2024高考數(shù)學(xué)考點(diǎn)專(zhuān)項(xiàng)突破二項(xiàng)式定理的應(yīng)用含解析

二項(xiàng)式定理的應(yīng)用單選題1、（2025屆山東省濱州市高三上期末）綻開(kāi)式中項(xiàng)的系數(shù)為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】的綻開(kāi)式通項(xiàng)為：當(dāng)，即時(shí)，項(xiàng)的系數(shù)為：本題正確選項(xiàng)：2、（2024年高考北京）在的綻開(kāi)式中，的系數(shù)為（）A． B．5 C． D．10【答案】C【解析】綻開(kāi)式的通項(xiàng)公式為：，令可得：，則的系數(shù)為：.故選：C.3、（2025屆山東省臨沂市高三上期末）的綻開(kāi)式的中間項(xiàng)為（）A．-40 B． C．40 D．【答案】B【解析】的綻開(kāi)式的通項(xiàng)為則中間項(xiàng)為.故選：B.4、（2025屆山東省濰坊市高三上期中）綻開(kāi)式中的系數(shù)為（）A．-112 B．28 C．56 D．112【答案】D【解析】由．取，得．綻開(kāi)式中的系數(shù)為．故選：D.5、（2024年高考全國(guó)Ⅲ卷理數(shù)）（1+2x2）（1+x）4的綻開(kāi)式中x3的系數(shù)為A．12 B．16 C．20 D．24【答案】A【解析】由題意得x3的系數(shù)為，故選A．6、（2024年高考全國(guó)Ⅰ卷理數(shù)）的綻開(kāi)式中x3y3的系數(shù)為（）A．5 B．10 C．15 D．20【答案】C【解析】綻開(kāi)式的通項(xiàng)公式為（且）所以的各項(xiàng)與綻開(kāi)式的通項(xiàng)的乘積可表示為：和在中，令，可得：，該項(xiàng)中的系數(shù)為，在中，令，可得：，該項(xiàng)中的系數(shù)為所以的系數(shù)為故選：C.7、（2024·吉林省吉大附中高二月考）若的綻開(kāi)式中含有常數(shù)項(xiàng)，則的最小值等于（）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【解析】由題意的綻開(kāi)式的，令，得，當(dāng)時(shí)，取到最小值5，故答案為C．8、（2025屆浙江省溫州市高三4月二模）若，則的值為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】綻開(kāi)式的通項(xiàng)為：，故，，依據(jù)對(duì)稱(chēng)性知：.故選：.9、（2024·河北衡水中學(xué)高三月考）已知二項(xiàng)式的綻開(kāi)式中第2項(xiàng)與第3項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之比是2︰5，則的系數(shù)為（）A．14 B． C．240 D．【答案】C【解析】二項(xiàng)綻開(kāi)式的第項(xiàng)的通項(xiàng)公式為由綻開(kāi)式中第2項(xiàng)與第3項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之比是2︰5，可得：.解得：.所以令，解得：，所以的系數(shù)為，故選C10、（2024·貴州省貴陽(yáng)一中高三月考）在二項(xiàng)式的綻開(kāi)式中,各項(xiàng)系數(shù)之和為,各項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)之和為,且,則綻開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)的值為（）A．18 B．12 C．9 D．6【答案】C【解析】令,可得各項(xiàng)系數(shù)之和;各項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)之和;而=,解得;所以,其通項(xiàng)=,令,可得綻開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)為.故選C.多選題11、（2024·棗莊市第三中學(xué)高三月考）對(duì)隨意實(shí)數(shù)x，有.則下列結(jié)論成立的是（）A．B．C．D．【答案】ACD【解析】對(duì)隨意實(shí)數(shù)x，有[﹣1+2（x﹣1）]9，∴a222＝﹣144，故A正確；故令x＝1，可得a0＝﹣1，故B不正確；令x＝2，可得a0+a1+a2+…+a9＝1，故C正確；令x＝0，可得a0﹣a1+a2+…﹣a9＝﹣39，故D正確；故選：ACD.12、（2024·山東省日照試驗(yàn)高級(jí)中學(xué)高三月考）對(duì)于二項(xiàng)式，以下推斷正確的有（）A．存在，綻開(kāi)式中有常數(shù)項(xiàng)；B．對(duì)隨意，綻開(kāi)式中沒(méi)有常數(shù)項(xiàng)；C．對(duì)隨意，綻開(kāi)式中沒(méi)有的一次項(xiàng)；D．存在，綻開(kāi)式中有的一次項(xiàng).【答案】AD【解析】設(shè)二項(xiàng)式綻開(kāi)式的通項(xiàng)公式為，則，不妨令，則時(shí)，綻開(kāi)式中有常數(shù)項(xiàng)，故答案A正確，答案B錯(cuò)誤；令，則時(shí)，綻開(kāi)式中有的一次項(xiàng)，故C答案錯(cuò)誤，D答案正確。故答案選AD13、對(duì)于二項(xiàng)式，以下推斷正確的有（）A．對(duì)隨意，綻開(kāi)式中有常數(shù)項(xiàng) B．存在，綻開(kāi)式中有常數(shù)項(xiàng)C．對(duì)隨意，綻開(kāi)式中沒(méi)有x的一次項(xiàng) D．存在，綻開(kāi)式中有x的一次項(xiàng)【答案】BD【解析】綻開(kāi)式的通項(xiàng)為：，取，得到，故當(dāng)是的倍數(shù)時(shí)，有常數(shù)項(xiàng)，故錯(cuò)誤正確；取，取，時(shí)成立，故錯(cuò)誤正確；故選：.14、（2024年徐州一中月考）對(duì)于的綻開(kāi)式，下列說(shuō)法正確的是（）A．綻開(kāi)式共有6項(xiàng) B．綻開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)是-240C．綻開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)之和為1 D．綻開(kāi)式中的二項(xiàng)式系數(shù)之和為64【答案】CD【解析】的綻開(kāi)式共有7項(xiàng)，故A錯(cuò)誤；的通項(xiàng)為，令，綻開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為，故B錯(cuò)誤；令，則綻開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)之和為，故C正確；的綻開(kāi)式中的二項(xiàng)式系數(shù)之和為，故D正確.故選：.

