhǎng)AF與CC1的延長(zhǎng)線交于M，連接EM交B1C1于P，連接FP，則四邊形AEPF為所求截面.過E作EN平行于BC交CC1于N，則N為線段CC1的中點(diǎn)，由相似于可得MC1=2，由相似于可得：，在中，，則，在中，，則，在中，，則，在中，，由余弦定理：，則，所以截面周長(zhǎng)為：.故選：B.9．下列命題中正確的是（

）A．若向量滿足，則向量的夾角是鈍角B．若是空間的一組基底，且，則四點(diǎn)共面C．若向量是空間的一個(gè)基底，若向量，則也是空間的一個(gè)基底D．若直線的方向向量為，平面的法向量為，則直線與平面所成角的余弦值為答案：BC解：對(duì)A：若，則向量的夾角是鈍角或向量反向共線，故A錯(cuò)誤；對(duì)B：，即有，故四點(diǎn)共面，故B正確；對(duì)C：假設(shè)不是空間中的一個(gè)基底，則存在實(shí)數(shù)，使，即，由向量是空間的一個(gè)基底，則向量不共面，故不存在這樣的實(shí)數(shù)，即是空間的一個(gè)基底，故C正確；對(duì)D：設(shè)直線與平面所成角為，則，由題意可得，，則，故D錯(cuò)誤.故選：BC.10．以下四個(gè)命題為真命題的是（）A．過點(diǎn)且在x軸上的截距是在y軸上截距的4倍的直線的方程為B．直線的傾斜角的范圍是C．直線與直線之間的距離是D．直線恒過定點(diǎn)答案：BD解：對(duì)于A，當(dāng)直線過原點(diǎn)時(shí)，方程為，當(dāng)直線不過原點(diǎn)時(shí)，設(shè)方程為，則，解得，所以直線方程為，綜上，所求直線方程為或，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，直線的斜率，所以傾斜角的范圍是，故B正確；對(duì)于C，直線，即為，故直線與直線之間的距離為，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由，得，由，解得，所以定點(diǎn)為，故D正確.故選：BD.11．如圖，在多面體中，平面，四邊形是正方形，且，，分別是線段的中點(diǎn)，是線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（含端點(diǎn)），則下列說法正確的是（

）A．不存在點(diǎn)，使得B．存在點(diǎn)，使得異面直線與所成的角為C．三棱錐體積的最大值是D．當(dāng)點(diǎn)自向處運(yùn)動(dòng)時(shí)，直線與平面所成的角逐漸增大答案：CD解：以為坐標(biāo)原點(diǎn)，正方向?yàn)檩S，可建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，，對(duì)于A，假設(shè)存在點(diǎn)，使得，由，，所以，解得，即點(diǎn)Q與D重合時(shí)，，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，假設(shè)存在點(diǎn)，使得異面直線NQ與SA所成的角為，由，，所以，方程無解；所以不存在點(diǎn)Q，使得異面直線NQ與SA所成的角為，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，連接；設(shè)，因?yàn)?，所以?dāng)，即點(diǎn)Q與點(diǎn)D重合時(shí)，取得最大值2，又點(diǎn)N到平面AMQ的距離，所以，C正確；對(duì)于D，由上解題思路知：，，若是面QMN的法向量，則，令，則，得，因?yàn)?，設(shè)直線DC與平面QMN所成的角為，，所以，當(dāng)點(diǎn)Q自D向C處運(yùn)動(dòng)時(shí)，的值由0到2變大，此時(shí)也逐漸增大，因?yàn)樵跒樵龊瘮?shù)，所以也逐漸增大，故D正確.故選：CD.三、填空題12．已知，則向量在上的投影向量的坐標(biāo)是．答案：解：因?yàn)?，，所以，向量在上的投影向量是，其坐?biāo)為.故答案為：.13．當(dāng)點(diǎn)到直線l：距離的最大值時(shí)，直線l的一般式方程是．答案：解：解：∵直線l：，∴可將直線方程變形為，∴，解得，，由此可得直線l恒過點(diǎn)，所以P到直線l的最遠(yuǎn)距離為，此時(shí)直線垂直于PA．∵，∴直線l的斜率為，∴，∴，∴直線l的一般方程為．故答案為：．14．離散曲率是刻畫空間彎曲性的重要指標(biāo)．設(shè)P為多面體的一個(gè)頂點(diǎn)，定義多面體在點(diǎn)P處的離散曲率為，其中（，2，……，k，）為多面體的所有與點(diǎn)P相鄰的頂點(diǎn)，且平面，平面，…，平面和平面為多面體的所有以P為公共點(diǎn)的面.如圖，四棱錐的底面是邊長(zhǎng)為2的菱形，且，頂點(diǎn)S在底面的射影O為的中點(diǎn).若該四棱錐在S處的離散曲率，則直線與平面所成角的正弦值為.

