第10講復數(shù)的三角形式（知識點串講）原卷版

第10講復數(shù)的三角形式（滬教版2020必修二）【知識講練】知識點一、復數(shù)的三角表示式及復數(shù)的輻角和輻角主值一般地，如果非零復數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)在復平面內對應點Z(a，b)，且r為向量eq\o(OZ,\s\up7(→))的模，θ是以x軸正半軸為始邊、射線OZ為終邊的一個角，則r＝|z|＝eq\r(a2＋b2)，根據(jù)任意角余弦、正弦的定義可知cosθ＝eq\f(a,r)，sinθ＝eq\f(b,r).因此a＝rcosθ，b＝rsinθ，如圖所示，從而z＝a＋bi＝(rcosθ)＋(rsinθ)i＝r(cosθ＋isinθ)，上式的右邊稱為非零復數(shù)z＝a＋bi的三角形式(對應地，a＋bi稱為復數(shù)的代數(shù)形式)，其中的θ稱為z的輻角．顯然，任何一個非零復數(shù)z的輻角都有無窮多個，而且任意兩個輻角之間都相差2π的整數(shù)倍．特別地，在[0,2π)內的輻角稱為z的輻角主值，記作argz例1．（2021·浙江高一單元測試）把下列復數(shù)的代數(shù)形式化成三角形式.（1）；（2）.【變式訓練11】（2020·全國高一課時練習）復數(shù)化成三角形式，正確的是（）A． B．C． D．【變式訓練12】（2020·全國高一課時練習）復數(shù)的三角形式是A． B．C． D．【變式訓練13】（2020·全國高一課時練習）復數(shù)（i為虛數(shù)單位）的三角形式為（）A． B．C． D．【方法技巧】復數(shù)的代數(shù)形式化為三角形式的步驟(1)先求復數(shù)的模．(2)決定輻角所在的象限．(3)根據(jù)象限求出輻角．(4)求出復數(shù)的三角形式．提醒：一般在復數(shù)三角形式中的輻角，常取它的主值，這使表達式簡便，又便于運算，但三角形式輻角不一定取主值．例2．（2020·全國高一課時練習）“復數(shù)的模與輻角分別相等”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【變式訓練14】（2020·河北冀州中學（衡水市冀州區(qū)第一中學）高三月考）任意復數(shù)（，為虛數(shù)單位）都可以的形式，其中該形式為復數(shù)的三角形式，其中稱為復數(shù)的輻角主值.若復數(shù)，則的輻角主值為（）A． B． C． D．【變式訓練15】（2020·全國高一課時練習）已知復數(shù)z1＝，z2＝，則z1z2的代數(shù)形式是（）A． B．C．－i D．＋i【變式訓練16】（2020·全國高一課時練習）復數(shù)的輻角主值為A． B． C． D．【方法技巧】復數(shù)的三角形式z＝rcosθ＋isinθ必須滿足“模非負、余正弦、＋相連、角統(tǒng)一、i跟sin”，否則就不是三角形式，只有化為三角形式才能確定其模和輻角，.知識點二、復數(shù)三角形式的乘、除運算若復數(shù)z1＝r1(cosθ1＋isinθ1)，z2＝r2(cosθ2＋isinθ2)，且z1≠z2，則(1)z1z2＝r1(cosθ1＋isinθ1)×r2(cosθ2＋isinθ2)＝r1r2[cos(θ1＋θ2)＋isin(θ1＋θ2)]．(2)eq\f(z1,z2)＝eq\f(r1,r2)[cos(θ1－θ2)＋isin(θ1－θ2)]．(3)[r(cosθ＋isinθ)]n＝rn[cos(nθ)＋isin(nθ)].例1．（2020·全國高一課時練習）計算：（1）；（2）.【方法技巧】1．乘法法則：模相乘，輻角相加．2．除法法則：模相除，輻角相減．3．復數(shù)的n次冪，等于模的n次冪，輻角為n倍．例2．（2020·全國高一課時練習）將復數(shù)對應的向量繞原點按順時針方向旋轉，得到的向量為，那么對應的復數(shù)是A． B． C． D．【變式訓練23】（2020·全國高一課時練習）將復數(shù)對應的向量繞原點按逆時針方向旋轉，得到的向量為，那么對應的復數(shù)是A．2i B． C． D．【變式訓練23】（2020·全國高一課時練習）在復平面內，把與復數(shù)對應的向量繞原點按逆時針方向旋轉，求與所得向量對應的復數(shù)（用代數(shù)形式表示）.【變式訓練23】（2020·全國高一課時練習）在復平面內，設為坐標原點，點所對應的復數(shù)分別為，且的輻角主值分別為，模長均為1.若的重心對應的復數(shù)為，求.【方法技巧】兩個復數(shù)z1，z2相乘時，先分別畫出與z1，z2對應的向量，，然后把向量繞點O按逆時針方向旋轉角θ2如果θ2＜0，就要把繞點O按順時針方向旋轉角|θ2|，再把它的模變?yōu)樵瓉淼膔2倍，得到向量，表示的復數(shù)就是積z1z2.【變式訓練24】（2020·全國）復數(shù)（）A． B． C． D．【變式訓練25】（2020·全國高一課時練習）計算下列各式：（1）；（2）.【變式訓練26】（2020·全國高一課時練習）計算的值.【方法技巧】知識：(1)任何一個不為零的復數(shù)的輻角有無限多個值，且這些值相差2π的整數(shù)倍．(2)復數(shù)0的輻角是任意的．(3)在0≤θ＜2π范圍內的輻角θ的值為輻角主值，通常記作argz，且0≤argz＜2π.(4)兩個非零復數(shù)相等當且僅當它們的模與輻角主值分別相等．方法：兩個復數(shù)三角形式乘法的法則可簡記為：模相乘，輻角相加，并且可以作以下推廣；(1)有限個復數(shù)相乘，結論亦成立．即z1·z2…zn＝r1(cosθ1＋isinθ1)·r2(cosθ2＋isinθ2)…rn(cosθn＋isinθn)＝r1·r2…rn[cos(θ1＋θ2＋…＋θn)＋isin(θ1＋θ2＋…＋θn)