高二數(shù)學(xué)選擇性模塊綜合檢測卷（提高卷2）-2021-2022學(xué)年高二數(shù)學(xué)期中期末高效復(fù)習(xí)課（人教A版2019）

選擇性必修第一冊模塊綜合檢測卷（提高卷2）一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．）1．（2021·昆明市外國語學(xué)校高二月考（理））如圖，平行六面體，其中，，，，，，則的長為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】由，可得，再利用數(shù)量積運算性質(zhì)即可得出．【詳解】解：，，，，，．，，，即的長為.故選：A．2．（2021·天津市西青區(qū)楊柳青第一中學(xué)高二月考）直線：與：平行，則的值等于（）．A．或3 B．1或3 C．3 D．【答案】D【分析】根據(jù)兩直線平行關(guān)系，列出方程，即可求解.【詳解】由題意，直線：與：平行，可得，即，解得或，當(dāng)時，直線：與：，此時；當(dāng)時，直線：與：，此時與重合.故選：D.3．（2021·全國高二課時練習(xí)）已知橢圓的右焦點為，為橢圓上一動點，定點，則的最小值為（）A．1 B．－1 C． D．【答案】A【分析】設(shè)橢圓的左焦點為，得到，得出，結(jié)合圖象，得到當(dāng)且僅當(dāng)，，三點共線時，取得最小值，即可求解.【詳解】設(shè)橢圓的左焦點為，則，可得，所以，如圖所示，當(dāng)且僅當(dāng)，，三點共線（點在線段上）時，此時取得最小值，又由橢圓，可得且，所以，所以的最小值為1．故選：A．4．（2021·黑龍江哈爾濱市·哈爾濱三中高二月考）設(shè)直線與圓交于、兩點，若線段的中點為，則圓上的點到直線的距離的最小值為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】求出直線的方程，并求出圓的圓心到直線的距離，結(jié)合圓的幾何性質(zhì)可得出結(jié)果.【詳解】圓的圓心為，由垂徑定理可知，直線的斜率為，所以，直線的斜率為，故直線的方程為，即，圓的圓心為，半徑為，圓心到直線的距離為，因此，圓上的點到直線的距離的最小值為.故選：A.5．（2021·全國高二課時練習(xí)）已知，，是雙曲線上不同的三點，且點A，連線經(jīng)過坐標(biāo)原點，若直線，的斜率乘積為，則該雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】設(shè)出點，點的坐標(biāo)，求出斜率，將點，的坐標(biāo)代入方程，兩式相減，再結(jié)合，即可求得離心率．【詳解】設(shè)，，因為點A，連線經(jīng)過坐標(biāo)原點，根據(jù)雙曲線的對稱性，則，所以．因為點A，在雙曲線上，所以，兩式相減，得，所以，所以．故選：D.6．（2021·全國高二專題練習(xí)）如圖，ABCD－EFGH是棱長為1的正方體，若P在正方體內(nèi)部且滿足，則到的距離為（）A． B．C． D．【答案】C【分析】以為坐標(biāo)原點，AB，AD，AE所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，由題意，計算出和的坐標(biāo)，然后根據(jù)向量法求點到直線的距離公式即可求解.【詳解】解：如圖，以為坐標(biāo)原點，AB，AD，AE所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，因為，所以，，,所以點P到AB的距離．故選：C.7．（2021·江蘇高二專題練習(xí)）點在曲線上運動，，且的最大值為，若，，則的最小值為A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【分析】由題意曲線為圓，，且表示曲線上的點到點的距離的平方，結(jié)合圓的特征可得點，由此可得，于是，故，以此為基礎(chǔ)并由基本不等式可得所求的最小值．【詳解】曲線可化為，表示圓心為，半徑為的圓．，可以看作點到點的距離的平方，圓上一點到的距離的最大值為，即點是直線與圓的離點最遠(yuǎn)的交點，所以直線的方程為，由，解得或（舍去），∴當(dāng)時，取得最大值，且，∴，∴，∴，當(dāng)且僅當(dāng)，且，即時等號成立．故選A．