高中數(shù)學(xué)強(qiáng)基計(jì)劃專題訓(xùn)練01集合與常用邏輯用語(yǔ)

專題訓(xùn)練01集合與常用邏輯用語(yǔ)一、單選題1．已知橢圓的兩焦點(diǎn)為，，x軸上方兩點(diǎn)A，B在橢圓上，與平行，交于P.過(guò)P且傾斜角為的直線從上到下依次交橢圓于S，T.若，則“為定值”是“為定值”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不必要也不充分條件【答案】D【分析】先求出的軌跡，其軌跡方程為，取，結(jié)合特殊情形可得“當(dāng)取定值，是定值”是錯(cuò)誤的；再由是定值可得，從而可判斷當(dāng)取定值，是定值”是錯(cuò)誤的，從而可得正確的選項(xiàng).【詳解】設(shè)為橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，為橢圓的半焦距，故，故，設(shè)直線，則到該直線的距離為，故，如圖，設(shè)直線的傾斜角為，過(guò)作的垂線，垂足為，則，故，設(shè)，故，同理.設(shè)的傾斜角為，則，，因?yàn)?，故，所以，所以，同理，故，故的軌跡為以為焦點(diǎn)的橢圓，其長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為，短半軸長(zhǎng)為，故的軌跡方程為：，其中.取，,而，故不是定值即不是定值.故“當(dāng)取定值，是定值”是錯(cuò)誤的.又直線的參數(shù)方程為：，設(shè)，由整理得到：，故，而，故，所以，若為定值，則為定值，而，故當(dāng)變化時(shí)，始終為定值，又故且，但，故，所以，但此時(shí)隨的變化而變化，不是定值，故“當(dāng)取定值，是定值”是錯(cuò)誤的.故選：D.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：對(duì)于圓錐曲線中的動(dòng)態(tài)問(wèn)題，注意利用圓錐曲線的幾何性質(zhì)去研究動(dòng)點(diǎn)的軌跡，對(duì)于是否為定值的問(wèn)題，注意構(gòu)建不同變量之間的關(guān)系，結(jié)合特例來(lái)處理是否為定值的問(wèn)題.2．已知數(shù)列為正項(xiàng)等比數(shù)列，且，則“”是“”的（

）A．必要而不充分條件 B．充分而不必要條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】取特殊值易證不具有充分性，由，及得，判斷的符號(hào)可得具有必要性.【詳解】，，當(dāng)時(shí)，，所以不具有充分性；，所以，又，則，所以，所以，不妨設(shè)因?yàn)閿?shù)列為正項(xiàng)數(shù)列，所以設(shè)公比為，則，，當(dāng)時(shí)，，，所以，，當(dāng)時(shí)，，；當(dāng)時(shí)，，，所以，，所以，所以具有必要性，綜上，是的必要不充分條件.故選：A.【點(diǎn)睛】作差判斷與大小關(guān)系，將式子寫成指數(shù)式，注意正項(xiàng)等比數(shù)列公比大于0，根據(jù)公比與1的大小進(jìn)行分類討論.3．若集合且，則稱構(gòu)成的一個(gè)二次劃分.任意給定一個(gè)正整數(shù)，可以給出整數(shù)集的一個(gè)次劃分，其中表示除以余數(shù)為的所有整數(shù)構(gòu)成的集合.這樣我們得到集合，稱作模的剩余類集.模的剩余類集可定義加減乘三種運(yùn)算，如，（其中為除以的余數(shù)）.根據(jù)實(shí)數(shù)中除法運(yùn)算可以根據(jù)倒數(shù)的概念轉(zhuǎn)化為乘法，因此要定義除法運(yùn)算只需通過(guò)定義倒數(shù)就可以了，但不是所有中都可以定義除法運(yùn)算.如果該集合還能定義除法運(yùn)算，則稱它能構(gòu)成素域.那么下面說(shuō)法錯(cuò)誤的是（

）A．能構(gòu)成素域當(dāng)且僅當(dāng)是素?cái)?shù) B．C．是最小的素域（元素個(gè)數(shù)最少） D．【答案】D【分析】先證明出A選項(xiàng)正確，從而說(shuō)明C選項(xiàng)正確，BD選項(xiàng)根據(jù)定義求解即可.【詳解】能構(gòu)成素域當(dāng)且僅當(dāng)是素?cái)?shù)，理由如下：當(dāng)為素?cái)?shù)時(shí)，除0外，均與互素，此數(shù)記作，對(duì)于，考慮，若，則為的倍數(shù)，而為素?cái)?shù)，故，故為的倍數(shù)，即，故存在，使得即可定義除法.當(dāng)能構(gòu)成素域，若是不素?cái)?shù)，則，故對(duì)于，存在，使得，故為的倍數(shù)，故存在整數(shù)，使得，故，但，且為非零的整數(shù)，故不成立，故是素?cái)?shù).綜上：能構(gòu)成素域當(dāng)且僅當(dāng)是素?cái)?shù)，A正確；因?yàn)?，所以，B正確；根據(jù)A選項(xiàng)，由于2為最小的素?cái)?shù)，有2個(gè)元素，元素個(gè)數(shù)最少，所以是最小的素域（元素個(gè)數(shù)最少），C正確；因?yàn)?