2025屆云南省大理白族自治州大理市模擬預(yù)測(cè)數(shù)學(xué)試題

2025屆云南省大理白族自治州大理市模擬預(yù)測(cè)數(shù)學(xué)試題

學(xué)校:姓名：班級(jí)：考號(hào)：

一、單選題

1.若集合4=卜|108/41｝,B=|X|X2-2X-3<01,則Ap|3=（）

A.[-1,3]B.[-1,4]C.（0,4]D.（0,3]

2.己知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列｛%｝中，若%=9,則log?/+logs%=（）

A.2B.3C.4D.9

3.如圖，攬?jiān)麻w位于西安市雁塔南路最高點(diǎn)，承接大明宮、大雁塔，是西安唐文化軸的南

部重要節(jié)點(diǎn)和標(biāo)志性建筑，可近似視為一個(gè)正四棱臺(tái)，現(xiàn)有一個(gè)攬?jiān)麻w模型塔底寬20cm,

塔頂寬約10cm,側(cè)面面積為780cm2,據(jù)此計(jì)算該攬?jiān)麻w模型體積為（）cn?

A.1400B.2800C.------D.8400

3

4.已知函數(shù)y=/（x）的部分圖象如圖，則/（元）的解析式可能為（）

5

B./(x)=sinx—ex—e~x+—

2

cos%

C./（%）=cosx-（ev+e-x1D.

5.現(xiàn)有4個(gè)同學(xué)站成一排，將甲、乙2個(gè)同學(xué)加入排列，保持原來(lái)4個(gè)同學(xué)順序不變，不

同的方法共有（）種

A.10B.20C.30D.60

91

6.已知。20,且2a+b=l,則--H------的最小值為（）

a+1a+b

A.4B.6C.8D.10

7.若函數(shù)/（%）=辦2+cosx-l在（0,+e）為增函數(shù)，則實(shí)數(shù)4的取值范圍為（）

A.B.g+8）C.[1,+8）D.（1,+8）

8.已知拋物線C：=4y上存在兩點(diǎn)A（x，yJ,5（%,%）關(guān)于直線/：y=T+a對(duì)稱，若

x^2=-2,貝!J〃=（）

97

A.5B.—C.4D.一

22

二、多選題

.假設(shè)是兩個(gè)事件，且（）；（）（）（）則（

9A8PA=,PB=1,PB\A=PB,）

A.P（AB）=gB.尸（施C-P（A+B）=|D.P（A|B）=1

10.設(shè)meR,過(guò)定點(diǎn)A的動(dòng)直線4：x+my^0,和過(guò)定點(diǎn)8的動(dòng)直線4：mx-y-m+3^0

交于點(diǎn)P,圓C：（^-2）2+（J-4）2=3,則下列說(shuō)法正確的有（）

A.直線4過(guò)定點(diǎn)（1，-3）B.直線4與圓C相交最短弦長(zhǎng)為2

C.動(dòng)點(diǎn)P的曲線與圓C相交D.|/訓(xùn)儼邳最大值為5

11.如圖是函數(shù)/（x）=Ksin3x+°）（7C＞0,。＞0,的部分圖象，A是圖

象的一個(gè)最高點(diǎn)，。是圖象與y軸的交點(diǎn)，B,C是圖象與X軸的交點(diǎn)，且￡＞（0,-1）,NABC

的面積等于則下列說(shuō)法正確的是（）

B.函數(shù)的最小正周期為兀

試卷第2頁(yè)，共4頁(yè)

C.函數(shù)的圖象可由y=2sin(2x)的圖象向右平移自個(gè)單位長(zhǎng)度得到

JTJT

D.函數(shù)/'(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是kn--,kn+-,kcZ

三、填空題

12.已知復(fù)數(shù)z=*(i為虛數(shù)單位)，則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第____象限.

1-1

22

13.橢圓「+2=1(a>b>0)的右頂點(diǎn)為A,上頂點(diǎn)為3,右焦點(diǎn)為尸，若直線正與

ab

以A為圓心半徑為gb的圓相切，則橢圓離心率等于.

