河北省衡水市2024−2025學(xué)年高二上學(xué)期綜合素質(zhì)評(píng)價(jià)二 數(shù)學(xué)試題含答案

河北省衡水市2024?2025學(xué)年高二上學(xué)期綜合素質(zhì)評(píng)價(jià)二數(shù)學(xué)試題一、單選題（本大題共8小題）1．直線(xiàn)的傾斜角為（

）A． B． C． D．2．已知直線(xiàn)的方向向量為，平面的法向量為，下列結(jié)論成立的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則3．已知圓的面積為，則（

）A． B． C． D．4．已知兩點(diǎn)，，過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與線(xiàn)段AB（含端點(diǎn)）有交點(diǎn)，則直線(xiàn)的斜率的取值范圍為（

）A． B． C． D．5．已知A(0，1，1)，B(2，－1，0)，C(3，5，7)，D(1，2，4)，則直線(xiàn)AB與直線(xiàn)CD所成角的余弦值為()A．eq\f(5\r(22),66)B．－eq\f(5\r(22),66)C．eq\f(5\r(22),22)D．－eq\f(5\r(22),22)6．在棱長(zhǎng)為2的正方體中，，分別為棱，的中點(diǎn)，為棱上的一點(diǎn)，且，則點(diǎn)到平面的距離為（

）A． B． C． D．7．若動(dòng)點(diǎn)，分別在直線(xiàn)與直線(xiàn)上移動(dòng)，則MN的中點(diǎn)P到原點(diǎn)的距離的最小值為（

）A． B． C． D．8．邊長(zhǎng)為1的正方體中，，分別是，中點(diǎn)，是靠近的四等分點(diǎn)，在正方體內(nèi)部或表面，，則的最大值是（

）A．1 B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．如圖，四棱柱中，為的中點(diǎn)，為上靠近點(diǎn)的五等分點(diǎn)，則（

）A． B．C． D．10．已知兩條直線(xiàn)，的方程分別為與，下列結(jié)論正確的是（

）A．若，則 B．若，則兩條平行直線(xiàn)之間的距離為C．若，則 D．若，則直線(xiàn)，一定相交11．如圖，在多面體中，平面，四邊形是正方形，且，，分別是線(xiàn)段的中點(diǎn)，是線(xiàn)段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（含端點(diǎn)），則下列說(shuō)法正確的是（

）

A．存在點(diǎn)，使得B．存在點(diǎn)，使得異面直線(xiàn)與所成的角為C．三棱錐體積的最大值是D．當(dāng)點(diǎn)自向處運(yùn)動(dòng)時(shí)，直線(xiàn)與平面所成的角逐漸增大三、填空題（本大題共3小題）12．點(diǎn)與圓上任一點(diǎn)連結(jié)的線(xiàn)段的中點(diǎn)的軌跡方程；13．已知點(diǎn)和直線(xiàn)，則點(diǎn)到直線(xiàn)的距離的取值范圍是.14．如圖，已知點(diǎn)A是圓臺(tái)O1O的上底面圓O1上的動(dòng)點(diǎn)，B,C在下底面圓O上，AO1=1，OO1=2，BO=3，BC=25四、解答題（本大題共5小題）15．在中，，邊上的高所在直線(xiàn)的方程為，的平分線(xiàn)所在直線(xiàn)的方程為，點(diǎn)的坐標(biāo)為.

(1)求直線(xiàn)的方程；(2)求直線(xiàn)的方程及點(diǎn)的坐標(biāo).16．如圖，在直四棱柱中，底面為矩形，且分別為的中點(diǎn).