，所以，D錯(cuò)誤；故選：D.【點(diǎn)睛】集合新定義，需要先讀懂題干信息，正確理解，再此基礎(chǔ)上舉一反三，進(jìn)行求解，本題中A選項(xiàng)的證明是解題的關(guān)鍵.4．設(shè)集合，集合是集合的非空子集，中最大元素和最小元素的差稱為集合的長(zhǎng)度，那么集合所有長(zhǎng)度為的子集的元素個(gè)數(shù)之和為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先考慮最小元素為，最大元素為的情況：只有一種情況；，且，共有種情況；，且，共有種情況；以此類推，有種情況，所以此類滿足要求的子集元素個(gè)數(shù)之和，計(jì)算可得：，再考慮可以分為，，，，等類，可得本題答案【詳解】當(dāng)最小元素為，最大元素為時(shí)，集合有如下情況：集合中只含個(gè)元素；，只有種情況；集合中含有個(gè)元素；，且，共有種情況；集合中含有個(gè)元素；，且，共有種情況；以此類推集合中含有個(gè)元素；，有有種情況；所以此類滿足要求的子集元素個(gè)數(shù)之和：①

②，②兩式相加可得：同理可得：，，，，所有子集元素個(gè)數(shù)之和都是集合所有長(zhǎng)度為的子集的元素個(gè)數(shù)之和為.故選：A5．設(shè)集合，，下列說(shuō)法正確的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用因?yàn)榕c互為反函數(shù)，所以，互相關(guān)于對(duì)稱，得到，進(jìn)而得出集合的范圍；對(duì)于集合，化簡(jiǎn)得，設(shè)，進(jìn)而利用導(dǎo)數(shù)求出的最值，得出集合的范圍，即可求解【詳解】對(duì)于集合，因?yàn)榕c互為反函數(shù)，所以，互相關(guān)于對(duì)稱，而，所以，只需要即可，因?yàn)?，所以，，得，設(shè)，得，所以，，，單調(diào)遞增；，，單調(diào)遞減，所以，，得到，所以，；對(duì)于集合，化簡(jiǎn)得，設(shè)，，因?yàn)?，可設(shè)，，單調(diào)遞減，又，所以，當(dāng)時(shí)，，，，單調(diào)遞減，利用洛必達(dá)法則，時(shí)，，所以，，所以，；由于，，所以，D正確故選：D二、多選題6．設(shè)數(shù)集滿足下列兩個(gè)條件：（1）；（2），若則.則下論斷正確的是（

）A．中必有一個(gè)為0B．a(chǎn)，b，c，d中必有一個(gè)為1C．若且，則D．，使得【答案】BCD【分析】根據(jù)（1）（2）得到，，A錯(cuò)誤，B正確；再分，，兩種情況，經(jīng)過(guò)推理得到C正確；在C選項(xiàng)的分析基礎(chǔ)上，得到若，此時(shí)求出，，使得，若，推理出中至少有2個(gè)相同，這與集合中元素的互異性矛盾，得到D正確.【詳解】由（1）得：數(shù)集中必有1或0，由（2）得：，故，A錯(cuò)誤，B正確；由（1）知：，故等于中的一個(gè)，不妨設(shè)，因?yàn)椋?，故，下面證明C正確，因?yàn)椋?，則，由（1）知：，滿足要求，同理若，則，滿足要求，若，則，滿足要求，若，因?yàn)椋?，則，滿足要求，若，則中某個(gè)等于1，不妨設(shè)，由得，由（1）知：，又因?yàn)椋?，所以，，故，同理可得，所以相乘得，解得：，因?yàn)?，所以，故取，滿足要求，綜上：若且，則，C正確；下面證明D正確；由（1）知：，故等于中的一個(gè)，不妨設(shè)，因?yàn)?，所以，故，若，則，因?yàn)橹心硞€(gè)等于1，不妨設(shè)，由得，根據(jù)C選項(xiàng)的分析可知：，，，則，故，故，，若，，此時(shí)，，使得，D正確；若，則，，由（1）知：，若，則，不可能，若，則，不可能，若，則，不可能，所以，故，同理可得：，因?yàn)榈钠椒礁星抑挥?個(gè)，所以中至少有2個(gè)相同，這與集合中元素的互異性矛盾，故不存在即的情況，故，使得，D正確.故選：BCD【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：集合新定義問(wèn)題，命題新穎，且存在知識(shí)點(diǎn)交叉，常常會(huì)和函數(shù)的性質(zhì)，包括單調(diào)性，值域等進(jìn)行結(jié)合，很好的考慮了知識(shí)遷移，綜合運(yùn)用能力，對(duì)于此類問(wèn)題，一定要解讀出題干中的信息，正確理解問(wèn)題的本質(zhì)，轉(zhuǎn)化為熟悉的問(wèn)題來(lái)進(jìn)行解決.三、解答題7．已知集合，若集合，且對(duì)任意的，存在，，使得（其中），則稱集合為集合的一個(gè)元基底．(1)分別判斷下列集合是否為集合的一個(gè)二元基底，并說(shuō)明理由；①，；②，．(2)若集合是集合的一個(gè)元基底，證明：；(3)若集合為集合的一個(gè)元基底，求出的最小可能值，并寫出當(dāng)取最小值時(shí)的一個(gè)基底．