14.已知遞增的等差數(shù)列｛4｝的公差為d,從中抽取部分項(xiàng)氣，氣，氣……以”構(gòu)成等比

1*

｝中有且僅有3個(gè)兀素,

數(shù)列，其中K=2,k2=5,k3=n,且集合M=n

總+16

則d的取值范圍為.

四、解答題

15.在VABC中，角A,B,C的對(duì)邊分別是。，b,c,且6sinB-2sin2m=1.

(1)求角B的大?。?/p>

(2)若6=24，。為AC邊上的一點(diǎn)，BD=3,且______,求VABC的周長(zhǎng).

(從下面①，②兩個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在上面的橫線上并作答)

①是23的平分線；

②。為線段AC的中點(diǎn)

16.如圖，在四棱錐尸-ABCD中，PDL平面ABCD,底面ABCD為菱形，E,F分別為A3,

尸。的中點(diǎn).

⑴求證：所〃平面P3C；

⑵若AD=26,PD=4,PB=PC.求二面角E—FC—D的大小.

22

17.已知雙曲線C：3=1(4>。，b>0)的一條漸近線方程為后-y=0,頂點(diǎn)到

ab

漸近線的距離為逅.

2

(1)求C的方程；

(2)設(shè)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，若直線/過(guò)點(diǎn)(0,2),與C的左、右兩支交于A,B兩點(diǎn)，且VA08的面

積為2",求直線/的方程.

18.某校舉行圍棋比賽，甲、乙、丙三個(gè)人通過(guò)初賽，進(jìn)入決賽.已知甲與乙比賽時(shí)，甲獲

勝的概率為P1，甲與丙比賽時(shí)，甲獲勝的概率為P2，乙與丙比賽時(shí)，乙獲勝的概率為P3.

(1)決賽規(guī)則如下：首先通過(guò)抽簽的形式確定甲、乙兩人進(jìn)行第一局比賽，丙輪空；第一局

比賽結(jié)束后，勝利者和丙進(jìn)行比賽，失敗者輪空，以此類推，每局比賽的勝利者跟本局比賽

輪空者進(jìn)行下一局比賽，每場(chǎng)比賽勝者積1分，負(fù)者積0分，首先累計(jì)到2分者獲得比賽勝

利，比賽結(jié)束.假設(shè)PI=P2=〃3=0-6,且每局比賽相互獨(dú)立.

(i)求三人總積分為2分的概率；

(ii)求比賽結(jié)束時(shí)，三人總積分X的分布列與期望

⑵若PI+P3<1，假設(shè)乙獲得了指定首次比賽選手的權(quán)利，為獲得比賽的勝利，試分析乙的

最優(yōu)指定策略

19.己知函數(shù)〃力=產(chǎn)-無(wú)(%>0),其中aeR.

(1)討論/(x)的單調(diào)性；

⑵若恰好有一個(gè)零點(diǎn)，求。的取值范圍；

(3)若廣(X)有兩個(gè)零點(diǎn)號(hào),尤2(再<尤2)，求證：比。+21!1尤2>3.

試卷第4頁(yè)，共4頁(yè)

參考答案:

題號(hào)12345678910

答案DCBDCCABADBCD

題號(hào)11

答案ABC

1.D

【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)定義域和單調(diào)性解不等式，得到4=(0,4],解一元二次不等式得到

B=[T,3],由交集概念求出答案.

【詳解】集合A={鄧ogN41}=(0,4],B=[X\X2-2X-3<0]=[-1,3],

則AI8=(0,3].

故選：D.

2.C

[分析]根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)得到a2al2=說(shuō),計(jì)算出答案.

【詳解】：各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列｛。"｝中，%=9,

10g3a2+log3Oj,=log3(a2a]2)=1°§3(%『=log381=4.

故選：C.

3.B

【分析】設(shè)斜高，利用側(cè)面積求出斜高〃=13,求出棱臺(tái)的高，利用臺(tái)體體積公式得到答案.

【詳解】如圖，正四棱臺(tái)底面邊長(zhǎng)分別為20cm和10cm,側(cè)面積為780cmL

h',解得〃=13,即E&=13,

棱臺(tái)的高OO1=犧；-(EO-EQ)=7132-52=12,

,

y=1/7^+S+VsFj=|xl2x(100+400+10x20)=2800cm,

答案第1頁(yè)，共14頁(yè)

棱臺(tái)的體積為2800cm3.

