數(shù)學(xué)課后訓(xùn)練：數(shù)學(xué)歸納法

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精課后訓(xùn)練1．設(shè)(n∈N＋），則f（n＋1)－f（n)等于(）．A．B．C．D．2．某個命題與正整數(shù)有關(guān),若當(dāng)n＝k（k∈N＋)時該命題成立,那么可推得當(dāng)n＝k＋1時該命題也成立，現(xiàn)已知當(dāng)n＝5時該命題不成立，那么可推得（)．A．當(dāng)n＝6時，該命題不成立B．當(dāng)n＝6時，該命題成立C．當(dāng)n＝4時,該命題成立D．當(dāng)n＝4時，該命題不成立3．設(shè)（n∈N＋）,那么f（n＋1)－f（n）等于(）．A．B．C．D．4．若f（n）＝12＋22＋32＋…＋(2n)2，則f（k＋1）與f（k)的遞推關(guān)系式是________．5．用數(shù)學(xué)歸納法證明“n∈N＋時，1＋2＋22＋23＋…＋25n－1是31的倍數(shù)”時，n＝1時,原式＝__________，從k到k＋1時需添加的項是__________．6．用數(shù)學(xué)歸納法證明：12－22＋32－42＋…＋（2n－1）2－（2n）2＝－n(2n＋1)(n∈N＋)．7．求證：n棱柱中過側(cè)棱的對角面的個數(shù)是f(n)＝（n－3）(n∈N＋，n≥4）．8．已知數(shù)列｛an｝滿足條件(n－1）an＋1＝(n＋1）（an－1）,且a2＝6,設(shè)bn＝an＋n(n∈N＋）．（1）求a1、a3、a4的值；（2)求數(shù)列{an｝的通項公式．已知點(diǎn)的序列An(xn，0)，n∈N＋，其中x1＝0，x2＝a(a＞0)，A3是線段A1A2的中點(diǎn)，A4是線段A2A3的中點(diǎn)，…,An是線段An－2An－1的中點(diǎn)，…。（1)寫出xn與xn－1、xn－2之間的關(guān)系式(n≥3）;(2）設(shè)an＝xn＋1－xn，計算a1，a2，a3,由此推測數(shù)列｛an｝的通項公式,并加以證明．參考答案1.答案：D解析：因為。所以.所以。2。答案：D解析：利用等價命題，原命題的真假等價于逆否命題的真假，若n＝k＋1時命題不成立,則n＝k時命題不成立，所以n＝4時命題不成立．3。答案：D解析：因為,所以.所以。4.答案：f（k＋1）＝f（k)＋(2k＋1）2＋(2k＋2)2解析：∵f（k）＝12＋22＋32＋…＋(2k)2,而f(k＋1)＝12＋22＋32＋…＋（2k)2＋（2k＋1)2＋（2k＋2)2，∴f（k＋1）＝f（k）＋（2k＋1)2＋（2k＋2）2.5.答案：1＋2＋22＋23＋2425k＋25k＋1＋25k＋2＋25k＋3＋25k＋46。分析：當(dāng)n＝k＋1時，左邊的項應(yīng)該增加兩項（2k＋1）2－(2k＋2）2.證明：(1)當(dāng)n＝1時,左邊＝12－22＝－3，右邊＝－1×（2×1＋1）＝－3，等式成立．(2)假設(shè)當(dāng)n＝k(k∈N＋，k≥1)時，等式成立,即12－22＋32－42＋…＋(2k－1)2－(2k)2＝－k(2k＋1），則當(dāng)n＝k＋1時，12－22＋32－42＋…＋(2k－1)2－（2k)2＋（2k＋1)2－［2（k＋1）］2＝－k（2k＋1)＋（2k＋1）2－［2（k＋1）]2＝－2k2－5k－3＝－（k＋1）（2k＋3)＝－(k＋1)［2（k＋1)＋1］，即當(dāng)n＝k＋1時，等式成立．由(1）(2）可知，對任何n∈N＋，等式成立．7.分析：利用“遞推”法，f（k＋1)－f（k）來尋找n＝k＋1比n＝k時增加的對角面的個數(shù)．證明：(1)當(dāng)n＝4時，四棱柱有2個對角面，×4×（4－3）＝2，命題成立．(2)假設(shè)當(dāng)n＝k（k∈N＋，k≥4）時命題成立，即符合條件的棱柱的對角面?zhèn)€數(shù)是f（k)＝(k－3），現(xiàn)在考慮n＝k＋1的情形，第k＋1條棱Ak＋1Bk＋1與其余和它不相鄰的k－2條棱分別增加了1個對角面，共(k－2)個，而面A1B1BkAk變成了對角面，因此對角面的個數(shù)變?yōu)閒(k）＋（k－2)＋1＝（k－3)＋k－1＝（k2－3k＋2k－2)＝(k－2)（k＋1)＝（k＋1)[（k＋1）－3］，即f(k＋1)＝(k＋1)［(k＋1）－3］．由(1）(2）可知,命題對n≥4，n∈N＋都成立．8.解:(1)∵(n－1）an＋1＝（n＋1)(an－1)（n∈N＋),且a2＝6，∴當(dāng)n＝1時，a1＝1；當(dāng)n＝2時，a3＝3（a2－1）＝15;當(dāng)n＝3時，2a4＝4（a3－1）＝56，∴a4＝28。（2）由a2－a1＝5，a3－a2＝9，a4－a3＝13。猜想an＋1－an＝4n＋1，∴an－a1＝（an－an－1)＋（an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)．∴an＝2n2－n(n∈N＋）．下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：①當(dāng)n＝1時，a1＝2×12－1＝1，故猜想正確．②假設(shè)當(dāng)n＝k時，有ak＝2k2－k(k∈N＋,且k≥1）．∴(k－1）ak＋1＝(k＋1)（ak－1），（k－1)ak＋1＝（k＋1)(2k2－k－1)．∴ak＋1＝（k＋1）(2k＋1)＝2(k＋1）2－(k＋1)．即當(dāng)n＝k＋1時，命題也成立．由①②知，an＝2n2－n（n∈N＋)．9。解：(1）當(dāng)n≥3時，。（2)a1＝x2－x1＝a，a2＝x