【分析】（1）利用二元基底的定義加以驗(yàn)證，可得不是的一個(gè)二元基底.，是的一個(gè)二元基底.．（2）設(shè)，計(jì)算出的各種情況下的正整數(shù)個(gè)數(shù)并求出它們的和，結(jié)合題意得，即．（3）由（2）可知，所以，并且得到結(jié)論“基底中元素表示出的數(shù)最多重復(fù)一個(gè)”．再討論當(dāng)時(shí)，集合的所有情況均不可能是的4元基底，而當(dāng)時(shí)，的一個(gè)基底，由此可得的最小可能值為5．【詳解】（1）①不是的一個(gè)二元基底.理由是；②是的一個(gè)二元基底.理由是，.（2）不妨設(shè)，則形如的正整數(shù)共有個(gè)；形如的正整數(shù)共有個(gè)；形如的正整數(shù)至多有個(gè)；形如的正整數(shù)至多有個(gè).又集合含個(gè)不同的正整數(shù)，為集合的一個(gè)元基底.故，即.（3）由（2）可知，所以.當(dāng)時(shí)，，即用基底中元素表示出的數(shù)最多重復(fù)一個(gè).*假設(shè)為的一個(gè)4元基底，不妨設(shè)，則.當(dāng)時(shí)，有，這時(shí)或.如果，則由，與結(jié)論*矛盾.如果，則或.易知和都不是的4元基底，矛盾.當(dāng)時(shí)，有，這時(shí)，，易知不是的4元基底，矛盾.當(dāng)時(shí)，有，這時(shí)，，易知不是的4元基底，矛盾.當(dāng)時(shí)，有，，，易知不是的4元基底，矛盾.當(dāng)時(shí)，有，，，易知不是的4元基底，矛盾.當(dāng)時(shí)，有，，，易知不是的4元基底，矛盾.當(dāng)時(shí)，有，，，易知不是的4元基底，矛盾.當(dāng)時(shí)，均不可能是的4元基底.當(dāng)時(shí)，的一個(gè)基底；或{3,7,8,9,10}；或{4,7,8,9,10}等，只要寫出一個(gè)即可.綜上，的最小可能值為5.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：新定義題型的特點(diǎn)是：通過(guò)給出一個(gè)新概念，或約定一種新運(yùn)算，或給出幾個(gè)新模型來(lái)創(chuàng)設(shè)全新的問(wèn)題情景，要求考生在閱讀理解的基礎(chǔ)上，依據(jù)題目提供的信息，聯(lián)系所學(xué)的知識(shí)和方法，實(shí)現(xiàn)信息的遷移，達(dá)到靈活解題的目的：遇到新定義問(wèn)題，應(yīng)耐心讀題，分析新定義的特點(diǎn)，弄清新定義的性質(zhì)，按新定義的要求，“照章辦事”，逐條分析、驗(yàn)證、運(yùn)算，使問(wèn)題得以解決.8．給定整數(shù)，由元實(shí)數(shù)集合定義其相伴數(shù)集，如果，則稱集合S為一個(gè)元規(guī)范數(shù)集，并定義S的范數(shù)為其中所有元素絕對(duì)值之和.(1)判斷、哪個(gè)是規(guī)范數(shù)集，并說(shuō)明理由；(2)任取一個(gè)元規(guī)范數(shù)集S，記、分別為其中最小數(shù)與最大數(shù)，求證：；(3)當(dāng)遍歷所有2023元規(guī)范數(shù)集時(shí)，求范數(shù)的最小值.注：、分別表示數(shù)集中的最小數(shù)與最大數(shù).【分析】（1）根據(jù)元規(guī)范數(shù)集的定義，只需判斷集合中的元素兩兩相減的差的絕對(duì)值，是否都大于等于1即可；（2）利用元規(guī)范數(shù)集的定義，得到，從而分類討論、與三種情況，結(jié)合去絕對(duì)值的方法即可證明；（3）法一：當(dāng)時(shí)，證得，從而得到；當(dāng)時(shí)，證得，從而得到；當(dāng)時(shí)，分類討論與兩種情況，推得，由此得解；法二：利用規(guī)范數(shù)集的性質(zhì)與（2）中結(jié)論即可得解.【詳解】（1）對(duì)于集合A：因?yàn)?，所以集合A不是規(guī)范數(shù)集；對(duì)于集合B：因?yàn)?，又，，，，，，所以B相伴數(shù)集，即，故集合B是規(guī)范數(shù)集.（2）不妨設(shè)集合S中的元素為，即，因?yàn)镾為規(guī)范數(shù)集，則，則，且，使得，當(dāng)時(shí)，則，當(dāng)且僅當(dāng)且時(shí)，等號(hào)成立；當(dāng)時(shí)，則，當(dāng)且僅當(dāng)且時(shí)，等號(hào)成立；當(dāng)時(shí)，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立；綜上所述：.