故選：B.

4.D

【分析】先根據(jù)函數(shù)奇偶性排除AB選項(xiàng)，C選項(xiàng)，計(jì)算出/（0）=2>1,排除C；D選項(xiàng),

滿足奇偶性和/（。）=3,得到答案.

【詳解】A選項(xiàng)，〃一對(duì)=初（一彳）+6一'+爐一5=-5垣》+6一*+/-5/〃尤），故不是偶函數(shù)，

由圖可知函數(shù)"X）為偶函數(shù)，排除A選項(xiàng)；

B選項(xiàng)，/（-x）=sin（-x）--ex+1=-sinx--ex+-|^/（x）,可得不是偶函數(shù)，排除

B；

C選項(xiàng)，因?yàn)?（0）=2>1,由圖/（0）<1,故排除C選項(xiàng)；

D選項(xiàng)，故"村:/一是偶函數(shù)，

且"0）=；，滿足要求.

故選：D.

5.C

【分析】應(yīng)用分步乘法原理計(jì)算即可.

【詳解】4個(gè)同學(xué)站成一排有5個(gè)空，甲加入排列有5種情況，隊(duì)列變成5個(gè)人有6個(gè)空,

乙加入排列有6種情況，

由分步計(jì)數(shù)原理得，共有5x6=30種不同的方法.

故選：C

6.C

【分析】根據(jù)已知等式，應(yīng)用常值代換法應(yīng)用基本不等式求和的最小值即可.

【詳解】一^7+^7=[y+^7][（4+1）+（4+6）]義:

〃+1Q+Z7+1a+b）2

9（a+b）（〃+1）]1

=9+-^------+——L+1x-

a+1a+b2

>10+2卜—Jx-=8（當(dāng)且僅當(dāng)〃==,人=0時(shí)取等號(hào)）.

Va+1a+b22

I7

故選:c.

答案第2頁(yè)，共14頁(yè)

7.A

【分析】尸(無(wú)巨。對(duì)xe(O,e))恒成立，其中析(0)=0,令g(x)=r(x),則g，(0)20,從

而得到azg,驗(yàn)證后得到答案.

【詳解】/'(尤)=2ox-sinx,由題意1(x)20對(duì)xe(0,4?)恒成立,

其中廣(0)=0,令g(x)=_f(x),

則需g'(0)?。，其中g(shù)'(x)=2a-cosx,故2a-lN0naN：,

當(dāng)azg時(shí)，g'(x)=2a-cosx2l-cosx2O,故/'(%)在(0,+℃)遞增，

???小)>尸(。)=。成立.

綜上得a2—.

故選：A.

8.B

【分析】設(shè)直線A8為y=x+6,聯(lián)立拋物線可得與交點(diǎn)橫坐標(biāo)有關(guān)韋達(dá)定理，結(jié)合題目條

件可計(jì)算出直線方程，再借助線段A2的中點(diǎn)在/上計(jì)算即可得.

【詳解】設(shè)直線A3為y=x+b,代入拋物線得/一4》-46=0,

則%+3=4,X]%=-4b,b=-^,

直線43為>=尤+：,線段A3的中點(diǎn)記為“(/,%),

則X°=A^=2,y0=x0+1=|.

9.AD

答案第3頁(yè)，共14頁(yè)

【分析】A選項(xiàng)，利用條件概率公式得到尸（A3）=尸（A）.p（g）=g；B選項(xiàng)，A與力相互獨(dú)

立，故尸（4可=尸網(wǎng)尸⑻=g；C選項(xiàng)，根據(jù)尸（A+3）=P（A）+P⑻-尸（AB）求出答案;

D選項(xiàng)，利用條件概率得到尸（A忸）=皆搜=尸（4）.

尸3）

【詳解】A選項(xiàng)，因?yàn)槭ń蠥）=gT，P（B|A）=P（B）,P（A）=1,P（B）=1,

r[A]23

所以尸（A2）=尸（A）.尸（B）=g,A正確；

B選項(xiàng)，因?yàn)槭录嗀與8相互獨(dú)立，所以A與否相互獨(dú)立，

所以尸（M）=P⑷尸⑻=：x[l-1B錯(cuò)誤；

乙\JJ乙，J

1117

C選項(xiàng)，P（A+B）=P（A）+P（B）-P（AB）=-+C錯(cuò)誤；

2363

D選項(xiàng)，因?yàn)槭ˋ|8）=q^=P網(wǎng)，所以尸（&忸）=；,D正確.

