2024-2025學(xué)年廣東省珠海市珠海一中高一（上）第一次段考數(shù)學(xué)試卷（10月份）（含答案）

第=page11頁(yè)，共=sectionpages11頁(yè)2024-2025學(xué)年廣東省珠海一中高一（上）第一次段考數(shù)學(xué)試卷（10月份）一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知集合M=x|1<x<2，N=x|x<3，則M∩N=(

)A.x|x<2 B.x|x<3 C.x|1<x<2 D.x|1<x<32.若a∈{1,2,a2}，則a的取值集合為A.{0} B.{0,1} C.{0,2} D.{0,1,2}3.已知集合A滿足{0,1}∪A={0,1,2,3}，則集合A的個(gè)數(shù)為(

)A.1 B.2 C.3 D.44.若命題“?x0∈R,x02A.(?∞,?1)∪(2,+∞) B.(?∞,?1]∪[2,+∞)

C.(?1,2) D.[?1,2]5.若ab>0，且a<b，則下列不等式一定成立的是(

)A.a2<b2 B.1a<6.已知函數(shù)f(x)=1ax2+bx+c的部分圖象如圖所示，則A.?3

B.?6

C.13

D.17.已知a，b，c∈R，使a>b成立的一個(gè)充分不必要條件是(

)A.a+c>b+c B.ac>bc C.a2>b8.已知a>0，b>0，且1a+2b=1，則A.2 B.2 C.32二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.命題p：?x∈R，x2+bx+1≤0的否定是真命題，則實(shí)數(shù)b的值可能是(

)A.?74 B.?32 C.10.若正實(shí)數(shù)x，y滿足2x+y=1，則下列說(shuō)法正確的是(

)A.xy有最大值為18 B.1x+4y有最小值為6+42

C.411.已知b>0，若對(duì)任意的x∈(0,+∞)，不等式ax3+3xA.a<0 B.a2b=3

C.a2+4b的最小值為12 三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.若集合U={1,2,3,4,5,6}，A={1,3,5}，B={2,5}，則如圖中的陰影部分表示的集合為

．

13.已知1<a<6，3<b<4，則a?2b的取值范圍為_(kāi)_____，ba的取值范圍為_(kāi)_____．14.某購(gòu)物網(wǎng)站在2022年10月開(kāi)展“買(mǎi)三免一”活動(dòng)，規(guī)則是“購(gòu)買(mǎi)3件商品，最便宜的一件商品免費(fèi)”，比如如下結(jié)算案例：包的價(jià)格為200元，衣服的價(jià)格為200元，鞋的價(jià)格為150元，用戶應(yīng)支付200+200+150=550元，減免價(jià)格最低商品價(jià)格150元，實(shí)際支付400元，實(shí)際折扣400÷550=約7.3折，立省150元．

(1)如果在此網(wǎng)站上購(gòu)買(mǎi)的三件商品價(jià)格分別為500元、700元、400元，按照“買(mǎi)三免一”的規(guī)則購(gòu)買(mǎi)這三件商品的實(shí)際折扣為_(kāi)_____折；

(2)在這個(gè)網(wǎng)站上購(gòu)買(mǎi)3件商品，按照“買(mǎi)三免一”的規(guī)則，這3件商品實(shí)際折扣力度最大約為_(kāi)_____折(保留一位小數(shù))．四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。15.(本小題13分)

已知全集U=R，集合A={x|x2?4x+3≤0}，B={x|2<x<4}，C={x|2a≤x≤a+2}且C為非空集合．

(1)分別求A∩B，A∪(?UB)；

(2)若x∈B是16.(本小題15分)

如圖，動(dòng)物園要以墻體為背面，用鋼筋網(wǎng)圍成四間具有相同面積的矩形虎籠．

(1)現(xiàn)有可圍36m長(zhǎng)鋼筋網(wǎng)的材料，每間虎籠的長(zhǎng)、寬各設(shè)計(jì)為多少時(shí)，可使每間虎籠的面積最大？

(2)若每間虎籠的面積為20m217.(本小題15分)