（3）法一：不妨設(shè)，因?yàn)镾為規(guī)范數(shù)集，則，則，且，使得，當(dāng)時(shí)，則當(dāng)時(shí)，可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，則范數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，又，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故，即范數(shù)的最小值；當(dāng)時(shí)，則當(dāng)時(shí)，可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，則，則范數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，又，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故，即范數(shù)的最小值；當(dāng)，使得，且，當(dāng)，即，即時(shí)，則當(dāng)時(shí)，可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，則當(dāng)時(shí)，可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，則范數(shù)；對(duì)于，其開口向上，對(duì)稱軸為，所以，所以范數(shù)的最小值為；當(dāng)，即，即時(shí)，則當(dāng)時(shí)，可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，則當(dāng)時(shí)，可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，則范數(shù)；對(duì)于，其開口向上，對(duì)稱軸為，所以，所以范數(shù)；綜上所述：范數(shù)的最小值.法二：不妨設(shè)，因?yàn)镾為規(guī)范數(shù)集，則，則，且，使得，所以對(duì)于，同樣有，則，由（2）的證明過(guò)程與結(jié)論可得，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，即，，……，所以范數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以范數(shù)的最小值.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題解決的關(guān)鍵是理解元規(guī)范數(shù)集的定義，得到，再將集合中的元素進(jìn)行從小到大排列，利用分類與整合的思想進(jìn)行討論分析，從而得解.9．我們稱為“花式集合”，如果它滿足如下三個(gè)條件：（a）；（b）的每個(gè)元素都是包含于中的閉區(qū)間（元素可重復(fù)）；（c）對(duì)于任意實(shí)數(shù)中包含的元素個(gè)數(shù)不超過(guò)1011.對(duì)于“花式集合”和區(qū)間，用表示使得的對(duì)的數(shù)量.求的最大值.【答案】【分析】先構(gòu)造一個(gè)特例，再根據(jù)逐步調(diào)整法和數(shù)學(xué)歸納法可證的取值范圍，從而可求其最大值.【詳解】答案是.先給出取得最大值的構(gòu)造：易于驗(yàn)證，當(dāng)由1011個(gè)以及1011個(gè)組成?由1011個(gè)以及1011個(gè)組成時(shí)，符合題意.再給出最優(yōu)性的證明：分成兩步進(jìn)行.第一步，調(diào)整集合.斷言一：對(duì)于中區(qū)間，如果，則將中的替換為不改變?cè)Y(jié)果，稱之為“切換”.這是因?yàn)?①如果中的一個(gè)區(qū)間與相交，那么它最初和現(xiàn)在都與兩個(gè)區(qū)間相交，成立；②如果中的一個(gè)區(qū)間與不相交，則它要么與和都不相交，要么恰與中一個(gè)相交.因此，如果它與其中之一相交，則在替換區(qū)間后仍會(huì)與其中之一相交，也成立.斷言二：總能在有限次“切換”后，使得對(duì)于中任意兩個(gè)區(qū)間，它們要么不交，要么一個(gè)包含另一個(gè)，對(duì)于亦然.為此，考慮一個(gè)以區(qū)間為頂點(diǎn)的圖，兩頂點(diǎn)之間連邊當(dāng)且僅當(dāng)它們對(duì)應(yīng)的兩區(qū)間交集非空（特別地，仍算作非空）.將每個(gè)連通分支的頂點(diǎn)對(duì)應(yīng)的區(qū)間劃分為一組，記為，使得如果，則.顯然此分組方式唯一且不改變圖的連通性.下面，我們固定并對(duì)進(jìn)行歸納.歸納基礎(chǔ)為，顯然成立.對(duì)每個(gè)，考慮中左端點(diǎn)位于最左邊的區(qū)間（注意稍后可能會(huì)變化）.則對(duì)于其它任何區(qū)間，我們有.另外，若，則稱包含.對(duì)其它區(qū)間執(zhí)行操作，那么總是包含操作后的區(qū)間.因此，與中的每個(gè)區(qū)間最多相交一次.只要存在區(qū)間且，操作過(guò)程就不會(huì)結(jié)束.當(dāng)操作終止時(shí)，中必然不存在滿足的區(qū)間，并且對(duì)于不與中的任何區(qū)間相交.因此，，且包含中的所有區(qū)間.此時(shí)，我們?nèi)サ?，?duì)應(yīng)用歸納假設(shè)即可.第二步，加強(qiáng)歸納.