2025《金版教程•高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)創(chuàng)新方案》第3節(jié) 第2課時(shí) 列聯(lián)表與獨(dú)立性檢驗(yàn)

第2課時(shí)列聯(lián)表與獨(dú)立性檢驗(yàn)課標(biāo)解讀考向預(yù)測(cè)1.通過實(shí)例，理解2×2列聯(lián)表的統(tǒng)計(jì)意義.2.通過實(shí)例，了解2×2列聯(lián)表獨(dú)立性檢驗(yàn)及其應(yīng)用.預(yù)計(jì)2025年高考列聯(lián)表、獨(dú)立性檢驗(yàn)可能會(huì)以實(shí)際問題為背景，與概率、隨機(jī)變量的分布列及數(shù)字特征相結(jié)合命題，難度適中.必備知識(shí)——強(qiáng)基礎(chǔ)1．分類變量：變量的不同“值”表示個(gè)體所屬的不同類別，像這樣的變量稱為分類變量．2．2×2列聯(lián)表一般地，假設(shè)有兩個(gè)分類變量X和Y，它們的取值均為0，1，其2×2列聯(lián)表為XY合計(jì)Y＝0Y＝1X＝0aba＋bX＝1cdc＋d合計(jì)a＋cb＋da＋b＋c＋d3．獨(dú)立性檢驗(yàn)(1)零假設(shè)：以Ω為樣本空間的古典概型，設(shè)X和Y為定義在Ω上，取值于{0，1}的成對(duì)分類變量，H0：eq\x(\s\up1(01))P(Y＝1|X＝0)＝P(Y＝1|X＝1)．通常稱H0為零假設(shè)或原假設(shè)．(2)χ2的計(jì)算公式：記n＝a＋b＋c＋d，則χ2＝eq\f(n（ad－bc）2,（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）).(3)臨界值：對(duì)于任何小概率值α，可以找到相應(yīng)的正實(shí)數(shù)xα，使得后面關(guān)系成立：P(χ2≥xα)＝α.我們稱xα為α的臨界值，這個(gè)臨界值就可以作為判斷χ2大小的標(biāo)準(zhǔn)，概率值αeq\x(\s\up1(02))越小，臨界值xα越大．(4)基于小概率值α的檢驗(yàn)規(guī)則是：當(dāng)χ2≥xα?xí)r，我們就推斷H0不成立，即認(rèn)為X和Y不獨(dú)立，該推斷犯錯(cuò)誤的概率不超過α；當(dāng)χ2＜xα?xí)r，我們沒有充分證據(jù)推斷H0不成立，可以認(rèn)為X和Y獨(dú)立．(5)應(yīng)用獨(dú)立性檢驗(yàn)解決實(shí)際問題的主要環(huán)節(jié)①提出零假設(shè)H0：X和Y相互獨(dú)立，并給出在問題中的解釋；②根據(jù)抽樣數(shù)據(jù)整理出2×2列聯(lián)表，計(jì)算χ2的值，并與臨界值xα比較；③根據(jù)檢驗(yàn)規(guī)則得出推斷結(jié)論；④在X和Y不獨(dú)立的情況下，根據(jù)需要，通過比較相應(yīng)的頻率，分析X和Y間的影響規(guī)律．根據(jù)χ2的值可以判斷兩個(gè)分類變量有關(guān)的可信程度，若χ2越大，則認(rèn)為兩分類變量有關(guān)的把握越大．1．概念辨析(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)分類變量中的變量與函數(shù)中的變量是同一概念．()(2)2×2列聯(lián)表是借助兩個(gè)分類變量之間頻率大小差異說明兩個(gè)變量之間是否有關(guān)聯(lián)．()(3)應(yīng)用獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想對(duì)兩個(gè)變量間的關(guān)系作出的推斷一定是正確的．()(4)若分類變量X，Y關(guān)系越密切，則由觀測(cè)數(shù)據(jù)計(jì)算得到的χ2的觀測(cè)值越?。?)答案(1)×(2)√(3)×(4)×2．小題熱身(1)(人教B選擇性必修第二冊(cè)4.3.2練習(xí)AT2改編)為了解某大學(xué)的學(xué)生是否愛好體育鍛煉，用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣方法在校園內(nèi)調(diào)查了120位學(xué)生，得到如下2×2列聯(lián)表：男女合計(jì)愛好ab73不愛好c25合計(jì)74則a－b－c＝()A．7 B．8C．9 D．