設(shè)a∈R，二次函數(shù)f(x)=ax2?2x?2a.若f(x)>0的解集為A，B={x|1<x<3}，A∩B≠?，求實(shí)數(shù)18.(本小題17分)

(1)已知a>0，b>0，求證：ab+ba≥a+b；

(2)設(shè)19.(本小題17分)

已知集合M={1,2,?,2024}，A為M的非空子集，

(1)若λA為集合A中最大數(shù)與最小數(shù)的和.求所有這樣的λA的算術(shù)平均數(shù)；

(2)若集合A中有1013個(gè)元素，證明集合A中一定存在兩個(gè)數(shù)，一個(gè)能被另一個(gè)整除．

參考答案1.C

2.C

3.D

4.B

5.C

6.C

7.D

8.A

9.AB

10.ABC

11.ACD

12.{1,3}

13.(?7,0)

(114.7.5

6.7

15.解：(1)A={x|x2?4x+3≤0}={x|1≤x≤3}，

又B={x|2<x<4}，所以?UB={x|x≤2或x≥4}，

故A∩B={x|2<x≤3}，A∪(?UB)={x|x≤3或x≥4}；

(2)因?yàn)閤∈B是x∈C的必要不充分條件，故C是B的真子集，C非空，

故2a≤a+22<2a4>a+216.(1)解：設(shè)每間老虎籠的長(zhǎng)為xm，寬為ym，則每間老虎籠的面積為S=xy，由已知可得4x+5y=36，

由基本不等式可得S=xy=120?4x?5y≤120×(4x+5y2)2=815(m2)，

當(dāng)且僅當(dāng)4x=5y4x+5y=36，即當(dāng)x=92y=185時(shí)，等號(hào)成立，

因此，每間虎籠的長(zhǎng)為92m，寬為185m17.解：由題意可知二次函數(shù)a≠0，

令f(x)=0解得其兩根為x1=1a?2+1a2,x2=1a+2+1a2

由此可知x1<0，x2>0

(i)當(dāng)a>0時(shí)，A={x|x<x1}∪{x|x>x2}，則A∩B≠?的充要條件是x18.證明：(1)由于a>0，b>0，

則ab+b≥2a①，

ba+a≥2b②，

①+②可得：ab+b+ba19.解：(1)∵集合M={1,2,?,2024}，

∴集合M的非空子集個(gè)數(shù)為22024?1個(gè)，

對(duì)集合M的每一個(gè)非空子集A={x1,x2,x3,?,xk}，

設(shè)x1<x2<x3<?<xk,1≤k≤2024(k∈N?)，

都有集合M的一個(gè)子集A′={2025?x|x∈X}與之對(duì)應(yīng)，且A′?M，

則λA=x1+xk，λA′=2025?x1+2025?xk=4050?(x1+xk)，

當(dāng)A≠A′時(shí)，λA+λA′=x1+xk+4050?(x1+xk)=4050，

若A=A′時(shí)，λA+λA′=2025+2025=4050，

∴所有這樣的λA的算術(shù)平均數(shù)為(22024?1)×40502×(22024?1)=2025；

證明：(2)如果集合P中的某個(gè)元素a與集合Q中的某個(gè)元素b具有整除關(guān)系，

那么我們可以說(shuō)a在集合Q中對(duì)應(yīng)的數(shù)為b，

設(shè)C={1013,1014,1015,?,2024}，

設(shè)B={1,2,3,?,1012}，

由題意得集合C中任意兩個(gè)元素不具有整除關(guān)系，

現(xiàn)說(shuō)明集合B中元素都能在集合C中有對(duì)應(yīng)的元素，

設(shè)n∈B，由1013≤nk≤2024，1013≤nk≤2024?1013n≤k≤2024n，

顯然給定n一個(gè)，該不等式k至少有一個(gè)正整數(shù)解，

所以集合B中元素都能在集合C中有對(duì)應(yīng)的元素，

設(shè)A={1013,1014,1015,?,2024,n}，

此時(shí)集合A中有1013個(gè)元素，因?yàn)閚∈B，故由上可知集合A中一定存在兩個(gè)數(shù)，一個(gè)能被另一個(gè)整除；

設(shè)從1013，1014，1015，?，2024