設(shè)集合為“好的”集合，如果：1）；2）的每個(gè)元素都是包含在中的閉區(qū)間；3）對(duì)于任意實(shí)數(shù)中包含的元素個(gè)數(shù)不超過(guò).定義為可以取得的最大值，其中是“好的”集合且是“好的”集合.下證加強(qiáng)的命題：，原題即時(shí)的特例.對(duì)此，我們采用歸納法，歸納基礎(chǔ)為.此時(shí)，再對(duì)使用歸納法.如果，顯然成立；否則，設(shè)為中最左邊的兩個(gè)區(qū)間（注意到，因此我們能夠比較這兩個(gè)區(qū)間的位置）?為中最左邊的兩個(gè)區(qū)間.此時(shí)不難得到：或兩者之一，與另一個(gè)集合中最多一個(gè)區(qū)間有非空交集.這是因?yàn)?，若?duì)某個(gè)與的交集非空，則.因此，對(duì)于所有與交集為空.不妨設(shè)與另一個(gè)集合中最多一個(gè)區(qū)間有非空交集，這樣一來(lái)，我們可以去掉，再利用歸納假設(shè)，結(jié)論成立.不妨設(shè)，否則把換成.令為中互相不包含的區(qū)間的集合（如果多個(gè)區(qū)間相同且未嚴(yán)格包含于更大的區(qū)間中，則選擇任意一個(gè)加入.注意到為“（|S|，1）好的”集合，為“（好的”集合.則：其中，不等號(hào)使用了奠基的結(jié)論.至此，加強(qiáng)的命題得證!10．設(shè)數(shù)集滿足：①任意，有；②任意x，，有或，則稱數(shù)集具有性質(zhì).(1)判斷數(shù)集和是否具有性質(zhì)，并說(shuō)明理由；(2)若數(shù)集且具有性質(zhì).（i）當(dāng)時(shí)，求證：，，…，是等差數(shù)列；（ii）當(dāng)，，…，不是等差數(shù)列時(shí)，求的最大值.【分析】(1)根據(jù)性質(zhì)的定義判斷可得出結(jié)論(2)（i）推導(dǎo)出，再根據(jù)性質(zhì)的定義推導(dǎo)出從而證明（ii）根據(jù)性質(zhì)的定義得出在均為等差數(shù)列，再令進(jìn)行驗(yàn)證，可以不是等差數(shù)列，所以得出的最大值.【詳解】（1）證明：對(duì)于數(shù)集，，，所以數(shù)集不具有性質(zhì)，對(duì)于數(shù)集，任意，，所以數(shù)集具有性質(zhì).（2）（i）當(dāng)時(shí)，數(shù)集具有性質(zhì)，，所以，即，因?yàn)?，則，又因?yàn)椋?，則，因?yàn)?，所以得，，，因?yàn)?，所以，則，又因?yàn)?，所以或，因?yàn)?，所?舍去)，即，，所以，即當(dāng)時(shí)，，，…，是等差數(shù)列.（ii）若數(shù)集且具有性質(zhì)，按照(1)推導(dǎo)的方式得出一般結(jié)論，具體如下：因?yàn)椋?，即，因?yàn)?，所以①，所以，，因?yàn)椋?，即，因?yàn)椋鶕?jù)，分兩種情況：第一種情況為，，…，，第二種情況為，，先考慮第二種情況，與題意矛盾，，與題意矛盾，所以只能為第一種情況，可得②，由①②，得，即，即當(dāng)時(shí)，，，…，是等差數(shù)列，當(dāng)時(shí)，，所以，即，由前面得出，所以，，當(dāng)成立時(shí)，，，，不是等差數(shù)列，所以的最大值為4.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：等差數(shù)列的三種判定方法：定義法：(為常數(shù))等差中項(xiàng)法：通項(xiàng)公式法：（a，b為常數(shù)），但如果要證明一個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列，則必須用定義法或等差中項(xiàng)法進(jìn)行證明.11．已知定義城為的函數(shù)，若存在實(shí)數(shù)，使得對(duì)任意，都存在滿足，則稱函數(shù)具有性質(zhì)．(1)判斷下列函數(shù)是否具有性質(zhì)，無(wú)需說(shuō)明理由；①；

②(2)若函數(shù)的定義域?yàn)椋揖哂行再|(zhì)，則“有解”是“”的__________條件（橫線上填“充分非必要”、“必要非充分”、“充分必要”、“既非充分又非必要”），并證明你的結(jié)論；(3)若存在唯一的實(shí)數(shù)，使得函數(shù)，具有性質(zhì)，求實(shí)數(shù)的值．【分析】（1）根據(jù)性質(zhì)對(duì)兩個(gè)函數(shù)進(jìn)行分析，從而確定正確答案.（2）根據(jù)充分、必要條件的知識(shí)，結(jié)合性質(zhì)作出判斷.（3）對(duì)進(jìn)行分類討論，求得的值域，結(jié)合性質(zhì)以及的唯一性求得的值.【詳解】（1）性質(zhì)：對(duì)任意，都存在滿足，.①，取，則，而，所以不具有性質(zhì).②，的定義域?yàn)?，值域是，?duì)于任意，，即存在，使，所以具有性質(zhì).（2）函數(shù)的定義域?yàn)?，且具有性質(zhì)，即使得對(duì)任意，都存在滿足，當(dāng)“有解”時(shí)：如，則，，即的值域是，對(duì)任意，即存在使，也即具有性質(zhì)，但，所以“有解”“”.