故選：AD.

10.BCD

【分析】對(duì)于A：根據(jù)直線過(guò)定點(diǎn)分析整理即可；對(duì)于B：可知點(diǎn)3（1,3）在圓C內(nèi)部，結(jié)合

圓的性質(zhì)分析判斷；對(duì)于C：分析可知?jiǎng)狱c(diǎn)尸的曲線是以A8為直徑的圓，進(jìn)而判斷兩圓的

位置關(guān)系；對(duì)于D：根據(jù)題意結(jié)合基本不等式分析判斷.

【詳解】由題意可知：圓C：（%-2）2+（匕4）2=3的圓心為。（2,4）,半徑r=G，

對(duì)于選項(xiàng)A：因?yàn)閯?dòng)直線償尤+沖=。過(guò)原點(diǎn)（0,0）,所以A（O,O）,

由/nx-y-m+3=0,得〃z（x-l）=y-3,則3（1,3）,故A錯(cuò)誤；

對(duì)于選項(xiàng)B：因?yàn)殁頒|=J（2_1）2+（4-3）2=0〈人,可知點(diǎn)8（1,3）在圓C內(nèi)部,

當(dāng)BCJL4時(shí)，圓心C（2,4）到直線如37+3=。的最大值為怛C|=0,

所以直線，2與圓C相交最短弦長(zhǎng)為2一忸c1=2,故B正確；

對(duì)于選項(xiàng)C：因?yàn)?：x+my=0,l2：mx-y-m+3=Q,

且1?根+加?（-1）=0,則/1_L，2，

答案第4頁(yè)，共14頁(yè)

可知?jiǎng)狱c(diǎn)尸的曲線是以AB為直徑的圓，且該圓的圓心坐標(biāo)為（g,1|,半徑為JAB卜1

因?yàn)閮蓤A圓心距為=孚，

可得兩圓半徑之和為百+巫，兩圓半徑之差為道-巫，

22

因?yàn)槭∫回稀椿亍淳?叵，所以動(dòng)點(diǎn)尸的曲線與圓C相交，故c正確;

222

“工,生T否c中斗ti11II-PAI+|尸閭IA/?l10

對(duì)于選項(xiàng)D：因?yàn)閨24八尸用＜^一L_J_L=L_L=^=5,

當(dāng)且僅當(dāng)|P4|=|尸目=若時(shí)，等號(hào)成立,

所以|加忸邳最大值為5,故D正確;

故選：BCD.

11.ABC

【分析】由圖像可得K,再根據(jù)三角形面積可得忸q,進(jìn)而可得函數(shù)的最小正周期與。，再

結(jié)合。（0,-1）,可得函數(shù)解析式，進(jìn)而可判斷圖像性質(zhì)及平移變換.

1JT

【詳解】由圖象可知K=2,S^ABC=-\BC\XK=\BC\=~,

即;7=彳，所以7=生=兀，故B選項(xiàng)正確;

22o）

即0=2,所以/(x)=2sin(2x+0),

且圖象過(guò)點(diǎn)。（。,一1）,即sin°=-g,

-r-t兀兀匕廣[、]兀

5L--＜（P＜~,所以夕=一二，

226

所以/⑴=2sin[2x-￡],

令2%一烏=%兀，keZ,角星得x=—+—,keZ,

6122

所以函數(shù)/（x）=2sin（2xqj的對(duì)稱中心為（限+守。）keZ

當(dāng)人=0時(shí)，對(duì)稱中心為『|,。），故A選項(xiàng)正確；

將y=2sin（2x）的圖象向右平移方個(gè)單位長(zhǎng)度得至ljy=2sin（2x?],故C選項(xiàng)正確;

兀75兀7

令2x-色e-+2kn,—+2knkeZ,解得xe---FK71,----Fkit,keZ,

62236

答案第5頁(yè)，共14頁(yè)

ITSJT

所以函數(shù)〃X）的單調(diào)遞減區(qū)間是kit+-,ht+—,keZ,故D選項(xiàng)錯(cuò)誤,

故選：ABC.