答案：解：由題意可知，四棱錐的四個(gè)側(cè)面三角形全等，則，因?yàn)樗睦忮F在處的離散曲率，則，，設(shè)，則，又，則，而，所以，解得，作于，則為的中點(diǎn)，因?yàn)槭钦切危?，作于，則，且，則，連接，由平面，平面，所以，，平面，所以平面，平面，所以平面平面，又平面平面，作于，則平面，所以即是直線與平面所成角，則.故答案為：.

四、解答題15．已知直線，.(1)若坐標(biāo)原點(diǎn)O到直線m的距離為，求a的值；(2)當(dāng)時(shí)，直線l過m與n的交點(diǎn)，且它在兩坐標(biāo)軸上的截距相反，求直線l的方程.答案：(1)或(2)或解：（1）設(shè)原點(diǎn)O到直線m的距離為，則，解得或；（2）由解得，即m與n的交點(diǎn)為.當(dāng)直線l過原點(diǎn)時(shí)，此時(shí)直線斜率為，所以直線l的方程為；當(dāng)直線l不過原點(diǎn)時(shí)，設(shè)l的方程為，將代入得，所以直線l的方程為.故滿足條件的直線l的方程為或.16．已知的頂點(diǎn)邊上的中線所在直線的方程為的平分線所在直線的方程為.(1)求直線的方程和點(diǎn)C的坐標(biāo)；(2)求的面積．答案：(1)，，(2).解：（1）由點(diǎn)在上，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)是，則的中點(diǎn)在直線上，于是，解得，即點(diǎn)，設(shè)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，則有，解得，即，顯然點(diǎn)在直線上，直線的斜率為，因此直線的方程為，即，由，解得，則點(diǎn)，所以直線的方程為，點(diǎn)C的坐標(biāo)為.

（2）由（1）得，點(diǎn)到直線的距離，所以的面積.17．如圖，在四棱錐中，平面平面，，，，，，．(1)求證：平面．(2)在棱上是否存在點(diǎn)，使得平面？若存在，求的值；若不存在，說明理由．答案：(1)證明見解析；(2)存在，的值為.解：(1)因?yàn)槠矫嫫矫?，且平面平面，，平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，又因?yàn)?，，所以平?(2)假設(shè)在棱上是否存在點(diǎn)，使得平面，取中點(diǎn)，連接，，如下圖：因?yàn)?，，所以，，從而，故平面，又因?yàn)槠矫嫫矫?，且平面平面，所以平面，以為坐?biāo)原點(diǎn)，，，為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，如下圖：由題意可知，，，，，設(shè)，因?yàn)辄c(diǎn)在棱上，故，，所以，故，設(shè)平面的法向量為，故，令，則，，從而平面的法向量可以取，因?yàn)槠矫?，所以，解得，，故假設(shè)成立，存在這樣的點(diǎn)，使得平面，此時(shí)，即，從而.18．已知兩個(gè)非零向量，，在空間任取一點(diǎn)，作，，則叫做向量，的夾角，記作.定義與的“向量積”為：是一個(gè)向量，它與向量，都垂直，它的模.如圖，在四棱錐中，底面為矩形，底面，，為上一點(diǎn)，.(1)求的長(zhǎng)；(2)若為的中點(diǎn)，求二面角的余弦值；答案：(1)2(2)解：（1）因?yàn)榈酌鏋榫匦?，所以，，因?yàn)榈酌?，底面，所以，又，，平面，所以平面，又平面，所以，因?yàn)?，所以為直線與所成的角，即，設(shè)（），則，，在中，，又，所以，解得或（舍去），所以.（2）在平面內(nèi)過點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，連接，因?yàn)榈酌?，底面，所以，又，，，平面，所以平面，又平面，所以，所以為二面角的平面角，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，，所以，設(shè)二面角的平面角為，則，所以，即二面角的余弦值為.19．如圖①所示，矩形中，，，點(diǎn)M是邊的中點(diǎn)，將沿翻折到，連接，，得到圖②的四棱錐，N為中點(diǎn)，

(1)若平面平面，求直線與平面所成角的大?。?2)設(shè)的大小為，若，求平面和平面夾角余弦值的最小值.答案：(1)；(2)解：（1）取中點(diǎn)，連接，由，得，而平面平面，平面平面平面，則平面，過作，則平面，又平面，于是，在矩形中，，，則，以點(diǎn)為原點(diǎn)，直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，

則，，設(shè)平面的法向量為，則，令，得，設(shè)直線BC與平面所成的角為，則，所以直