河南省許平汝名校2024−2025學(xué)年高三上學(xué)期10月期中考試 數(shù)學(xué)試題含答案

河南省許平汝名校2024?2025學(xué)年高三上學(xué)期10月期中考試數(shù)學(xué)試題一、單選題（本大題共8小題）1．已知集合，則的真子集個數(shù)為（

）A．2 B．3 C．4 D．52．已知，，向量，滿足，則“，不共線”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件3．已知，，，則（

）A． B． C． D．4．若曲線與軸，直線的交點(diǎn)分別為為坐標(biāo)原點(diǎn)，則向量與夾角的余弦值為（

）A． B． C． D．5．已知是以為直徑的圓上一點(diǎn)，為的中點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．6．已知角的始邊為軸的非負(fù)半軸，終邊過點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．7．已知函數(shù)（為常數(shù)），若在上的最大值為，最小值為，且，則（

）A．6 B．4 C．3 D．28．在中，角為銳角，的面積為，且，則周長的最小值為（

）A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．已知函數(shù)，則（

）A．為偶函數(shù) B．的最小正周期為C．在區(qū)間上單調(diào)遞減 D．在上有4個零點(diǎn)10．若實(shí)數(shù)滿足，則（

）A． B．C． D．11．已知函數(shù)，則（

）A．的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱B．為奇函數(shù)C．是的極小值點(diǎn)D．在上有極值三、填空題（本大題共3小題）12．已知，則曲線在點(diǎn)處的切線方程為.13．若定義在上的函數(shù)滿足：，且，則.14．如圖的“心形”曲線恰好是半圓，半圓，曲線組合而成的，則曲線所圍成的“心形”區(qū)域的面積等于.四、解答題（本大題共5小題）15．（1）已知是第三象限角，且是方程的一個實(shí)根，求的值；（2）已知，且，求的值.16．已知函數(shù)，且圖象的一個對稱中心到與其相鄰的對稱軸的距離為.(1)求的值及的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)將圖象上的所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)向右平移個單位長度（縱坐標(biāo)不變），再向上平移個單位長度，再將縱坐標(biāo)伸長為原來的2倍，得到函數(shù)的圖象，若函數(shù)在上存在零點(diǎn)，求的取值范圍.17．在中，角的對邊分別為.(1)求；(2)已知為的平分線，交于點(diǎn)，且為線段上一點(diǎn)，且，求的周長.18．如圖，我們把由平面內(nèi)夾角成的兩條數(shù)軸Ox，Oy構(gòu)成的坐標(biāo)系，稱為“完美坐標(biāo)系”.設(shè)，分別為Ox，Oy正方向上的單位向量，若向量，則把實(shí)數(shù)對叫做向量的“完美坐標(biāo)”.(1)若向量的“完美坐標(biāo)”為，求；(2)已知，分別為向量，的“完美坐標(biāo)”，證明：；(3)若向量，的“完美坐標(biāo)”分別為，，設(shè)函數(shù)，x∈R，求的值域.19．已知函數(shù).(1)證明：當(dāng)時，只有1個零點(diǎn)；(2)當(dāng)時，討論的單調(diào)性；(3)若，設(shè)，證明：.