10答案C解析根據(jù)題意，可得c＝120－73－25＝22，a＝74－22＝52，b＝73－52＝21，∴a－b－c＝52－21－22＝9.(2)在下列兩個(gè)分類變量X，Y的樣本頻數(shù)列聯(lián)表中，可以判斷X，Y之間有無關(guān)系的是()y1y2合計(jì)x1aba＋bx2cdc＋d合計(jì)a＋cb＋da＋b＋c＋dA．eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(a,a＋b)－\f(b,c＋d))) B．eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(c,a＋b)－\f(d,c＋d)))C．eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(b,a＋b)－\f(c,c＋d))) D．eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(a,a＋b)－\f(c,c＋d)))答案D解析∵χ2＝eq\f(n（ad－bc）2,（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）)，則分類變量X和Y有關(guān)系時(shí)，ad與bc差距會(huì)比較大，由eq\f(a,a＋b)－eq\f(c,c＋d)＝eq\f(ac＋ad－ac－bc,（a＋b）（c＋d）)＝eq\f(ad－bc,（a＋b）（c＋d）)，故eq\f(a,a＋b)與eq\f(c,c＋d)的值相差應(yīng)該大，即eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(a,a＋b)－\f(c,c＋d)))的大小可以判斷X，Y之間有無關(guān)系．(3)已知P(χ2≥6.635)＝0.01，P(χ2≥10.828)＝0.001.在檢驗(yàn)喜歡某項(xiàng)體育運(yùn)動(dòng)與性別是否有關(guān)的過程中，某研究員搜集數(shù)據(jù)并計(jì)算得到χ2＝7.235，則根據(jù)小概率值α＝________的χ2獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析喜歡該項(xiàng)體育運(yùn)動(dòng)與性別有關(guān)．答案0.01解析因?yàn)?.635<7.235<10.828，所以根據(jù)小概率值α＝0.01的χ2獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析喜歡該項(xiàng)體育運(yùn)動(dòng)與性別有關(guān)．考點(diǎn)探究——提素養(yǎng)考點(diǎn)一分類變量的兩種統(tǒng)計(jì)表示形式(多考向探究)考向1等高堆積條形圖例1(2023·四川南充三診)為考查A，B兩種藥物預(yù)防某疾病的效果，進(jìn)行動(dòng)物實(shí)驗(yàn)，分別得到如下等高堆積條形圖，根據(jù)圖中信息，下列說法最佳的是()A．藥物B的預(yù)防效果優(yōu)于藥物A的預(yù)防效果B．藥物A的預(yù)防效果優(yōu)于藥物B的預(yù)防效果C．藥物A，B對(duì)該疾病均有顯著的預(yù)防效果D．藥物A，B對(duì)該疾病均沒有預(yù)防效果答案B解析根據(jù)題干中兩個(gè)等高堆積條形圖知，藥物A實(shí)驗(yàn)顯示不服藥與服藥時(shí)患病差異較藥物B實(shí)驗(yàn)顯示明顯，所以藥物A的預(yù)防效果優(yōu)于藥物B的預(yù)防效果．【通性通法】在等高堆積條形圖中，eq\f(a,a＋b)與eq\f(c,c＋d)相差越大，我們認(rèn)為兩個(gè)分類變量之間關(guān)系越強(qiáng)．【鞏固遷移】1．(多選)現(xiàn)行普通高中學(xué)生在高一時(shí)面臨著選科的問題，學(xué)校抽取了部分男、女學(xué)生意愿的一份樣本，制作出如下兩個(gè)等高堆積條形圖：根據(jù)這兩幅圖中的信息，下列統(tǒng)計(jì)結(jié)論正確的是()A．樣本中的女生數(shù)量多于男生數(shù)量B．樣本中有兩理一文意愿的學(xué)生數(shù)量多于有兩文一理意愿的學(xué)生數(shù)量C．樣本中的男生偏愛兩理一文D．樣本中的女生偏愛兩文一理答案ABC解析由等高堆積條形圖知，女生數(shù)量多于男生數(shù)量，故A正確；有兩理一文意愿的學(xué)生數(shù)量多于有兩文一理意愿的學(xué)生數(shù)量，故B正確；男生偏愛兩理一文，故C正確；女生中有兩理一文意愿的學(xué)生數(shù)量多于有兩文一理意愿的學(xué)生數(shù)量，故D錯(cuò)誤．