【點睛】（1）解題時要注意幾何法的合理利用，同時還要注意轉(zhuǎn)化方法的運用，如本題中將轉(zhuǎn)化為兩點間距離的平方，圓上的點到圓外一點的距離的最大值為圓心到該點的距離加上半徑等．（2）利用基本不等式求最值時，若不等式不滿足定值的形式，則需要通過“拼湊”的方式，將不等式轉(zhuǎn)化為適合利用基本不等式的形式，然后再根據(jù)不等式求出最值．8．（2021·安徽六安一中高二開學(xué)考試（理））正方體的棱長為4，點在棱上，且，點是正方體下底面內(nèi)（含邊界）的動點，且動點到直線的距離與點到點的距離的平方差為16，則動點到點的最小值是（）．A． B． C． D．【答案】C【分析】作，，即為到直線的距離，從而可得，即點的軌跡是以為準(zhǔn)線，點為焦點的拋物線，然后建立平面直角坐標(biāo)系求解.【詳解】如圖所示，作，為垂足，則面過點作，則面所以即為到直線的距離因為，所以所以點的軌跡是以為準(zhǔn)線，點為焦點的拋物線如圖建立直角坐標(biāo)系，則點的軌跡方程是點,設(shè)所以所以當(dāng)，取得最大值故選：C【點睛】本題考查的是立體幾何中的垂直關(guān)系、解析幾何中拋物線的定義及最值問題，屬于較難題.二?多選題（本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.）9．（2021·全國高二單元測試）將正方形沿對角線折成直二面角，則下列結(jié)論正確的是（）A．B．是等邊三角形C．與平面所成的角為90°D．與所成的角為30°【答案】AB【分析】首先畫出幾何體，由線面垂直的性質(zhì)定理判斷A是否正確；根據(jù)直二面角的條件計算的長度，判斷是否是等邊三角形，即可判斷B的正誤；根據(jù)線面角的定義判斷C；由異面直線所成的角通過向量方法轉(zhuǎn)化為先求與夾角余弦值，然后根據(jù)余弦值即可得夾角大小，即可判斷D的正誤.【詳解】對于A選項，如圖，取的中點，連接，，，則，，又，平面，又平面，∴，A中結(jié)論正確；對于B選項，由直二面角，得，∴是等邊三角形，B中結(jié)論正確；對于C選項，∵平面，∴是與平面所成的角，其大小為45°，C中結(jié)論錯誤；對于D選項，，不妨設(shè)，則，∴，∴，∴，即與所成的角為60°，D中結(jié)論錯誤.故選：AB.10．（2021·全國高二課時練習(xí)）（多選）已知直線，則下列說法正確的是（）．A．直線的斜率可以等于0B．若直線與軸的夾角為30°，則或C．直線恒過點D．若直線在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，則或【答案】BD【分析】討論和時直線的斜率和截距情況，判斷AD的正誤；利用傾斜角和斜率的關(guān)系判斷B的正誤；將方程化為判斷直線過定點，判斷C的正誤.【詳解】當(dāng)時，直線，斜率不存在，當(dāng)時，直線的斜率為，不可能等于0，故A選項錯誤；∵直線與軸的夾角角為30°，∴直線的傾斜角為60°或120°，而直線的斜率為，∴或，∴或，故B選項正確；直線的方程可化為，所以直線過定點，故C選項錯誤；當(dāng)時，直線，在軸上的截距不存在，當(dāng)時，令，得，令，得，令，得，故D選項正確．故選：BD．11．（2021·全國高二專題練習(xí)）已知為拋物線的焦點，點在拋物線上，過點的直線與拋物線交于，兩點，為坐標(biāo)原點，拋物線的準(zhǔn)線與軸的交點為.則下列說法正確的是（）A．的最大值為B．若點，則的最小值為C．無論過點的直線在什么位置，總有D．若點在拋物線準(zhǔn)線上的射影為，則、、三點共線【答案】ABCD【分析】對選項A，設(shè)直線，與拋物線聯(lián)立，得到當(dāng)且僅當(dāng)與拋物線相切時，取得最大值，從而得到A正確；對選項B，利用拋物線的幾何性質(zhì)即可得到答案；對選項C，設(shè)方程為，，，與拋物線聯(lián)立得到，利用根系關(guān)系得到，即可得到；對選項D，由題意知，再計算即可判斷D正確.【詳解】對選項A，設(shè)直線，聯(lián)立得，當(dāng)且僅當(dāng)與拋物線相切時，取得最大值.由，得.直線的斜率為，此時取得最大值.故A正確.對選項B，，則在準(zhǔn)線上的射影為，設(shè)到準(zhǔn)線的距離為，則，當(dāng)且僅當(dāng)，，三點共線時等號成立，故B正確；對選項C，由題意知，，且的斜率不為，則設(shè)方程為，，，聯(lián)立直線與拋物線的方程，整理得，則，，所以，.則.故直線，的傾斜角互補，所以，故C正確.對選項D，由題意知，由③知，，，則，，由，知，即??