15、已知的綻開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)的和為2，則下列結(jié)論正確的有（）A．B．綻開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)為160C．綻開(kāi)式系數(shù)的肯定值的和1458D．若為偶數(shù)，則綻開(kāi)式中和的系數(shù)相等【答案】ACD【解析】對(duì)于A，令二項(xiàng)式中的為1得到綻開(kāi)式的各項(xiàng)系數(shù)和為，，故A正確；對(duì)于B，，綻開(kāi)式的通項(xiàng)為，當(dāng)綻開(kāi)式是中常數(shù)項(xiàng)為：令,得可得綻開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)為：，當(dāng)綻開(kāi)式是中常數(shù)項(xiàng)為：令,得(舍去)故的綻開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)為.故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，求其綻開(kāi)式系數(shù)的肯定值的和與綻開(kāi)式系數(shù)的肯定值的和相等，令，可得：綻開(kāi)式系數(shù)的肯定值的和為：.故C正確；對(duì)于D，綻開(kāi)式的通項(xiàng)為，當(dāng)為偶數(shù)，保證綻開(kāi)式中和的系數(shù)相等①和的系數(shù)相等，綻開(kāi)式系數(shù)中系數(shù)為：綻開(kāi)式系數(shù)中系數(shù)為：此時(shí)和的系數(shù)相等，②和的系數(shù)相等，綻開(kāi)式系數(shù)中系數(shù)為：綻開(kāi)式系數(shù)中系數(shù)為：此時(shí)和的系數(shù)相等，③和的系數(shù)相等，綻開(kāi)式系數(shù)中系數(shù)為：綻開(kāi)式系數(shù)中系數(shù)為：此時(shí)和的系數(shù)相等，故D正確；綜上所在，正確的是：ACD故選：ACD.16、對(duì)于二項(xiàng)式，以下推斷正確的有（）A．存在，綻開(kāi)式中有常數(shù)項(xiàng)；B．對(duì)隨意，綻開(kāi)式中沒(méi)有常數(shù)項(xiàng)；C．對(duì)隨意，綻開(kāi)式中沒(méi)有的一次項(xiàng)；D．存在，綻開(kāi)式中有的一次項(xiàng).【答案】AD【解析】設(shè)二項(xiàng)式綻開(kāi)式的通項(xiàng)公式為，則，不妨令，則時(shí)，綻開(kāi)式中有常數(shù)項(xiàng)，故答案A正確，答案B錯(cuò)誤；令，則時(shí)，綻開(kāi)式中有的一次項(xiàng)，故C答案錯(cuò)誤，D答案正確。故答案選AD17、已知的綻開(kāi)式中第5項(xiàng)與第7項(xiàng)的二項(xiàng)數(shù)系數(shù)相等，且綻開(kāi)式的各項(xiàng)系數(shù)之和為1024，則下列說(shuō)法正確的是（）A．綻開(kāi)式中奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為256B．綻開(kāi)式中第6項(xiàng)的系數(shù)最大C．綻開(kāi)式中存在常數(shù)項(xiàng)D．綻開(kāi)式中含項(xiàng)的系數(shù)為45【答案】BCD【解析】由二項(xiàng)式的綻開(kāi)式中第5項(xiàng)與第7項(xiàng)的二項(xiàng)數(shù)系數(shù)相等可知,又綻開(kāi)式的各項(xiàng)系數(shù)之和為1024,即當(dāng)時(shí),,所以,所以二項(xiàng)式為,則二項(xiàng)式系數(shù)和為,則奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為,故A錯(cuò)誤；由可知綻開(kāi)式共有11項(xiàng),中間項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大,即第6項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大,因?yàn)榕c的系數(shù)均為1,則該二項(xiàng)式綻開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)與系數(shù)相同,所以第6項(xiàng)的系數(shù)最大,故B正確；若綻開(kāi)式中存在常數(shù)項(xiàng),由通項(xiàng)可得,解得,故C正確；由通項(xiàng)可得,解得,所以系數(shù)為,故D正確,故選:BCD填空題18、（2024年高考全國(guó)III卷理數(shù)）的綻開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)是__________（用數(shù)字作答）．