福建省莆田市2024−2025學年高二上學期第一次月考數學試卷含答案

福建省莆田市2024?2025學年高二上學期第一次月考數學試卷一、單選題（本大題共9小題）1．已知直線與垂直，則實數的值是（

）A．0或3 B．3 C．0或 D．-32．已知，，，四點在平面內，且任意三點都不共線，點在外，且滿足，則（

）A．0 B．1 C．2 D．33．已知圓，圓與圓關于直線對稱，則圓的方程為（

）A． B．C． D．4．已知平面，其中點，法向量，則下列各點中不在平面內的是（

）A． B． C． D．5．已知三條直線，，的斜率分別為，，，傾斜角分別為.若，則下列關系不可能成立的是（

）A． B． C． D．6．數學家歐拉于1765年在他的著作《三角形的幾何學》中首次提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直線上，且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半，這條直線被后人稱之為三角形的歐拉線.已知的頂點為，，，則該三角形的歐拉線方程為（

）A． B．C． D．7．定義：兩條異面直線之間的距離是指其中一條直線上任意一點到另一條直線距離的最小值.在長方體中，，，，則異面直線與之間的距離是（

）A． B． C． D．8．閱讀材料：空間直角坐標系中，過點且一個法向量為的平面的方程為；過點且一個方向向量為的直線l的方程為.利用上面的材料，解決下面的問題：已知平面的方程為，直線l是平面與的交線，則直線l與平面所成角的正弦值為（

）A． B． C． D．9．已知直線：，：，則（

）A．恒過定點B．若，則C．若與坐標軸圍成的三角形面積為1，則D．若，則與間的距離的最大值為二、多選題（本大題共2小題）10．下列四個結論正確的是（

）A．任意向量，若，則或或B．已知，，，則點C到直線AB的距離為C．已知向量，若，則為鈍角D．若，，是不共面的向量，則，，的線性組合可以表示空間中的所有向量11．如圖，在棱長為1的正方體中，P為棱的中點，Q為正方形內一動點(含邊界)，則下列說法中正確的是（

）A．若平面，則動點Q的軌跡是一條線段B．存在Q點，使得平面C．當且僅當Q點落在棱上某點處時，三棱錐的體積最大D．若，那么Q點的軌跡長度為三、填空題（本大題共3小題）12．已知直線的斜率為，在軸上的截距為，則直線的方程為．13．已知方程表示一個圓，則實數的取值范圍是．半徑的最大值為．14．如圖，在四棱臺中，，，則的最小值是．四、解答題（本大題共5小題）15．已知直線：，：，其中為實數.(1)當時，求直線，之間的距離；(2)當時，求過直線，的交點，且垂直于直線的直線方程.16．已知的三個頂點坐標分別為（1）求外接圓的方程；（2）動點D在的外接圓上運動，點坐標，求中點的軌跡17．如圖，在三棱柱中，，D為中點，四邊形為正方形．(1)求證：平面；(2)再從條件①、條件②這兩個條件中選擇一個作為已知，求直線與平面所成角的正弦值．條件①：；條件②：．注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個解答計分．18．在中，內角所對的邊分別為且(1)求角；(2)若，是的中線，，求的面積.19．如圖，在四棱錐中，平面ABCD，，，．E為PD的中點，點F在PC上，且，設點G是線段PB上的一點．(1)求證：CD⊥平面PAD；(2)若．判斷直線AG是否在平面AEF內，說明理由．(3)設CG與平面AEF所成角為，求的范圍.