三點在同一條直線上，故D正確.故選ABCD【點睛】關(guān)鍵點點睛：求解拋物線有關(guān)距離的最值，要結(jié)合拋物線的定義來解決.12．（2021·江蘇連云港·高二期末）如圖，是由具有公共直角邊的兩塊直角三角板組成的三角形，，．現(xiàn)將沿斜邊翻折成（不在平面ABC內(nèi)）．若，分別為和的中點，則在翻折過程中，下列結(jié)論正確的是（）A．平面B．與BC不可能垂直C．二面角正切值的最大值為D．直線與所成角的取值范圍為【答案】AD【分析】利用線面平行的判定定理可判斷A是正確的，設(shè)，的中點為，連接，過作的垂線，垂足為，過作，垂足為，連接，則計算可得，根據(jù)的范圍可判斷C的正誤，計算也可得，從而可得存在一個位置，使得，從而可判斷B的正誤，利用空間向量計算后可判斷D的正誤.【詳解】對A，如圖，連接，∵分別為的中點，∴，而面，∴平面，A正確；設(shè)，的中點為，連接，過作的垂線，垂足為，過作，垂足為，連接，因為、均為等腰直角三角形，故，故，因為，故平面，因為平面，所以，而，故平面，而平面，故.而，則平面，而平面，故，故為二面角的平面角.設(shè)，則，，故，，所以，而，，故，因為，故無最大值，故C錯誤.在直角三角形中，，故，取，此時滿足前者范圍要求且，故，但，，故平面，而平面，故，故B錯誤.在三角形中，化簡可得，，化簡可得，故，，故，設(shè)所成的角為，則，故，故D正確.故選：AD.【點睛】方法點睛：對于空間動態(tài)問題角的計算，一方面要能夠根據(jù)圖形構(gòu)造出線面角、二面角等，如果題設(shè)給出的圖形不規(guī)則且構(gòu)造角又比較困難，則可選用空間向量來簡化計算.三?填空題：（本題共4小題，每小題5分，共20分，其中第16題第一空2分，第二空3分。）13．（2021·全國高二專題練習(xí)）已知圓與圓關(guān)于直線對稱，則直線方程___________.【答案】【分析】由于兩圓的半徑相等，可得，求出兩圓的圓心O(0，0)，，則求出OA的中點坐標(biāo)，，從而可得直線的斜率為，從而可求出直線的方程【詳解】由于半徑相等，易求，由圓的圓心坐標(biāo)為O(0，0)，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，可得圓心，則OA的中點坐標(biāo)為，且OA的斜率為，可得所求直線的斜率為，所以直線的方程為，即.故答案為：.14．（2021·全國高二課時練習(xí)）如圖，一個結(jié)晶體的形狀為平行六面體，其中，以頂點為端點的三條棱長都相等，且它們彼此的夾角都是，下列說法中正確的是________．(填序號)①②；③向量與的夾角是；④與所成角的余弦值為.【答案】①②【分析】根據(jù)空間向量數(shù)量積的運算律及空間向量基本定理一一計算可得；【詳解】解：因為以為端點的三條棱長都相等，且彼此的夾角為，不妨設(shè)棱長為，對于①，，因為，則，所以，故①正確；對于②，因為，故②正確；對于③，因為，顯然為等邊三角形，則，所以向量與的夾角為，向量與的夾角為，故③不正確；對于④，因為，，則，，所以，所以，故④不正確．故答案為：①②．15．（2021·河北張家口·高二期末）已知點P是直線上一點，過點P作圓的兩條切線，切點分別為和．若圓心到直線的距離的最大值為，則實數(shù)=________．【答案】4【分析】由平面幾何知識可知圓心O到直線的距離的最大時，的最小，利用點到直線的距離公式即得.【詳解】連接，，，，設(shè)與相交于點，易知被垂直平分，，圓心到直線的距離為，中，有，即，∵圓心O到直線的距離的最大值為，則的最小值為，依題意，知的最小值為點到直線的距離，∴，即，∵，∴.故答案為：4.16．（2021·安徽高二期末（理））已知點為雙曲線在第一象限上一點，點為雙曲線的右焦點，為坐標(biāo)原點，，則雙曲線的離心率為___；若，分別交雙曲線于，兩點，記直線與的斜率分別為，，則___.【答案】415【分析】設(shè)，由已知條件可得，從而可得點橫坐標(biāo)，由勾股定理可得，將代入雙曲線方程結(jié)合可得關(guān)于的齊次方程，即可求離心率；由題意知：，由可得，再計算即可求解.【詳解】設(shè)，因為，所以，由可得，＝，即，把代入雙曲線方程，可得，即，又，代入上式可得，即，解得或所以雙曲線的離心率；設(shè)，則，因為，所以，，所以，把、的坐標(biāo)分別代入雙曲線方程，可得兩式作差可得，即，∴故答案為：；.