12.二

【分析】利用復(fù)數(shù)除法運(yùn)算化簡(jiǎn)z,進(jìn)而得到其對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置.

l+2i(l+2i)(l+i)-l+3i13.

【詳解】???￡=—+—i

1-i一(l-i)(l+i)-222

復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為,位于第二象限.

故答案為：二

【分析】求出直線所的方程為：法+cy-6c=。，根據(jù)點(diǎn)到直線距離得到方程，求出

9e2-18e+8=0,求出離心率.

【詳解】依題意，4（。,。），3（0,b）,F（c,0）,所以直線所的方程為：bx+cy-bc=0,

11\ab-bc\

又直線正與以A為圓心半徑為7b的圓相切，^-^=1r==

33揚(yáng)十02

即9a2—18ac+9c2=Z?2+c2>8/—18ac+9c2=0,

方程兩邊同除以/得9/-18e+8=0,解得0號(hào)2或0=可4，

又橢圓的禺心率0<e<l,所以e=§.

2

故答案為：—

【分析】由題意得6=出?%，計(jì)算出％=2",故公比4=2,求出｛an｝的通項(xiàng)公式，故

%“=（勺+1”，根據(jù)等比數(shù)列得到”=3/21,從而得到方程，求出心+1=3x2”。故

=匕￥，作差法得到［占］是遞減數(shù)列，由題意得片且匕解得

3?2IK.+1J9+1。&十。

4

dG

25

【詳解】氣，做2，氣，…，鬼構(gòu)成等比數(shù)列，其中勺=2,月=5,占=11，

答案第6頁(yè)，共14頁(yè)

因?yàn)?。?電一。11，所以（q+44）2=（q+d）-（q+10d）,即％=2d,其中d>0,

所以氣=%=3d,ak2=a5=6d,ak^=an=\2d,所以公比4=2,

因?yàn)?=q+(〃T)d,即a“=(?+l)d,所以%]=(七+l)d,

又因?yàn)椤?%0T=3d-2"T,所以代+l)d=3d.2"T,

即總+1=3X2"。

.4,_(〃+l)d

k?+l~3-2"-1'

.%+i%_("+2)d+

"kn+l+lkn+\~3-2"3-2"-'-3-2"'

是遞減數(shù)列，由題意得且鼻＜：,解得

[Z〃+1J《+16kA+\6\_25J

故答案為：ggj

71

15.⑴2=§

(2)選①和②，答案均為6檔

【分析】（1）根據(jù)三角函數(shù)恒等變換得到sin[B+[]=l,從而求出8=2；

（2）選①，由三角形面積公式得到收=如（。+。），由余弦定理得到/+02-℃=12,求出

a+c=4A/3,得到周長(zhǎng);

選②，麗=g（麗+初）兩邊平方得/+°2+收=36,由余弦定理得片+c?-ac=12,聯(lián)立

求出”+C=46，得到周長(zhǎng).

【詳解】(1)因?yàn)?sin2-2sin2m=1,可得GsinB-(l-cosB)=l,

故gsinB+cosB=2,故2sin(3+e)=2,

可得sin(B+[J=l,

因?yàn)锽e（O,兀）,所以B+H可得8=。.

02

答案第7頁(yè)，共14頁(yè)

(2)右選①：由BD平分NASC得：SAABC=SAABD+SABCD，

即Jacsing=gx3Qsin^+gx3csin^,即〃C=\/5(Q+C),

在VABC中，由余弦定理得〃=。2+/一2。。以)05，

即片+/—。。=12,兩式聯(lián)立可得〃+c=46，

所以VABC的周長(zhǎng)為〃+b+c=4指+2#=6白；

若選②：。為線段AC的中點(diǎn)，故麗=：(麗+前)，

2222

BD=1(BA+BC)=^BA+2BA-BC+JBC),

因?yàn)?=：,BD=3,故a*2+2c-4cos§+aj=9,

整理可得/+°2+"=36,

在VABC中，由余弦定理得=a~+，-2accos—,

3

所以。2+/—。。=12,

兩式聯(lián)立可得ac=12,所以a+c=4g,

從而VABC的周長(zhǎng)為a+b+c=4相+2后=6粗.