(1)證明：平面.(2)求平面與平面夾角的余弦值.17．已知直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)．(1)求過(guò)點(diǎn)且在兩坐標(biāo)軸上截距的絕對(duì)值相等的直線(xiàn)方程；(2)若直線(xiàn)交軸正半軸于點(diǎn)，交軸負(fù)半軸于點(diǎn)，的面積為（為坐標(biāo)原點(diǎn)），求的最小值并求此時(shí)直線(xiàn)的方程．18．如圖，在四棱錐中，平面平面，，，，，，.(1)求證：平面.(2)求直線(xiàn)與平面所成角的正弦值.(3)在棱上是否存在點(diǎn)，使得平面?若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.19．在空間直角坐標(biāo)系中，己知向量，點(diǎn).若直線(xiàn)以為方向向量且經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則直線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)式方程可表示為；若平面以為法向量且經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則平面的點(diǎn)法式方程表示為.(1)已知直線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)式方程為，平面的點(diǎn)法式方程可表示為，求直線(xiàn)與平面所成角的余弦值；(2)已知平面的點(diǎn)法式方程可表示為，平面外一點(diǎn)，點(diǎn)到平面的距離；(3)（i）若集合，記集合中所有點(diǎn)構(gòu)成的幾何體為，求幾何體的體積；（ii）若集合.記集合中所有點(diǎn)構(gòu)成的幾何體為，求幾何體相鄰兩個(gè)面（有公共棱）所成二面角的大小.

參考答案1．【答案】A【詳解】設(shè)直線(xiàn)的的傾斜角為，且，直線(xiàn)的斜率，所以，故選：A2．【答案】C【詳解】因?yàn)橹本€(xiàn)的方向向量為，平面的法向量為，由，可得，所以A不正確，C正確；對(duì)于B中，由，可得或，所以B、D都不正確；故選：C.3．【答案】B【分析】由題意確定圓的半徑，結(jié)合圓的面積公式建立方程，即可求解.【詳解】因?yàn)閳A，即，所以，解得.故選B.4．【答案】A【詳解】，而，故直線(xiàn)的取值范圍為，故選：A.5．【答案】A【詳解】∵eq\o(AB,\s\up6(→))＝(2，－2，－1)，eq\o(CD,\s\up6(→))＝(－2，－3，－3)，∴cos〈eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))〉＝eq\f(\o(AB,\s\up6(→))·\o(CD,\s\up6(→)),|\o(AB,\s\up6(→))||\o(CD,\s\up6(→))|)＝eq\f(5,3×\r(22))＝eq\f(5\r(22),66)，∴直線(xiàn)AB，CD所成角的余弦值為eq\f(5\r(22),66).6．【答案】D【詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線(xiàn)為軸，所在直線(xiàn)為軸，所在直線(xiàn)為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，所以，，．設(shè)平面的法向量為，則，取，得，所以點(diǎn)到平面的距離為，故選：D．7．【答案】C【詳解】解：由題意知，MN的中點(diǎn)P的軌跡為平行于兩直線(xiàn)且到兩直線(xiàn)距離相等的直線(xiàn)，故其方程為，到原點(diǎn)的距離的最小值為．故選：C8．【答案】D【詳解】

如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，所以，則，因?yàn)?，又，所以，即，所以，又，所以，?dāng)且僅當(dāng)，此時(shí)時(shí)，等號(hào)成立，所以的最大值是.故選：D.9．【答案】BD【詳解】，即，故A錯(cuò)誤、B正確；，即，故C錯(cuò)誤，D正確.故選：BD.10．【答案】AD【詳解】?jī)蓷l直線(xiàn)，的方程分別為與，它們不重合，若，則，得，檢驗(yàn)符合，故A選項(xiàng)正確；若，由A選項(xiàng)可知，：，直線(xiàn)的方程可化為，故兩條平行直線(xiàn)之間的距離為，故B選項(xiàng)不正確；若，則，得，故C選項(xiàng)不正確；由A選項(xiàng)知，當(dāng)時(shí)，，所以若，則直線(xiàn)，一定相交，故D選項(xiàng)正確.故選：AD.11．【答案】ACD【詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，正方向?yàn)檩S，可建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，

A0,0,0，，，，，，，；對(duì)于A，假設(shè)存在點(diǎn)，使得，則，又，所以，解得，即點(diǎn)與重合時(shí)，，A正確；對(duì)于B，假設(shè)存在點(diǎn)，使得異面直線(xiàn)與所成的角為，因?yàn)?，，所以，方程無(wú)解；所以不存在點(diǎn)，B錯(cuò)誤；