【點睛】方法點睛：求橢圓離心率的方法：（1）直接利用公式；（2）利用變形公式；（3）根據(jù)條件列出關(guān)于的齊次式，兩邊同時除以，化為關(guān)于離心率的方程即可求解.四、解答題（本題共6小題，共70分，其中第16題10分，其它每題12分，解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟。）17．（2021·天津河?xùn)|區(qū)·高二期末）如圖，在棱長為1的正方體中，分別為，的中點，點在上，且.（1）求證：；（2）求與所成角的余弦值.【答案】（1）證明見解析；（2）.【分析】如圖建立空間直角坐標(biāo)系，（1）利用空間向量證明，（2）利用空間向量求解【詳解】以D為坐標(biāo)原點，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系D﹣xyz.則E（），，（1）∵，，∵，（2）由（1）知，∴，，，設(shè)EF與C1G所成角為，則故EF與C1G所成角的余弦值為18．（2021·江蘇）已知直線（1）求證：直線經(jīng)過定點．（2）若直線交軸負(fù)半軸于點，交軸正半軸于點，的面積為，求的最小值并求此時直線的方程．（3）若直線不經(jīng)過第四象限，求實數(shù)的取值范圍．【答案】（1）證明見解析；（2）4，；（3）．【分析】（1）直線化為，令，則可得直線l經(jīng)過定點；（2）由l的方程得，，利用三角形面積公式及基本不等式求解；（3）直線不經(jīng)過第四象限，由求解.【詳解】（1）直線，化為，令，可得由題意得出直線l經(jīng)過定點；（2）由l的方程得，，由題知：，且，，，當(dāng)且僅當(dāng)，，即時，面積取最小值4，此時直線的方程是：．（3）直線即不經(jīng)過第四象限，則，解得．即實數(shù)k的取值范圍為．19．（2021·廣東石門高級中學(xué)高二月考）已知動點到點的距離，與點到直線的距離相等.（1）求動點的軌跡方程；（2）若過點且斜率為的直線與動點的軌跡交于，兩點，求線段的長度.【答案】（1）；（2）16．【分析】（1）根據(jù)拋物線的定義求得軌跡方程；（2）寫出直線方程，代入拋物線方程，設(shè)，應(yīng)用韋達定理，由弦長公式計算出弦長．【詳解】（1）由題意點的軌跡是以為焦點，直線為準(zhǔn)線的拋物線，，，所以軌跡方程是；（2）由已知直線方程是，設(shè)，由得，所以，．20．（2021·全國高二單元測試）在下列所給的三個條件中任選一個，補充在下面的問題中，并加以解答.①與直線垂直；②過點；③與直線平行.問題：已知直線過點，且___________.（1）求直線的一般式方程；（2）若直線與圓相交于點，，求弦的長.【答案】條件選擇見解析；（1）；（2）.【分析】選①：（1）求出直線的斜率，可求得直線的斜率，利用點斜式可求得直線的方程即可；（2）求出圓心到直線的距離，利用勾股定理可求得弦長；選②：（1）根據(jù)直線上兩點求出直線的斜率，利用點斜式可求得直線的方程；（2）求出圓心到直線的距離，利用勾股定理可求得弦長；選③：（1）由直線平行求得直線的斜率，利用點斜式可求得直線的方程即可；（2）求出圓心到直線的距離，利用勾股定理可求得弦長.【詳解】方案一選條件①.（1）因為直線的斜率為，又直線與直線垂直，所以直線的斜率為，依題意，直線的方程為，即.（2）圓的圓心到直線的距離為.又圓的半徑為，所以.方案二選條件②.（1）因為直線過點及，所以直線的方程為，即.（2）圓的圓心到直線的距離為.又圓的半徑為，所以.方案三選條件③.（1）因為直線的斜率為，直線與直線平行，所以直線的斜率為依題意，直線的方程為，即.（2）圓的圓心到直線的距離為.又圓的半徑為，所以.21．（2021·河南許昌·高二期末（理））如圖，四棱錐中，底面為正方形，△為等邊三角形，平面底面，為的中點．（1）求證：；（2）在線段（不包括端點）上是否存在點，使直線與平面所成角的正弦值為，若存在，確定點的位置；若不存在，請說明理由．【答案】（1）證明見解析；（2）存在；點為靠近點的三等份點．【分析】（1）取的中點連，由面面垂直的性質(zhì)易得面，法一：由線面垂直的性質(zhì)得，由正方形性質(zhì)有易得，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)可證；法二：取的中點，連，構(gòu)建以，，所在的直線為軸，軸，軸建立如圖空間直角坐標(biāo)系，進而應(yīng)用坐標(biāo)表示、，根據(jù)向量的數(shù)量積，即可證；（2）由（1）所得