故選ABC.考向22×2列聯(lián)表例2(1)下面是一個(gè)2×2列聯(lián)表，則表中a，c處的值分別為()XY合計(jì)y1y2x1a2573x221bc合計(jì)d49A．98，28 B．28，98C．48，45 D．45，48答案C解析由2×2列聯(lián)表知a＋25＝73，b＋25＝49，b＋21＝c，解得a＝48，b＝24，c＝45.故選C.(2)假設(shè)兩個(gè)分類變量X和Y的2×2列聯(lián)表如下：XY合計(jì)y1y2x1a10a＋10x2c30c＋30合計(jì)a＋c40100對(duì)于同一樣本，以下數(shù)據(jù)能說明X和Y有關(guān)系的可能性最大的一組是()A．a(chǎn)＝40，c＝20 B．a(chǎn)＝45，c＝15C．a(chǎn)＝35，c＝25 D．a(chǎn)＝30，c＝30答案B解析χ2＝eq\f(n（ad－bc）2,（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）)＝neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,a＋c)－\f(b,b＋d)))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,a＋b)－\f(c,c＋d)))，根據(jù)2×2列聯(lián)表和獨(dú)立性檢驗(yàn)的相關(guān)知識(shí)，知當(dāng)b，d一定時(shí)，a，c相差越大，eq\f(a,a＋10)與eq\f(c,c＋30)相差就越大，χ2就越大，即X和Y有關(guān)系的可能性越大，結(jié)合選項(xiàng)，知B中a－c＝30與其他選項(xiàng)相比相差最大．【通性通法】在2×2列聯(lián)表中，如果兩個(gè)變量沒有關(guān)系，則應(yīng)滿足ad－bc≈0.|ad－bc|越小，說明兩個(gè)變量之間關(guān)系越弱；|ad－bc|越大，說明兩個(gè)變量之間關(guān)系越強(qiáng)．【鞏固遷移】2．(多選)有甲、乙兩個(gè)班級(jí)進(jìn)行數(shù)學(xué)考試，按照大于等于85分為優(yōu)秀，85分以下為非優(yōu)秀，得到列聯(lián)表如下：班級(jí)數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀非優(yōu)秀合計(jì)甲班10b乙班c30合計(jì)105已知在全部105人中隨機(jī)抽取1人，成績(jī)優(yōu)秀的概率為eq\f(2,7)，則下列說法正確的是()A．c＝30，b＝35B．c＝15，b＝50C．c＝20，b＝45D．由列聯(lián)表可看出數(shù)學(xué)成績(jī)與班級(jí)有關(guān)系答案CD解析依題意eq\f(10＋c,105)＝eq\f(2,7)，解得c＝20，由10＋20＋b＋30＝105，解得b＝45.補(bǔ)全2×2列聯(lián)表如下：班級(jí)數(shù)學(xué)成績(jī)合計(jì)優(yōu)秀非優(yōu)秀甲班104555乙班203050合計(jì)3075105甲班學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)的優(yōu)秀率為eq\f(10,55)≈0.182，乙班學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)的優(yōu)秀率為eq\f(20,50)＝0.4，乙班學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)的優(yōu)秀率明顯高于甲班學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)的優(yōu)秀率，可以認(rèn)為兩班學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀率存在差異，所以數(shù)學(xué)成績(jī)與班級(jí)有關(guān)．故選CD.