參考答案1．【答案】D【詳解】因為直線與垂直，所以，解得，實數的值是.故選：D.2．【答案】B【分析】根據空間向量的共面定理可求的值.【詳解】因為點在外，由空間向量的共面定理可知且；由題意，所以；所以，解得.故選B.3．【答案】A【詳解】由題意知,圓的圓心與關于直線對稱，且兩圓半徑相等，因為圓，即，所以圓心，半徑為，設圓關于直線對稱點為，則，解得，即，所以圓的方程為，即.故選：A.4．【答案】B【詳解】對于A，，，故選項A在平面內；對于B，，，故選項B不在平面內；對于C，，，故選項C在平面內；對于D，，，故選項D在平面內.故選：B.5．【答案】D【詳解】解：由題意，根據直線的斜率與傾斜角的關系有：當或時，或，故選項B可能成立；當時，，故選項A可能成立；當時，，故選項C可能成立；所以選項D不可能成立.故選：D.6．【答案】A【詳解】由重心坐標公式可得：重心，即.由，，可知外心在的垂直平分線上，所以設外心，因為，所以，解得，即：，則，故歐拉線方程為：，即：，故選：A.7．【答案】D【解析】以D為坐標原點建立空間直角坐標系，求出和的公垂線的方向向量，求出，再由可求出.【詳解】如圖，以D為坐標原點建立空間直角坐標系，則，則，，設和的公垂線的方向向量，則，即，令，則，，.故選：D.8．【答案】A【詳解】對于，可以整理為，由題意可得：平面過點，且法向量，聯立方程，整理可得，由題意可得：直線l過點，且方向向量為，∵，∴故直線l與平面所成角的正弦值為.故選：A.9．【答案】AD【詳解】對于A：直線：，令，解得，所以直線：恒過定點，故A正確；對于B：若，則，即，但是得不到，如時：，：也滿足，故B錯誤；對于C：依題意，對于，令，解得，令，解得，直線與軸交于點，與軸交于點，則與坐標軸圍成的三角形面積，解得，故C錯誤；對于D：直線：，令，解得，則直線恒過點，令、，則，又，當直線、與垂直，則，，解得、，此時兩平行直線與間的距離的最大，最大值為，故D正確；故選：AD10．【答案】ABD【分析】對A，根據數量積的計算公式分析即可；對B，根據空間中點到線的距離向量公式求解即可；對C，討論特殊情況反向時判斷即可；對D，根據空間向量共面滿足的條件判斷即可.【詳解】對于A，，則或或，即或或，故A正確；對于B，因為，，所以．設點C到直線AB的距離為d，則，故B正確；對于C，，若，則，當時，則存在唯一實數，使得，即，所以，解得，所以當，且時，為鈍角，故C錯誤．對于D，若、、是不共面的向量，則、、也是不共面的向量，否則若、、共面，則存在實數，使得，即，則，顯然無解，所以、、也不共面，由空間向量基本定理，可能用它們表示出空間任意向量，D正確.故選：ABD11．【答案】ACD【詳解】取、中點，連接、、PF，由PF∥∥且PF＝知是平行四邊形，∴∥，∵平面，平面，∥平面，同理可得EF∥平面，∵EF∩＝F，∴平面∥平面，則點的軌跡為線段，A選項正確；如圖，建立空間直角坐標系，則，，，設，則，，設為平面的一個法向量，則即得取，則.若平面，則∥，即存在，使得，則，解得，故不存在點使得平面，B選項錯誤；的面積為定值，當且僅當到平面的距離d最大時，三棱錐的體積最大.，，，則當時，d有最大值1；②，，則當時，d有最大值；綜上，當，即和重合時，三棱錐的體積最大，C選項正確；平面，，，，Q點的軌跡是半徑為，圓心角為的圓弧，軌跡長度為，D選項正確.故選：ACD.12．【答案】【詳解】因為直線在軸上的截距為，所以點在直線上，又直線的斜率為，根據點斜式方程得直線的方程為，即.故答案為：.13．【答案】【詳解】由題意知：，所以，所以的取值范圍為；由因為，當且僅當時，.故答案為：；.14．【答案】【詳解】如圖，設，則平面，故，的最小值即為四棱臺的高.如下圖，過作，垂足為，過作，垂足為，過作平面，垂足為，連接，則，，因為，，故，故，而，故，所以，因為平面，故，而，故平面，因平面，故，故，故即的最小值為，故答案為：.15．【答案】(1)(2)【詳解】（1）由得，解得，此時直線：，：，不重合，則直線，之間的距離為；（2）當時，：，聯立，解得，又直線斜率為，故過直線，的交點，且垂直于直線的直線方程為，即.16．【答案】(1)；(2)以點為圓心，以為半徑的圓.【詳解】解：（1）因為，所以，AB的中點為，則AB的垂直平分線的方程為；，BC的中點為，則BC的垂直平分線的方程為，即；聯立，解得，所以圓心坐標為，半徑為，所以外接圓的方程為：；（2）設，由中點公式得，則，代入得中點的軌跡方程為，即，所以中點的軌跡是以點為圓心，以為半徑的圓.17．【答案】(1)證明見解析；(2)【詳解】（1）證明：取的中點，連接，在三棱柱中，因為是的中點，所以，，又因為平面，平面，所以平面，同理可得平面，又由且平面，所以平面平面，因為平面，所以平面.（2）解：若選條件①：因為，，且，平面，所以平面，又因為平面，所以，以為原點，以分別為軸、軸和軸建立空間直角坐標系，如圖所示，因為且四邊形為正方形，可得，則，設平面的法向量為，則，令，可得，所以，設直線與平面所成角為，則，即直線與平面所成角的正弦值為．若選條件②：解：因為四邊形為正方形且，可得，又因為，所以，由，所以，以為原點，以分別為軸、軸和軸建立空間直角坐標系，如圖所示，因為且四邊形為正方形，可得，則，設平面的法向量為，則，令，可得，所以，設直線與平面所成角為，則，即直線與平面所成角的正弦值為．18．【答案】(1)(2)【詳解】（1）因為，由正弦定理，得，所以，因為，可得，所以，又因為，所以.（2）解法1：因為，是的中線，所以，設，則，在中，由正弦定理得，所以，在中，可得，所以，故的面積．解法2：因為，是的中線，所以，可得，即，整理得，所以，在中，可得，所以，故的面積．1