16.⑴證明見(jiàn)解析

(2)60°

【分析】(1)添加適當(dāng)輔助線，證明出四邊形BE?為平行四邊形，再通過(guò)線線平行證明

線面平行；

(2)由線面垂直得出線線垂直，再證明AADB為正三角形，得出￡>E_L￡>C,建立空間直角

坐標(biāo)系，求出兩個(gè)面的法向量，再利用公式COS%，%=昌昌求解，即可求出二面角.

㈣I叫

【詳解】(1)證明：如圖，取PC中點(diǎn)M,連接FM,BM,

答案第8頁(yè)，共14頁(yè)

在△PCD中，M,尸分別為PC,尸。的中點(diǎn)，

所以且"F=；DC,

在菱形ABC。中，因?yàn)锳B〃OC且8E=gr?C,

所以BE=MF,所以四邊形為平行四邊形，所以所〃

又因?yàn)?<2平面P3C,且BMu平面P3C,所以EF〃平面尸BC.

(2)解：因?yàn)槭珼_L平面ABCZ),DB,DC,DEu平面ABC。，

所以PDLDB,PDLDC,PDYDE.

連接BO,因?yàn)镻*=2￡>2+302,pc2=PD2+DC2,且PB=PC,

(或者證APDB必PDC)

所以5D=￡>C,在菱形ABCD中，AB=BD=AD,即AADB為正三角形，

又因?yàn)镋為A8中點(diǎn)，所以DE_LDC,

以。為原點(diǎn)，DE,DC,DP所在的直線分別為x,y,z軸，

建立空間直角坐標(biāo)系。-孫z,如圖所示，

因?yàn)锳B〃DC且DE■工AB.

又因?yàn)椤?58為正三角形且AD=20，所以￡>E=3,

則方(0,0,2),E(3,0,0),C(0,2^,0),則/=(—3,0,2),反=卜3,2后0),

由DE，平面FCD,可得平面FCD的法向量為1=(1,0,0),

答案第9頁(yè)，共14頁(yè)

n-EF=-3x+2z=0

設(shè)平面￡FC的法向量為區(qū)=（x,y,z）,2

n2,EC=—3x+2=0

?。?2,可得y=百，z=3,所以〃2=（2,五3）,

兒?〃2I

所以cos4,巧=同向=7港=5,所以二面角E—FC—O的大小為60。.

22

17.(1)-x-^v=1

26

(2)y=±x+2

【分析】（1）利用漸近線的斜率及點(diǎn)到直線的距離建立關(guān)于。力的等式求解即可;

（2）分直線斜率存在和不存在兩種情況進(jìn)行討論，易知直線斜率不存在時(shí)，不滿足條件,

當(dāng)斜率存在時(shí)，聯(lián)立直線與雙曲線的方程，表示出的長(zhǎng)，再利用點(diǎn)到直線的距離求出點(diǎn)

。至心的距離，利用三角形的面積公式建立等式進(jìn)行求解出底即可求出直線/的方程.

【詳解】（1）由題得2=6,①

a

由對(duì)稱性不妨設(shè)C的頂點(diǎn)為（a,0）,則當(dāng)=乎，②

聯(lián)立①②解得a=&,b=R,

22

所以。的方程為土-匕=1.

26

（2）設(shè)力（力1，乃）,B（X2,y2）,

當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，不符合題意；

當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為>=履+2,

答案第10頁(yè)，共14頁(yè)

3-d0

所以=16左2+40(3—左2)=120—24左2>0,

-10

=---7<0

123-V

解得-石〈左〈石,

因?yàn)橛袷?=―記'玉馬=一記，

2

所以[AB]=yjl+kJ(%i+%)2—4石工2

_72

又點(diǎn)。到直線I的距離d=-T=

J1+左2

2__2瓜卜甘

所以NAOB的面積S=；|A5|?d=；x2幾,：；左/5―1=2A/6,

，，\j-K.~~|3-^2|

解得左=±1或k=±2；又因?yàn)?代＜左＜百，所以后=±1,

所以直線/的方程為y=±x+2.