對(duì)于C，連接，設(shè)，因?yàn)?，所以?dāng)，即點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，取得最大值；又點(diǎn)到平面的距離，所以，C正確；對(duì)于D，由上分析知：，，若是面的法向量，則，令x=1，則，因?yàn)?，設(shè)直線(xiàn)與平面所成的角為，，所以，當(dāng)點(diǎn)自向處運(yùn)動(dòng)時(shí)，的值由到變大，此時(shí)也逐漸增大，因?yàn)樵跒樵龊瘮?shù)，所以也逐漸增大，故D正確.故選：ACD12．【答案】【分析】設(shè)圓上任意一點(diǎn)為（x1，y1），中點(diǎn)為（x，y），則，由此能夠軌跡方程．【詳解】設(shè)圓上任意一點(diǎn)為（x1，y1），中點(diǎn)為（x，y），則代入x2+y2=4得（2x﹣4）2+（2y+2）2=4，化簡(jiǎn)得．故答案為：．【點(diǎn)睛】求軌跡方程的常見(jiàn)方法有:①直接法，設(shè)出動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)題意列出關(guān)于的等式即可；②定義法，根據(jù)題意動(dòng)點(diǎn)符合已知曲線(xiàn)的定義，直接求出方程；③參數(shù)法，把分別用第三個(gè)變量表示，消去參數(shù)即可；④逆代法，將代入.13．【答案】【詳解】可化為：設(shè)直線(xiàn)的定點(diǎn)為，點(diǎn)P到直線(xiàn)的距離為，則有：可得：為直線(xiàn)的定點(diǎn)則有：，此時(shí)為點(diǎn)P到直線(xiàn)的最大距離若在直線(xiàn)上，則有：，即可得：不可能在直線(xiàn)上，則有：綜上可得：故答案為：14．【答案】310【分析】以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，求得對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)出未知點(diǎn)的坐標(biāo)，利用向量法求線(xiàn)面角正弦值的最大值，再求余弦值的最小值即可.【詳解】連接OC，過(guò)C點(diǎn)作CH垂直于BO的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)H，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系如下所示：在三角形OBC中，因?yàn)镺B=3,OC=3,BC=25故cosB=OB則BH=BC?cosB=25×則CH=BCOH=BH?OB=13故點(diǎn)C?13,453,0，又O設(shè)點(diǎn)Am,n,2，m,n∈?1,1，由O1A=1BC=?103,設(shè)平面O1BC的法向量m則m?BC=0m?取y=5，則x=2,z=3故平面O1BC的法向量m又OA=m,n,2設(shè)直線(xiàn)AO與平面O1BC所成角為θ，θ∈則sinθ=cosOA因?yàn)閙,n∈?1,1，且m2故令m=cosα，n=sinα，α∈0,2π則2m+5n+6=5sinα+2cosα+6=3sinα+φ+6，又α∈0,2π，所以sinα+φ所以3sinα+φ+6∈3,9所以sinθ的最大值為9310故答案為：31010【方法總結(jié)】求直線(xiàn)與平面所成角的方法：(1)定義法：①作，在直線(xiàn)上選取恰當(dāng)?shù)狞c(diǎn)向平面引垂線(xiàn)，確定垂足的位置是關(guān)鍵；②證，證明所作的角為直線(xiàn)與平面所成的角，證明的主要依據(jù)是直線(xiàn)與平面所成角的概念；③求，利用解三角形的知識(shí)求角；(2)向量法：sinθ＝|cos〈→，n〉|＝AB?nAB?n(其中AB→為平面α的斜線(xiàn)AB的方向向量，n為平面α15．【答案】(1)(2)直線(xiàn)的方程為：，【詳解】（1）由于所在直線(xiàn)的方程為，故的斜率為，與互相垂直，直線(xiàn)的斜率為，結(jié)合，可得的點(diǎn)斜式方程：，化簡(jiǎn)整理，得，即為所求的直線(xiàn)方程．（2）由和聯(lián)解，得由此可得直線(xiàn)方程為：，即，，關(guān)于角平分線(xiàn)軸對(duì)稱(chēng)，直線(xiàn)的方程為：，直線(xiàn)方程為，將、方程聯(lián)解，得，，因此，可得點(diǎn)的坐標(biāo)為．16．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）不妨設(shè)，建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量，由，得到，即可得證；（2）求出平面的法向量，利用空間向量法計(jì)算可得.【詳解】（1）不妨設(shè)，則，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，