考點(diǎn)二獨(dú)立性檢驗(yàn)的應(yīng)用例3(2024·山西太原模擬)為進(jìn)一步保護(hù)環(huán)境，加強(qiáng)治理空氣污染，某市環(huán)保監(jiān)測(cè)部門對(duì)市區(qū)空氣質(zhì)量進(jìn)行調(diào)研，隨機(jī)抽查了市區(qū)100天的空氣質(zhì)量等級(jí)與當(dāng)天空氣中SO2的濃度(單位：μg/m3)，整理數(shù)據(jù)得到下表：SO2的濃度空氣質(zhì)量等級(jí)[0，50](50，150](150，475]1(優(yōu))28622(良)5783(輕度污染)3894(中度污染)11211若某天的空氣質(zhì)量等級(jí)為1或2，則稱這天“空氣質(zhì)量好”；若某天的空氣質(zhì)量等級(jí)為3或4，則稱這天“空氣質(zhì)量不好”，根據(jù)上述數(shù)據(jù)，回答以下問題：(1)估計(jì)事件“該市一天的空氣質(zhì)量好，且SO2的濃度不超過150”的概率；(2)完成下面的2×2列聯(lián)表；SO2的濃度空氣質(zhì)量[0，150](150，475]合計(jì)空氣質(zhì)量好空氣質(zhì)量不好合計(jì)(3)根據(jù)(2)中的列聯(lián)表，依據(jù)小概率值α＝0.01的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否據(jù)此推斷該市一天的空氣質(zhì)量與當(dāng)天SO2的濃度有關(guān)？解(1)由表格可知，該市一天的空氣質(zhì)量好，且SO2的濃度不超過150的天數(shù)為28＋6＋5＋7＝46，則“該市一天的空氣質(zhì)量好，且SO2的濃度不超過150”的概率P＝eq\f(46,100)＝0.46.(2)由表格數(shù)據(jù)可得列聯(lián)表如下，SO2的濃度空氣質(zhì)量[0，150](150，475]合計(jì)空氣質(zhì)量好461056空氣質(zhì)量不好242044合計(jì)7030100(3)零假設(shè)為H0：該市一天的空氣質(zhì)量與當(dāng)天SO2的濃度無關(guān)．由(2)知χ2＝eq\f(100×（46×20－10×24）2,56×44×70×30)≈8.936>6.635＝x0.01，根據(jù)小概率值α＝0.01的獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們推斷H0不成立，即認(rèn)為該市一天的空氣質(zhì)量與當(dāng)天SO2的濃度有關(guān)，此推斷犯錯(cuò)誤的概率不超過0.01.【通性通法】獨(dú)立性檢驗(yàn)的一般步驟(1)根據(jù)樣本數(shù)據(jù)制成2×2列聯(lián)表；(2)根據(jù)公式χ2＝eq\f(n（ad－bc）2,（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）)計(jì)算；(3)比較χ2與臨界值的大小關(guān)系，作統(tǒng)計(jì)推斷．【鞏固遷移】3．(2022·全國(guó)甲卷)甲、乙兩城之間的長(zhǎng)途客車均由A和B兩家公司運(yùn)營(yíng)，為了解這兩家公司長(zhǎng)途客車的運(yùn)行情況，隨機(jī)調(diào)查了甲、乙兩城之間的500個(gè)班次，得到下面列聯(lián)表：準(zhǔn)點(diǎn)班次數(shù)未準(zhǔn)點(diǎn)班次數(shù)A24020B21030(1)根據(jù)上表，分別估計(jì)這兩家公司甲、乙兩城之間的長(zhǎng)途客車準(zhǔn)點(diǎn)的概率；(2)能否有90%的把握認(rèn)為甲、乙兩城之間的長(zhǎng)途客車是否準(zhǔn)點(diǎn)與客車所屬公司有關(guān)？附：χ2＝eq\f(n（ad－bc）2,（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）)，α0.1000.0500.010xα2.7063.8416.635解(1)根據(jù)表中數(shù)據(jù)，A家公司共有班次260次，其中準(zhǔn)點(diǎn)班次有240次，設(shè)A家公司長(zhǎng)途客車準(zhǔn)點(diǎn)事件為M，則P(M)＝eq\f(240,260)＝eq\f(12,13)；B家公司共有班次240次，其中準(zhǔn)點(diǎn)班次有210次，設(shè)B家公司長(zhǎng)途客車準(zhǔn)點(diǎn)事件為N，則P(N)＝eq\f(210,240)＝eq\f(7,8).