當(dāng)“”時(shí)，即對(duì)任意，都存在滿足，即“有解”，所以“”“有解”，所以“有解”是“”的必要不充分條件.（3）依題意，存在唯一的實(shí)數(shù)，使得函數(shù)，具有性質(zhì)，即：存在唯一的實(shí)數(shù)，對(duì)任意，都存在滿足，，，記的值域?yàn)?，則，當(dāng)時(shí)：，，即，所以，唯一，符合題意.當(dāng)時(shí)，的對(duì)稱軸為，.當(dāng)，在上遞增，所以，所以，不唯一，不符合題意.當(dāng)時(shí)，，在上遞增，所以，所以，無(wú)解.當(dāng)時(shí)，，所以的最大值是，最小值是，則，所以，，由于唯一，所以（舍去）.當(dāng)時(shí)，，所以的最大值是，最小值是，則，所以，，由于唯一，所以，解得（舍去）.綜上所述，的值為或【點(diǎn)睛】求解含有參數(shù)的一元二次函數(shù)在閉區(qū)間上的值域問(wèn)題，要對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類討論，分類討論要做到不重不漏，分類標(biāo)準(zhǔn)的制定可以考慮二次函數(shù)的開口方向、對(duì)稱軸、判別式、定義域等等.12．令.(1)若，，試寫出的解析式并求的最小值；(2)已知是嚴(yán)格增函數(shù)，是周期函數(shù)，是嚴(yán)格減函數(shù)，，求證：是嚴(yán)格增函數(shù)的充要條件：對(duì)任意的，，.【分析】（1）分別解不等式和來(lái)求得，結(jié)合圖象求得的最小值.（2）結(jié)合單調(diào)性、周期性以及“”的定義，先證明充分性，然后利用反證法證明必要性.【詳解】（1）由得得，解得.由得得，解得或.所以.畫出的圖象如下圖所示，由圖可知，的最小值為.（2），，充分性：若對(duì)任意的，，，所以，，是嚴(yán)格增函數(shù)，所以是嚴(yán)格增函數(shù).必要性：，（用反證法）若存在，使得，則，設(shè)的周期為，取，則，，由于，所以，所以，與單調(diào)遞增矛盾，所以對(duì)任意的，，.證畢.【點(diǎn)睛】處理或函數(shù)的解析式問(wèn)題，可通過(guò)解不等式來(lái)進(jìn)行求解.證明充要條件，要證明兩個(gè)，一個(gè)是充分性，另一個(gè)是必要性.13．A是由定義在上且滿足如下條件的函數(shù)組成的集合：①對(duì)任意的，都有；②存在常數(shù)，使得對(duì)任意的，都有．(1)設(shè)，證明：；(2)設(shè)，如果存在，使得，那么這樣的是唯一的；(3)設(shè)，任取，令，證明：給定正整數(shù)k，對(duì)任意的正整數(shù)p，不等式成立．【分析】（1）根據(jù)給定的條件，利用函數(shù)單調(diào)性判斷的取值范圍，再借助不等式放縮求出L作答.（2）利用反證法，推得導(dǎo)出矛盾作答.（3）根據(jù)給定條件，利用放縮法并結(jié)合絕對(duì)值的三角不等式，等比數(shù)列求和推理作答.【詳解】（1）因，則，，在上單調(diào)遞增，，則，，，，則，取，所以，對(duì)任意的，都有，所以.（2）假設(shè)存在兩個(gè)，使得，，則由，得，即，矛盾，因此假設(shè)是錯(cuò)的，所以當(dāng)，且存在，使得，那么這樣的是唯一的.（3），任取，令，則有，，因此，給定正整數(shù)k，，所以給定正整數(shù)k，對(duì)任意的正整數(shù)p，不等式成立．【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：“新定義”主要是指即時(shí)定義新概念、新公式、新定理、新法則、新運(yùn)算五種，然后根據(jù)此新定義去解決問(wèn)題，有時(shí)還需要用類比的方法去理解新的定義，這樣有助于對(duì)新定義的透徹理解.14．已知正整數(shù)，集合.對(duì)于中的元素，，定義，令.(1)直接寫出的兩個(gè)元素及的元素個(gè)數(shù)；(2)已知，，…，，滿足對(duì)任意，都有，求m的最大值；(3)證明：對(duì)任意，，…，，總存在，使得.【答案】(1)，；個(gè)(2)4(3)證明見解析【分析】（1）由題可知中的n個(gè)數(shù)中有任意3個(gè)數(shù)字為1，數(shù)字為0，根據(jù)排列組合數(shù)可列的元素個(gè)數(shù)通式為；（2）第二小問(wèn)等價(jià)于同時(shí)滿足的元素個(gè)數(shù)最多幾個(gè)，首先需要線分析最多幾個(gè)不同元素同一位置的分量可以同時(shí)為1，在以此極限情況找到m的不等式關(guān)系求出m最大值；（3）由題可知共有個(gè)非空子集，并且由題意可知當(dāng)時(shí)，因此證明存在等式，即證明的值必有奇數(shù)即可.【詳解】（1），；，即中6個(gè)分量中恰有3個(gè)1，故的元素個(gè)數(shù)為；（2）對(duì)于的非空子集，設(shè)，這里為的第j個(gè)分量，定義，規(guī)定.設(shè)，令我們先證明引理：.（反證），令，不妨設(shè)，，…，滿足，其中又因?yàn)椋?，，故，故，這與矛盾，引理證畢.