則，，，A1,0,0，，，所以，，，設(shè)m=x,y,z是平面則，取，則，所以平面的一個(gè)法向量，又，所以，因?yàn)槠矫?，所以平?（2）因?yàn)槠矫?，所以是平面的一個(gè)法向量，又因?yàn)?，所以平面與平面夾角的余弦值為.17．【答案】(1)或或(2)最小值為24，直線(xiàn)【詳解】（1）直線(xiàn)，則直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)，①當(dāng)，時(shí)，設(shè)的方程為．點(diǎn)在直線(xiàn)上，．若，則，直線(xiàn)的方程為，若，則，，直線(xiàn)的方程為；②當(dāng)時(shí)，直線(xiàn)過(guò)原點(diǎn)，且過(guò)點(diǎn)，直線(xiàn)的方程為，綜上所述，所求直線(xiàn)的方程為或或；（2）令，則；令，則，直線(xiàn)交軸的正半軸于點(diǎn)，交軸的負(fù)半軸于點(diǎn)，，為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)的面積為，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)取等號(hào)，故的最小值為24，此時(shí)，直線(xiàn)．18．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)(3)存在；【分析】（1）根據(jù)面面垂直的性質(zhì)可得平面，進(jìn)而得，再結(jié)合線(xiàn)面垂直的判定定理進(jìn)行證明即可；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的一個(gè)法向量，再利用空間向量夾角公式、線(xiàn)面角的定義進(jìn)行求解即可；（3）要使平面，則，由此列式求解可得.【詳解】（1）∵平面平面，且平面平面，且，平面，∴平面，∵平面，∴，又，且，平面，∴平面；（2）取中點(diǎn)為，連接，又∵，∴．則，∵，∴，則，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以所在直線(xiàn)為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，則，，，，設(shè)為平面的一個(gè)法向量，則由，得，令，則．設(shè)與平面的夾角為，則；（3）假設(shè)在棱上存在點(diǎn)點(diǎn)，使得平面.設(shè)，，由（2）知，，，，則，，，由（2）知平面的一個(gè)法向量．若平面，則，解得，又平面，故在棱上存在點(diǎn)點(diǎn)，使得平面，此時(shí).19．【答案】(1)(2)(3)（i）；（ii）【分析】（1）利用題中概念分別計(jì)算出直線(xiàn)方向向量與平面法向量，然后利用線(xiàn)面角與直線(xiàn)方向向量和平面法向量所成角的關(guān)系計(jì)算即可；（2）先計(jì)算平面法向量，找到平面上一點(diǎn)然后利用向量的投影計(jì)算即可；（3）（i）先建立等式，然后畫(huà)出所表示的面，計(jì)算所圍成的圖形的面積即可；（ii）因?yàn)槭且粋€(gè)完全對(duì)稱(chēng)的圖形，只需計(jì)算第一卦限內(nèi)相鄰面的二面角，我們需要畫(huà)出第一卦限內(nèi)圖像，得到其二面角為鈍角；【詳解】（1）由題可知，直線(xiàn)的一個(gè)方向向量坐標(biāo)為，平面的一個(gè)法向量為，設(shè)直線(xiàn)與平面所成角為，則有，所以，直線(xiàn)與平面所成角的余弦值為.（2）由題可知平面的法向量為，且過(guò)點(diǎn)，因?yàn)?所以，所以點(diǎn)到平面的距離