故A家公司長(zhǎng)途客車準(zhǔn)點(diǎn)的概率為eq\f(12,13)，B家公司長(zhǎng)途客車準(zhǔn)點(diǎn)的概率為eq\f(7,8).(2)由題可得χ2＝eq\f(500×（240×30－20×210）2,（240＋20）×（210＋30）×（240＋210）×（20＋30）)≈3.205＞2.706，根據(jù)臨界值表可知，有90%的把握認(rèn)為甲、乙兩城之間的長(zhǎng)途客車是否準(zhǔn)點(diǎn)與客車所屬公司有關(guān)．課時(shí)作業(yè)一、單項(xiàng)選擇題1．如表是2×2列聯(lián)表，則表中a，b的值分別為()y1y2合計(jì)x1a835x2113445合計(jì)b4280A．27，38 B．28，38C．27，37 D．28，37答案A解析a＝35－8＝27，b＝a＋11＝27＋11＝38.2．某課外興趣小組通過隨機(jī)調(diào)查，利用2×2列聯(lián)表和χ2統(tǒng)計(jì)量研究數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀是否與性別有關(guān)．計(jì)算得χ2＝6.748，經(jīng)查閱臨界值表知P(χ2≥6.635)＝0.010，則下列判斷正確的是()A．每100名數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀的人中就會(huì)有1名是女生B．若某人數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀，那么他為男生的概率是0.010C．有99%的把握認(rèn)為“數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀與性別無關(guān)”D．在犯錯(cuò)誤的概率不超過1%的前提下認(rèn)為“數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀與性別有關(guān)”答案D解析∵χ2＝6.748>6.635，∴有99%的把握認(rèn)為“數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀與性別有關(guān)”，即在犯錯(cuò)誤的概率不超過1%的前提下認(rèn)為“數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀與性別有關(guān)”．故選D.3．假設(shè)有兩個(gè)分類變量X與Y，它們的可能取值分別為{x1，x2}和{y1，y2}，其2×2列聯(lián)表為y1y2合計(jì)x1101828x2m26m＋26合計(jì)m＋1044m＋54則當(dāng)整數(shù)m取________時(shí)，X與Y的關(guān)系最弱．()A．8 B．9C．14 D．19答案C解析在兩個(gè)分類變量的列聯(lián)表中，當(dāng)|ad－bc|的值越小時(shí)，認(rèn)為兩個(gè)分類變量有關(guān)的可能性越?。顋ad－bc|＝0，得10×26＝18m，解得m≈14.4，又m為整數(shù)，所以當(dāng)m＝14時(shí)，X與Y的關(guān)系最弱．4．(2024·海南華僑中學(xué)模擬)某同學(xué)寒假期間對(duì)其30位親屬的飲食習(xí)慣進(jìn)行了一次調(diào)查，列出了如下2×2列聯(lián)表：偏愛蔬菜偏愛肉類合計(jì)50歲以下481250歲以上16218合計(jì)201030則可以說其親屬的飲食習(xí)慣與年齡有關(guān)的把握為()附：χ2＝eq\f(n（ad－bc）2,（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）)，其中n＝a＋b＋c＋d.α0.0500.0100.001xα3.8416.63510.828A．90% B．95%C．99% D．99.9%答案C解析根據(jù)列聯(lián)表中數(shù)據(jù)，計(jì)算χ2＝eq\f(30×（4×2－8×16）2,12×18×20×10)＝10＞6.635，可以說其親屬的飲食習(xí)慣與年齡有關(guān)的把握為99%.故選C.5．為了考查某種病毒疫苗的效果，現(xiàn)隨機(jī)抽取100只小白鼠進(jìn)行試驗(yàn)，得到如下2×2列聯(lián)表：感染未感染合計(jì)服用104050未服用203050合計(jì)3070100附：χ2＝eq\f(n（ad－bc）2,（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）)，其中n＝a＋b＋c＋d.