【答案】【解析】其二項(xiàng)式綻開(kāi)通項(xiàng)：當(dāng)，解得的綻開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)是：.故答案為：.（2025屆山東省日照市高三上期末聯(lián)考）二項(xiàng)式的綻開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)是_______.（用數(shù)字作答）【答案】60【解析】有題意可得，二項(xiàng)式綻開(kāi)式的通項(xiàng)為：令可得，此時(shí).20、（2024·全國(guó)高三專(zhuān)題練習(xí)（理））在的綻開(kāi)式中,含項(xiàng)的系數(shù)是_______.【答案】280【解析】的綻開(kāi)式中：，取得到項(xiàng)的系數(shù)為故答案為：21、（2025屆山東省濰坊市高三上學(xué)期統(tǒng)考）在的綻開(kāi)式中，只有第五項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則綻開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)是．【答案】7【解析】本題考查二項(xiàng)式定理的學(xué)問(wèn)，利用二項(xiàng)式的通項(xiàng)來(lái)解題.依據(jù)題意可得，，令，可得常數(shù)項(xiàng)為7.22、（2024年高考浙江卷理數(shù)）在二項(xiàng)式的綻開(kāi)式中，常數(shù)項(xiàng)是__________；系數(shù)為有理數(shù)的項(xiàng)的個(gè)數(shù)是__________．【答案】【解析】由題意，的通項(xiàng)為，當(dāng)時(shí)，可得常數(shù)項(xiàng)為；若綻開(kāi)式的系數(shù)為有理數(shù)，則，有共5個(gè)項(xiàng)．故答案為：，．23、（2025屆山東省德州市高三上期末）的綻開(kāi)式中，常數(shù)項(xiàng)為_(kāi)_____；系數(shù)最大的項(xiàng)是______.【答案】【解析】的綻開(kāi)式的通項(xiàng)為，令，得，所以，綻開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為；令，令，即，解得，，，因此，綻開(kāi)式中系數(shù)最大的項(xiàng)為.故答案為：；.24、（2024年高考浙江）二項(xiàng)綻開(kāi)式，則_______，________．【答案】80；122【解析】的通項(xiàng)為，令，則，故；.故答案為：80；122.25、（2025屆浙江省嘉興市高三5月模擬）二項(xiàng)式的綻開(kāi)式中，常數(shù)項(xiàng)為_(kāi)_____，全部項(xiàng)的系數(shù)之和為_(kāi)_____．【答案】416【解析】的綻開(kāi)式的通項(xiàng)，令，解得，則常數(shù)項(xiàng)為；二項(xiàng)式中，令，得到，則全部項(xiàng)的系數(shù)之和為16.故答案為：4；16.25、（2025屆浙江省紹興市高三4月一模）已知，則_____，_______.【答案】0665【解析】因?yàn)?，令可得?所以：；；；；……；；故.故答案為：0，665.27、（2025屆浙江省之江教化評(píng)價(jià)聯(lián)盟高三其次次聯(lián)考）已知多項(xiàng)式，則_________，_________.【答案】416.【解析】令，得，設(shè)，則，則多項(xiàng)式等價(jià)為，則為一次項(xiàng)的系數(shù)，則，故答案為：4，16.28、（2025屆浙江省“山水聯(lián)盟”高三下學(xué)期開(kāi)學(xué)）若二項(xiàng)式的綻開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)之和為108，則________，有理項(xiàng)的個(gè)數(shù)為_(kāi)_______．【答案】24【解析】中令可得，可得．中只有一項(xiàng)為有理項(xiàng)，因此綻開(kāi)式中有理項(xiàng)是4個(gè)．故答案為：2；4.29、（2024·浙江溫州中學(xué)3月高考模擬）已知多項(xiàng)式滿意，則_________，__________．【答案】【解析】∵多項(xiàng)式滿意∴令，得，則∴∴該多項(xiàng)式的一次項(xiàng)系數(shù)為∴∴∴令，得故答案為5，72解答題30、（2024·湖北省江夏一中高二月考）已知二項(xiàng)式的綻開(kāi)式中第2項(xiàng)與第3項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之比是2：5，按要求完成以下問(wèn)題：（1）求的值；（2）求綻開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)；（3）計(jì)算式子的值.【解析】（1）依題意，，即，解得；（2）由（1）知，∴，，由，得