參考答案1．【答案】B【詳解】因?yàn)?，所以，所以的真子集個數(shù)為個.故選：B.2．【答案】A【詳解】若，不共線，由及平面向量基本定理，得；若，無論，共線與否，都有.綜上，“，不共線”是“”的充分不必要條件.故選：A3．【答案】D【詳解】因?yàn)?，，，所?故選：D.4．【答案】C【詳解】依題意，，，解得，故，由，所以，解得，所以，所以，所以.故選：C5．【答案】B【詳解】如圖，連接，，因?yàn)槭菆A的直徑，所以，又，，則，又是的中點(diǎn)，則，.故選：B.6．【答案】D【詳解】由三角函數(shù)的定義，得，，所以，，.故選：D.7．【答案】D【詳解】因?yàn)?，，令，則，設(shè)，，則，所以是奇函數(shù)，最大值為，最小值為，則，由，解得.故選：D.8．【答案】A【詳解】依題意，，由得，即，，由于是銳角，所以，與一正一負(fù)，或，若，即，由于，所以，所以，，此不等式組無解，所以不成立.同理可得不成立.所以，所以，所以，.所以，所以三角形的周長，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，所以三角形的周長的最小值為.故選：A9．【答案】AB【詳解】對于A：，顯然為偶函數(shù)，故A正確；對于B：最小正周期，故B正確；對于C：當(dāng)時，，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞增，故C錯誤；對于D：由，得，所以在上的零點(diǎn)有，，，共3個，故D錯誤.故選：AB.10．【答案】AC【詳解】因?yàn)?，可得，?dāng)時，可得，令，求導(dǎo)得，令，可得，解得，當(dāng)時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，無最小值，故，當(dāng)時，可得，令，求導(dǎo)得，令，可得，解得，當(dāng)時，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，當(dāng)時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，無最大值，故，故A正確，B錯誤；由，可得，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即或時取等號，故C正確；當(dāng)時，方程，，方程有解，所以，故D錯誤.故選：AC.11．【答案】ABC【詳解】對于A，由易知,即滿足，所以的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，可得A正確；對于B，易知，滿足奇函數(shù)定義，即可得為奇函數(shù)，即B正確；對于C，求導(dǎo)可得，不妨只研究當(dāng)時的單調(diào)性，當(dāng)時，，當(dāng)時，，可知函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，因此在處取得極小值，所以是的極小值點(diǎn)，即C正確.對于D，由可知，當(dāng)時，，此時函數(shù)在上是單調(diào)遞減的，因此在上沒有極值，即D錯誤.故選：ABC12．【答案】【詳解】，故，又，故曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即，故答案為：13．【答案】3【詳解】因?yàn)椋?，所以?為的一個周期，則，又，取，得，所以，故.故答案為：314．【答案】【詳解】設(shè)，線段的中點(diǎn)為，如圖，因?yàn)榍€關(guān)于點(diǎn)對稱，所以可將曲線與軸、軸圍成的區(qū)域割補(bǔ)為直角三角形的區(qū)域，于是曲線與軸、軸圍成的區(qū)域的面積就是直角三角形的面積，即；根據(jù)對稱性，可得曲線與、軸圍成的區(qū)域的面積為，又曲線所圍成的“心形”區(qū)域中，兩個半圓的面積為，所以曲線所圍成的“心形”區(qū)域的面積等于.故答案為：15．【答案】（1）（2）【詳解】（1）由，得，或，∵是方程的一個實(shí)根，且是第三象限角，∴，∴；（2）∵，∴，則，∵，所以，，故，.16．【答案】(1)；單調(diào)遞增區(qū)間為：；(2)【詳解】（1）由，因?yàn)閳D象的一個對稱中心到與其相鄰的對稱軸的距離為，所以其最小正周期為，則，令，解之得；（2）由題意可知將圖象上的所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)向右平移個單位長度（縱坐標(biāo)不變），再向上平移個單位長度可得，再將縱坐標(biāo)伸長為原來的2倍，得到函數(shù)，當(dāng)，所以，令，則條件可化為在時有解，易知在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，易知，則，解之得.17．【答案】(1)；(2).【詳解】（1），，，，，，，又，.（2）因?yàn)锽D為的平分線，，所以，又，，所以，即，①由余弦定理，得，即，②由①②可得（舍去負(fù)值），，所以a，c是關(guān)于的方程的兩個實(shí)根，解得.又因?yàn)锽D為的平分線，所以，又，，所以，，所以的周長為.18．【答案】(1)(2)證明見解析(3)【詳解】（1）因?yàn)榈摹巴昝雷鴺?biāo)”為，則，又因?yàn)?，分別為Ox，Oy正方向上的單位向量，且夾角為，所以,，所以.（2）由（1）知，所以，即.（3）因?yàn)橄蛄?，的“完美坐?biāo)”分別為，，由（2）得.令，則，因?yàn)閤∈R，所以，即，令，因?yàn)榈膱D象是對稱軸為，開口向上的拋物線的一部分，所以當(dāng)時，取得最小值，當(dāng)時，取得最大值，所以的值域?yàn)?19．【答案】(1)證明見解析(2)答案見詳解(3)證明見解析【詳解】（1）當(dāng)時，，則函數(shù)的定義域?yàn)?，恒成立，所以在單調(diào)遞增，且，根據(jù)零點(diǎn)唯一性定理可知，只有1個零點(diǎn)為0.（2），因?yàn)?，所以定義域?yàn)?，，因?yàn)椋?/p>