α0.100.050.0250.0100.0050.001xα2.7063.8415.0246.6357.87910.828根據(jù)以上數(shù)據(jù)，得到的結(jié)論正確的是()A．在犯錯(cuò)誤的概率不超過2.5%的前提下，認(rèn)為“小白鼠是否被感染與有沒有服用疫苗有關(guān)”B．在犯錯(cuò)誤的概率不超過1%的前提下，認(rèn)為“小白鼠是否被感染與有沒有服用疫苗有關(guān)”C．有95%的把握認(rèn)為“小白鼠是否被感染與有沒有服用疫苗有關(guān)”D．有95%的把握認(rèn)為“小白鼠是否被感染與有沒有服用疫苗無關(guān)”答案C解析依題意，χ2＝eq\f(100×（10×30－40×20）2,50×50×30×70)＝eq\f(100,21)≈4.762，顯然有3.841<4.762<5.024<6.635，所以有95%的把握認(rèn)為“小白鼠是否被感染與有沒有服用疫苗有關(guān)”，A，B，D不正確，C正確．6．假設(shè)有兩個(gè)變量x與y的2×2列聯(lián)表如下：y1y2x1abx2cd對(duì)于以下數(shù)據(jù)，對(duì)同一樣本能說明x與y有關(guān)系的可能性最大的一組為()A．a(chǎn)＝20，b＝30，c＝40，d＝50B．a(chǎn)＝50，b＝30，c＝30，d＝40C．a(chǎn)＝30，b＝60，c＝20，d＝50D．a(chǎn)＝50，b＝30，c＝40，d＝30答案B解析對(duì)于A，|ad－bc|＝200；對(duì)于B，|ad－bc|＝1100；對(duì)于C，|ad－bc|＝300；對(duì)于D，|ad－bc|＝300，顯然B中|ad－bc|最大，該組數(shù)據(jù)能說明x與y有關(guān)系的可能性最大．7．為了解某社區(qū)60歲以上老年人使用手機(jī)支付和現(xiàn)金支付的情況，抽取了部分居民作為樣本，統(tǒng)計(jì)其喜歡的支付方式，并制作出如下等高堆積條形圖：根據(jù)圖中的信息，下列結(jié)論中不正確的是()A．樣本中多數(shù)男性喜歡手機(jī)支付B．樣本中的女性數(shù)量少于男性數(shù)量C．樣本中多數(shù)女性喜歡現(xiàn)金支付D．樣本中喜歡現(xiàn)金支付的數(shù)量少于喜歡手機(jī)支付的數(shù)量答案C解析對(duì)于A，由題中右圖可知，樣本中多數(shù)男性喜歡手機(jī)支付，A正確；對(duì)于B，由題中左圖可知，樣本中的男性數(shù)量多于女性數(shù)量，B正確；對(duì)于C，由題中右圖可知，樣本中多數(shù)女性喜歡手機(jī)支付，C不正確；對(duì)于D，由題中右圖可知，樣本中喜歡現(xiàn)金支付的數(shù)量少于喜歡手機(jī)支付的數(shù)量，D正確．故選C.8．針對(duì)短視頻熱，某高校團(tuán)委對(duì)學(xué)生性別和喜歡短視頻是否有關(guān)聯(lián)進(jìn)行了一次調(diào)查，其中被調(diào)查的男生、女生人數(shù)均為5m(m∈N*)，男生中喜歡短視頻的人數(shù)占男生人數(shù)的eq\f(4,5)，女生中喜歡短視頻的人數(shù)占女生人數(shù)的eq\f(3,5).零假設(shè)為H0：喜歡短視頻和性別相互獨(dú)立．若依據(jù)α＝0.05的獨(dú)立性檢驗(yàn)認(rèn)為喜歡短視頻和性別不獨(dú)立，則m的最小值為()附：χ2＝eq\f(n（ad－bc）2,（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）).α0.050.01xα3.8416.635A．7 B．8C．9 D．10答案C解析根據(jù)題意，不妨設(shè)a＝4m，b＝m，c＝3m，d＝2m，于是χ2＝eq\f(n（ad－bc）2,（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）)＝eq\f(10m·（5m2）2,5m·5m·7m·3m)＝eq\f(10m,21)，由于依據(jù)α＝0.05的獨(dú)立性檢驗(yàn)認(rèn)為喜歡短視頻和性別不獨(dú)立，根據(jù)表格可知eq\f(10m,21)≥3.841，解得m≥8.0661，于是m的最小值為9.二、多項(xiàng)選擇題9．