回到原題，由引理，得，，，符合題意，綜上，當(dāng)時(shí)，m的最大值為4（3）共有個(gè)非空子集，記為，，則在每個(gè)分量得奇偶性下恰有種不同得狀態(tài)，由知由抽屜原理，存在兩個(gè)不同的的非空子集，設(shè)，，有與奇偶性相同，令，由于，故令，則且都為偶數(shù)，不妨設(shè)，則為偶數(shù)而為奇數(shù)，故且為奇數(shù)故必存在一個(gè)，使得為奇數(shù)，又由于，從而【點(diǎn)睛】本題以新定義結(jié)合集合進(jìn)行考查，“新定義”主要是指即時(shí)定義新概念、新公式、新定理、新法則、新運(yùn)算五種，然后根據(jù)此新定義去解決問(wèn)題，有時(shí)還需要用類比的方法去理解新的定義，這樣有助于對(duì)新定義的透徹理解.但是，透過(guò)現(xiàn)象看本質(zhì)，它們考查的還是基礎(chǔ)數(shù)學(xué)知識(shí)，所以說(shuō)“新題”不一定是“難題”，掌握好三基，以不變應(yīng)萬(wàn)變才是制勝法寶.15．設(shè)集合中至少有兩個(gè)元素，且S，T滿足：①對(duì)于任意，若，都有；②對(duì)于任意，若，則．(1)分別對(duì)和，求出對(duì)應(yīng)的；(2)如果當(dāng)S中恰有三個(gè)元素時(shí)，中恰有4個(gè)元素，證明：S中最小的元素是1；(3)如果S恰有4個(gè)元素，求的元素個(gè)數(shù)．【答案】(1)時(shí)，時(shí)；(2)證明見解析；(3)7個(gè)元素.【分析】（1）根據(jù)定義，應(yīng)用列表法分別列舉得出、，再應(yīng)用集合并運(yùn)算求結(jié)果；（2）對(duì)于且，，列舉出滿足①時(shí)且，再結(jié)合②及元素個(gè)數(shù)，討論、求對(duì)應(yīng)的元素個(gè)數(shù)，即可證結(jié)論；（3）對(duì)于且，，列舉出滿足①時(shí)且，結(jié)合②及元素個(gè)數(shù)，討論、、，進(jìn)而確定中的元素即可.【詳解】（1）對(duì)于，集合的元素如下：且242848由表得：，此時(shí)要滿足有，如下表：且242顯然滿足要求，所以，則；對(duì)于，集合的元素如下：且8168321632由表得：，此時(shí)要滿足有，如下表：且242顯然滿足要求，所以，則.（2）對(duì)于且，，集合的元素如下：且由表得：且，此時(shí)要滿足有，如下表：且其中、且、、，當(dāng)時(shí)，此時(shí)必有，即，故，，則，滿足要求；當(dāng)時(shí)，必有，即，，故，，則，不滿足要求；綜上，當(dāng)S中恰有三個(gè)元素時(shí)，中恰有4個(gè)元素，S中最小的元素是1，得證.（3）對(duì)于且，，集合的元素如下：且由表得：且，此時(shí)要滿足有，如下表：且**當(dāng)時(shí)，上表第一列有且均屬于集合，而，矛盾；當(dāng)時(shí)，上表第一列有且均屬于集合，而，矛盾當(dāng)時(shí)，則且均屬于集合，而，此時(shí)只需滿足，則，可得，且，注意a不等于1，所以，故共有7個(gè)元素.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：后兩問(wèn)，首先設(shè)出集合，根據(jù)題設(shè)集合的性質(zhì)①列舉出集合中可能元素，再結(jié)合集合的性質(zhì)②，由中元素個(gè)數(shù)分類討論確定所設(shè)元素的數(shù)量關(guān)系，即可得結(jié)果.16．設(shè)為實(shí)數(shù)，定義生成數(shù)列和其特征數(shù)列如下：（i）；（ii），其中.(1)直接寫出生成數(shù)列的前4項(xiàng)；(2)判斷以下三個(gè)命題的真假并說(shuō)明理由；①對(duì)任意實(shí)數(shù)，都有；②對(duì)任意實(shí)數(shù)，都有；③存在自然數(shù)和正整數(shù)，對(duì)任意自然數(shù)，有，其中為常數(shù).(3)從一個(gè)無(wú)窮數(shù)列中抽出無(wú)窮多項(xiàng)，依原來(lái)的順序組成一個(gè)新的無(wú)窮數(shù)列，若新數(shù)列是遞增數(shù)列，則稱之為原數(shù)列的一個(gè)無(wú)窮遞增子列.求證：對(duì)任意正實(shí)數(shù)生成數(shù)列存在無(wú)窮遞增子列.【分析】（1）根據(jù)題意將代入數(shù)列計(jì)算即可；（2）將命題當(dāng)作條件代入進(jìn)行證明，根據(jù)最終結(jié)論判斷是否與原命題相悖判斷真假；（3）根據(jù)數(shù)列特性可以判斷數(shù)列實(shí)際就是將根據(jù)條件進(jìn)行相加或相減，可得出存在，，的數(shù)列關(guān)系，再結(jié)合無(wú)窮遞增子列概念進(jìn)行證明.【詳解】（1），因?yàn)椋?，因?yàn)?，所?，因?yàn)?，所?.（2）①由題可知，假設(shè)對(duì)任意實(shí)數(shù)，都有，則，又已知，所以，很明顯，假設(shè)不成立.