18.(1)(i)0.6；(ii)分布列見(jiàn)解析，數(shù)學(xué)期望為2.64

(2)乙和甲打第一局

【分析】(1)(i)列舉出可能事件，由獨(dú)立事件的乘法公式計(jì)算出概率，再由互斥事件概

率的加法公式即可得解；(ii)列舉出總積分，根據(jù)各個(gè)積分計(jì)算出概率，再根據(jù)期望公式

即可求解；

(2)設(shè)事件A為“第一局乙對(duì)丙最終乙獲勝”，B為“第一局乙對(duì)甲最終乙獲勝”，

C為“第一局甲對(duì)丙而最終乙獲勝”，比較P(A),P(B),P(C)大小即可判斷.

【詳解】(1)(i)由題意可知，兩場(chǎng)比賽后結(jié)束，即甲或乙連續(xù)獲得兩場(chǎng)勝利，有兩種情

況，P-0.6x0.6+0.4x0.6=0.6；

(ii)由題意可知，X=2,3,4,

所以尸(X=2)=0.6x0.6+0.4x0.6=0.6,

X=3)=0.6x0.4x0.4+0.4x0.4x0.4=0.16,

答案第11頁(yè)，共14頁(yè)

p(x=4)=0.6X0.4X0.6+0.4x0.4x0.6=0.24,

所以三人總積分X的分布列為

X234

P0.60.160.24

所以E(X)=0.6x2+0.16x3+0.24x4=2.64.

（2）設(shè)事件A為“第一局乙對(duì)丙最終乙獲勝”，3為“第一局乙對(duì)甲最終乙獲勝”,

C為“第一局甲對(duì)丙而最終乙獲勝”，其中A包含三種情況，

第一，第一局乙獲勝，第二局乙獲勝；

第二，第一局乙獲勝，第二局甲獲勝，第三局丙獲勝，第四局乙獲勝；

第三，第一局丙獲勝，第二局甲獲勝，第三局乙獲勝，第四局乙獲勝，

故尸（4）=。3（1-。1）+。3。1（1一。2）。3+（1-。3）。2（1-。1）。3；

同理可得尸（8）=（1-口）0+（1-。）（1一。3）。2（1-。1）+R（1一。2）。3（1-。1）；

尸（C）=P2（「。1）。3+（1一。2）。3（1一。1）=。3（1一。1）；

顯然尸（8）—尸（C）=（l-pJ（l—P3）P2（l—Pi）+Pi（l—P2）2（l—R）＞。，

故P（B）＞P（C）,

尸⑷-尸⑻

111+11111

=［P3Pl（-P2）P3-Pl（-P2）P3（-Pl）］［（-P3）P2（-Pl）P3-（-Pl）（-P3）P2（-Pl）］

=（Pl+。3-1）（1一。2）。3+（+。3T）（1一。3）。2（1-R）

=（Pl+P3-1）［Pl（1-P2）P3+（1-P3）P2（1-Pl）］＞

由于P1+P3＜1，故「（人）-2（8）=（4+。3-1）［。1（1-2）。3+（1-03）。2（1-口）］＜°，

所以尸（3）＞P（A）,故乙的最優(yōu)指定策略是讓乙和甲打第一局.

19.（1）答案見(jiàn)解析

（2）aW0或〃」

e

⑶證明見(jiàn)解析

答案第12頁(yè)，共14頁(yè)

【分析】(1)求導(dǎo)，分4?0,421和0<。<1三種情況，得到函數(shù)的單調(diào)性；

(2)f(x)=O=>a=—,構(gòu)造%(尤)=見(jiàn)土，x>0,求導(dǎo)，得到函數(shù)單調(diào)性，又/z(e)=L

xxe

當(dāng)無(wú)趨向于0時(shí)，/z(x)趨向于-00,當(dāng)X趨向于+C0時(shí)，/z(x)趨向于0,從而得至!Ja<0或"=』

e

(3)由(2)知時(shí)，有兩個(gè)零點(diǎn)，町=ln%,ax2=\nx2,兩式相減得

a=lnx,-lnxl故所證不等式可化為｝口>］令/=邃(f>D,則上不等式化為

%-%x,［+生占

不

I