(2024·福建福州一中模擬)“一粥一飯，當(dāng)思來之不易”，道理雖簡(jiǎn)單，但每年我國(guó)還是有2000多億元的餐桌浪費(fèi)，被倒掉的食物相當(dāng)于2億多人一年的口糧．為營(yíng)造“節(jié)約光榮，浪費(fèi)可恥”的氛圍，某市發(fā)起了“光盤行動(dòng)”．某機(jī)構(gòu)為調(diào)研民眾對(duì)“光盤行動(dòng)”的認(rèn)可情況，在某大型餐廳中隨機(jī)調(diào)查了90位來店就餐的客人，制成如下所示的列聯(lián)表，通過計(jì)算得到χ2的觀測(cè)值為9.認(rèn)可不認(rèn)可40歲以下202040歲以上(含40歲)4010已知P(χ2≥6.635)＝0.010，P(χ2≥10.828)＝0.001，則下列判斷正確的是()A．在該餐廳用餐的客人中大約有66.7%的客人認(rèn)可“光盤行動(dòng)”B．在該餐廳用餐的客人中大約有99%的客人認(rèn)可“光盤行動(dòng)”C．有99%的把握認(rèn)為對(duì)“光盤行動(dòng)”的認(rèn)可情況與年齡有關(guān)D．在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.001的前提下，認(rèn)為對(duì)“光盤行動(dòng)”的認(rèn)可情況與年齡有關(guān)答案AC解析∵χ2的觀測(cè)值為9，且P(χ2≥6.635)＝0.010，P(χ2≥10.828)＝0.001，又9＞6.635，但9＜10.828，∴有99%的把握認(rèn)為對(duì)“光盤行動(dòng)”的認(rèn)可情況與年齡有關(guān)，或者說，在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.010的前提下，認(rèn)為對(duì)“光盤行動(dòng)”的認(rèn)可情況與年齡有關(guān)，故C正確，D錯(cuò)誤；由表可知，認(rèn)可“光盤行動(dòng)”的人數(shù)為60，∴在該餐廳用餐的客人中認(rèn)可“光盤行動(dòng)”的比例為eq\f(60,90)×100%≈66.7%，故A正確，B錯(cuò)誤．故選AC.10．為了解閱讀量多少與幸福感強(qiáng)弱之間的關(guān)系，一個(gè)調(diào)查機(jī)構(gòu)根據(jù)所得到的數(shù)據(jù)，繪制了如下所示的2×2列聯(lián)表(個(gè)別數(shù)據(jù)暫用字母表示)：幸福感強(qiáng)幸福感弱合計(jì)閱讀量多m1872閱讀量少36n78合計(jì)9060150計(jì)算得χ2≈12.981，參照下表：α0.100.050.0250.0100.0050.001xα2.7063.8415.0246.6357.87910.828下列說法正確的是()A．根據(jù)小概率值α＝0.010的獨(dú)立性檢驗(yàn)，可以認(rèn)為“閱讀量多少與幸福感強(qiáng)弱無關(guān)”B．m＝54C．根據(jù)小概率值α＝0.005的獨(dú)立性檢驗(yàn)，可以在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.5%的前提下認(rèn)為“閱讀量多少與幸福感強(qiáng)弱有關(guān)”D．n＝52答案BC解析∵χ2≈12.981>7.879>6.635，∴根據(jù)小概率值α＝0.010的獨(dú)立性檢驗(yàn)，可以在犯錯(cuò)誤的概率不超過1%的前提下認(rèn)為“閱讀量多少與幸福感強(qiáng)弱有關(guān)”，根據(jù)小概率值α＝0.005的獨(dú)立性檢驗(yàn)，可以在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.5%的前提下認(rèn)為“閱讀量多少與幸福感強(qiáng)弱有關(guān)”，∴A錯(cuò)誤，C正確；∵m＋36＝90，18＋n＝60，∴m＝54，n＝42，∴B正確，D錯(cuò)誤．故選BC.三、填空題11．某校為研究該校學(xué)生性別與體育鍛煉的經(jīng)常性之間的聯(lián)系，隨機(jī)抽取100名學(xué)生(其中男生60名，女生40名)，并繪制得到如圖所示的等高堆積條形圖，則這100名學(xué)生中經(jīng)常鍛煉的人數(shù)為________．答案68解析這100名學(xué)生中經(jīng)常鍛煉的人數(shù)為60×0.8＋40×0.5＝68.12．長(zhǎng)絨棉是世界上纖維品質(zhì)最優(yōu)的棉花，也是全球高端紡織品及特種紡織品的重要原料．