故命題①為假命題；②由題可知，假設(shè)對(duì)任意實(shí)數(shù)，都有，則又已知：，當(dāng)時(shí)，，，假設(shè)不成立故命題②為假命題③假設(shè)命題③成立，則，因?yàn)?，所以，即所以只需證明存在自然數(shù)和正整數(shù)，對(duì)任意自然數(shù)，有，即當(dāng)時(shí)，；時(shí)，根據(jù)題意若存在一個(gè)使得，即存在恒成立則，但可知單調(diào)遞增，故不存在這樣的；故存在，使得，，…同理存在，使得，，…不妨假設(shè)，則，欲證明對(duì)任意自然數(shù)，有，只需證明：存在即可，即證明為偶數(shù)當(dāng)，；，時(shí)符合題意即有自然數(shù)1、3和正整數(shù)，對(duì)任意自然數(shù)，有故存在自然數(shù)和正整數(shù)，對(duì)任意自然數(shù)，有，其中為常數(shù)故命題③為真命題（3）由③可知，有正整數(shù)，使得，，此時(shí)，，故生成數(shù)列存在無(wú)窮遞增子列：【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：對(duì)于新型數(shù)列，首先要了解數(shù)列的特性①抽象特性：此列特性可近似的將數(shù)列當(dāng)作函數(shù)分析列式，例如(2)中的證明，將當(dāng)作函數(shù)列式分析。②計(jì)算特性：此類特性若復(fù)雜一般只需要考生找規(guī)律而非實(shí)際計(jì)算，例如此數(shù)列實(shí)際就是將根據(jù)條件進(jìn)行相加相減而已.尋找新型數(shù)列特性主要考查考生歸納總結(jié)規(guī)律的能力和抽象思維能力，屬于難題.17．給定正整數(shù)m，數(shù)列，且.對(duì)數(shù)列A進(jìn)行T操作，得到數(shù)列.(1)若，，，，求數(shù)列；(2)若m為偶數(shù)，，且，求數(shù)列各項(xiàng)和的最大值；(3)若m為奇數(shù)，探索“數(shù)列為常數(shù)列”的充要條件，并給出證明.【分析】（1）利用已知條件先求出，將，，，代入：，，，即可求解；（2）由，得到，進(jìn)而有，再由得到即可；（3）證明見解析.【詳解】（1）由題意時(shí)，，，，由，知，所以，，，，故.（2）記數(shù)列的所有項(xiàng)和為S，因?yàn)?，且，所以，則，故.當(dāng)，或，時(shí)取到等號(hào)，所以當(dāng)，或，時(shí)，S取到最大值，為.（3）“數(shù)列為常數(shù)列”的充要條件是（）證明如下：先證充分性：當(dāng)（）時(shí)，，所以為常數(shù)列；再證必要性：當(dāng)為常數(shù)列時(shí)，記，設(shè)中有x個(gè)，則必有個(gè)，將數(shù)列的所有項(xiàng)相加得：，由，且m為奇數(shù)，所以，所以，由得：，所以，所以.【點(diǎn)睛】數(shù)學(xué)中的新定義題目解題策略：（1）仔細(xì)閱讀，理解新定義的含義；（2）根據(jù)新定義，對(duì)對(duì)應(yīng)的知識(shí)進(jìn)行再遷移（3）正確閱讀理解題干信息，抓住關(guān)鍵信息，轉(zhuǎn)化為我們所熟悉的問(wèn)題.18．設(shè)且，集合，若對(duì)的任意元子集，都存在，滿足：，，且為偶數(shù)，則稱為理想集，并將的最小值記為.(1)當(dāng)時(shí)，是否存在理想集？若存在，求出相應(yīng)的；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；(2)當(dāng)時(shí)，是否存在理想集？若存在，直接寫出對(duì)應(yīng)的以及滿足條件的；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；(3)證明：當(dāng)時(shí)，.【分析】（1）根據(jù)理想集的定義，分3元子集、4元子集分別說(shuō)明判斷作答.（2）根據(jù)理想集的定義，結(jié)合（1）中信息，說(shuō)明判斷5元子集，6元子集作答.（3）根據(jù)理想集的定義，結(jié)合（1）（2）中信息，判斷的所有6元子集都符合理想集的定義作答.（1）依題意，要為理想集，，當(dāng)時(shí)，，顯然，有，而不是偶數(shù)，即存在3元子集不符合理想集定義，而，在中任取3個(gè)數(shù)，有4種結(jié)果，；；；，它們都不符合理想集定義，所以，當(dāng)時(shí)，不存在理想集.（2）當(dāng)時(shí)，，由（1）知，存在3元子集、4元子集均不符合理想集定義，5元子集，在此集合中任取3個(gè)數(shù)，滿足較小的兩數(shù)和大于另一個(gè)數(shù)的只有與兩種，但這3數(shù)和不為偶數(shù)，即存在5元子集不符合理想集定義，而的6元子集是，是偶數(shù)，是偶數(shù)，即的6元子集符合理想集定義，是理想集，所以，當(dāng)時(shí)，存在理想子集，滿足條件的可分別為或.（3）當(dāng)時(shí)，，由（1），（2）知，存在的3元子集、4元子集、5元子集不滿足理想集定義，要為理想集，，顯然符合理想