新疆具有獨(dú)特的自然資源優(yōu)勢(shì)，是我國(guó)最大的長(zhǎng)絨棉生產(chǎn)基地，產(chǎn)量占全國(guó)長(zhǎng)絨棉總產(chǎn)量的95%以上．新疆某農(nóng)科所為了研究不同土壤環(huán)境下棉花的品質(zhì)，選取甲、乙兩地實(shí)驗(yàn)田進(jìn)行種植．在棉花成熟后采摘，分別從甲、乙兩地采摘的棉花中各隨機(jī)抽取50份樣本，測(cè)定其馬克隆值，整理測(cè)量數(shù)據(jù)得到如下2×2列聯(lián)表(單位：份)，其中40≤a≤50且a∈N*.注：棉花的馬克隆值是反映棉花纖維細(xì)度與成熟度的綜合指標(biāo)，是棉纖維重要的內(nèi)在質(zhì)量指標(biāo)之一．根據(jù)現(xiàn)行國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定，馬克隆值可分為A，B，C三個(gè)級(jí)別，A級(jí)品質(zhì)最好，B級(jí)為標(biāo)準(zhǔn)級(jí)，C級(jí)品質(zhì)最差．A級(jí)或B級(jí)C級(jí)合計(jì)甲地a50－a50乙地80－aa－3050合計(jì)8020100當(dāng)a＝a0時(shí)，有99%的把握認(rèn)為該品種棉花的馬克隆值級(jí)別與土壤環(huán)境有關(guān)，則a0的最小值為________．附：χ2＝eq\f(n（ad－bc）2,（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）)，其中n＝a＋b＋c＋d.α0.0500.0100.001xα3.8416.63510.828答案46解析依題意，χ2≥6.635，即100×eq\f([a（a－30）－（50－a）（80－a）]2,50×50×80×20)≥6.635，(10a－400)2≥2654，由于40≤a≤50且a∈N*，所以10a－400≥eq\r(2654)，a≥40＋eq\f(\r(2654),10)，因?yàn)?5<40＋eq\f(\r(2654),10)<46，所以a0的最小值為46.四、解答題13．某城市地鐵將于2024年6月開始運(yùn)營(yíng)，為此召開了一個(gè)價(jià)格聽證會(huì)，擬定價(jià)格后又進(jìn)行了一次調(diào)查，隨機(jī)抽查了50人，他們的收入與態(tài)度如下：月收入(單位：百元)[15，25)[25，35)[35，45)贊成定價(jià)者人數(shù)123認(rèn)為價(jià)格偏高者人數(shù)4812月收入(單位：百元)[45，55)[55，65)[65，75]贊成定價(jià)者人數(shù)534認(rèn)為價(jià)格偏高者人數(shù)521(1)若以區(qū)間的中點(diǎn)值作為該區(qū)間內(nèi)的人均月收入，求參與調(diào)查的人員中“贊成定價(jià)者”與“認(rèn)為價(jià)格偏高者”的月平均收入的差距(結(jié)果保留兩位小數(shù))；(2)由以上統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)列出2×2列聯(lián)表，依據(jù)小概率值α＝0.01的獨(dú)立性檢驗(yàn)，可否認(rèn)為“月收入以55百元為分界點(diǎn)對(duì)地鐵定價(jià)的態(tài)度有差異”？附：χ2＝eq\f(n（ad－bc）2,（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）)，其中n＝a＋b＋c＋d.α0.10.050.010.005xα2.7063.8416.6357.879解(1)“贊成定價(jià)者”的月平均收入為x1＝eq\f(20×1＋30×2＋40×3＋50×5＋60×3＋70×4,1＋2＋3＋5＋3＋4)≈50.56.“認(rèn)為價(jià)格偏高者”的月平均收入為x2＝eq\f(20×4＋30×8＋40×12＋50×5＋60×2＋70×1,4＋8＋12＋5＋2＋1)＝38.75，∴“贊成定價(jià)者”與“認(rèn)為價(jià)格偏高者”的月平均收入的差距是x1－x2≈50.56－38.75＝11.81(百元)．(2)根據(jù)條件可得2×2列聯(lián)表如下：對(duì)地鐵定價(jià)的態(tài)度月收入合計(jì)不低于55百元的人數(shù)低于55百元的人數(shù)認(rèn)為價(jià)格偏